阻尼振动与阻尼受迫振动
阻尼振动与受迫振动
【实验目的】1．观测阻尼振动，学习测量振动系统基本参数的方法。
2．研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象。
3．观察不同阻尼对受迫振动的影响。
【实验原理】当摆轮受到周期性强迫外力矩t M M ωcos 0=的作用，并在有空气阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为 ），其运动方程为t M dt d b k dtd J ωθθθcos 022+--= （1）其中，J 为摆轮的转动惯量，θk -为弹性力矩，0M 为强迫力矩的幅值，ω为强迫力的圆频率。
令J k =20ω，J b=β2，JM m 0=，则（1）式变为 t m dt d dtd ωθωθβθcos 22022=++ （2） 其中，β为阻尼系数，0ω为系统的固有频率，m 为强迫力矩。
当0cos =t m ω时，（2）式即为阻尼振动方程，当0=β，即在无阻尼情况时，（2）式变为简谐振动方程。
方程（2）的通解为()()0201cos cos ϕωθαωθθβ+++=-t t e t （3）由（3）式可见，受迫振动可分为两部分：第一部分，()αωθβ+-t e t 01cos 表示阻尼振动，经过一定时间后衰减消失。
第二部分，说明强迫力矩对摆轮作功，向振动体传递能量，最后达到一个稳定的振动状态，其振幅为()22222024ωβωωθ+-=m（4）它与强迫力矩之间的相位差ϕ为()2022022012T T T T tg -=-=-πβωωβωϕ （5） 由（4）式和（5）式可看出，振幅2θ与相位差ϕ的数值取决于强迫力矩m 、频率ω、固有频率0ω和阻尼系数β四个因素，而与振动起始状态无关。
由()[]04222220=+-∂∂ωβωωω极值条件可得出，当受迫力的圆频率2202βωω-= 时产生共振，θ有极大值。
若共振时的圆频率和振幅分别用r ω 、r θ表示，则dtd b θ-2202βωω-=r （6）2222βωβθ-=m r （7）（6）式和（7）式表示，阻尼系数β越小，共振时圆频率越接近于系统固有频率，振幅也越大。
大学物理学-阻尼振动与受迫振动
v
弹性力
粘滞阻力: f r v
粘滞阻力
x
dx
d 2x
kx
m 2
dt
dt
令k / m 0 , / m 2
2
d2x
dx
2
2
0 x 0
2
dt
dt
大学物理学
k （固有频率）
0
m
（阻尼系数）
2m
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4.3 阻尼振动与受迫振动
4.3 阻尼振动与受迫振动
一、 阻尼振动
振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。
形成阻尼振动的原因：
振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；
振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。
大学物理学
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4.3 阻尼振动与受迫振动
1. 阻尼振动的微分方程
弹性力:
F kx
(以液体中的水平弹簧振子为例)
阻尼＝0
阻尼较小
pr 02 2 2
阻尼较大
共振振幅 :
Ar
大学物理学
f0
2 02 2
O
p
0
共振曲线
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4.3 阻尼振动与受迫振动
2. 速度共振
受迫振动的速度的振幅出现极大值的现象
v pA sin( pt )
大学物理学
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r
d2x
k
x0
2
2
dt
m J r
阻尼振动与受迫振动
，可以推出������0 =
2������ ������������ 1−������
2
= ，是阻尼振动振幅衰减到原来 ������−1 需要
，是系统共振锐度或频率选择性的量度。
������������ ������
6. 对数缩减率Λ =
=
2������������ 1−������ 2
，定义为衰减阻尼振动中相邻两
������ ������ 0 ������ 、 ������
=
������ 2 ������������ 2������
2 ������2 0 −������
3. 阻尼振动周期������������ = 4. 时间常数������ = 的时间。 5. 品质因素������ ≡
1 2������ 2������ ������ 1 ������
2 小阻尼(������ 2 − ������0 < 0)时，阻尼振动运动方程的解为 2
������ ������ = ������������ exp −������������ cos
2 ������0 − ������ 2 ������ + ������������ 2
由 上 式 可 知 ， 阻 尼 振 动 角 频 率 ������������ = ������2 0 − ������ ， 而 周 期 为 ������������ =
[2]
即 ������ 2 ������ ������������ ������ 2 + ������ + ������������ = ������������������ cos ������������ ������������ ������������ 它和弹簧支座固定、摆轮受周期外力矩������������������ cos ������������作用时运动 方程在形式上完全一致，等效外激励力矩的振幅为������������������ ，则对 应的稳态解振幅和相位差分别为 ������������ = ������������ ������2 0
1.4阻尼振动受迫振动
四、振动图象的实际运用
心电图仪
地震仪
AC
二、简谐运动的表达式
由图像知道振动物体离开平衡位置的位移可以 用 X=Asin(ωt+φ)来表示 因为 ω=2π/T f=1/T 所以
物体从不同的位置振动，φ值不同。 ωt+φ叫相位，φ叫初相位。
怎样结合图像写表达式
观察三角函数的正弦值的大小在四个象限中随着 夹角大小变化的关系，和四个象限中正弦值的正 负。
三、简谐运动的相位与相位差的物理意义
用单摆演示当两个摆长与振幅都一样的单摆 在振动步调总一致时，我们就说它们的相位相同， 振动相同；当它们的位移总相反时，我们可以从 振动表达式推知它们的相位一定相差π；两个单 摆的振动步调不相同就是因为它们具有相位差。 所以用来描述简谐运动的物理量有：周期、 频率、相位与相位差。
2 、导入：那么如果用位移图象来表示简谐运动 位移与时间的关系，形状又如何呢？
方案一：在水平弹簧振子的小球上安
置一支记录用的笔，在下面放一条白 纸带，当小球振动时，沿垂直于振动 方向匀速拉动纸带，笔就在带上画出 一条振动图线。
实验演示
点击下图观看实验演示
一、由实验可了解到情况：
1、振动图象（如图）
x/m
x/cm
0
t/s
O
t/s
二. 受迫振动
周期性作用于系统的外力, 叫做驱动力。 物体在周期性外力作用下的振动,叫做受迫振 动。 受迫振动的特点: 受迫振动的频率由驱动力的频率决定，与物体 自由振动时的固有频率无关.
请观察下列运动是受迫振动吗？
三. 共振
1. 定义： 驱动力的频率接近物体的固有频率 时,受迫振动的振幅增大,等于固有频 率时,振幅最大, 这种现象叫做共振.
12阻尼与受迫振动
12. 阻尼与受迫振动
1. 受迫振动的微分方程
重新定义参数
mx kx
02
x
k
m
x 2x 02 x
F0f 0
2m
f0
cos (t )
cos (t )
F0 m
阻尼系数 本征频率
驱动频率
4
12. 阻尼与受迫振动
2.1 微分方程的解
2. 受迫振动方程
0
齐次方程（阻尼振动）通解 + 非齐次项对应特解
编号：12
阻尼与受迫振动
阻尼振动 欠阻尼、临界阻尼和过阻尼 受迫振动与共振
12. 阻尼与受迫振动
视频：美国塔柯姆大桥
风 吹倒了一座 钢筋混凝土大桥？！
2
12. 阻尼与受迫振动
1. 受迫振动的微分方程
简谐振动 阻尼振动 受迫振动
周期力驱动的受迫振动微分方程
mx kx x 0
周期驱动力 F0 cos(t) ω：驱动频率
A0
f0
(02 2 )2 4 2 2
3. 共振
d
d
(02 2 )2 4 2 2
0
4(02 2 ) 8 2 0
r 02 2 2
Ar
2
f0
02 2
02 2 2
A0
2
f0
02 2
7
12. 阻尼与受迫振动
3.1 受迫振动的振幅
A0
f0
(02 2 )2 4 2 2
3.2 共振
共振频率 r 02 2 2
共振振幅 Ar
2
f0
02 2
3. 共振
A0
小阻尼 阻尼 0
大阻尼
o
阻尼和受迫振动
T0
T0 ：固有周期
四、阻尼振动的分类
1、欠阻尼 0
2、过阻尼 0 3、临界阻尼 0
x
o
: 固有频率 0 t
例、有一单摆在空气（室温20oC)中摆动,其摆线长1.0m，摆锤是 一半径为5.0mm的铅球。求： （1）摆动周期 （2）振幅减小10%所需时间 （3）能量减小10%所需时间 （已知铅球密度为2.65 g/ml，20oC时空气粘度1.78 x 10-5Pa s）
0
0
阻尼摆动时的周期 :T 2 2 2s
0
（2）在欠阻尼情况下，
由：xt A et cost 0
A A e 单摆的振幅
t
0
设振幅减小10%所需时间为t1,则有：
0.9 A A e t1
0
0
ln 1
t 0.9 174s 3min
1
（3）因为能量与振幅的二次方成正比
E ( A )2 e2t (2)共振振幅 :
r 02 2 2
Ar
2
h
2 0
2
共振现象的危害 1940 年7月1日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌
气流经过圆柱体时产生的作用相间的涡旋 卡尔曼涡旋
0
0
0
随时间很快衰减为零
等幅振动
3、稳态解： x=Acos( t+)
在达到稳定态时，系统振动频率等于策驱动力的频率
共振
受迫振动的振幅:
h A
[(02 2 )2 4 2 2 ]1/ 2
共振频率
A
小阻尼
阻尼 0
大阻尼
o
0
P
受迫振动在一定条件下, 振幅出现 极大值, 振动剧烈的现象被称为共振。
阻尼振动和受迫振动
横轴：表示驱动力的频率
纵轴：表示受迫振动的振幅
图象的意义：
f驱= f固时，振幅有最大值
f驱与 f固差别越大时，振幅越
小
四、共振的应用和防止
1、共振的应用
①测量发动机转速的转速计
②共振筛
发动机的转速计原理图
共振筛的原理图
生活中的共振现象
美国有一农场农妇，习惯于用吹笛的方式招
关，阻尼越大，振幅减小得越快。
b、物体做阻尼振动时频率不变。
3、自由振动：系统不受外力作用，也不受任
何阻力，只在自身回复力作用下的振动，称
为自由振动。
自由振动的频率，叫做系统的固有频率。来自思考：二、受迫振动
用什么方法才能得到持续的振动呢？
阻尼振动会受到阻力作用，其振幅减小，如
果想让其周期性地振动下去，就需要施加周
第一章 机械振动
4 阻尼振动 受迫振动
如下图所示，在鼓皮上放几颗米粒，猛敲一下鼓，
观察米粒在鼓皮上的运动。
一、阻尼振动
阻尼振动
振动幅
度减小
受到阻力作用
能量的损失
1、定义：系统在振动过程中受到阻力的作用，
振动逐渐消逝，振动能量逐步转变为其他能
量，这种振动叫做阻尼振动。
2、注意：a、振幅减小的快慢跟所受的阻尼有
呼丈夫回家吃饭，可当她有一次吹笛时，居
然发现树上的毛毛虫纷纷坠地而死，惊讶之
余，她到自己的果园吹了几个小时，一下子
将果树上的毛毛虫收拾的一干二净，究其原
因，还是笛子发出的声音引起毛毛虫内脏发
生剧烈共振而死亡。
2、共振的防止
①军队过桥随步走，以免产生周期性驱动力。
2、共振的防止
机械振动中的阻尼振动与受迫振动
机械振动中的阻尼振动与受迫振动在机械系统中，振动是一种普遍存在的现象，它包含着阻尼振动和受迫振动两种类型。
阻尼振动是指系统在一定的阻尼作用下运动的周期性减弱振动，而受迫振动是指系统受到外部力的作用而发生周期性振动。
本文将探讨机械振动中的阻尼振动和受迫振动的特点及其应用。
一、阻尼振动阻尼振动是指振动系统在受到阻力的作用下产生的振动。
阻尼力可以分为粘性阻尼、干摩擦阻尼和液体摩擦阻尼等不同形式。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，振动频率也逐渐减小。
阻尼振动的主要原因是能量的损失。
当机械系统受到阻尼力的作用时，振动系统的机械能会逐渐转化为热能而损失。
这导致振动幅度逐渐减小，最终停止振动。
例如，摆钟在受到空气阻力的影响下，其摆动幅度会逐渐减小，最终停止。
阻尼振动的应用广泛。
在机械工程中，阻尼振动常常被用于减震和能量吸收的装置设计。
例如，在车辆的悬挂系统中使用减震器，可以有效地缓解车辆行驶中的颠簸感。
同时，阻尼振动还常用于物体的减振和抗震设计，例如建筑物中的隔震装置。
二、受迫振动受迫振动是指振动系统在外部力的作用下产生的振动。
外力可以是周期性的，也可以是非周期性的。
受迫振动的特点是振幅和频率与外力的频率相关。
外力对振动系统的影响可以分为共振和强迫两种情况。
共振是指外力的频率接近或等于振动系统的固有频率时，振动幅度会显著增大。
强迫是指外力的频率与振动系统的固有频率有一定的差别，但仍然能引起系统振动。
受迫振动在实际生活中有许多应用。
例如，在音乐中，乐器的共振现象使得乐器能够产生特定的音调。
另外，受迫振动还在工程领域中有着广泛的应用，如振动筛、振动输送机等。
它们利用外力作用产生振动，以完成特定的分选和输送任务。
三、阻尼振动与受迫振动的关系阻尼振动与受迫振动是机械振动中两种常见的振动类型，它们在某些情况下可以相互转化。
当受迫振动系统存在阻尼时，会产生阻尼振动。
此时，外力的频率与振动系统的固有频率相同或接近时，阻尼振动的幅度会受到外力的影响，产生共振效应。
高中物理波动与振动中的阻尼振动与受迫振动
高中物理波动与振动中的阻尼振动与受迫振动在高中物理的学习中，波动与振动是一个重要的板块，其中阻尼振动和受迫振动是两个关键的概念。
理解这两种振动形式，对于我们深入掌握物理世界的规律有着重要的意义。
首先，让我们来认识一下阻尼振动。
阻尼振动，简单来说，就是在振动过程中，由于受到阻力的作用，振动的能量逐渐减少，振动的幅度也随之逐渐减小，最终振动停止。
想象一下，一个荡秋千的小孩，如果没有外力的持续推动，也没有任何的阻力，那么秋千会一直以相同的幅度摆动下去，这就是理想的无阻尼振动。
但在现实中，空气的阻力总是存在的。
随着秋千的摆动，空气阻力会不断消耗秋千的能量，使得秋千摆动的幅度越来越小，直到最终停下来，这就是阻尼振动的一个常见例子。
阻尼振动的一个显著特点就是振幅的衰减。
比如说，一个弹簧振子在光滑的水平面上振动，如果没有摩擦力等阻力，它会一直做等幅振动。
但如果在粗糙的平面上振动，摩擦力就会不断消耗振子的能量，振幅也就会越来越小。
阻尼振动的表达式通常比较复杂，但我们可以通过一些简化的模型来理解其基本规律。
在阻尼较小的情况下，振动的频率变化不大，但振幅会按照一定的规律逐渐减小。
接下来，我们再来看受迫振动。
受迫振动是指物体在周期性外力作用下的振动。
这个外力就像是一个“强迫者”，迫使物体按照外力的频率振动。
比如说，家里的洗衣机在脱水时，电机的转动会带动洗衣机内胆振动，这个振动就是受迫振动。
电机的转动频率决定了内胆振动的频率。
受迫振动有一个很重要的特点，那就是当外力的频率等于物体的固有频率时，物体的振幅会达到最大，这种现象被称为共振。
共振现象在生活中既有好处也有坏处。
比如，在建筑设计中，如果建筑物的固有频率与地震波的频率接近，就可能在地震中发生严重的破坏，这是共振的坏处。
而在一些乐器的设计中，利用共振可以让乐器发出更响亮、更美妙的声音，这就是共振的好处。
从能量的角度来看，阻尼振动是能量不断减少的过程，而受迫振动是外界不断输入能量的过程。
§ 15-3 阻尼与受迫振动1运动方程及其解
二. 受迫振动
为能获得稳定的振动，对振动系统作用一周期 性外力。物体在周期性外力作用下的振动称为受迫 振动。这种周期性外力称为强迫力。喇叭纸盆的振 动、机器运转时机座的振动等均为受迫振动。 1.运动方程及其解
设简谐强迫力为 F0 cos t ，弹簧振子的运动方程为
d2x dx m 2 kx F0 cos t dt dt k F0 2 F0 为强迫力的力幅。令 2 ， 0 ， f 0 ， m m m 运动方程变为
d2x dx 2 2 0 x f 0 cos t 2 dt dt 该微分方程的解为
x A0e
t
A cos t 0 cos t 0
2 0 2
该解的第一项随时间迅速衰减，称为暂态解，第二 项不随时间衰减，称为稳态解。
达到稳定状态时，受迫振动的角频率不是振子的固 有频率而是强迫力的角频率；受迫振动的振幅和初 相位不是决定于振子的初始状态，而是依赖于振子 的性质、阻尼的大小和强迫力的特征。
2. 共振（resonance) 理论计算得到稳定时受迫振动的振幅和初相为
A
m
2 0
F0
2 2
4 2 2
2 gb tan 0 2 , 0为受迫振动与强迫力的相位差。 2 0 稳态时物体的速度 v dx v cos t dt 2
§ 15-3
阻尼与受迫振动
一. 阻尼振动
振动物体不受阻力作用，只在回复力作用下的 振动称为无阻尼自由振动。但振动时的阻尼是不可 避免的，例如空气的阻力、弹簧伸缩时的内摩擦、 能量的辐射等，均可将它们等效为摩擦阻尼。在回 复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。
阻尼振动和受迫振动
受迫振动：幅频曲线、相频曲线
实验仪器
课后作业
阻尼振动：求各阻尼档的b、ζ、ω0和△b、△ζ、△ω0，
写出完整表达式。
受迫振动：以（ω/ω0）为横坐标，先列表计算，用坐
标纸作幅频曲线、相频曲线。（可用Excel做出曲线，打印
上交）
T ω/ω0 θ φ
d 2
dt 2
2
d
dt
02
0
J——摆轮转动惯量 γ——阻尼力矩系数 k——劲度系数
t 0 et cos 02 2t 0
0 —— 无阻尼振动系统固有角频率
—— 阻尼系数
实验原理——阻尼振动
0 et
Td 2 / 02 2
阻尼振动
思路： θi b ζ 0 2 / (Td 1 2 )
φ理论
(φ- φ理论)/ φ
不确定度公式
Sb
1 I
(Dj D)2 (I 1)
4 2 3
b
b3
4 2 4 2 b2
3 2 b
0 0Td Td2 Nhomakorabea1
•
2
2
*忽略B类不确定度
注意事项
阻尼振动实验开始有机玻璃盘F的指针对准零刻度线。 阻尼振动时初始摆幅150o-200o为佳。
切记不可在无阻尼档开电机，以防弹簧损坏。 振幅和相位差的测量应在稳定之后进行测量。
Td
0
阻尼振动的重点是b、ζ、ω0和△b、△ζ、△ω0的计算
b
ln j
ln j1
1 I2
I
(yjI yj )
j 1
b 4 2 b2
阻尼振动测量
无电磁阻尼时（阻尼0档）测50个 θ，5组 10Td， 课堂上用计算器计算b. 课后求ζ、ω0
阻尼振动和受迫振动的动力学
阻尼振动和受迫振动的动力学振动是物体在围绕平衡位置上下运动的一种现象。
当物体受到外力的作用时，它可能出现阻尼振动或受迫振动。
本文将分别讨论这两种振动的动力学特征。
1. 阻尼振动阻尼振动指的是物体在受到阻尼力的影响下进行振动。
阻尼力是由于摩擦或阻力而产生的一种力。
一般而言，阻尼力与物体的运动速度成正比。
在阻尼振动中，振幅会逐渐减小，直到最终趋于零。
这是因为阻尼力的作用导致了振动能量的损失。
阻尼振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/dt + k * x = 0其中，m为物体的质量，x为物体的位移，t为时间，c为阻尼系数，k为弹簧的劲度系数。
这是一个二阶常微分方程，可以通过求解得出振动的解析解。
2. 受迫振动受迫振动是指物体在受到外力周期性作用下进行振动。
外力的周期性作用可能是恒定的或变化的。
受迫振动的一个典型例子是在谐振子中。
谐振子是一个具有弹簧和质量的系统，当受到周期性驱动力时，谐振子会在特定的驱动频率下展现出共振现象。
共振是指外力频率与谐振子固有频率相同或接近时的现象。
受迫振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/d t + k * x = F0 * sin(ω * t)其中，F0为驱动力的振幅，ω为驱动力的角频率。
通过求解这个方程，可以得到受迫振动的解，包括相位和幅频特征。
3. 动力学特征比较阻尼振动和受迫振动在动力学特征上有一些区别。
首先，阻尼振动的振幅会随时间逐渐减小，直到最终停止。
而受迫振动在存在共振现象时，振幅可能会增大甚至无限增大。
其次，阻尼振动的频率与振幅无关，而受迫振动的频率会对振幅产生明显的影响。
当驱动力的频率接近谐振子的固有频率时，振幅会显著增加。
最后，阻尼振动和受迫振动在相位上也略有不同。
在阻尼振动中，振动的相位随着时间的推移而发生改变。
而在受迫振动中，振动的相位与驱动力的相位存在一定的差距。
综上所述，阻尼振动和受迫振动都是振动的一种形式，但它们在动力学特征上有一些差别。
阻尼振动与受迫振动
阻尼振动与受迫振动●阻尼振动●受迫振动●共振1．阻尼振动实例a. 阻尼弹簧振子，阻力γγ其中。
实例b. RLC谐振电路或写作其中。
分析：引入阻尼将引起能量的减小，计算能量改变率，β（等于阻尼做功的功率）。
如果很小，基本上还是简谐振动，但由于能量消耗，振幅会逐渐减小，解的形式近似为：能量，β一个周期内能量的消耗率：其中称为品质因数(quality factor)，简称值(Q factor)。
从数量级上讲，Q值就是把储存的能量衰减完，振子中能够振荡的次数。
（注：RLC谐振电路，）精确解：(a)弱阻尼()其中。
与近似分析的结果相比，只是频率有所减小。
(b)过阻尼()其中。
无振荡，呈指数衰减。
注意是的减函数，衰减速度随增大反而减慢。
(c)临界阻尼()，无振荡，但衰减最快。
2．受迫振动实例a. 驱动弹簧振子γ实例b. RLC串联电路非齐次线性方程解的一般形式：其中是原方程的一个解（称为特解），是齐次方程的任意解。
写成复数形式，令满足方程则满足方程令，其中所以可取称为稳态解，而把称为暂态解。
3．共振为简单起见，只讨论速度共振。
的振幅为性质：(1)驱动频率与固有频率相等（）时，时速度振幅（或平均动能）最大，出现共振。
(2)共振时，速度与驱动力同相位，驱动一直做正功。
(3)驱动频率与固有频率相差越大，振幅（动能）越小，形成一个共振峰。
(4)Q值越大，共振峰越高，同时也越窄（对驱动频率的选择性越高）。
共振的应用：乐器、无线电接收、调Q激光、核磁共振与电子自旋共振等。
共振有时会造成破坏，需要避免。
阻尼振动与受迫振动
阻尼振动与受迫振动振动是自然界中普遍存在的一种现象，它在物理学、工程学等领域中具有重要的应用价值。
而阻尼振动和受迫振动是振动学中两个重要的概念。
阻尼振动是指在振动系统中存在摩擦或阻力的情况下所产生的振动。
当一个物体受到外力作用而开始振动时，若存在阻尼，振动的幅度将逐渐减小，最终停止。
这种振动方式在日常生活中很常见，例如钟摆摆动时逐渐停下来的过程。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，振动频率不变。
这是因为阻尼力与振动速度成正比，而速度越大，阻尼力就越大。
因此，振动系统在受到外力作用后，振幅将逐渐减小，直到最终停止振动。
与阻尼振动相对应的是受迫振动，它是指在外力作用下振动系统发生的振动。
受迫振动的特点是振幅随时间的变化而发生周期性的变化，振幅的变化与外力的频率和振幅有关。
受迫振动的一个重要应用是共振现象。
当外力的频率与振动系统的固有频率相等时，共振现象会发生。
在共振状态下，振幅将达到最大值，这是因为外力与系统的振动频率相同，能够为系统提供持续的能量输入，从而使振幅增大。
阻尼振动和受迫振动经常在实际工程中应用。
例如，在汽车悬挂系统中，为了提高乘坐舒适性，往往会采用阻尼装置来减小车身的振动。
而在建筑工程中，为了避免共振现象对建筑物产生破坏性影响，工程师们会根据建筑物的固有频率来设计结构。
除了工程领域，阻尼振动和受迫振动也在物理学和生物学中有广泛的应用。
例如，在电子学中，阻尼振动可以用于减小电路的振荡幅度；在生物学中，研究细胞的振动特性有助于了解细胞的结构和功能。
总之，阻尼振动和受迫振动是振动学中的两个重要概念。
阻尼振动是指在存在阻力或摩擦力的情况下发生的振动，振幅逐渐减小；而受迫振动是指在外力作用下发生的振动，振幅随时间的变化而发生周期性变化。
这两种振动方式在实际应用中具有重要意义，对于理解和应用振动学理论有着重要的作用。
大学物理11.3 阻尼振动和受迫振动简介
f 0 2 2 2 2 2 0 4 n
共振频率 r 2n 共振振幅 Ar
f0
2
ω0为固有频率。
2 2 0 n2
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大学物理 第三次修订本
第11章 机械振动基础
共振频率
阻尼系数 n 越小，共振角频率
A
小阻尼
r越接近于系统的 固有频率 0 ，同
运动方程
2
2
x A0e
nt
cos( n t ) A cos(t )
2 0 2
大学物理 第三次修订本
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第11章 机械振动基础
受迫振动微分方程的稳态解为
x A cos(t ) 为驱动力角频率。
为受迫振动与驱动力之间的相位差。 f 2n A tan 2 2 2 2 2 2 0 (0 ) 4n
时共振振幅 Ar也
越大。
大阻尼
0阻尼
o
大学物理 第三次修订本
r 0
P
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第11章 机械振动基础
1940年11月,华盛顿州的Tacoma Narrows 桥, 由于桥面刚度太差 , 在 45 mph 风速的情形下 , 产 生“Galloping Gertie”(驰振）.
大学物理 第三次修订本
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第11章 机械振动基础
*11.3 阻尼振动和受迫振动简介
一、阻尼振动
1.受力特点 线性恢复力 F f
2.动力学微分方程
dx 粘滞阻力 f v dt
F kx
l0
x
dx d x F f m a kx m 2 dt dt
大学物理 第三次修订本
阻尼振动及受迫振动 3
§9.3阻尼振动和受迫振动一. 阻尼振动1. 阻尼力x μf-=2. 振动的微分方程(以弹簧振子为例)x μkx x m--=022=++x ωx n x 阻尼系数: 2 n = μ/ m3. 阻尼振动的振动方程、表达式和振动曲线（2）过阻尼和临界阻尼（1）小阻尼( n 2 < ω02 ))cos(220ϕ+-=-t n ωAex nt202ω=n 202ω>n 临界阻尼:过阻尼:在过阻尼和临界阻尼时,无振动.1.振幅特点振幅随t 衰减2.周期特点阻尼振动的特点:严格讲，阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，但阻尼振动有某种重复性。
质点经一次完全振动所经历的时间称为衰减振动的周期>220π2nT -='ω0π2ω=T二.受迫振动（在外来策动力作用下的振动）1. 系统受力弹性力阻尼力xμ-周期性策动力tF x μkx x m cos 0ω+--= kx -2. 受迫振动的微分方程tf x x n x ωωcos 220=++ tF F ωcos 0=其中mF f mn mk 002===μωFkxF 1-=x μF2-=3.受迫振动微分方程的稳态解为:)cos(ϕ-=t ωA x 下面用旋转矢量叠加的方法求稳态的解振幅和初相(将稳态解代入到振动微分方程中有) :tωf t ωA ωt ωA n t ωA ω cos ) cos( ) sin( 2) cos( 202=-+----ϕϕωϕ令( 同时画出t 时刻对应的矢量图)：tωf t y cos )(=[y ( t )]f)π cos()(21+-=ϕt ωA ωt yϕ[y 1 ( t )]2A ω)2/π cos( 2)(2+-=ϕt ωnA ωt y [y 2 ( t )]2A n ω)cos()(203ϕ-=t ωA ωt y [y 3 ( t )]20A ω因而：)()()()(321t y t y t y t y ++=根据t 时刻的旋转矢量图，可得稳态时的振幅和初相：2/1222202]4)[(ωn ωωfA +-=2202tan ωωn ω-=ϕ（1）位移共振(振幅取极值)讨论（振幅共振曲线）共振频率:2202nr -=ωω共振振幅:2202nn fA r -=ω结论:受迫振动的振幅A 及受迫振动与驱动力的相位差ϕ都与起始条件无关。
17.3 阻尼振动与阻尼受迫振动
d x dx 2 2 0x 0 2 dt dt
2
特征Байду номын сангаас程：
2 2 2 0 0
2 特征根为： 2 0
对应于三种不同的解，将有三种不同的运动形式。 1) 阻尼振动 2 2 当阻尼较小，即当 0 或 / 0 1
§17.3 阻尼振动与阻尼受迫振动
一、 阻尼振动 二、受迫振动
三、共振
一、 阻尼振动
1. 阻尼力 x 系统在振动过程中，受到 o x 粘性阻力作用后，能量将随时间逐渐衰减 。系统受的粘性阻力 与速率成正比 f 比例系数 叫阻力系数。
2. 振动的微分方程(以弹簧振子为例)
k
m
F弹性
f阻力
（速度共振曲线）
π tan 2
2 h 2 2 A2 2 2 0 共振 (2 )2 (0 2 )2
在弱阻尼即 << 0的情况下， 当 = 0时，
系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振
小号发出的波足以把玻璃杯振碎
1940年华盛顿的塔科曼大桥建成 同年7月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁
周期性策动力
d2 x dx 2 2 0 x h cos t 2 dt dt
其中
2 0 k/m
F H cos t
h H /m
/ 2m
d2 x dx 2 2 0 x h cos t 2 dt dt
则上述方程的解为：
x(t ) A0 e t cos t 0 阻尼振动（暂态解） B cos t
解
x(t ) A0e
t
cos t 0
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台北101大厦定楼神球
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第17章 振 动
上海环球金融中心风阻尼器
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第17章 振 动
阻尼越小，越接近谐振动，阻尼越大，“周期”越长。 2) 过阻尼运动
当阻尼较大 2 02 或 1 其解为：
x(t) c1e
2 02
t
c2e
2 02
t
3
第17章 振 动
特点是运动没有周期性，经过相当长的时间物体才能回 到平衡位置。
3) 临界阻尼运动
若 2 02或 1
A 2 cos(t π) 2 A cos(t π )
2
02 A cos(t ) h cost
画任意时刻旋矢图
A2 2 A
h
02 A
得
A2
(2)2
h2
(02
2 )2
arctg
2 02 2
位移与驱动力的相位差
驱动力初 相为零
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第17章 振 动
结论: 受迫振动的振幅 A 及受迫振动与驱动力的相位
设驱动力按余弦规律变化 即 F H cost
由牛顿第二定律有
m
d2x dt 2
kx
dx dt
H
cos t
弹性力 阻尼力
kx
dx dt
周期性驱动力
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
h cost
F H cost
其中 02 k / m
5
/ 2m
第17章 振 动
h H /m
d2x dt 2
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第17章 振 动
共振现象的应用: 我国古代就有大量的应用: 天坛的回音壁 黄鹤楼上磨擦铜盆时水的共振表演
工程上的的应用 簧频计
无线电中利用谐振电路选择信号
M C
uC
0
次声武器 3~17HZ
妈呀！受不 了啦！
地震 振动频率0 – 15 Hz， 人体器官，建筑物、构筑物的本征频率都在次声波 范围内。
与速率成正比 f 比例系数 叫阻力系数。
2. 振动的微分方程(以弹簧振子为例)
m
d2x dt 2
kx
dx dt
阻尼系数: / 2m 固有角频率 02 k / m
3. 振动表达式和振动曲线
如果能振动起来（欠阻尼情况） 上述方程的解是什么形式呢？
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
0
从物理上考虑：
6
第17章 振 动
x Acos(t )
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
h cost
x Acos(t )
d2x dt 2
A 2
cos(t
dx
dt π)
A
cos(t
π) 2
A 2 cos(t π) 2 A cos(t π )
2
02 A cos(t ) h cost
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第17章 振 动
讨论
求极限： dA 0
d
（1）位移共振(振幅取极值)
0
0
0
0
共振频率 : 共振振幅 :
r
Ar
02
h
2 02
2
2
2
共振相位 :
arctan
02 2 2
（振幅共振曲线）
10
第17章 振 动
（2）速度共振 (速度振幅A取极值)
vm
h ( 2 02 )2 4 2 2
共振频率 : 0
§17.3 阻尼振动与阻尼受迫振动
一、 阻尼振动 (Damped Vibration) 二、受迫振动 (Forced Vibration) 三、共振 (Resonance)
1
第17章 振 动
一、 阻尼振动
1. 阻尼力
km
rr F弹性 f阻力
系统在振动过程中，受到
o
x
x
粘性阻力作用后，能量将随时间逐渐衰减 。系统受的粘性阻 力
2
dx dt
02 x
h cost
则上述方程的解为：
x(t) A0e t cos t 0 阻尼振动（暂态解） B cos t 受迫振动（定态）
3. 稳定状态的振动表达式
x
受迫振动系统达到稳定时 应做与驱动力频率相同的谐振 动。其表达式为：
x Acos(t )
t
用旋矢法可求出上式的A和
第17章 振 动
1940年华盛顿的塔科曼大桥建成 同年7月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁
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第17章 振 动
核磁共振成像技术是将人体置于特殊的磁场中，用无线 电射频脉冲激发人体内氢原子核，引起氢原子核共振， 并吸收能量。在停止射频脉冲后，氢原子核按特定频率 发出射电信号，并将吸收的能量释放出来，被体外的接 受器收录，经过电子计算机处理获得图像 .（微波炉）
其解为： x(t) c1 c2 e t
也称衰减常量,
= 1/2也称时间常量
x
品质因数 Q 2
T
三种阻尼振动
临界阻尼 过阻尼
过阻尼： 0
0
临界阻尼： 0
4
欠阻尼：
0
第17章 振 动
t
欠阻尼
二 、受迫振动
1. 受迫振动
振动系统在外界驱动力的作用下振动。
2. 受迫振动的动力学方程
A2
(2)2
h2
(02
2 )2
共振 02 2 2
在弱阻尼即 << 0的情况下，
当 = 0时，
系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振
共振现象 •普遍 •有利有弊
•160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌 •1940年 美国TACOMA海峡大 桥 大风 湍流
小号发出的波足以把玻璃杯振碎
12
差都与起始条件无关。
在线性范围内,振动的频率取决于驱动力的频率。
多个驱动力的效应可以叠加，谐振子运动方程的解遵 从叠加原理。
即
m(
d2 dt 2
2
d dt
02 )
i
xi
i
fi
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第17章 振 动
三、共振
受迫振 动幅度 与相位
A2
(2)2
h2
(02
2 )2
arctan 2
2 0
2
如果无阻尼 是谐振动的形式；
存在阻尼时
仍振动，但 能量会衰减。
2
第17章 振 动
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
0
对应于三种不同的解，将有三种不同的运动形式。 1) 阻尼振动
当阻尼较小，即当 2 02 或 / 0 1
解 x(t) A0e t cos t 0 其中： 02 2
共振速度振幅 :
vm
h
2
v Ac0os(t)
0
x Acos(t )
2 0
0
0, / 2
速度共振时，速度与驱动力 同相，一周期内驱动力总做 正功，此时向系统输入的能 量最大。 (弱阻尼情况下,不
（速度共振曲线）
arctan( 02 2 )
11 区分速度共振、位移共振) 第17章 振 动