高三数学课件：抽象函数
抽象函数的单调性课件
03
波的传播
波动传播的速度和方向可以用抽象函数表示，通过分析这些函数的单调
性，可以了解波动的传播规律和变化趋势。
在其他领域的应用
生物种群数量变化
在生态学中，生物种群数量的变化可以用抽象函数表示，通过分析 这些函数的单调性，可以了解种群数量的增长或减少趋势。
详细描述
利用单调性解不等式的方法主要包括比较法和构造法。比较法是通过比较不等式两边的 函数值来判断不等式的真假，而构造法则是通过构造辅助函数并利用其单调性来解不等
式。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
几何意义
函数图像在区间$I$上从左到右上升。
举例
$f(x) = x^2$在$mathbf{R}$上单 调递增。
单调减函数
定义
如果对于任意$x_1 < x_2$，都 有$f(x_1) geq f(x_2)$，则称函 数$f(x)$在区间$I$上单调递减。
几何意义
函数图像在区间$I$上从左到右 下降。
单调性与函数图像的走势
单调性可以决定函数图像的走势。如果函数在某个区间内单调递增或递减，则该 区间内的函数图像会呈现出上升或下降的趋势。
单调性与不等式的关系
单调性与不等式的解法
单调性可以用来解决一些不等式问题。 例如，利用函数的单调性可以判断不 等式的解集范围。
单调性与不等式的性质
单调性可以用来推导不等式的性质。 例如，如果函数在某个区间内单调递 增，则对于该区间内的任意两个数x1 和x2，有f(x1) < f(x2)，即函数的值 随着自变量的增大而增大。
第讲抽象函数-ppt精选课件
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
考点3 指数函数型抽象函数 例3：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x＞0 时，f(x)>1， 且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)． (1)求证：f(0)＝1； (2)求证：对任意的 x∈R，恒有 f(x)＞0； (3)求证：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)＞1，求 x 的取值范围．
(2)小技巧判断单调性：设x1>x2，x1－x2>0， 则f(x1－x2)>1.f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>f(x2)， 得到函数是增函数．
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
3．满足解析式f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)的指数函数型抽象函数．
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
1．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则 f(x) 是( A )
D．f(x)f(－x)<0
解析：f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
f(1)＝f12＋12＝f12＋f12＝2f12. f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝12f(2)．
f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故选 D.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
高三数学 抽象函数与解题策略课件
证明： f (x) f (20 x) （2）
f (40 x) f[20 (20 x)] f (20 x) f (x) 即f(x)是以40为周期的周期函数
证明：
由（1）式 f (20 x) f (x) 由（2）式 f (x) f (20 x) f (x) f (x) 即f(x)是奇函数
2
证明：（1）令 x1 x2 1 f (1) f (1) f (11) f (1) 0
令 x1 x2 1 f (1) f (1) f[(1) (1)] f (1) 0 f (1) 0
（2）令 x1 x2 x 2f (x) f (x2 ) 令 x1 x2 x 2f (x) f (x2 )
令 x 1, y 1 ，得 f (1) 1
令 x 1，得 f (y 1) f (y) y 2 f (y 1) f (y) y 2
（※）即当y为正整数时 f (y 1) f (y) ，由 f (1) 1 y N，f (y) 0
y N ，f (y 1) f (y) y 2 y 1 即对于一切大于1的正数t恒有 f (t) t
抽象函数与解题策略
例题 : f（x）是R上的奇函数，且在区间 （ ， ）上是减函数，求满足 f（a） f（a2） 0的实数a的取值范围。
抽象函数的定义：
那些没有给出函数的具体解析式， 只给出一些特殊条件或特征的函数 称为抽象函数。
抽象函数往往有它所对应的具体的函数
模型。例如，f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 对应的是指数函数 a x1x2 a x1 a x2； f (x1x2 ) f (x1) f (x2 )对应的是对数函数
4 f (x) 的一个周期
抽象函数课件-2025届高三数学一轮复习
±
1∓
.
磨尖点一 抽象函数求值
磨尖课01 抽象函数
6
典例1 （一题多解）已知函数 的定义域为，且 + + − = ⋅
22
, 1 = 1，则 ∑ =( A
=1
A.−3
B.−2
) .
C.0
D.1
磨尖课01 抽象函数
−∞, −e
1
−2
上单调递减，显然此时0是 的极大值点，故D错误.故选ABC.
磨尖课01 抽象函数
16
对于抽象函数的性质的证明及综合问题，一般需要紧扣题干条件，反复赋值找到 与
− , 1 与 2 的关系.特别注意，在证明单调性时，常构造 1 = 2 + 1 − 2
②求不等式 − 1 > 2 的解集.
19
磨尖课01 抽象函数
20
解析 （法一：赋值法）（1）取1 = 2 = 1，得 1 × 1 = 1 + 1 ，即
1 = 0，
取1 = 2 = −1，得 1 = −1 + −1 = 0，即 −1 = 0，
取1 = ，2 = −1，得 − = + −1 = ，即 是偶函数.
（法二：原函数法）由 + = + + 1，设 = − 1，由 1 = 1，
解得 = 2，所以 = 2 − 1，则 4 = 2 × 4 − 1 = 7.
磨尖点二 抽象函数的性质
磨尖课0题多解）（多选题）（2023 ·新高考Ⅰ卷）已知函数 的定义域为，
即 + 2 + = + 1 ，从而可知 + 2 = − − 1 ，
2016年高考数学总复习课件：第二章 第11讲 抽象函数
第一页，编辑于星期五：二十三点 二十八分。
1．了解函数模型的实际背景．
2．会运用函数的解析式理解和研究函数的性质．
第二页，编辑于星期五：二十三点 二十八分。
抽象函数
解析式
抽象函数 的类型
f(x1＋x2)＝ f(x1)＋f(x2)
正比例函数型
f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2) f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
当 f(x)＝2x 时，上述结论中正确结论的序号是___________．
第二十页，编辑于星期五：二十三点 二十八分。
解析：因为 f(x)＝2x，f(x1＋x2)＝2x1x2 ＝2 x1 ·2x2 ＝f(x1)·f(x2)，
所以①成立，②不成立；显然，函数 f(x)＝2x 单调递增，即
fxx11－－xf2x2>0.故③成立；当 x1>0 时，f(x1)>1，fx1x1－1>0；当 x1<0
第十一页，编辑于星期五：二十三点 二十八分。
(1)证明：对定义域内的任意 x1，x2 都有
f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，令 x1＝x，x2＝－1， 则有 f(－x)＝f(x)＋f(－1)． 又令x1＝x2＝－1，得 2f(－1)＝f(1)． 再令 x1＝x2＝1，得 f(1)＝0，从而 f(－1)＝0. 于是有 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)是偶函数．
答案：①③
第二十三页，编辑于星期五：二十三点 二十八 分。
第十页，编辑于星期五：二十三点 二十八分。
考点 2 对数函数型抽象函数 例 2：已知函数 f(x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}，对定义 域内的任意x1，x2，都有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当 x>1时 f(x)>0， f(2)＝1. (1)求证：f(x)是偶函数； (2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)解不等式 f(2x2－1)<2.
抽象函数全市对外公开课
且对一切x、y∈R，都有f(x-y)=f(x)-f(y)。
求证：（1）函数y=f(x)是R上的增函数；
（2）f(2x-1)+f(1-x)<f(x2+1)。
设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对
一切x>0,y>o都满足
f
x y
f (x)
f ( y)
（1）求f(1)的值；
（2）若f(2)=1，解不等式 f (x 3) f ( 1 ) 2。
x
返回
指数函数的图象和性质
a>1
y
图
0<a<1
y
象
1
y=1
1
y=1
0
x
0
x
(1)定义域R 性 (2)值域是（0，+∞） 质 (3)过点（0，1）即x=0,y=1
(4)在R上是增函数 (4)在R上是减函数
对数函数y=logax的图象和性质：
追问： (1)设f(1)=-1,求f(2)、f(2006) (2)当x<0时，f(x)>0，求证:f ( x)为R上的减函数；
(3)当x<0时，f(x)>0，且f(1)=-1,求f(x)在区间[-3，4]上的最大值和最小值。
有些抽象函数有明显的初等函数的背景，利用 这些初等函数能帮助我们分析和解决问题，尤其 是客观题能很快得到答案，但解答题则要写出合 理的解题步骤。
(2)已知x>1时 f(x)>0，求证： f(x) 为（0，+∞）上的增函数。
指数函数
幂函数
对数函数的图象和性质
。
幂函数(如y=x3)
Hale Waihona Puke y=f(x)的定义域为R，对任意的实数x、y，
2023届高三数学一轮复习+抽象函数专题+课件
合理赋值 常用结论 函数模型
总结归纳常见考查类型和解法 数形结合 合理赋值 常用结论 函数模型
抽象函数与导数结合 ——构造函数的常见类型
例.(丽湖衢三地市检测.12)
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给
出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题。这 类问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解， 但由于其表现形式的抽象性及其性质的隐蔽性和多变 性，学生往往无从下手。而这类问题作为函数内容的 一个难点，却也是近几年来高考全国卷的热点和难点 之一。
3.(丽湖衢三地市检测.12) 4.(丽湖衢三地市检测.15)
①定义域 ②求值 ③解析式 ④值域 ⑤单调性 ⑥奇偶性 ⑦周期性
①合理赋值 函数概念(第一课时) ②转化化归
③数形结合
④利用常用结论
⑤寻找函数模型 函数性质(第二课时)
⑧对称性
⑨结合导数 构造函数(第三课时)
抽象函数与函数概念
1.求定义域问题 2.求值问题
（奇偶性+对称性）
(kx a)
（奇偶性+导数）
常用结论：（单调性）
例1.(2020新高考山东卷.8)
数形结合
例2.(丽湖衢三地市检测.15)
【解析】
常用结论
例3.(2022新高考全国II卷.8)
合理赋值
例3.(2022新高考全国II卷.8)
函数模型
例4.(2022新高考全国I卷.12)
1.(2020新高考山东卷.8)
2.(2020新高考全国II卷.8) 同上
3.(2021新高考全国II卷.8) 4.(2021新高考全国甲卷理.12) 5.(2021新高考全国甲卷文.12)
抽象函数的定义域PPT课件
复习：几类已知函数解析式求定义域
（1）如果f(x)是整式，函数的定义域是—实—数—集R （2）如果f(x)是分式，函数的定义域是使
_分_母__不__等_于__零__的__实_数__的__集_合________ （3）如果f(x)是二次根式，函数的定义域是使 根号内的式子_大__于__或_等__于__零__的_实__数__的__集_合__. _ （4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的， 函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合. （即求各集合的__交__集___）.
思考：1、f(x-1)的定义域是x-1的范围还是
x-1中的x 范围？是x的范围
由定义域的 定义可得
2.f(x)中的x范围与f(x-1)中的x-1范围有什么
关系？ 相同
现在你能否解决开始那个问题呢？
相信自己试一试
已知函数f(x)的定义域为[-2,3]，则f(x-2) 的定义域是__[_0_,5_]____. 分析：（1）f(x-2)的定义域是指谁的范围？
_再_由__f(_x_)的__定_义__域_求__得__f(_h_(x_))_的__定_义__域__
作业
《优化指导》P24练习题源自感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为__g_(x_)_在__x_∈__[a_，__b_]时__的__值__域_．_
关键
1、函数f(g(x))的定义域是_g_(_x_)_中__x__的范围不 是g(x) 的范围
2 、函数f(g(x))中的g(x)范围与__f(_x_)_中__的__x_范__围__ 相同
问题1
如果不知道函数的解析式你能求出其定义 域吗？
高考讲抽象函数课件理ppt
考查抽象函数与其他知识点的综合运用
总结词：难点
详细描述：高考中经常将抽象函数与其他知识点进行综合考 查，如函数与导数、函数与微积分、函数与概率统计等。这 类题目通常难度较大，需要考生具备扎实的基础知识和较强 的综合运用能力。
04
高考中抽象函数的解题策略
熟悉抽象函数的常见题型
函数性质类
考查函数的单调性、奇偶性、周期 性等性质。
注意抽象函数与其他知识点的联系和区别
总结词
融会贯通，举一反三
详细描述
抽象函数往往与其他知识点结合考查，如 函数的零点、不等式的解法等，学生需要 注意它们之间的联系和区别。
详细描述
在复习时，学生可以将抽象函数与其他知 识点进行对比学习，以便更好地理解和掌
握它们之间的联系和区别。
详细描述
此外，学生还需要注意不同题型的特点和 解法，如选择题、填空题和解答题等，以 便在考试中能够灵活应对各种题型。
《高考讲抽象函数课件理ppt》
xx年xx月xx日
contents
目录
• 抽象函数概述 • 抽象函数的常见问题 • 抽象函数在高考中的考查内容 • 高考中抽象函数的解题策略 • 高考中抽象函数的易错点分析 • 高考中抽象函数的备考建议
01
抽象函数概述
抽象函数的定义
抽象函数是指没有给出具体解析式的函数，其定义通常是一 个映射关系，即给定一个输入值，对应一个输出值。
构造函数法
数形结合法
通过构造函数，利用函数的性质解决不等式 或最值等问题。
通过图像和数形结合，将抽象函数问题转化 为直观的几何或图像问题。
注意抽象函数与其他知识点的联系
与不等式的结合
利用函数的单调性等性质解决 不等式的证明和求解问题。
抽象函数ppt课件
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
f (x) 的定义域．
例 2 已知函数 f (x2 2x 2) 的定义域为0，3，求函数 f (x) 的定义域．
解：由 0≤ x ≤3，得1≤ x2 2x 2≤5 ． 令 u x2 2x 2 ，则 f (x2 2x 2) f (u) ，1≤u ≤5 ．
故 f (x) 的定义域为1，5 ．
抽象函数专题讲解
抽象函数初步
• 抽象函数：没有给出具体解析式的函数。 • 在高考中，常以抽象函数为载体，考查函数的定义域、值域、单
调性、奇偶性、周期性及图象问题。
一、抽象函数定义域
1．已知 f (x) 的定义域，求 f g(x) 的定义域
其解法是：若 f (x) 的定义域为 a ≤ x ≤b ，则在 f g(x) 中，a ≤ g(x) ≤b ，从中解得 x
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
谢谢！
请您欣赏
励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
的取值范围即为 f g(x) 的定义域．
例 1.已知函数 f (x) 的定义域为1，5，求 f (3x 5) 的定义域．
抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)
f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(
A.f(0)=0
解析:法一
B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()
f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,
所以 f( )= .
答案:(1)
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课题：2.7抽象函数
设情景一激发兴趣
抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象 而得到
的。
如由正比例函数f(x)=kx(k#O)所具
备的特性：f(x+y)二k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y)可 抽象为f(x+y)二f(x)+f(y) o 写出下列抽象前藪是
特殊函数
抽象函数
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
(填写一个)o y=kx(kzO) f(x+y)=f(x)+f(y)
y = logd x{a > 0,G H 0) f(x+y)=f(x)・ f(y)
f(x-y)=f(x) +f(y)
日、可题引动一加强双基
1、定义在R上的函数f(x)满足：f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x、yWR 都成立，贝l」f(x)—定是() (A)偶函数
(B)奇函数(C)既奇又偶函数(D)非奇非偶函数
分析一(赋值法)令x=y=O,得f(O)+f(O)=f(O) o 所以f(0)=0, 再令y=X 有：f(X)+f(-X)=f(0)=0o 所以f(-X)=-f(X),即f(X)是奇函数。
选(B) o \分析二(借助模型函数分析)符合条件的函数可以为f(x)=kx, 故选(B) o 2、定义在(・®0) U (0,+◎上的奇函数f(x)在上(0,+©是增函数，> f(l)=0,则不等式f(x)>0的的取值范围是______________________ ・
分析一由条件知f(x)在(g0)也是增函数，且f(-l)=-f(x)=Oo所以: 当x>0时f(x)>f(l)得x>l；当xvO时f(x)>f(-l)得-lvxvO，故满足f(x)>0的取值范围是(・1,0) U(l?+a))o
分析二(数形结合)由题中条件可分析画出草图如图，由图象可知x的取值范围是(丄0) U(l,+s) o
方法：对解决抽象函数的客观性问题时，常可采用赋值法、借助模型函数分析法、直接推证法和数形结合法等。
三、自主探究一培养能力
3、设f(x)是定义廻0,+s)上的增函数，且对一切x>0, y>0都满
⑵若心"，解不等式。
解© (1)令x=y>0,则f(l)=f(x)-f(x)=O,即f(l)=Oo 令x =y= 1,则f(l)=f(l)-f(l),即f(l)=Oo
(2)因为f(2)= 1, f(2)=f(4\2)=f(4)-f(2),所以f(4)=2,
又
f[(x+3)x]<f(4)■
所以由得
又f(x)在(0,+s)上是增函数，则: =>0<x< 1
原不等式的解集为{xIOvxvl} o(不等式(组)法)
4、已值函数f(x)定义域为R,当x>0时，f(x)>0,且对一切X、yWR,都<f(x-y)=f(x)-f(y)o 求证：(1) f(x)是R上的增函数；
(2) f(2x-l)+f(l-x)<f(x2+l)o
证明：(1)(定义法):任取X]、x2且X]VX2，
则X2-X]>0,由已矢口f(X2)-f(X])=f(X2-X])>0, 即知
f(x)是R上的增函数。
(2)(分析法)：欲证f(2x-l)+f(l-x)<f(x2+1), 即证f(x2+l)- f(2x-l)-f(l-x)>0, 即证f[(x2+l)- (2x-l)-(l-x)]>0, 即证f(x2-x+l)>0, Mx2-X+1 =(一新+訂。
恒成立，
由条件知f(x2-x+l)>0成立，所以原不等式成立。
四「拓广引申一学会创新 5、设f(x)是定义在R 上甲偶函数，其图象关于直线x=l 对称， ，都有f(x 1+x 2)=f(x 1)*f(x 2),且f(l)=a>0 (2)证明f(x)是周期函数； 2001年全国・22) o 对任意X], X 2q (1)求 (3)记 /(»(*); 1 ? )，求 lim(lnt//7). J a "=f (2n+2n w 分析€)(1)已矢口f(xi+xj=f(xj ・f(xj 及耳1)=">乞 欲求 求解需要开偶次方，先需判断函数值的符 当xe[O, 1]时，令 尼), 欲求 ， 令 号。
(赋值法)
角军:(1)当x e [0,1],令丸]=x 2 乂2弓 [丄 ] ] ] = |,.-./U) = /(!)• /(f) = [/(f)]2 >O, • a = /(1)=[尼『及/(2 0，疋)=勺
分析© (2) f(x)是定义在R上的偶函数of(-x)二f(®f(x)图象关于直线x=l对称<=>f(x)=f(2-x), f(-x)=f(2-x),换元即可。
解© (2)・・・f(x)是偶函数•••f(・x)=f(x)，
Tf(x)图象关于直线x=l对称/• f(x)=f(2-x), A f(-x)=f(2-x),
推理方法求得
H o rz I x r /H x r z H —1 1、厂1\ 厂/1\ 广2 1 \ r / 1 \
耐2 = /(-)=/(-)二 /(〒+「二 /(〒)/(〒)二 /(亍+■
2 In In In In In Ln In
〃字)[心2…M(打•••/(])/ •■“
| 2n 2n In In
故lim (In “Q = lim (In u 2,7) = In 6/(lim -^—) = O
I解：(3)由(2)知勺2n 2n
n ― co n—oo n ― oo O 口
五、归纳总结一不断提高
单调性、奇偶性、周期性、 对称性、、不等式、极限等。
赋值法、模型函数分析法、 数形结合法和直接推证”去等O
具体与抽象思想、一般与特殊 思
想、数形结合思想等。
抽象函数题的解法：探究抽象函数题的必要技巧是赋值、 换元及迭代，常用的方式是解方程（组）、解不等式（组）, 寻找并运用函数的周期性与奇偶性、单调性，数形结合，先 猜后证等等。
考察知识 抽
象
函
数。