重庆市南开中学高2021级高一上半期考试数学
2020-2021学年重庆市南开中学高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年重庆市南开中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.设函数y =√x −1的定义域为M ，集合N ={y|y =x 2,x ∈R}，则M ∩N =( )A. ⌀B. NC. (1,+∞)D. M2.已知命题p ：14≤2x ≤12，命题q ：x +1x ∈[−52,−2]，则下列说法正确的是( )A. p 是q 的充要条件B. p 是q 的充分不必要条件C. p 是q 的必要不充分条件D. p 是q 的既不充分也不必要条件3.设f 0(x)=|x|−10，f n (x)=|f n−1(x)|−1(n ∈N ∗)，则函数y =f 20(x)的零点个数为( )A. 19B. 20C. 31D. 224.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A. 120B. 150C. 180D. 2405.设，，，则的大小关系是( )A.B. C.D.6.已知函数f(x)=sin(2x +φ)(ω>0,|φ|<π2)，将函数y =f(x)的图象向左平移3π8个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y =f(x)的图象( )A. 关于直线x =π8对称 B. 关于点(π8,0)对称 C. 关于直线x =−π16对称D. 关于点(−π16,0)对称7.已知f(x)=ax 3+bx 2+cx 是定义在[a −1,2a]上的奇函数，则a +b =( )A. −13B. 13C. 12D. −128.下列命题正确的是( )A. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则a >b 是cosA <cosB 的充要条件B. 已知p ：1x+1>0，则¬p ：1x+1≤0C. 命题p ：对任意的x ∈R ，x 2+x +1>0，则¬p ：对任意的x ∈R ，x 2+x +1≤0D. 存在实数x ∈R ，使sinx +cosx =π2成立二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=x a图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有()A. f(x)为偶函数B. f(x)为增函数C. 若x>1，则f(x)>1D. 若x1>x2>0，则f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)210.函数f(x)=log a|x−1|在(0,1)上是减函数，那么()A. f(x)在(1,+∞)上递增且无最大值B. f(x)在(1,+∞)上递减且无最小值C. f(x)的图象关于直线x=1对称D. ∃a=2020，满足f(x)在(0,1)上是减函数11.设函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)，已知f(x)在[0,π]有且仅有3个零点，对于下列4个说法正确的是()A. 在(0,π)上存在x1，x2，满足f(x1)−f(x2)=2B. f(x)在(0,π)有且仅有1个最大值点C. f(x)在(0,π2)单调递增D. ω的取值范围是[136,19 6)12.关于函数f(x)=|ln|2−x||，下列描述正确的有()A. 函数f(x)在区间(1,2)上单调递增B. 函数f(x)的图象关于直线x=2对称C. 若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则x1+x2=4D. 方程f(x)=0有且仅有两个不同的实数根三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.幂函数f(x)图象过点A(2,√2)，则f(4)的值为______ ．14.设x，y∈R+，且满足4x+y=40，则lgx+lgy的最大值是______ ．15.若x=π6是函数f(x)=3sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f(x)的最大值是______．16.若对任意的x∈[1,4]，关于x的不等式|x2−ax+4|≤2x恒成立，则实数a的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34，x∈R．(1)设α,β∈[0,π2]，f(α2+π12)=526,f(β2−5π12)=−310，求sin(α−β)的值．(2)△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列；且a+c=6，f(B2)=√34，求△ABC的面积．18.2016年，某厂计划生产某种产品，已知生产该产品的总成本y(万元)与总产量x(吨)之间的关系可表示为y=x210−2x+90．(1)当x=40时，求该产品每吨的生产成本；(2)若该产品每吨的出厂价为6万元，求该厂2016年获得利润的最大值．19.计算：(1)12lg2+√(lg√2)2−lg2+1−3√a9⋅√a−3÷3√a13√a7，其中a>0(2)sin420°cos750°+sin(−690°)cos(−660°)20.计算或解答(12分)(1)计算：(2)求的值域21. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象的一部分如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈(π3,5π6)时，求函数f(x)的值域．22. 已知函数f(x)={−x 3+x2(x>1)alnx(x≤1)．(1)求f(x)在[−1,e](e为自然对数的底数)上的最大值；(2)对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？参考答案及解析1.答案：D解析：本题考查集合的交集的运算，注意运用函数的定义域的求法和值域的求法，考查运算能力，属于基础题．运用函数的定义域的求法和值域的求法，化简集合M，N，再由交集的定义即可得到所求集合．解：函数y=√x−1的定义域为M，可得M={x|x−1≥0}={x|x≥1}，集合N={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}，则M∩N=[1,+∞)=M，故选D．2.答案：B解析：解：∵命题p：14≤2 x≤12，∴命题P：−2≤x≤−1，∵命题q：x+1x ∈[−52,−2]，∴−2≤x≤−12，∴p是q的充分不必要条件，故选B．由题设知：命题p：−2≤x≤−1，命题q：−2≤x≤−12，由此得到p是q的充分不必要条件，本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：C解析：解：依题意，令f0(x)=0，则|x|−10=0，∴x有2个解±10；当f1(x)=0时，即|f0(x)|−1=0，∴|x|−10=±1，即x有4个解：±9、±11；当f2(x)=0时，即|f1(x)|−1=0，∴|f0(x)|−1=±1，即|x|−10=0、±2，∴x有6个解：±8、±10、±12；…当f9(x)=0时，x有20个解：±1、±3、±5、±7、±9、±11、±13、±15、±17、±19；当f10(x)=0时，x有21个解：0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20；当f11(x)=0时，x有22个解：±1、±3、±5、±7、±9、±11、±13、±15、±17、±19、±21；当f12(x)=0时，x有23个解：0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20、±22；∴当0≤n≤9时，y=f n(x)=0时的解的个数为2(n+1)=2n+2个，当n≥10时，y=f n(x)=0时的解的个数为21+(n−10)=11+n个，∴函数y=f20(x)的零点个数为11+20=31个．附：y=f20(x)=0，即f20(x)=|f19(x)|−1=0，即f19(x)=|f18(x)|−1=±1，即f18(x)=|f17(x)|−1=0、2，即f17(x)=|f16(x)|−1=±1、3，即f16(x)=|f15(x)|−1=0、2、4，即f15(x)=|f14(x)|−1=±1、3、5，即f14(x)=|f13(x)|−1=0、2、4、6，即f13(x)=|f12(x)|−1=±1、3、5、7，即f12(x)=|f11(x)|−1=0、2、4、6、8，即f11(x)=|f10(x)|−1=±1、3、5、7、9，即f10(x)=|f9(x)|−1=0、2、4、6、8、10，即f9(x)=|f8(x)|−1=±1、3、5、7、9、11，即f8(x)=|f7(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12，即f7(x)=|f6(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13，即f6(x)=|f5(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12、14，即f5(x)=|f4(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13、15，即f4(x)=|f3(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12、14、16，即f3(x)=|f2(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13、15、17，即f2(x)=|f1(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12、14、16、18，即f1(x)=|f0(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，即f0(x)=|x|−10=0、±2、±4、±6、±8、±10、12、14、16、18、20，解得：x =0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20、±22、±24、±26、±28、±30，∴函数y =f 20(x)的零点个数为31个， 故选：C ．令f n (x)=|f n−1(x)|−1=0，则|f n−1(x)|=1，问题转化为方程|f n−1(x)|=1的根的个数，找出规律：当0≤n ≤9时y =f n (x)=0时的解的个数为2(n +1)=2n +2个、当n ≥10时y =f n (x)=0时的解的个数为21+(n −10)=11+n 个，进而可得结论．本题考查求函数零点的个数，注意条件中的递推关系，属于中档题．4.答案：C解析：解析：本题考查圆锥的表面积，侧面展开图，扇形面积即平面几何知识． 设圆锥底面半径为母线长为侧面展开图扇形的圆心角为；根据条件得，即根据扇形面积公式得故选C5.答案：D解析：试题分析：由对数函数的性质知：，所以答案选．考点：1.指数大小比较；2.对数函数的性质．6.答案：B解析：解：函数f(x)=sin(2x +φ)(ω>0,|φ|<π2)，将函数y =f(x)的图象向左平移3π8个单位后，得到g(x)=sin(2x +3π4+φ)的图象，由于函数g(x)的图象关于y 轴对称，且|φ|<π2)， 所以φ=−π4． 故f(x)=sin(2x −π4).当x =π8时，f(π8)=0，故A 错误，B 正确； 当x =−π16时，f(−π16)=sin(−3π8)≠1，故C 、D 错误．故选：B ．直接利用函数的平移变换求出函数f(x)的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题，7.答案：B解析：根据奇函数的定义域关于原点对称，可求出a值，进而根据奇函数满足f(−x)=−f(x)，可求出b值，进而得到答案．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中熟练掌握奇函数的定义域关于原点对称，满足f(−x)=−f(x)，是解答的关键．解：∵奇函数f(x)=ax3+bx2+cx的定义域[a−1,2a]关于原点对称，故a−1+2a=0，，解得：a=13又∵奇函数满足f(−x)=−f(x)，即−ax3+bx2−cx=−(ax3+bx2+cx)=−ax3−bx2−cx，∴b=0，∴a+b=1，3故选：B8.答案：A解析：本题考查充要条件的性质和应用，解题时要注意余弦函数单调性的合理运用，全称命题与特称命题的相互转化．要注意两点：1)全称命题变为特称命题；2)只对结论进行否定．选项A因为A、B是三角形的内角，所以A、B∈(0,π)，在(0,π)上，y=cosx是减函数．由此知△ABC 中，“A>B”⇔“cosA<cosB”，即可得答案；选项B，根据命题的否定求解可知不正确；选项C，根据命题“对任意的x∈R，x2+x+1>0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．>√2，从而可得结论．选项D，sinx+cosx的最大值为√2，而π2解：对于A，在△ABC中，a>b⇔A>B⇔cosA<cosB，可得a>b是cosA<cosB的充要条件，A正确．对于B，p：x>−1，则¬p：x≤−1，而11+x≤0的解集是x<−1，B不正确；对于C，命题p：对任意的x∈R，x2+x+1>0，则¬p：存在x∈R，x2+x+1≤0，C不正确；对于D，sinx+cosx=√2sin(x+45°)最大值为√2，∵π2>√2，∴D不正确．故选：A．9.答案：BCD解析：本题考查幂函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的性质，属于中档题．根据题意，将(9,3)代入函数的解析式，求出a的值，即可得函数的解析式，由此依次分析选项，即可得答案．解：根据题意，函数f(x)=x a图象经过点(9,3)，则3=9a，则a=12，则f(x)=x12=√x，据此分析选项：对于A，f(x)是非奇非偶函数，A错误，对于B，f(x)是增函数，B正确，对于C，若x>1，必有f(x)=√x>1，C正确，对于D，f(x)=√x，若x1>x2>0，f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2，等价于√x1+x22>√x1+√x22，等价于x1+x22>x1+x2+2√x1x24，等价于x1+x2>2√x1x2，成立，D正确．故选：BCD．10.答案：ACD解析：解：∵函数f(x)=log a|x−1|在(0,1)上是减函数，∴f(x)=log a(1−x)在(0,1)上是减函数，而y=1−x是减函数，则a>1，∴当x∈(1,+∞)时，f(x)=log a|x−1|=log a(x−1)，y=x−1是增函数，而a>1，则f(x)在(1,+∞)上单调递增，且无最大值，故A正确，B错误，f(2−x)=log a |2−x −1|=log a |x −1|=f(x)， ∴f(x)的图象关于直线x =1对称，故C 正确；由a >1可知，∃a =2020，满足f(x)在(0,1)上是减函数，故D 正确． 故选：ACD ．先根据函数f(x)=log a |x −1|在(0,1)上是减函数，求出a 的范围，然后根据复合函数的单调性可知f(x)在(1,+∞)上的单调性和最值，从而判断选项A ，B ；计算f(2−x)=f(x)即可判断选项C ；由a 的取值范围即可判断选项D ．本题主要考查对数函数图象与性质，考查复合函数的单调性，属于中档题．11.答案：AD解析：解：画出大致图象如下图，当x =0时y =sin(−π6)=−12而ω>0， 所以x >0时小区间递增， 函数在[0,π]仅有3个零点时，则π的位置在C ～D 之间(包括C ，不包括D)， 令f(x)=sin(ωx −π6)=0，则ωx −π6=kπ得，x =(π6+kπ)⋅1ω (k ∈z)，y 轴右侧第一个点横坐标为π6ω，周期T =2πω，所以π6ω+T ≤π<π6ω+32T ⇒π6ω+2πω≤π<π6ω+32⋅2πω⇒136≤ω<196，所以D 正确．在[0,π]区间上，函数达到最大值和最小值，所以存在x 1，x 2，满足f(x 1)−f(x 2)=2，所以A 正确， 由大致图象得，可能有两个最大值，B 不一定正确； 因为ω最小值为136，所以0<x <π2时，−π6<ωx −π6<11π12∉(−π2,π2)，所以x ∈(0,π2)，函数f(x)不单调递增， 所以C 不正确． 故选：AD ．T+|OA|]，再由题意根据在区间[0,π]有3个零点画出大致图象，可得区间长度π介于周期[T+|OA|,32用ω表示周期，得ω的范围．本题考查三角函数图象及周期的计算，由有且仅有3个零点来得区间长度π的大致位置，进而解ω的)单调性．此题属于中难档题．范围，再判断区间(0,π212.答案：ABD解析：解：根据函数f(x)=|ln|2−x||，画出图象得：根据函数的图象，对于A：函数的单调递增区间为(1,2)和(3,+∞)，故A正确；对于B：函数的图象关于x=2对称，故B正确；对于C：当y=m(m>0)，函数的图象有四个交点，满足x1+x2+x3+x4=4，但是x1+x2=4不一定存在，故C错误；对于D：根据函数的图象，方程f(x)=0有且仅有两个不同的实数根，即x=1或3，故D正确．故选：ABD．直接利用函数的图象和函数的性质，单调性，对称性和函数的零点和方程的根的应用判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函授的单调性函数的图象和零点及方程的根，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.答案：2解析：解：设幂函数f(x)=x a∵f(x)的图象过点(2,√2)∴2a=√2=212∴a=12∴f(x)=x12∴f(4)=412=2故答案为：2先由已知条件求幂函数的解析式，再求f(4)本题考查求幂函数的解析式和函数值，要注意根式与指数幂的互化．属简单题14.答案：2解析：解：4x⋅y≤(4x+y2)2=400当且仅当4x=y=20时取“=”∴xy≤100，∴lgx+lgy=lgxy≤lg100=2．故答案为：2利用对数的运算法则转化成真数为乘积形式，然后利用基本不等式求最值即可．本题主要主要考查了对数的运算法则，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．．15.答案：2√213解析：解：∵f(x)=3sin2x+acos2x=√9+a2sin(2x+θ)(其中tanθ=a3)，又x=π6是函数的一条对称轴，∴2×π6+θ=π2+kπ，即θ=π6+kπ，k∈Z．由a=3tanθ=3tan(π6+kπ)=tanπ6=√33，得√9+a2=√9+13=2√213．∴函数f(x)的最大值是2√213．故答案为：2√213．根据条件化简f(x)，然后由已知求出θ得到a值，则函数的最值可求．本题考查三角函数值的恒等变换应用，正弦型函数的图象和性质，是中档题．16.答案：[3,6]解析：本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了构造法与转化思想及函数思想，是中档题．去掉绝对值，不等式化为x +4x −2≤a ≤x +4x +2；设f(x)=x +4x −2，x ∈[1,4]，求出f(x)的最大值；设g(x)=x +4x +2，x ∈[1,4]，求出g(x)的最小值；从而得出实数a 的取值范围．解：不等式|x 2−ax +4|≤2x 化为−2x ≤x 2−ax +4≤2x ，即−x 2−2x −4≤−ax ≤−x 2+2x −4；由x ∈[1,4]，知−x <0，所以x +4x −2≤a ≤x +4x +2；设f(x)=x +4x −2，x ∈[1,4]，则f(x)的最大值为f(4)=4+1−2=3；设g(x)=x +4x +2，x ∈[1,4]，则g(x)的最小值为g(2)=2+2+2=6；所以实数a 的取值范围是3≤a ≤6．故答案为：[3,6]．17.答案：解：(1)f(x)=sinx(12cosx −√32sinx)+√34=14sin2x −√32⋅1−cos2x 2+√34=12sin(2x +π3)， ∴f(α2+π12)=12sin(α+π2)=12sinα=526， 即sinα=513；f(β2−5π12)=12sin(β−π2)=−12cosβ=−310，即sinβ=35，∵α，β∈[0,π2]，∴cosα=1213，cosβ=45，则sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=1665；(2)∵f(B 2)=12sin(B +π3)=√34，即sin(B +π3)=√32， ∴B +π3=2π3，即B =π3，又a、b、c成等比数列，∴b2=ac，由余弦定理知12=a2+c2−b22ac=(a+c)2−3ac2ac=36−3ac2ac，即ac=9，则△ABC的面积S=12acsinB=9√34．解析：(1)f(x)解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，确定出sinα与sinβ的值，进而求出cosα与cosβ的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；(2)由f(B2)=√34求出B的度数，由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质得到b2=ac，利用余弦定理列出关系式，将cosB以及b2=ac代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，等比数列的性质，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18.答案：解：(1)该产品每吨的生产成本yx =x10+90x−2，当x=40时，yx =4010+9040−2=4.25万元；(2)L=6x−(x210−2x+90)=−0.1(x−40)2+70，∴x=40万元时，最大利润为70万元．解析：(1)该产品每吨的生产成本yx =x10+90x−2，x=40代入，即可求该产品每吨的生产成本；(2)利润是销售额减成本，利用配方法，即可求该厂2016年获得利润的最大值．本题考查了利润函数模型的应用，考查学生的计算能力，正确建立函数关系式是关键．19.答案：解：(1)原式=lg√2+√(lg√2−1)2−3a92a−32÷3a132a−72=lg√2+1−lg√2−√a33÷√a33=1−1=0．(2)sin420°cos750°+sin(−690°)cos(−660°)=sin60°⋅cos30°+sin30°cos60°=√32⋅√32+12⋅12=1．解析：(1)利用对数、分数指数幂的运算性质，化简所给的式子，可得结果．(2)由题意利用诱导公式求得所给式子的值．本题主要考查对数、分数指数幂的运算性质，诱导公式的应用，属于基础题．20.答案：(1)；(2)(−1,1)．解析：解：(1)原式=；(2)由， 得，解得−1<y <1． 故 的值域为(−1,1)．21.答案：解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象的一部分，可得A =2， 再根据34⋅2πω=5π12−(−π3)，∴ω=2． 结合五点法作图可得2×5π12+φ=π2，∴φ=−π3，故f(x)=2sin(2x −π3).(2)当x ∈(π3,5π6)时，2x −π3∈(π3,4π3)，sin(2x −π3)∈(−√32,1]，f(x)=2sin(2x −π3)∈(−√3,2]， 即f(x)的值域为(−√3,2]．解析：(1)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．(2)由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．22.答案：解：(Ⅰ)因为f(x)=f(x)={x 3+x 2(x <1)alnx(x ≤1)1当−1≤x <1时，f′(x)=−x(3x −2)，解f′(x)>0得0<x <23：解f′(x)<0得−1<x <0或23<x <1∴f(x)在(−1,0)和(23,1)上单减，在(0,23)上单增，从而f(x)在x =23处取得极大值f 23)=427又∵f(−1)=2，f(1)=0，∴f(x)在[−1,1)上的最大值为2．当1≤x ≤e 时，f(x)=alnx ，当a ≤0时，f(x)≤0；当a >0时，f(x)在[1,e]单调递增；∴f(x)在[1,e]上的最大值为a ．∴当a ≥2时，f(x)在[−1,e]上的最大值为a ；当a <2时，f(x)在[−1,e]上的最大值为2．(Ⅱ)假设曲线y =f(x)上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧，不妨设P(t,f(t))(t >0)，则Q(−t,t 3+t 2)，且t ≠1∵△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即−t 2+f(t)(t 3+t 2)=0(∗) 是否存在P ，Q 等价于方程(∗)是否有解．①若0<t <1，则f(x)=−t 3+t 2，代入方程(∗)得：−t 2+(−t 3+t 2)(t 3+t 2)=0， 即：t 4−t 2+1=0，而此方程无实数解，②当t >1时，∴f(t)=alnt ，代入方程(∗)得：−t 2+alnt ⋅(t 3+t 2)=0，即：1a =(t +1)lnt设ℎ(x)=(x +1)lnx(x ≥1)，则ℎ′(x)=lnx +1x +1>0在[1,+∞)恒成立．∴ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增，从而ℎ(x)≥ℎ(1)=0，则ℎ(x)的值域为[0,+∞)．∴当a >0时，方1a =(t +1)lnt 有解，即方程(∗)有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线y =f(x)上总存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．解析：(I)由f(x)={−x 3+x 2,x <1alnx,x ≥1知，当−1≤x <1时，f′(x)=−3x 2+2x =−3x(x −23)，令f′(x)=0得x =0或x =23，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况列表知f(x)在[−1,1)上的最大值为2.当1≤x≤2时，f(x)=alnx.当a≤0时，f(x)≤0，f(x)最大值为0；当a>0时，f(x)在[1,e]上单调递增．当a≤2时，f(x)在区间[−1,e]上的最大值为2；当a>2时，f(x)在区间[−1,e]上的最大值为a．(II)假设曲线y=f(x)上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P(t,f(t))(t>0)，则Q(−t,t3+t2)，显然t≠1.由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．本题考查导数的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．解答关键是利用导数求闭区间上函数的最值．。
重庆市2021-2022学年高一上学期期末数学试题含答案
西南2021—2022学年度上期期末考试高一数学试题（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“πππ,,Z22x k k k π⎛⎫∀∈-+∈ ⎪⎝⎭，都有tan 0x ≠”的否定是（）A.πππ,π,Z 22x k k k ⎛⎫∀∉-+∈ ⎪⎝⎭,都有tan 0x ≠B.πππ,π,Z 22x k k k ⎛⎫∃∉-+∈ ⎪⎝⎭，使得tan 0x =C.πππ,π,Z 22x k k k ⎛⎫∀∈-+∈ ⎪⎝⎭，都有tan 0x =D.πππ,π,Z 2x k k k ⎛⎫∃∈-+∈ ⎪⎝⎭,使得tan 0x =【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定原则对命题进行否定.【详解】tan 0x ≠的否定为tan 0x =，所以全称命题的否定为：πππ,π,Z 22x k k k ⎛⎫∃∈-+∈ ⎪⎝⎭,使得tan 0x =.故选：D2.若半径为2的扇形的弧长为4π3，则该扇形的圆心角所对的弦长为（）A.B.2C. D.23π【答案】C 【解析】【分析】根据条件求出圆心角，借助三角函数求出弦长.【详解】由题意弧长4π3r α=，半径为2，所以扇形的圆心角2π3ABC ∠=，如图，过点B 作BF AC ⊥，所以π3ABF ∠=，又2AB =，所以π2sin 3AF =⨯=所以扇形的圆心角所对的弦长2AC AF ==故选：C3.下列对数值比较大小正确的是（）A. 2.1 2.1log 0.4log 0.3<B.11221log 5log 5> C.3πlog 2log 4< D.20.2log 3log 3<【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数的运算法则和单调性逐项判断即可.【详解】对于A ，由函数 2.1log y x =在()0,∞+单调递增，所以 2.1 2.1log 0.4log 0.3>，A 错误；对于B ，函数12log y x =在()0,∞+单调递减，所以11221log 5log 5<，B 错误；对于C ，由33ππlog 2log 143πlog log <=<=，C 正确；对于D ，函数20.2log 30,log 30><，所以20.2log 3log 3>，D 错误；故选：C4.函数ln(1)y x =--的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】ln(1)0y x =--≤恒成立，排除CD ，根据定义域排除A ，得到答案.【详解】ln(1)0y x =--≤恒成立，排除CD ，ln(1)y x =--的定义域为()1,+∞，排除A.故选：B.5.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边重合于x 轴的非负半轴，终边经过点(1,2)P -,则sin cos 2cos 3sin αααα+=-（）A.18-B.34-C.17D.18【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的定义得出sin α，cos α，即可代入sin cos 2cos 3sin αααα+-求解得出答案.【详解】由三角函数定义得：sin 5α==，cos 5α==-，则sin cos 12cos 3sin 85255555552555αααα+=--⎭-⎝，故选：A.6.南非在2021年11月9日检测出首例新冠病毒变异毒株“奥密克戎”，短短一周时间，从11月10日新增感染300人到11月16日新增感染1万人，若新增感染人数y 与时间（第x 天）可以表示为函数xy k a =⋅（,k a为正实数），则第四天新增感染人数约为（）（参考数据： 1.7≈≈）A.5485B.4018C.2143D.1765【答案】D【解析】【分析】代入数据计算61003a =，得到43k a k a a ⋅=⋅⋅=.【详解】x y k a =⋅，则300k a =⋅，710000k a =⋅，解得61003a =，第四天新增感染人数约为433001765k a k a a ⋅=⋅⋅=⨯=.故选：D7.已知ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若满足1sin 3A =，tan C =，那么()tan 22A C +=（）A.23-B.C.-D.17【答案】C 【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出tan A 的值，再利用两角和的正切公式和二倍角公式即可求解.【详解】因为tan 0C =<，所以在ABC 中，角A 为锐角，由1sin 3A =可得：22cos 3A ==，则sin tan cos 4A A A ===，所以tan tan 2tan()1tan tan 2A C A C A C ++==--⋅，则22tan()tan(22)1tan ()A C A C A C ++==--+，故选：C .8.已知函数()()4sin π,0111,12x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，若函数2()2()2y f x af x a =++-在[0,)+∞有6个不同零点，则实数a 的取值范围是（）A.18(,3),27⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭B.18,(1,)7⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C.18(3,2)1,7⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(,2)(1,)-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】画出函数图像，设2220t at a ++-=，根据函数图像考虑方程有两个解和一个解两种情况，再根据函数图像讨论()t f x =的解的情况，计算得到答案.【详解】当12x <≤时，()()()112sin π12f x f x x =-=-，当23x <≤时，()()()()1112sin π224f x f x f x x =-=-=-，L ，画出函数图像，如图所示：函数2()2()2y f x af x a =++-在[0,)+∞有6个不同零点有以下四种可能：①方程2220t at a ++-=有两个不同的实根1t 和2t 且方程1()t f x =有两个根，且方程2()t f x =有四个不同的实根，由函数()f x 的图像知，1(2,4)t ∈且2(1,2)t ∈，令2()22t t at a ϕ=++-，则需()()()1122024420416820a a a a a a ϕϕϕ⎧=++->⎪=++-<⎨⎪=++->⎩，解得1827a -<<-；②方程2220t at a ++-=有两个不同的实根1t 和2t 且方程1()t f x =有零个根，且方程2()t f x =有六个不同的实根，函数()f x 的图像知，1(,0)(4,)t ∈-∞+∞ 且21,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，由于112024a a ϕ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，则需()()11220416820a a a a ϕϕ⎧=++-<⎪⎨=++-<⎪⎩，解得3a <-；③方程2220t at a ++-=有两个不同的实根1t 和2t 且方程1()t f x =有1个根，且方程2()t f x =有5个实根成立，则需()()11220416820a a a a ϕϕ⎧=++-=⎪⎨=++-=⎪⎩，此时无解；④方程2220t at a ++-=有且只有1个根0t 且方程0()t f x =有6个根，计算24480a a ∆=+-=得2a =-或1a =，02t =或01t =-，不合题意；综上所述：1827a -<<-或3a <-.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图像，根据图像分类讨论是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列判断正确的是（）A.若1sin 2β=，则π6β=B.若tan 24πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么1tan 3β=C.若55cos π1213β⎛⎫+=⎪⎝⎭，则5sin 1213πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D.角β为第三或第四象限角的充要条件是cos tan 0ββ⋅<【答案】BCD 【解析】【分析】举反例得到A 错误，根据正切的和差公式计算得到B 正确，根据诱导公式得到C 正确，考虑充分性和必要性得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：5π1sin 62=，错误；对选项B ：tan 1tan 21π4tan βββ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，解得1tan 3β=，正确；对选项C ：π5sin sin cos 122121213π5π5πβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确；对选项D ：当β为第三象限角，cos 0β<，tan 0β>，cos tan 0ββ⋅<，当β为第四象限角，cos 0β>，tan 0β<，cos tan 0ββ⋅<；若cos tan 0ββ⋅<，当cos 0β<，tan 0β>时，β为第三象限角，当cos 0β>，tan 0β<时，β为第四象限角，正确；故选：BCD.10.已知函数1πsin 2323y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列关于此函数的描述准确无误的有（）A.函数的最小正周期为πB.函数的一个单调增区间为5π11π,1212⎛⎫⎪⎝⎭C.函数的一个对称中心是5π,06⎛⎫⎪⎝⎭D.函数的一条对称轴是11π12x =【答案】AD 【解析】【分析】根据()sin y A x B ωϕ=++的图象与性质，对选项一一验证即可.【详解】对于选项A ：函数1πsin 2323y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；对于选项B ：函数1πsin 2323y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调递增区间满足：πππ2π22π,232k x k k -≤-≤+∈Z ，解得：π5πππ1212k x k -≤≤+，取0k =，得π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，取1k =，得11π17π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数1πsin 2323y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，11π17π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增即在5π11π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；对于选项C ：函数1πsin 2323y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的对称中心纵坐标为3-，故C 错误；对于选项D ：函数1πsin 2323y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的对称轴满足：ππ2π,32x k k -=+∈Z ，解得：π5π212k x =+，取1k =，得1112π=x ，故D 正确.故选：AD.11.若正实数p ，q 满足3p q +=，则（）A.pq的最大值是94B.C.21p q +的最小值是13+ D.33p q +的最小值是274【答案】ACD 【解析】【分析】举反例得到B 错误，直接利用均值不等式得到A 正确，变换()211213p q p q p q ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开计算得到C 正确，确定33279pq p q =-+，利用均值不等式计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：3p q +=≥，故94pq ≤，当且仅当32p q ==时等号成立，正确；对选项B ：取32p q ===，错误；对选项C ：()211211213313333p q p q p q p q q p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当且仅当2p q q p=，即6p =-3q =-时等号成立，正确；对选项D ：()()233927327927944p p q p q pq p q q ⎡⎤=++-=-≥-⨯=⎣+⎦，当且仅当32p q ==时等号成立，正确；故选：ACD12.已知函数(21)2y f x =+-为定义在R 上的奇函数，又函数21()x g x x-=,且()f x 与()g x 的函数图象恰好有2022个不同的交点()()()111222202220222022,,,,,,P x y P x y P x y ，则下列叙述中正确的是（）A.()f x 的图象关于(2,2)对称B.()f x 的图象关于(1,2)对称C.1220222022x x x +++=D.1220222022y y y +++= 【答案】BC 【解析】【分析】由函数(21)2y f x =+-为定义在R 上的奇函数，可得()y f x =的图象关于(1,2)对称，判断A ，B ；由函数()g x 的图象的对称性，得到两函数交点的对称性，可计算C ，D.【详解】因为函数(21)2y f x =+-为定义在R 上的奇函数，所以(21)2(21)2f x f x -+-=-++，即(21)(21)4f x f x -+++=所以()y f x =的图象关于(1,2)对称，故A 错误；B 正确；又函数211()211x g x x x -==+--的图象也关于(1,2)对称，所以()f x 与()g x 的函数的交点关于(1,2)对称，不妨设122022x x x <<< ，所以1202222021101110122,2,,2x x x x x x +=+=+= ，1202222021101110124,4,,4y y y y y y +=+=+= ，所以1220222022x x x +++= ，C 正确；1220224044y y y +++= ，D 错误.故选：BC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.sin12sin18cos12cos18︒︒-︒︒=__________．【答案】【解析】【分析】直接根据两角和的余弦公式求解即可【详解】()sin12sin18cos12cos18cos 1218cos302︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-，故答案为：2.14.函数sin cos 2y x x =++的值域是__________．【答案】22⎡+⎣【解析】【分析】利用辅助角公式进行化简，进而求出函数的值域.【详解】由题πsin cos 2cos 22224y x x x x x ⎫⎛⎫=++=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，因为[]πsin 1,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以π2224y x ⎛⎫⎡=++∈+ ⎪⎣⎝⎭.故答案为：22⎡+⎣.15.函数()2cos )f x x =+-的定义域为__________．【答案】π11π,66⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.【详解】函数()2cos )f x x =+-有意义，则需(2π)0(2π)02cos 0cos 2x x x x x x -≥⎧-≥⎧⎪⎪⇒⎨><⎪⎩，由(2π)002πx x x -≥⇒≤≤，π11πcos 2π2π,Z 266x k x k k <⇒+<<+∈，则π11π66x <<，所以函数定义域为π11π,66⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：π11π,66⎛⎫⎪⎝⎭16.己知实数m5log 1m =-，且函数()log 1m a f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[1,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．【答案】()0,1【解析】【分析】先根据已知条件得01m <<；再根据复合函数单调性的判断方法及对数函数中真数大于零列出不等式组求解即可.5log 1m =-，知5log 0m <，则01m <<，所以函数log m y x =在()0,∞+上单调递减.令1at x=-因为函数()log 1m a f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[1,)+∞上单调递减，所以1a t x=-在[1,)+∞单调递增且函数值恒大于零，故0(1)10a t a >⎧⎨=->⎩，解得01a <<所以实数a 的取值范围是()0,1．故答案为：()0,1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知关于x的方程2100x m -+=的两个不等实根分别是sin θ和cos θ（1）求m 的值；（2）求2sin tan cos tan 1cos sin θθθθθθ⋅+--的值．【答案】（1）3m =-（2）105【解析】【分析】（1）根据韦达定理得到根与系数的关系，再利用三角恒等变换计算得到答案.（2）化简得到2sin tan cos tan 1cos si sin cos n θθθθθθθθ+-+⋅=-，计算得到答案.【小问1详解】40400m ∆=->，即1m <，sin cos θθ+=，sin cos 10m θθ⋅=，()2212sin cos 5sin cos θθθθ+⋅=+=，从而3sin cos 10θθ⋅=-，则3m =-；【小问2详解】2222sin sin sin tan cos cos sin cos cos sin tan 1cos sin cos sin sin cos cos sin 1cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅⋅+=+=+------22sin cos sin c 5i o n s 10s cos θθθθθθ=-+=-=.18.已知函数2()(2)f x x k x k =++-，设集合133x A x⎧=<<⎨⎩，集合{}()0B x f x =<．（1）若B =∅，求实数k 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数k 的取值范围．【答案】（1）44⎡---+⎣（2）5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）确定2()(2)0f x x k x k =++-≥恒成立，()2240k k ∆=++≤，解得答案.（2）确定11,2A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，A B ⊆得到()10210f f ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≤⎩，解得答案.【小问1详解】{}()0B x f x =<=∅，则2()(2)0f x x k x k =++-≥恒成立，()2240k k ∆=++≤，解得44k --≤≤-+44k ⎡---+⎣∈.【小问2详解】1131,32x A x ⎧⎛⎫=<<=-⎨ ⎪⎝⎭⎩，“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则A B ⊆，故()111102421120f k k f k k ⎧⎛⎫=++-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-=---≤⎩，解得52k ≥，即5,2k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.19.已知函数2()4cos sin(π)2sin cos )2x f x x x x x =⋅++--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在π2π,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的值域，并求出()f x 取最大值时相应x 的值．【答案】（1）2πT =（2）值域为(4]-，π6x =-时，最大值4y =【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式以及辅助角公式化简()π4sin 3f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，利用周期公式即可得周期；（2）由x 的范围可得π3x -的范围，再利用正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】1cos()4(sin )sin 22x f x x x x +=⨯⨯-++2sin (1cos )sin 22sin x x x x x x=-+++=-+π4sin 3x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2πT ∴=【小问2详解】π2π23x -≤< ，5πππ633x ∴-≤-<，π1sin 32x ⎛⎫∴-≤-< ⎪⎝⎭，π4sin 43x ⎛⎫∴-<--≤ ⎪⎝⎭，故值域为(4]-，当4y =时，πsin 13x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴ππ2π32x k -=-+，Z k ∈，即π2π6x k =-，Z k ∈，又π2π23x -≤<，π6x ∴=-.20.已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）的图象过点1,29⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）若()(1)(1)g x f x f x =--+，求()g x 的定义域并判断其奇偶性；（2）解关于x 的不等式()1420x x g +->．【答案】（1）定义域(1,1)-，()g x 为奇函数（2）(,0)(0,1)-∞ 【解析】【分析】（1）将点代入函数解得3a =，确定函数定义域，计算()()0g x g x -+=，得到答案.（2）确定()g x 在(1,1)-上是减函数，(0)0g =得到11420x x +-<-<，解得答案.【小问1详解】将1,29⎛⎫- ⎪⎝⎭代入函数得12log 9a -=，219a -=，解得3a =，3()log f x x =，33()log (1)log (1)g x x x =-++，故1010x x ->⎧⎨+>⎩，得11x -<<，31()log 1x g x x -=+，又33311()()log log log 1011x x g x g x x x+--+=+==-+，故函数定义域(1,1)-，()g x 为奇函数；【小问2详解】33(1)22()log log 111x g x x x -++⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，()g x 在(1,1)-上是减函数，(0)0g =，()1420x x g +->，即()()1420x x g g +->，故11420x x +-<-<，设2x t =，则2120t t -<-<，解得02t <<且1t ≠，故(,0)(0,1)x ∈-∞ .21.已知π3sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0πα<<，（1）求sin 2α的值；（2）若3π5sin 413⎛⎫+= ⎪⎝⎭β，π04β<<，求sin()αβ+的值；（3）若sin cos cos 918π18ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求tan(2)αθ+的值．【答案】（1）7sin 225α=（2）sin()αβ+3365=（3）672tan(2)429αθ++=【解析】【分析】（1）展开得到cos sin 5αα-=，平方，计算得到答案.（2）确定ππ044α<-<，计算4cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，3π12cos 413⎛⎫+=- ⎪⎝⎭β，根据3πsin()cos 4π4αββα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，展开计算即可.（3）化简得到sin coscos sin 2cos cos 9918πππθθθ+=，计算tan θ=，再利用和差公式计算得到答案.【小问1详解】3sin cos 4225πααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故32cos sin 5αα-=，()2cos sin 1sin 22518ααα-=-=，所以7sin 225α=；【小问2详解】0πα<<，3π444ππα-<-<，sin 04πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故ππ044α<-<，故4cos 45πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，又π04β<<，3π3ππ44<+<β，3π12cos 413β⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，3πsin()cos ()cos 244ππαβαββα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++=-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦3π3π12453cos cos sin si 55ππ4336n 44413513βαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+-=--⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎣⎦；【小问3详解】cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 181818181818ππππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos cos 18πθ=，sin sin cos cos sin 99πππ9θθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，故sin cos cos sin 2cos cos 9918πππθθθ+=，2cos sin 2cossin 6991899tan cos c ππππππππos c 99πos 9θ⎛⎫--- ⎪⎝⎭====，ππ044α<-<，故π04α<<，π022α<<，24cos 225α==，sin 27tan 2cos 224ααα==，()716850467224tan 242942924αθ++++====.22.已知21()21x x a f x ⋅-=+为奇函数．（1）求a 的值；（2）若()2x f x k -<⋅对[1,1]x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围；（3）设()sin 21π6g x m x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若1[0,1]x ∀∈，总2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1a =（2）23k >（3）2m ≥或1m ≤-【解析】【分析】（1）根据1(0)011a f -==+得到1a =，再验证得到答案.（2）变换()22121x x xk ->+，构造新函数，根据函数的单调性计算最值得到答案.（3）根据函数单调性计算()110,3f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，考虑0m >和0m <两种情况，根据值域的包含关系计算得到答案.【小问1详解】()f x 的定义域为R ，且为奇函数，则1(0)011a f -==+，从而1a =，21()21x x f x -=+，()2112()2121x xx x f x f x -----===-++，故函数为奇函数，满足；【小问2详解】21()21x x f x -=+，得()22121x x x k ->+在[1,1]x ∈-上恒成立，设()221()21x x x h x -=+，令2x t =，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)2()(1)311t t h t t t t -==++-++，函数单调递增，()()max 223h t h ==，故23k >；【小问3详解】当[0,1]x ∈时，212()12121x x x f x -==-++,函数单调递增，故()110,3f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2π02x ≤≤时，25π2666ππx -≤-≤，故21sin 212π2x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，由题意0m ≠，①当0m >，()211,12g x m m ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，有110,1,132m m ⎡⎤⎡⎤⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则1131102m m ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩，得2m ≥；②当0m <时，1()1,12g x m m ⎡⎤∈+-+⎢⎥⎣⎦，有110,1,132m m ⎡⎤⎡⎤⊆+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则1112310m m ⎧-+≥⎪⎨⎪+≤⎩，解得1m ≤-；综上所述：2m ≥或1m ≤-.。
重庆市南开中学高一(上)期末数学模拟试卷 (5)
重庆市南开中学高一（上）期末数学模拟试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}，则A ∩（∁U B）为（）A．{1，3}B．{0，2}C．{0，1，3}D．{2}2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（0，1）D．（0，+∞）3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．（5分）如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C． D．5．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．6．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺9．（5分）过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0 10．（5分）与直线x﹣y﹣4=0和圆x2+y2+2x﹣2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y+1）2=4 C．（x﹣1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）=411．（5分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y﹣4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A．3x+y﹣6=0 B．x﹣3y+2=0 C．x+3y﹣2=0 D．3x﹣y+2=0 12．（5分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a 的值为．14．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．（12分）△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x ﹣3y+1=0，x+y=1，顶点A（1，2），求BC边所在的直线方程．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=．（1）求证：AB⊥平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．21．（12分）如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角．（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O﹣AC﹣O1的余弦值．22．（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}，则A ∩（∁U B）为（）A．{1，3}B．{0，2}C．{0，1，3}D．{2}【解答】解：∵全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}={0，2}，∴C U B={x|x∈Z，且x≠0，且x≠2}，∴A∩C U B={1，3}．故选A．2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（0，1）D．（0，+∞）【解答】解：函数的定义域为：{x|}，解得{x|0＜x＜1}，故选C．3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．4．（5分）如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C． D．【解答】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2A'B'=2，下底为BC=1+，∴．故选：A．5．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D．6．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π【解答】解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由题意，在右面补一个正方体，如图：∵AB的中点M，取C1E的中点P，连接CP，可得：CP∥B1M，∴∠NCP是异面直线B1M与CN所成的角的平面角．连接NP，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为a．可得：CN=CP=．NP==．∵△NCP的三条边满足：CN2+CP2=NP2．∴∠NCP=90°．即异面直线B1M与CN所成的角是90°．故选：D．8．（5分）我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺【解答】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5×2=10（尺），因此葛藤长=26（尺）．故选：C．9．（5分）过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0 【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：A．10．（5分）与直线x﹣y﹣4=0和圆x2+y2+2x﹣2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y+1）2=4 C．（x﹣1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）=4【解答】解：由题意圆x2+y2+2x﹣2y=0的圆心为（﹣1，1），半径为，∴过圆心（﹣1，1）与直线x﹣y﹣4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，∴圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离为=3，则所求的圆的半径为，故选C．11．（5分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y﹣4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A．3x+y﹣6=0 B．x﹣3y+2=0 C．x+3y﹣2=0 D．3x﹣y+2=0 【解答】解：点F（1，1）在直线3x+y﹣4=0上，则点P的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的直线，因为直线3x+y﹣4=0的斜率为﹣3，所以所求直线的斜率为，由点斜式知点P的轨迹方程为y﹣1=（x﹣1）即x﹣3y+2=0故选B12．（5分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定【解答】解：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则＜1，∴a2+b2＞1，点P（a，b）在圆C外部，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a 的值为﹣18或8．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），半径R=1，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|a+5|=13，即a+5=13或a+5=﹣13，得a=8或a=﹣18，故答案为：﹣18或814．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【解答】解：x∈（0，+∞），f（x）=lgx，不等式f（x）＜0化为lgx＜0，∴0＜x＜1．当x＜0时，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣lg （﹣x），由f（x）＜0即﹣lg（﹣x）＜0，化为lg（﹣x）＞0，∴﹣x＞1，解得x＜﹣1．综上可得不等式f（x）＜0的解集是：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．【解答】解：∵∠DAB=60°∴三棱锥P﹣DCE各边长度均为1∴三棱锥P﹣DCE为正三棱锥P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O∴OD=OE=OC=在直角△POD中：OP2=PD2﹣OD2=OP=∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，则O'P=O'D 设O'P=O'D=R则在直角△OO'D中：OO'2+OD2=O'D2（OP﹣O'P）2+OD2=O'D2（﹣R）2+（）2=R2，R=∴体积为πR3=故答案为：16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[4，6] ．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【解答】解：（1）由对数函数的定义知＞0．即＜0，解得：﹣1＜x＜1；故f（x）的定义域为（﹣1，1）（2）f（x）为奇函数，理由如下：f（x）定义域为（﹣1，1）关于原点对称，又∵f（﹣x）=log a=﹣log a=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．18．（12分）△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x ﹣3y+1=0，x+y=1，顶点A（1，2），求BC边所在的直线方程．【解答】解：因为AC边上的高所在直线方程为2x﹣3y+1=0，所以直线AC的斜率为﹣；所以直线AC的方程为y﹣2=﹣，即3x+2y﹣7=0，同理可求得直线AB的方程为x﹣y+1=0．由，得顶点C（7，﹣7），由，得顶点B（﹣2，﹣1）．所以直线BC的斜率为﹣，所以直线BC的方程为y+1=﹣，即2x+3y+7=0．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：如图所示，连接B1C交BC1于O，连接OD，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以点O为B1C的中点，又因为D为AC的中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD∥B1A，又OD⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD．（2）证明：因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，所以BD⊥AC，又因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BD，根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，又因为BD⊂平面C1BD，所以平面C1BD⊥平面A1ACC1；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S=×3×3=，∴==••6=9．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=．（1）求证：AB⊥平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．【解答】（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1，∵EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴EF∥AB，即EF∥MB．∵EF=MB=1∴四边形EMBF是平行四边形．∴EM∥FB，EM=FB．在Rt△BFC中，FB2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得FB=．∴EM=．在△AEM中，AE=，AM=1，EM=，∴AM2+EM2=3=AE2，∴AM⊥EM．∴AM⊥FB，即AB⊥FB．∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC．∵FB∩BC=B，FB⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，∴AB⊥平面BCF．（2）连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，取BC的中点H，连接OH，EO，FH，则OH∥AB，OH=AB=1．由（1）知EF∥AB，且EF=AB，∴EF∥OH，且EF=OH．∴四边形EOHF是平行四边形．∴E0∥FH，且EO=FH=1．由（1）知AB⊥平面BCF，又FH⊂平面BCF，∴FH⊥AB，∵FH⊥BC，AB∩BC=B，FH⊂平面ABCD，BC平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD．∴E0⊥平面ABCD．∵AO⊂平面ABCD，∴EO⊥AO．∵AO⊥BD，EO∩BD=O，EO⊂平面EBD，BD平面EBD，∴AO⊥平面EBD．∴∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角．在Rt△AOE中，tan∠AEO==．∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为．21．（12分）如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角．（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O﹣AC﹣O1的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB从而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影因为tan∠OOA==，tan∠O1OC==，所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1由三垂线定理得AC⊥BO1．解：（2）由（1）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图），则EF是O1F在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC所以∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角由题设知OA=3，OO 1=，O1C=1，所以=2，AC==，从而=，又O1E=OO1•sin30°=，所以sin∠O1FE==，cos∠O1FE==，∴二面角O﹣AC﹣O1的余弦值为．22．（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由于圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C（3，﹣2），半径为3，|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（2）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，∴k AB=a=，由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．。
4_5. 重庆南开中学高2021级高三第一次质量检测(A4版)
，由
，记
，
则
，由①中的分析知
，故
在
恒成立，从而
在
上单调递增
如果
，即
要使方程无解，只需
如果
，即
，则 ，此时
由上面的分析知
时，
，
， ，即有
，方程
， 一定有解，不满足．
，方程
均无解．…………11分
综合①②可知，当且仅当
时，方程
有唯一解．………12分
100名（含）为标准）：
4小时以上
不足 4小时
合计
前 100名（含）
2
100名以后
18
合计
30
已知在这 30人中随机抽取 1人，抽到最近一次月考总成绩在前 100名的学生的概率为 .
（1）请将上面的列联表补充完整，并据此判断是否有 99.5％的把握认为课余学习时间达到 4小时和成绩在 年级前 100名有关？说明你的理由；
有唯一的实数解，求实数 的取值范围．
重庆南开中学高 2021级高三第一次质量检测数学试题答案
一、单选题：
1~8：CACB ADDC
7. 设 B同学的声强为 m，喷出泉水的高度为 x，则 A同学的声强为 100m，喷出泉水高度为 70，
，
，
相减得 8. 由题知
. 开口向下，且最大值为 1的二次函数，令
）之比的常用对数称作声强的声强级，记作 （贝尔），
即
，取贝尔的 10倍作为响度的常用单位，简称分贝.
已知某处“喊泉”的声音响度 （分贝）与喷出的泉水高度 （米）满足关系式
，现知 同学大喊一声激
起的涌泉最高高度为 70米，若 同学大喝一声的声强大约相当于 个 同学同时大喝一声的声强，则 同学
人教新课标版数学高一-重庆一中2020至2021学年高一上学期期中数学试卷
重庆一中2020-2021学年高一上学期期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分．每题只有一个正确答案）1．（5分）以下表示正确的是（）A．∅=0 B．∅={0} C．∅∈{0} D．∅⊆{0}2．（5分）函数f（x）=﹣ln（2﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，2）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，2）D．（2，+∞）3．（5分）函数的图象（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称4．（5分）已知a=，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．（5分）已知幂函数f（x）的图象经过点（4，2），则f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）6．（5分）x＞1的充分不必要条件是（）A．x＞0 B．x≥1 C．x=0 D．x=27．（5分）已知f（+1）=x+2，且f（a）=3，则实数a的值是（）A．±2 B．2C．﹣2 D．48．（5分）函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围为（）A．（﹣5，4]B．（﹣5，3）C．（﹣1，4）D．（﹣1，3]9．（5分）已知函数y=lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1]B．[﹣2，﹣1]C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f[f（x）]=xf（x）+1，则方程f（x）=0的实根个数为（）A．0B．1C．2D．4二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）函数y=x2+1，x∈[﹣1，2]的值域为．12．（5分）已知函数f（x）=+a为奇函数，则常数a=．13．（5分）函数y=log2（4x﹣x2）的递增区间是．14．（5分）一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为，对于a，b，c有以下几个结论：①a＞0，②b＞0，③c＞0，④a+b+c＞0，⑤a﹣b+c＞0．其中正确结论的序号是．15．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2（m+n）x+n，（m≠0）满足f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两根，则|x1﹣x2|的取值范围是．三、解答题（共75分）16．（13分）计算下列各式：（要求写出必要的运算步骤）（1）；（2）3．17．（13分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|2x2+（2k+5）x+5k＜0}；（1）若k=﹣1时，求A∩B；（2）若A∪B=R，求实数k的取值范围．18．（13分）已知函数f（x）=x﹣，x∈（0，+∞），且f（2）=．（1）用定义证明函数f（x）在其定义域上为增函数；（2）若a＞0，解关于x的不等式f（3x﹣2﹣1）＜f（9ax﹣1）．19．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x+c，（a，c∈N*）满足①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．（1）求函数f（x）的解析表达式；（2）若对任意x∈[1，2]，都有f（x）﹣2mx≥1成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=，a∈R．（1）若f（x）在[a，+∞）上为减函数，求a的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=（x+3）﹣1在（1，3）内有两不等实根，求a的取值范围．21．（12分）设函数f（x）满足：①对任意实数m，n都有f（m+n）+f（m﹣n）=2f（m）f（n）；②对任意m∈R，有f（1+m）=f（1﹣m）；③f（x）不恒为0，且当x∈（0，1]时，f（x）＜1．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并给出你的证明；（3）定义：“若存在非零常数T，使得对函数F（x）定义域中的任意一个x，均有F（x+T）=F（x），则称F（x）为以T为周期的周期函数”．试证明：函数f（x）为周期函数，并求出的值．重庆一中2020-2021学年高一上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分．每题只有一个正确答案）1．（5分）以下表示正确的是（）A．∅=0 B．∅={0} C．∅∈{0} D．∅⊆{0}考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：本题考察集合与集合，集合与元素间的关系，要注意空集∅，然后注意判断．解答：解：A，空集∅只能等于集合，等于0，不正确，B，{0}中有一个元素0，不等于∅，不正确，C，{0}中没有元素∅，不能使用∈符号表示其关系，不正确，D，∅是任意集合的子集，D正确，故选：D．点评：∅是集合，但不含有任何元素，它是任意集合的子集．2．（5分）函数f（x）=﹣ln（2﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，2）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，2）D．（2，+∞）考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．解答：解；∵函数f（x）=﹣ln（2﹣x），∴；解得﹣1≤x＜2，∴f（x）的定义域为[﹣1，2）．故选A．点评：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数f（x）的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集来．3．（5分）函数的图象（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称考点：奇偶函数图象的对称性．专题：函数的性质及应用．分析：将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．解答：解：因为═，所以f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），所以函数f（x）是偶函数，即函数图象关于y轴对称．故选A．点评：本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．4．（5分）已知a=，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：判断a、b、c与1，0的大小，即可得到结果．解答：解：a=∈（0，1），b=log2＜0，c=log＞1．∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查函数值的大小比较，基本知识的考查．5．（5分）已知幂函数f（x）的图象经过点（4，2），则f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设幂函数f（x）=x n，代入点（4，2），解出n，再判断单调增区间．解答：解：设幂函数f（x）=x n，则4n=2，解得，n=，即有f（x）=，则有x≥0，则增区间为（0，+∞）．故选C．点评：本题考查幂函数的解析式和单调区间，注意运用待定系数法，属于基础题．6．（5分）x＞1的充分不必要条件是（）A．x＞0 B．x≥1 C．x=0 D．x=2考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：运用充分必要条件的定义判断．解答：解：根据充分必要条件的定义可判断：x=2，是x＞1的充分不必要条件，故选：D点评：本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题．7．（5分）已知f（+1）=x+2，且f（a）=3，则实数a的值是（）A．±2 B．2C．﹣2 D．4考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：设，则x=（t﹣1）2，t≥1，从而f（t）=（t﹣1）2+2t﹣2=t2﹣1，由此能求出a．解答：解：∵f（+1）=x+2，且f（a）=3，设，则x=（t﹣1）2，t≥1，∴f（t）=（t﹣1）2+2t﹣2=t2﹣1，∴a2﹣1=3，解得a=2或a=﹣2（舍）．故选：B．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8．（5分）函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围为（）A．（﹣5，4]B．（﹣5，3）C．（﹣1，4）D．（﹣1，3]考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先画出函数的图象，得到x2+x3的值，求出x1的取值范围，从而得到答案．解答：解：画出函数f（x）的图象，如图示：，不妨设则x1＜x2＜x3，则x2+x3=4，﹣5＜x1≤﹣1，∴﹣1＜x1+x2+x3≤3，故选：D．点评：本题考查了函数的零点问题，考查了函数的对称性，是一道中档题．9．（5分）已知函数y=lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1]B．[﹣2，﹣1]C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）考点：一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，应使对数函数的真数取到所有的正数，由此讨论真数的值域即可．解答：解；∵函数y=lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，∴当a2﹣1=0时，a=1或a=﹣1，验证a=1时不成立；当a2﹣1≠0时，，解得﹣2≤a＜﹣1；综上，﹣2≤a≤﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]．故选：B．点评：本题考查了对数函数的应用问题，解题时应根据理解数函数的解析式以及定义域和值域是什么，属于基础题．10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f[f（x）]=xf（x）+1，则方程f（x）=0的实根个数为（）A．0B．1C．2D．4考点：根的存在性及根的个数判断．分析：设设函数的零点为x0，则f（x0）=0，赋值思想：x=0，代入f[f（x）]=xf（x）+1可得f（1）=1，x=1，代入f[f（x）]=xf（x）+1可得：f[f（1）]=1×f（1）+1，即f（1）=1×1+1=2，与f（1）=1，矛盾，判断无零点．解答：解：∵f[f（x）]=xf（x）+1，∴设函数的零点为x0，则f（x0）=0，∴f[f（x0）]=x0f（x0）+1，f（0）=x0×0+1=1，把x=0代入f[f（x）]=xf（x）+1可得f（1）=1，x=1，代入f[f（x）]=xf（x）+1可得：f[f（1）]=1×f（1）+1，即f（1）=1×1+1=2，与f（1）=1，矛盾．∴函数f（x）无零点，方程f（x）=0的实根个数为0故选：A点评：本题考查了抽象函数的零点的求解判断，赋值思想，反正法，属于难题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）函数y=x2+1，x∈[﹣1，2]的值域为[1，5]．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数y=x2+1，x∈[﹣1，2]在[﹣1，0]上递减，在[0，2]上递增，计算即可得到最值和值域．解答：解：函数y=x2+1，x∈[﹣1，2]在[﹣1，0]上递减，在[0，2]上递增，则x=0取最小为1，x=﹣1时，y=2，x=2时，y=5．则最大为5．则值域为：[1，5]．故答案为：[1，5]．点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，注意对称轴和区间的关系，运用单调性解题，属于基础题和易错题．12．（5分）已知函数f（x）=+a为奇函数，则常数a=．考点：有理数指数幂的运算性质；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：运用函数的性质得出f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，代入即可求解．解答：解：∵函数f（x）=+a为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（0）=0，+a=0，a=，故答案为：．点评：本题考查了函数的定义、性质，属于容易题．13．（5分）函数y=log2（4x﹣x2）的递增区间是（0，2]．考点：对数函数的单调性与特殊点；二次函数的性质．专题：计算题．分析：由﹣x2+4x＞0可求定义域，根据复合函数的单调性，要求函数y=log2（﹣x2+4x）的单调增区间，只要求t=﹣x2+4x在0＜t≤4的单调增区间．解答：解：由﹣x2+4x＞0，得0＜x＜4，（2分）即定义域为x∈（0，4）．设t=﹣x2+4x（0＜t≤4），则当x∈（0，2]时，t为增函数；（8分）又y=log2t（0＜t≤4）也为增函数，（9分）故函数的单调递增区间为（0，2]．（10分）故答案为：（0，2]．点评：本题主要考查了对数函数域二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调区间的求解，解题的关键是灵活利用对数函数的定义域及复合函数的单调性．14．（5分）一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为，对于a，b，c有以下几个结论：①a＞0，②b＞0，③c＞0，④a+b+c＞0，⑤a﹣b+c＞0．其中正确结论的序号是（2），（3），（4）．考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：由题意知：x=，x=2是方程ax2+bx+c=0的两根，由韦达定理可得到系数a，b，c之间的关系．结合函数的图象可以解决．解答：解：由题意，x=，x=2是方程ax2+bx+c=0的两根，且开口向下，利用函数的图象可知，f（1）＞0，f（﹣1）＜0，又对称轴为，∴b＞0，故答案为：（2），（3），（4）点评：本题主要考查一元二次不等式的运用，应注意不等式的解集与方程解之间的关系，同时应正确利用函数的图象．15．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2（m+n）x+n，（m≠0）满足f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两根，则|x1﹣x2|的取值范围是[，2）．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（0）•f（1）＞0，即n（m+n）＜0，再由二次方程的韦达定理，得到|x1﹣x2|===2=2，再由﹣1＜＜0，即可得到范围．解答：解：函数f（x）=mx2﹣2（m+n）x+n，（m≠0）满足f（0）•f（1）＞0，即有n（﹣m﹣n）＞0，即n（m+n）＜0，由于x1，x2是方程f（x）=0的两根，则4（m+n）2﹣4mn＞0，x1+x2=，x1x2=，则|x1﹣x2|===2=2，由于n（m+n）＜0，即有＜﹣1，则﹣1＜＜0，当，取得最小值2=，→0时，|x1﹣x2|→2，则有|x1﹣x2|∈[，2）．故答案为：[，2）．点评：本题考查二次函数的值域的求法，考查二次方程的韦达定理和运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（共75分）16．（13分）计算下列各式：（要求写出必要的运算步骤）（1）；（2）3．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用指数幂的运算法则即可得出；（2）利用对数的运算法则和换底公式即可得出．解答：解：（1）原式=﹣62+﹣+1=﹣36+64﹣+1=32．（2）原式=•log43=+===1．点评：本题考查了指数幂与对数的运算法则和换底公式，属于基础题．17．（13分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|2x2+（2k+5）x+5k＜0}；（1）若k=﹣1时，求A∩B；（2）若A∪B=R，求实数k的取值范围．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：集合．分析：（1）先解出A=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），将k=﹣1带入集合B并解得B=（），所以进行交集的运算即可得到A∩B；（2）2x2+（2k+5）x+5k=0的两实数根为﹣k，，所以通过讨论k可得到B=，所以根据A∪B=R即可得到k＜﹣2，所以便求出了k的取值范围．解答：解：（1）由已知得，A=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）；当k=﹣1时，B={x|2x2+3x﹣5＜0}=；∴；（2）由于方程2x2+（2k+5）x+5k=0的两根为﹣k，；∴；∵A∪B=R；∴；∴k＜﹣2；∴实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2）．点评：考查解一元二次不等式，集合的交集运算，以及并集的概念及运算．18．（13分）已知函数f（x）=x﹣，x∈（0，+∞），且f（2）=．（1）用定义证明函数f（x）在其定义域上为增函数；（2）若a＞0，解关于x的不等式f（3x﹣2﹣1）＜f（9ax﹣1）．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）得m=1，根据，判断出即可．（2）等价于0＜3x﹣2﹣1＜9ax﹣1，求解，分类讨论分解即可得出解集．解答：解：（1）由得m=1，∴．对任0＜x1＜x2，即f（x2）＞f（x1），故f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数；（2）由（1）知，f（3x﹣2﹣1）＜f（9ax﹣1）等价于0＜3x﹣2﹣1＜9ax﹣1，即．当1﹣2a＞0即时，由于，此时；当1﹣2a=0即时，x＞2；当1﹣2a＜0，即时，，此时x＞2；所以当时，不等式解集为；当时；解集为（2，+∞）．点评：本题考查了指数函数的性质，运用不等式求解问题，分类讨论，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x+c，（a，c∈N*）满足①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．（1）求函数f（x）的解析表达式；（2）若对任意x∈[1，2]，都有f（x）﹣2mx≥1成立，求实数m的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）f（1）=5可得c=3﹣a．①，由6＜f（2）＜11，得6＜4a+c+4＜11，②联立①②可求得a，c，进而可得函数f（x）的解析表达式；（2）法一：设g（x）=f（x）﹣2mx﹣1=x2﹣2（m﹣1）x+1，x∈[1，2]，则由已知得：当m﹣1≤1即m≤2时，g min（x）=g（1）=4﹣2m≥0，解得m的取值范围．（2）法二：不等式f（x）﹣2mx≥1恒成立等价于2m﹣2≤x+在[1，2]上恒成立．只需求出（x+）min．解答：解：（1）∵f（1）=5∴5=a+c+2，即c=3﹣a，又∵6＜f（2）＜11∴6＜4a+c+4＜11，∴∴，又∵a∈N*，∴a=1，c=2．所以f（x）=x2+2x+2．（2）法一：设g（x）=f（x）﹣2mx﹣1=x2﹣2（m﹣1）x+1，x∈[1，2]，则由已知得：当m﹣1≤1即m≤2时，g min（x）=g（1）=4﹣2m≥0，此时m≤2；当1＜m﹣1＜2即2＜m＜3时，△≤0，解得：无解；当m﹣1≥2即m≥3时，g min（x）=g（2）=9﹣4m≥0，此时无解．综上所述，m的取值范围为（﹣∞，2]．法二：由已知得，在x∈[1，2]上恒成立．由于在[1，2]上单调递增，所以，故2（m﹣1）≤2，即m≤2．点评：本题考查二次函数的性质、二次不等式恒成立，考查转化思想，属中档题．20．（12分）已知函数f（x）=，a∈R．（1）若f（x）在[a，+∞）上为减函数，求a的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=（x+3）﹣1在（1，3）内有两不等实根，求a的取值范围．考点：复合函数的单调性；对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由真数在[a，+∞）上为增函数且恒大于0列不等式组求得a的取值范围；（2）由对数的运算性质化简，得到ax2﹣4ax+2=0在（1，3）内有两不等实根，然后借助于“三个二次”的结合列不等式组得答案．解答：解：（1）要使f（x）在[a，+∞）上为减函数，一方面g（x）=x2﹣2（2a﹣1）x+8递增，另一方面g（x）＞0，∴2a﹣1≤a且g（a）=a2﹣2a（2a﹣1）+8＞0，解得；（2）由已知得=（x+3）﹣1在（1，3）内有两不等实根，即x2﹣4ax+2=0在（1，3）内有两不等实根，令F（x）=x2﹣4ax+2，则，即，解之得．点评：本题考查了复合函数的单调性，考查了对数的运算性质，训练了利用“三个二次”的结合求解参数的范围，是中档题．21．（12分）设函数f（x）满足：①对任意实数m，n都有f（m+n）+f（m﹣n）=2f（m）f（n）；②对任意m∈R，有f（1+m）=f（1﹣m）；③f（x）不恒为0，且当x∈（0，1]时，f（x）＜1．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并给出你的证明；（3）定义：“若存在非零常数T，使得对函数F（x）定义域中的任意一个x，均有F（x+T）=F（x），则称F（x）为以T为周期的周期函数”．试证明：函数f（x）为周期函数，并求出的值．考点：函数的周期性；抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由于f（x）不恒为0，故存在x0，使f（x0）≠0，令m=x0，n=0，可得f（0），令m=n=1，即得f（1）；（2）令m=0，n=x，由条件，即可得到奇偶性；（3）由f（1+m）=f（1﹣m）得f（﹣x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，则f（x+2）=f（x），即f （x）以2为周期的周期函数，运用周期，即可得到所求值．解答：解：（1）由于f（x）不恒为0，故存在x0，使f（x0）≠0，令m=x0，n=0，则f（x0）+f（x0）=2f（x0）f（0），则f（0）=1．令m=n=1，则f（2）+f（0）=2f2（1），又f（0）=f（2），则f2（1）=1，则f（1）=±1，由已知，f（1）＜1，故f（1）=﹣1；（2）令m=0，n=x，得，f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x）=2f（x），即有f（﹣x）=f（x），即有f（x）为偶函数；（3）由f（1+m）=f（1﹣m）得f（﹣x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，则f（x+2）=f（x），即f（x）以2为周期的周期函数，令m=n=，f（）+f（0）=2f2（），即f（）+1=2f2（），再令m=，n=得，f（1）+f（）=2f（）f（），即f（）﹣1=2f（）f（）．而f（）＜1，解得，f（）=，f（）=﹣，由条件得，f（）=f（），f（）=f（），故f（）+f（）+…+f（）=0，f（x）以2为周期的周期函数，则=336×0+f（）=f（）=．点评：本题考查函数的周期性和奇偶性及运用，考查运算能力，考查抽象函数的解决方法：赋值法，属于中档题．。
2022-2023学年重庆市南开中学校高一上学期11月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年重庆市南开中学校高一上学期11月月考数学试题一、单选题1．下列函数中与y x =是同一个函数的是（ ）A ．2y =B ．v u =C ．yD ．2n m n=【答案】B【分析】根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.【详解】对于A ，2y =的定义域为[0,)+∞，与y x =的定义域为R 不同，故A 不正确； 对于B ，v u =与y x =是同一函数，故B 正确；对于C ，y ||x =与y x =的对应关系不同，故C 不正确； 对于D ，2n m n=(0)n n =≠与y x =的定义域不同，故D 不正确. 故选：B2．已知集合{}(){}1,2,3,,,,A B x y x A y A x yA ==∈∈-∈∣中所含元素的个数为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据题意利用列举法写出集合B ，即可得出答案. 【详解】解：因为{}1,2,3A =，所以()()()()()(){}2,1,3,1,3,2,1,2,1,3,2,3,B B =中含6个元素． 故选：C.3．函数y ）A ．(],1-∞-B ．[)1,-+∞C ．[]1,0-D ．[]0,1【答案】B【分析】利用偶次根式被开方数非负得出1202x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，然后利用指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性可解出该不等式，即可得出函数y =.【详解】由题意可得1202x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即111222x -⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1x ∴≥-.因此，函数y =[)1,-+∞.故选：B.【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也考查了指数不等式的计算，考查计算能力，属于基础题.4．已知幂函数21()(22)a f x a a x -=--在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．3 C ．1-或3 D ．不存在【答案】B【分析】根据幂函数定义得到2221a a --=，解方程并验证单调性得到答案.【详解】因为21()(22)a f x a a x -=--为幂函数，所以2221a a --=，解得1a =-或3a =， 又因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，1a =-不满足，所以 3.a = 故选：B.5．已知函数()22x x f x -=-，则0.60.60.4(0.4),(0.6),(0.4)a f b f c f ===的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c<a<b D ．a c b <<【答案】D【分析】根据函数的解析式以及单调性的性质可得函数()f x 在R 上单调递增，再利用指数函数、幂函数、构造函数研究自变量大小关系即可．【详解】解：函数2x y =在R 上单调递增，函数2xy -=在R 上单调递减，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为函数0.4x y =在R 上单调递减，所以0.60.40.40.4<； 又函数0.6y x =在()0,∞+上单调递增，所以0.60.60.40.6<；构造5()h x x =，易知()h x 在(0,)+∞单调递增，且0.653(0.6)0.60.216==，0.45(0.4)0.16=，0.2160.16>，所以0.60.40.60.4>，故0.60.40.60.40.40.6<<，又因为()f x 在R 上递增，所以a c b <<. 故选：D .6．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为()()0,1,01kx bPf x P a k a +=>><+的形式．已知()()613kx bf x x +=∈+N 描述的是一种果树的高度随着栽种时间x （单位：年）变化的规律，若刚栽种（x ＝0）时该果树的高为1.5m ，经过2年，该果树的高为4.5m ，则该果树的高度不低于5.4m ，至少需要（ ） A ．3年 B ．4年 C ．5年 D ．6年【答案】A【分析】根据函数模型解析式，代入值得到方程组261.5136 4.513bk b +⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解出,k b ，则得到函数解析式，代入()3f 或列不等式均可.【详解】由题意可得,(0) 1.5(2) 4.5f f =⎧⎨=⎩,则261.5136 4.513bk b +⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩, 解得1,1b k ==-,所以16()13x f x -+=+,N x ∈，由函数的解析式可得,()f x 在[0,)+∞上单调递增,且26(3) 5.413f -==+, 故该果树的高度不低于5.4m ,至少需要3年. 故选：A.7．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【答案】B【分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-， 因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.8．已知函数()331x x mf x +=+，若对任意1x 、2x 、3R x ∈，总有()1f x 、()2f x 、()3f x 为某一个三角形的边长，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据()3113131x x x m m f x +-==+++，分三种情况当1m =时，当1m >时，当1m <时，求得函数的值域，问题转化为()()()123f x f x f x +>，对任意1x ，2x ，3R x ∈，恒成立求解． 【详解】解：因为1()f x ，2()f x ，3()f x 为某一个三角形的三条边长， 所以123()()()f x f x f x +>，对任意1x ，2x ，3R x ∈，恒成立， 函数()331111313131x x x x x m m m f x +++--===++++， 当1m =时，()1f x =，满足()()()123f x f x f x +>，符合题意； 当1m >时，()f x 在R 上递减， 所以函数的值域为(1,)m ， 所以12()()2f x f x +>且3()f x m <， 所以2m ≤，又1m >，所以12m <≤， 当1m <时，()f x 在R 上递增， 函数()f x 的值域为(,1)m ，所以12()()2f x f x m +>且3()1f x <， 所以12m ≤，解得12m ≥，所以112m ≤<，综上m 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：D ．二、多选题9．下列表达式中不正确．．．的是（ ）A ．()52330a a a a ÷=> B ．()326a a =C ．()30a a a a-=-≠D ．20.54a a =【答案】CD【分析】对A ，同底数的幂相除可判断，对B ，幂的乘方运算，对C ，利用开偶次方根的条件可判断，对D ，令a<0进行判断即可. 【详解】对A ，52523333(0)a a aa a -÷==>，故A 正确；对B ，()23236a a a ⨯==，故B 正确；对C ，当0a >，3a a a-=- 无意义，故C 错误；对D ，若a<0，20.54a a =无意义，故D 错误； 故选：CD.10．在同一直角坐标系中，函数23y x ax a =++-与x y a =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】按照1a >、01a <<讨论，结合二次函数及指数函数的性质即可得解. 【详解】若1a >，则函数x y a =是R 上的增函数， 函数23y x ax a =++-的图象的对称轴方程为02ax =-<，故A 可能，B 不可能； 若01a <<，则函数x y a =是R 上的减函数，30a -<，函数23y x ax a =++-的图象与y 轴的负半轴相交，对称轴为02ax =-<，故C 可能，D 不可能. 故选：AC.11．下列说法正确的是（ ）A ．命题“2R,1x x ∀∈>-”的否定是“2R,1x x ∃∈≤-”．B ．命题“()23,,9x x ∃∈-+∞≤”的否定是“()23,,9x x ∀∈-+∞>”C ．“”x y >是“x y >”的必要条件．D ．“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件 【答案】ABD【分析】根据特称命题与全称命题的否定来判断选项A ，B ，根据充分必要条件判断方法来确定C ，D 选项的正误.【详解】对于A 选项，命题“2R,1x x ∀∈>-”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤-”，故A 选项正确； 对于B 选项，命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”，故B 选项正确；对于C 选项，||||x y 不能推出x y >，例如21->，但21-<；x y >也不能推出||||x y ，例如21-<，而21->；所以“x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故C 选项错误；对于D 选项，关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，故D 选项正确． 故选：ABD.12．已知函数()21,25,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =在3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]0,3B ．若实数,,a b c 满足a b c <<且()()()f a f b f c ==，则22a c b c +++的取值范围是()32,64C ．∃实数()0,3m ∈，关于x 的方程()()()210f x m f x m +--=恰有五个不同实数根D ．∀实数()2,3t ∈，关于x 的方程()()f f x t =有四个不同实数根 【答案】ABD【分析】选项A ，结合函数()y f x =的图像以及(||)y f x =为偶函数，分析即可判定；选项B ，数形结合可得()()()(0,1)f a f b f c ==∈，由()()f a f b =可得222a b +=，再由5(0,1)c -∈分析计算即可判定；选项C ，由方程可得()1f x =-或()f x m =，数形结合分析解的个数即可；选项D ，先数形结合得到∀实数()2,3t ∈，方程()f m t =有两个不同实数根，再结合12ln 32,23m m <<<<可得12(),()f x m f x m ==的根的个数，即可判定.【详解】选项A ，函数()y f x =的图象如上图所示，当03x ≤≤时，函数最大值为(2)3f =，最小值为(0)0f =，由于(||)(||)-=f x f x ，故函数(||)y f x =为偶函数，当302x -≤≤时函数取值范围与302x ≤≤相同，即函数()y f x =在3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]0,3，正确；选项B ，不妨设a b c <<，如图所示，当0x <时，()12(0,1)x f x =-∈，故()()()(0,1)f a f b f c ==∈，即5(0,1)c -∈，可得45c <<，则16232c <<，由()()f a f b =，可得|21||21|a b -=-，即1221a b -=-，可得222a b +=，故222(22)22(32,64)a c b c c a b c +++=+=⨯∈，正确；选项C ，由题意()()()21[()1][()]0f x m f x m f x f x m +--=+-=，解得()1f x =-或()f x m =，由图像可得()1f x =-有一个解，关于x 的方程()()()210f x m f x m +--=恰有五个不同实数根，则()f x m=有四个根，而y m =与()y f x =最多有三个交点，错误；选项D ，结合图像max ()(2)3f x f ==，当x →-∞时，()1f x →，(ln3)(3)2f f ==，故∀实数()2,3t ∈，方程()f m t =有两个不同实数根，其中12ln 32,23m m <<<<，结合图像可知12(),()f x m f x m ==分别有两个实根，故关于x 的方程()()f f x t =有四个不同实数根，正确. 故选：ABD三、填空题13．已知(21)53,(3)f x x f +=+=__________． 【答案】8【分析】根据题意，令1x =即可求解.【详解】由(21)53f x x +=+，令1x =，得()3538f =+=. 故答案为：8.14．已知函数1,0()(1)(2),0x x f x f x f x x +≤⎧=⎨--->⎩，则(2)f =____________．【答案】0【分析】根据分段函数函数值的求法直接求解.【详解】由题意可知，(2)(1)(0),f f f =-(0)011f =+=， 又因为(1)(0)(1)101f f f =--=+=，所以(2)0f =. 故答案为:0.15．已知函数3222022236()3x x x f x x +++=+，且()14f a =，则()f a -的值为____________． 【答案】10-【分析】由奇函数的性质求解，【详解】3220223()23x xf x x +=++，令3220223()3x xg x x +=+，∵()()g x g x -=-，∴()g x 为奇函数，∴()()0g a g a +-=， 则()()()2()24f a f a g a g a -+=-+++=，得()10f a -=-. 故答案为：10-16．已知x ，R y ∈，满足224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +<；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）． 【答案】①④【分析】根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可. 【详解】①：因为224x y +=，所以有4222422x y x y x y +=+≥≥⇒+≤，故本结论一定成立； ②：当20,log 3x y ==时，显然224x y +=成立，但是1xy ≥不成立，故本结论不一定成立；③：当1x y ==时，显然224x y +=成立，但是23x y +<不成立，故本结论不一定成立； ④：因为224x y +=，所以114421644162x y x y x y x y ++++++=⇒+=-，由①可知： 1311213228281621688x y x y x y x y x y +++++++≤⇒++≤⇒≤=⇒-≥-⇒-≥-=，所以448x y +≥，因此本结论一定成立， 故答案为：①④四、解答题17．（1）计算())24233330.12328-⎛⎫⎛⎫-+⋅-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）化简：121121332a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪. 【答案】（12 （2）1a【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）化根式为分数指数幂，运用指数的云算法化简求值.【详解】（1）())242303330.12328-⎛⎫⎛⎫-+⋅-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭42133132243133192⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+⋅-⋅⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦49131294=+⋅-+=； （2）原式111111133223261511523666ba b abaa b----+--⋅⋅⋅==⋅11a a-==. 【点睛】本题主要考查了根式化分数指数幂，指数的运算法则，属于中档题. 18．设集合1|2432x A x -⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}22|3210B x x mx m m =-+--<. （1）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； （2）若B =∅，求m 的取值范围； （3）若A B ⊇，求m 的取值范围.【答案】（1）254个；（2）2m =-；（3）2m =-或12m -.【分析】（1）求解指数不等式解，根据x Z ∈，即可写出集合A ，根据元素个数，即可求得非空真子集个数；（2）根据二次不等式恒成立，即可列出不等关系，求得结果；（3）对参数m 进行分类讨论，根据集合的包含关系，列出不等式组，求解即可. 【详解】化简集合{|25}A x x =-≤≤，集合{}|(1)(21)0B x x m x m =-+--<. （1）{},2,1,0,1,2,3,4,5x Z A ∈∴=--，即A 中含有8个元素， 故A 的非空真子集数为822254-=个.（2）由B =∅，则22(3)4(21)0m m m ∆=----≤，得2(2)0m +≤， 得2m =-.（3）①2m =-时，B A =∅⊆；②当2m <-时，()()21120m m m +--=+<， 所以()21,1B m m =+-，因此，要B A ⊆，则只要21236152m m m +≥-⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩，所以m 的值不存在； ③当2m >-时，()1,21B m m =-+，因此，要B A ⊆，则只要1212215m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩. 综上所述，知m 的取值范围是2m =-或12m -≤≤.【点睛】本题考查集合的真子集个数的求数，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.19．某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：()()212kt x b p --=，其中,k b 均为常数.当关税税率75%t =时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件. （1）试确定,k b 的值.（2）市场需求量q (单位：万件)与市场价格x (单位：千元)近似满足关系式：2x q -=，当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值. 【答案】（1）1k =，5b =；（2）500%.【分析】（1）将关税税率75%t =，市场价格5x =代入()()212kt x b p --=中，列出关于k 与b 的方程组求解；（2）利用p q =，将t 表示成关于x 的函数，然后确定t 的最大值.【详解】(1)由已知得：()()()()2210.75510.7571222k b k b ----⎧=⎪⎨⎪=⎩，得()()()()2210.755010.7571k b k b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩ 解得5b =，1k =.(2)当p q =时，()()21522t x x ---=， 所以()()215t x x --=-，则()211125510x t x x x =+=+-+-. 设()25f x x x=+，则()f x 在(]0,4上单调递减， 所以当4x =时，()f x 有最小值414， 故当4x =时，关税税率的最大值为500%.【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查学生分析问题、处理问题的能力，数学建模的能力，难度一般.解答时，要灵活运用题目所给条件，建立函数模型然后求解.20．已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当x y ≠时，()()0f x f y x y->-成立，且(1)2f =． (1)求(0)f ，并证明函数()()1g x f x =-的奇偶性；(2)当[0,9]x ∈，不等式()(3f x f m +-≤恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(0)1f =，证明见解析；(2)2m ≤-.【分析】（1）令0x y ==，可得(0)1f =，令y x =-，()()2f x f x +-=，从而即可证明； （2）由已知条件，可得()f x为增函数，又原不等式等价于(()1f x m f +-≤恒成立，则1x m -≤在[0,9]x ∈t ，分离参数m 即可求解. 【详解】（1）解：令0x y ==，可得(0)1f =，令y x =-，则()()()1f x x f x f x -=+--，所以()()2f x f x +-=，所以()()()()110g x g x f x f x -+=-+--=，所以()g x 为奇函数；（2）解：()(3f x f m +-≤，即()(12f x f m +--≤，所以(()1f x m f +-≤，又当x y ≠时，()()0f x f y x y ->-成立，所以()f x 为增函数，所以1x m -≤在[0,9]x ∈上恒成立，t ，可得212m t t -≥-在[0,3]t ∈上恒成立，又22y t t =-，[0,3]t ∈，所以当3t =时，()2max 23t t -=，所以13m -≥，即2m ≤-.21．给出下面两个条件：①函数()f x 的图象与直线1y =-只有一个交点；②函数()f x 的两个零点的差的绝对值为2. 在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定.已知二次函数()2f x ax bx c =++满足()()121f x f x x +-=-，且______.(1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()()213232x x g x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.【答案】(1)()22f x x x =-(2)1,2⎧⎪⎛⎫+∞⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭【分析】（1）由()()121f x f x x +-=-代入解析式可解得12a b =⎧⎨=-⎩，选①，只有一个交点则该交点为顶点；选②，由根与系数的关系列方程求解122x x -=即可.（2）原命题转化成()221420t n tn ---=有且仅有一个正实根，其中30x n =>，讨论21t -的符号，结合二次函数的性质求解即可.【详解】（1）因为二次函数()2f x ax bx c =++满足()()121f x f x x +-=-，()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=-， 所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以()22f x x x c =-+，对称轴为1x =.选①，因为函数()f x 的图象与直线1y =-只有一个交点，所以()1121f c =-+=-，解得0c ，所以()f x 的解析式为()22f x x x =-.选②，设1x 、2x 是函数()f x 的两个零点，则122x x -=，且440c ∆=->，可得1c <， 由根与系数的关系可知122x x +=，12x x c =， 所以122x x -===，解得0c ，所以()f x 的解析式为()22f x x x =-.（2）因为函数()()()213232x x g x t f =--⨯-有且仅有一个零点，令30x n =>，所以关于n 的方程()()21220t f n n ---=有且仅有一个正实根，因为()22f x x x =-，所以()221420t n tn ---=有且仅有一个正实根，当210t -=，即12t =时，方程可化为220n --=，解得1n =-，不符合题意； 当210t ->，即12t >时，函数()22142y t x tx =---的图象是开口向上的抛物线，且恒过点()0,2-， 所以方程()221420t n tn ---=恒有一个正实根；当210t -<，即12t 时，要使得()221420t n tn ---=有且仅有一个正实根，则有 ()21682102021t t t t ⎧=+-=⎪⎨>⎪-⎩，解得t =综上，实数t 的取值范围为1,2⎧⎪⎛⎫+∞⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭. 22．已知实数1a ≥-，且函数()2213632f x x ax a =-+-+，()()2223623122f x x a x a a =-++++，()()(){}112max ,H x f x f x =，()()(){}212min ,H x f x f x =，()()()12,,H x x a f x H x x a ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，当[]0,1x ∈时，()f x 的最小值记为()g a .(1)若0a =，求函数()f x 的单调递减区间；(2)1a ∀≥-，[]0,1x ∃∈，()24224x x g a m +≤-++，求实数m 的取值范围.【答案】(1)()0,2(2)18m ≥【分析】（1）首先求出1()f x ，2()f x 的解析式，再解关于x 的不等式，即可求出()f x 的解析式，从而求出函数的单调递减区间；（2）首先令12()()f x f x =，求出方程的解，从而确定()f x 的解析式，再根据二次函数的性质求出()f x 的最小()g a ，从而求出()max g a ，依题意只需()()2max max 4224x x g a m +≤-++，令2x t =，求出()max 24224x x m +-++，即可求出参数的取值范围.【详解】（1）解：当0a =时，21()32f x x =-+，22()3122f x x x =-+，由22323122x x x -+>-+，解得02x <<，由22323122x x x -+≤-+，解得0x ≤或2x ≥，即()()(){}(][)()211223122,,02,max ,32,0,2x x x H x f x f x x x ∞∞⎧-+∈-⋃+⎪==⎨-+∈⎪⎩， ()()(){}()(][)221223122,0,2min ,32,,02,x x x H x f x f x x x ∞∞⎧-+∈⎪==⎨-+∈-⋃+⎪⎩， 223122,2()32,2x x x f x x x ⎧-+≥∴=⎨-+<⎩， 当2x <时2()32=-+f x x ，函数在(),0∞-上单调递增，在()0,2上单调递减，当2x ≥时()22()31223210f x x x x =-+=--，函数在[)2,+∞上单调递增， 故函数()f x 的单调递减区间为()0,2.（2）解：令12()()f x f x =，得2222363236(2)3122x ax a x a x a a -+-+=-++++，解得x a =或2x a =+，2222363236(2)3122x ax a x a x a a -+-+>-++++，解得2a x a <<+，2222363236(2)3122x ax a x a x a a -+-+<-++++，解得x a <或2x a >+，222236(2)3122,2()3632,2x a x a a x a f x x ax a x a ⎧-++++≥+∴=⎨-+-+<+⎩， 1a ≥-，21∴+≥a ，又因为函数221()3632f x x ax a =-+-+关于直线x a =对称， 故2min 211(0),32,22()()11(1),1361,122f a a a f x g a f a a a a ⎧⎧≥-+≥⎪⎪⎪⎪===⎨⎨⎪⎪-≤<-+--≤<⎪⎪⎩⎩， 所以max 15()()24g a g ==， 令2x t =，由[0,1]x ∈，得[1,2]t ∈，由[]1,0,1a x ∀≥-∃∈，有2()4224x x g a m +≤-++成立， 可知2max 5[1,2],424()4t t t m g a ∃∈-++≥=， 故2max 5(424)4t t m -++≥， 又1t =时，2max (424)12t t m m -++=+， 所以5124m +≥，解得18m ≥. 【点睛】思路点睛：有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．。
重庆南开中学高2021级高三第一次质量检测数学试题
x 1 x 1
x 1 x 1
由分母递增知
g x 递减，
g
x
max
g
1
2，
所以
1 2
a1
2
1
1 2
2
a1
1 2
a
1 2
．
5
16．
2
【解析】 f x 为奇函数，由 f 1 f 1 a 1 ，
注意不能用 f 0 0 ，联立两个函数的方程，消去 2x 得到关于 y 的二次方程
2 y2 2m 3 y m 1 0 ，有两个根 y1 和 y2 ，
19．已知函数
f
x
ex x
a
1 x
ln
x
a
1 ．
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x 存在极小值，且极小值大于 a ，求实数 a 的取值范围．
20．重庆作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，近几年每年都有大量游客来重庆参观
1
旅游．为了更合理的配置旅游资源，管理部门对首次来重庆旅游的游客进行了问卷调查．据统计，其中 的
相互独立，则应如何定价才能使得每天的平均利润最大？
21．已知椭圆
E
:
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 上任意一点到其左右焦点 F1 、 F2 的距离之和均为 4，且椭圆的中
心 O 到直线 bx ay ab 0 的距离为 2 3 ． 3
（1）求椭圆 E 的方程； （2）已知以椭圆右顶点 A 为直角顶点的动直角三角形斜边端点 B 、C 落在椭圆 E 上，求动直角 △ABC 面
（2）设 g x f x t 3t x t x t 4 3t ，
则 g x 0 在2, 4 上恒成立，
2021-2022学年重庆市高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市高一上学期期末数学试题一、单选题 1．780︒=（ ） A ．116πB ．136πC ．113πD ．133π【答案】D【分析】根据给定条件利用角度与弧度互化关系直接转化计算作答. 【详解】因1180π=，所以137********3ππ︒=⨯=. 故选：D2．命题“0x ∃>，21x <”的否定是（ ） A ．0x ∃>，21x ≥ B ．0x ∀<，21x ≥ C ．0x ∀>，21x ≥ D ．0x ∃<，21x <【答案】C【分析】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法写出结论作答. 【详解】命题“0x ∃>，21x <”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 命题“0x ∃>，21x <”的否定是0x ∀>，21x ≥. 故选：C3．已知集合()(){}230A x x x =-+<，(){}2log 11B x x =-<，则A B =（ ） A ．()1,2 B ．()1,3C ．()3,2-D ．()3,3-【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合A ，解对数不等式化简集合B ，再用交集的定义直接计算作答.【详解】解不等式()()230x x -+<得：32x -<<，则有(3,2)A =-， 解不等式()2log 11x -<得：012x <-<，即13x <<，则有(1,3)B =， 所以(1,2)A B ⋂=. 故选：A4．“0x >且0y >”是“x y +≥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义即得.【详解】由0x >且0y >，可得x y +≥由x y +≥0x =，0y ≥，即由x y +≥0x >且0y >.故“0x >且0y >”是“x y +≥的充分不必要条件. 故选：A.5．已知函数()22,12,1x x ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[]1,3C ．[)3,+∞D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【分析】由题可得21122a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩，解之即得.【详解】∵()22,12,1x x ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，∴21122a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩，解得13a ≤≤.故选：B.6．已知0.32=a ，0.43b =，0.2log 0.3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>【答案】D【分析】比较大小，可先与常见的常数0,1进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小【详解】0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.321a =>0.431b =>则有：,a c b c >>0.30.30.4233a =<<故有：b a c >> 故选：D7．已知1sin()33πα-=，则sin(2)6πα-=（ ）A ．79-B ．19-C ．19D ．79【答案】D【分析】利用诱导公式变形，再借助二倍角的余弦公式计算作答.【详解】依题意，1cos()cos[()]sin()62333ππππααα+=+-=--=-，所以27sin(2)sin[(2)]cos 2()[2cos ()1]632669πππππαααα-=+-=-+=-+-=.故选：D8．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4AB CD ==，3BC =，7AD =，则该玉佩的面积为（ ）A ．49936πB ．49933πC ．496πD ．493π【答案】A【分析】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，根据相似三角形的性质求出3BO =，7AO =，进而得出OAD △为等边三角形，利用扇形的面积和三角形的面积公式即可求出结果.【详解】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，由//BC AD ， 得OBC OAD ，所以BC BOAD AO=，又43AB CD BC ===，，7AD =, 所以374BO BO BO AB BO ==++，解得3BO =，所以7AO =， 所以OAD △为等边三角形，则3AOB π∠=，故22114972236S r παπ==⨯⨯=扇形，11393sin 33232BOCSOB OC π=⨯⨯=⨯⨯=所以玉佩的面积为49936π故选：A二、多选题 9．函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象是由函数sin y x =的图象经过变换得到，则这个变换可以是（ ）A ．先将图象向左平移34π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍 B ．先将图象向右平移54π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍 C ．先将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，再将图象向左平移38π个单位 D ．先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移34π个单位【答案】ABC【分析】利用三角函数图象变换逐项判断即得. 【详解】对于A ，先将图象向左平移34π个单位得到函数3sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故A 正确； 对于B ，先将图象向右平移54π个单位函数53sin sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，故B 正确； 对于C ，先将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数sin 2y x =的图象，再将图象向左平移38π个单位得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故C 正确；对于D ，先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数1sin 2y x =的图象，再将图象向左平移34π个单位得到函数13sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故D 错误.故选：ABC.10．已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则下列关系一定正确的是（ ）A ．x U ∃∈，x A ∉且xB ∈ B ．x A ∀∈，x B ∉C ．x U ∀∈，x A ∈或x B ∈D ．x U ∃∈，x A ∈且x B ∈【答案】AB【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答. 【详解】全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，x U ∃∈，x A ∉且x B ∈，A 正确； 因A B =∅，必有x A ∀∈，x B ∉，B 正确； 若AUB ，则()()U U A B ⋂≠∅，此时x U ∃∈，[()()]U U x A B ∈⋂，即x A ∉且x B ∉，C 不正确；因A B =∅，则不存在x U ∈满足x A ∈且x B ∈，D 不正确. 故选：AB11．下列说法正确的是（ ） A ．若0a b >>，则22ln ln c a c b > B ．若0x >，则44x x+≥ C ．不等式2232x x-≥的解集为)3,⎡+∞⎣ D ．若2a b +=，则224a b +≥【答案】BD【分析】根据0c 判断选项A 的不等式即可； 根据基本不等式的应用判断选项B 、D ；根据分式不等式和一元二次不等式的解法解出不等式，即可判断选项C. 【详解】A ：当0c 时，不等式不成立，故A 错误； B ：当0x >时，444x x x x +≥⨯=，当且仅当2x =时等号成立，故B 正确； C ：由题意知，0x ≠且20x >，不等式24222322303x x x x x-≥⇒--≥⇒≥或21x ≤-(舍去)， 解得3x ≥3x ≤-C 错误；D ：由2020a b >>，得2222=22=4a b a b a b ++≥⨯， 当且仅当2=2a b 即1a b ==时等号成立，故D 正确. 故选：BD12．已知α，β是一锐角三角形的内角，则下列不等关系一定正确的是（ ）A ．1sin sin 2αβ<B ．1cos cos 2αβ≤C ．sin sin 1αβ+>D ．cos cos 2αβ+<【答案】BD【分析】令3παβ==可判断A ；由2παβ>-及110sin 222β<≤cos cos sin cos αβββ<可判断B ；由sin sin cos sin 2cos 4παββββ⎛⎫+>+=+ ⎪⎝⎭，可判断C ；由cos cos sin cos 2sin 4παββββ⎛⎫+<+=+ ⎪⎝⎭，可判断D.【详解】因为α，β是一锐角三角形的内角，所以0,2παβ<<，令3παβ==，所以31sin sin sinsin3342ππαβ==>，故A 错误； 可得2παβ+>，2παβ>-，022ππβ<-<，因为022βπ<<，所以0sin 21β<≤， 110sin 222β<≤，11cos cos sin cos sin 222αββββ<=≤，故B 正确；sin sin cos sin 2cos 4παββββ⎛⎫+>+=+ ⎪⎝⎭，由02βπ<<得3444πππβ<+<，所以12cos 14πβ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，故C 错误；cos cos sin cos 2sin 4παββββ⎛⎫+<+=+ ⎪⎝⎭，因为12sin 24πβ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BD. 三、填空题13．已知幂函数()f x 的图象如图所示，则()f x =______．（写出一个正确结果即可）【答案】2x -（答案不唯一）【分析】根据给定图象可得幂函数的性质，再结合性质写出函数式即可作答. 【详解】由幂函数图象知，函数()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，且在(0,)+∞单调递减，于是得幂函数的幂指数为负数，而函数()f x 的图象关于y 轴对称，即幂函数()f x 是偶函数，则幂函数()f x 的幂指数为偶数，综上得：2()f x x -=. 故答案为：2x -14．将函数()f x 的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 为奇函数，则()()02f f +=______． 【答案】-2【分析】根据题意可得知()f x 与()g x 之间的关系式，然后利用函数的奇函数性质，计算可得答案.【详解】由函数()f x 的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数()g x 的图象，可得：()(1)1g x f x =++ ， 故()(1)1f x g x =--，所以()()02(1)1(1)1(1)(1)22f f g g g g +=--+-=-+-=-, 故答案为：-2.15．已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 【答案】4【分析】先利用基本不等式实现积与和的转化，而后解一元二次不等式即可.【详解】解：由题知0,0,x y >>由基本不等式得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭， 令t x y =+，0t >，则有2422t t ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立， 所以x y +的最小值为4. 故答案为：4.16．设{},? ,max ,,? .a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数(){}1max 2,42xf x x -=--，若关于x 的方程()f x t=有三个不相等的实数解，则实数t 的取值范围是______． 【答案】24t <<【分析】根据函数新定义求出函数()f x 解析式，画出函数()f x 的图象，利用转化的思想将方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出t 的范围.【详解】由题意知，令1242xx-=--，解得20x x x ==，，根据{}max a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，，，，得121220()4202x x x f x x x x x x--⎧≤⎪=--<<⎨⎪≥⎩，，，， 作出函数()f x 的图象如图所示，由方程()0f x t -=有3个不等的根，得函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点，由图象可得，当24t <<时函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点， 所以t 的取值范围为24t <<. 故答案为：24t << 四、解答题17．（1）求值：223log 34138log 27log 2427⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭； （2）已知角α的终边经过点()2,3P ，求()3cos sin sin 22παπαα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)52；(2)2113.【分析】(1)根据给定条件利用指数、对数运算法则，对数换底公式计算作答.(2)利用三角函数的定义求出tan α，再结合诱导公式、二倍角的正弦公式化简计算作答. 【详解】(1)22223log 3log 3322334121223log 3812log 27log 2()4[()](2)27log 2log 33-⋅+⋅=⋅+⋅2223log 314532log 392=⨯+⨯=-. (2)因角α的终边经过点()2,3P ，则由三角函数的定义得：3tan 2α=， 所以()2223sin 2sin cos cos()sin sin 2sin (sin )2sin cos 2sin cos αααπαπαααααααα+-++=--+=+222233()2tan 2tan 21223tan 113()12ααα+⨯+===++. 18．已知函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的单调递增区间； (2)求不等式()12f x >在()0,π上的解集． 【答案】(1)2[,](Z)63k k k ππππ++∈； (2)511,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】(1)利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数()f x 即可求解；(2)由题可得sin(2)06x π+<，再利用正弦函数性质即可求解.(1)∵()2sin cos f x x x x =∴11()(1cos2)2sin(2)226f x x x x π=-=-+， 由3222,Z 262k x k k πππππ+≤+≤+∈，得2,Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈， 即()f x 在2[,](Z)63k k k ππππ++∈上单调递增， 所以函数()f x 单调递增区间是2[,](Z)63k k k ππππ++∈； (2) 由()12f x >得，11sin(2)262x π-+>，即sin(2)06x π+<，又()0,x π∈，()132,666x πππ+∈，∴()2,26x πππ+∈，即511,1212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴不等式()12f x >在()0,π上的解集为511,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 19．已知函数()()10af x x x x=++>． (1)若()f x 的最小值为5，求正实数a 的值；(2)求证：“()f x 在()2,+∞上单调递增”的充要条件是“4a ≤”． 【答案】(1)a =4； (2)证明见解析.【分析】(1)利用基本不等式求出()f x 的最小值为1，令其值为5，解方程即可； (2)先证充分性，再证必要性；对a 的取值分类讨论，利用复合函数和对勾函数的单调性分别讨论函数()f x 的单调性即可. (1)因为00x a >>，，所以()111a f x x x =++≥=，当且仅当ax x=即x =所以15=，解得4a =； (2)先证充分性：若4a ≤， 当0a <时，()1af x x x=++， 因为y x =在(2)+∞，上单调递增，ay x=在(2)+∞，上单调递增， 所以()f x 在(2)+∞，上单调递增. 当0a =时，()1f x x =+，显然()f x 在(2)+∞，上单调递增. 当04a <≤时，()1af x x x=++由对勾函数的性质可知函数()f x 在)+∞上单调递增，由04a <≤，得02<，所以()f x 在(2)+∞，上单调递增. 再证必要性：若()f x 在(2)+∞，上单调递增， 当0a <时，()1af x x x=++， 因为y x =在(2)+∞，上单调递增，ay x=在(2)+∞，上单调递增， 所以()f x 在(2)+∞，上单调递增，所以0a <符合题意. 当0a =时，()1f x x =+，显然()f x 在(2)+∞，上单调递增，所以0a =符合题意. 当0a >时，()1af x x x=++由对勾函数的性质可知函数()f x 在)+∞上单调递增，2，得04a <≤， 综上所述，a 的取值范围为4a ≤.所以“()f x 在(2)+∞，上单调递增”的充要条件是“4a ≤”.20．已知0a >且1a ≠，函数()()2log a f x x x a =-+的定义域为R ．(1)求a 的取值范围；(2)讨论关于x 的不等式()1log a f x x >+的解集．【答案】(1)1(,1)(1,)4⋃+∞； (2)分类求解，答案见解析.【分析】(1)利用对数函数定域可得20x x a -+>恒成立，再用判别式列式计算作答.(2)由(1)的结论结合对数函数单调性分类讨论，求解关于x 的一元二次不等式作答.(1)因函数()()2log a f x x x a =-+的定义域为R ，则R x ∀∈，20x x a -+>成立，即有：140a ∆=-<，解得14a >，又0a >且1a ≠，因此，114a <<或1a >， 所以a 的取值范围是1(,1)(1,)4⋃+∞. (2)由(1)知，114a <<或1a >，不等式2()1log log ()log a a a f x x x x a ax >+⇔-+>， 当114a <<时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，于是得20x x a ax <-+<，即(1)()0x x a --<，解得1<<a x ，当1a >时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，于是得20x x a ax -+>>，即(1)()0x x a -->，且0x >，解得01x <<或x a >，所以，当114a <<时，原不等式的解集为(,1)a ， 当1a >时，原不等式的解集为()()0,1,a ∞⋃+.21．如图有一块半径为4，圆心角为2π的扇形铁皮AOB ，P 是圆弧AB 上一点（不包括A ，B ），点M ，N 分别半径OA ，OB 上．(1)若四边形PMON 为矩形，求其面积最大值；(2)若PBN 和PMA △均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．【答案】(1)8； (2)[828,8)-.【分析】(1)连接OP ，令(0)2AOP πθθ∠=<<，用θ表示出矩形PMON 的面积，再借助三角函数计算作答.(2)利用(1)中信息，用θ表示出PBN 和PMA △的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答.(1)连接OP ，如图，令(0)2AOP πθθ∠=<<，因四边形PMON 为矩形，则cos 4cos ,sin 4sin OM OP PM OP θθθθ====， 于是得矩形PMON 的面积4cos 4sin 8sin 2PMON S OM PM θθθ=⋅=⋅=，而02θπ<<， 则当22=πθ，即4πθ=时，sin 2θ取最大值1，即有max ()8PMON S =，所以矩形PMON 面积最大值为8.(2)由(1)知，4cos ,4sin PN OM ON PM θθ====，则44sin BN θ=-，44cos AM θ=-，Rt PBN 和Rt PMA △的面积和：11114cos (44sin )4sin (44cos )2222PBN PMA S SS PN BN PM AM θθθθ=+=⋅+⋅=⨯⨯-+⨯⨯- 8(sin cos )16sin cos θθθθ=+-，令sin cos t θθ+=，即2)4t πθ=+，而3444πππθ<+<，则12t < 22222sin cos (sin cos )(sin cos )1t θθθθθθ=+-+=-， 则2221()88(1)8888()102S f t t t t t t ==--=-++=--+，显然()f t 在2]上单调递减， 当2t ，即4πθ=时，min ()(2)828f t f ==，而(1)8f =，因此，8288S ≤<，所以Rt PBN 和Rt PMA △的面积和的取值范围是：[828,8).【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.22．已知函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈．(1)若()f x 在[]0,1上的值域为[]4,6，求a 的值；(2)若关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，求a 的取值范围．【答案】(1)3a =． (2)13932⎛⎤ ⎥⎝⎦，． 【分析】（1）二次函数()29f x x ax a =-+-的对称轴2a x =，讨论02a <， >12a ，012a ≤≤，分析二次函数的单调性，最值，建立方程组，求解即可；（2）将问题等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，利用基本不等式求得最小值，并得出取等号的条件，由此可得答案.(1)解：因为函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈，对称轴2a x =，且()09f a =-，()1102f a =-，21924a f a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 当02a <时，函数()f x 在0,1上单调递增，所以 ()()0416f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即941026a a -=⎧⎨-=⎩，此时无解； 当>12a 时，函数()f x 在0,1上单调递减，所以 ()()0614f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即961024a a -=⎧⎨-=⎩，解得3a =； 当012a ≤≤，即02a ≤≤时，函数()f x 在2a x =取得最小值，所以42a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21944a a --+=，方程在02a ≤≤上无解， 综上得：3a =；(2)解：关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，则()()2+910+1+222+1+1g x x x x x ==-≥=，当且仅当10+1+1x x =，即1x =，()2+9+1x g x x =在(1⎤-⎦上递减，在)1,+∞递增，而213<<，()21+9151+1g ==，()29g =，()2+913222+13g ==，()2+999133,5>>3+12233g ==，当a 13932⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不等式只有一个正整数解2x =， 所以a 的取值范围为13932⎛⎤ ⎥⎝⎦，．。
重庆市南开中学2020——2021学年第一学期高一数学周测试题12月27日(word版含答案)
重庆南开中学校高2023级数学测试12.27本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第I 卷(选择题共60分)一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.930°表示成α+2kπ(k ∈Z)的形式,则|α|的最小值为()5.6A π 2.3B π.3C π.6D π 2.集合{|1804518090,}k k k Z αα︒︒︒︒⋅+≤≤⋅+∈中的角所表示的范围(阴影部分)是()3.函数()1xf x e x =++零点所在的区间是(A.(0,1)B.(-1,0)C.(-2,-1)D.(1,2)4.当θ∈(0,π)时,若53cos(),65πθ-=-tan()6πθ+的值为() 4.3A4.3B - 3.4C 3.4D -5.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,在[0,+∞)上是增函数,若12(sin ),7a f π=52(cos ),(t n 7a )7b f c f ππ==则() A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a6.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意的x ∈R 都有33()(),22f x f x +=-当3(,0)2x ∈-时, 12()log (1)f x x =-,则f(2017)+f(2019)=A.1B.2C.-1D.-27.已知角x 的终边上一点的坐标为55(sin,cos ).66ππ则角x 的最小正值为() 5.6A π 5.3A π .611C π 2.3D π8.已知函数2|ln |,0,()43,0,x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩若函数g(x)=[f(x)]2-4f(x)+m+1恰有8个零点,则m 的取值范围是()A.(1,3)B.(2,3)C.(1,3]D.[2,3)二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.已知函数2()lg()f x x ax =-+在区间3[1,]2上单调递减,则a 的取值可以是( )A.3B.22.log 3C3.2D 10.已知3sin cos ,4θθ+=且θ∈(0,π),则() A.tanθ<0B.sin cos θθ-=C.sinθcosθ<0D.sin 3θ+cos 3θ>011.已知实数a,b,c 满足a>b>l>c>0,则下列结论正确的是().a bA c c >.log log a b B c c > 1313.log C a a <2233.a D b <12.已知函数22|log |,0()log |1|,0x x f x x x >⎧=⎨-+≤⎩.若1234()()()()f x f x f x f x ===且1234,x x x x >>>则下列结论正确的有1234.0A x x x x +++< 1234.0B x x x x +++>1244.1C x x x x ≥1144.01D x x x x <<第II 卷(非选择题共90分)三､填空题:本大题4个小题,每小题5分,共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只填结果,不写过程).13.已知扇形的圆心角为2,3π扇形的面积为3π,则该扇形的弧长为____. 14.已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=____..15.已知2sinα-cosα=0,则2sin 2sin cos ααα-=____.16.已知关于x 的不等式21log ()02m mx x -+>在[1,2]上恒成立,则实数m 的取值范围为_____.四､解答题:本大题6个小题,共70分.各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程).17.已知3sin()cos()tan()cos()222().sin(2)tan()sin()a f πππαπαααπααπαπ--++=----- (1)化简f(α).(2)若α是第三象限角,且31cos(),25a π-=求f(α).18.化简下列各式:2log 342233(2)log 9log 2log 3log 342-++⋅.19.已知关于x的方程221)20x x m -+=的两根为sinθ和cosθ(θ∈(0,π)),求(1)m 的值;sin cos (2)11tan 1tan θθθθ+--的值; (3)方程的两根及此时θ的值.20.已知函数4()l )4g(,xf xx -+=其中x ∈(-4,4) (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(2)是否存在这样的负实数k ､使22(cos )(cos )0f k f k R θθθ-+-≥∈对一切恒成立,若存在,试求出k 取值的集合;若不存在,说明理由.21.园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米,圆心角为θ(弧度)的扇形观景水池,其中O 为扇形AOB 的圆心,同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元,水池造价为每平米400元,步道造价为每米1000元.(1)当r 和θ分别为多少时,可使得广场面积最大,并求出最大面积; (2)若要求步道长为105米,则可设计出的水池最大面积是多少.22.已知a ∈R ,函数,2()log [(3)34]f x a x a =-+- (1)当a=2时,解不等式,1()0f x<;(2)若函数2(4)y f x x =-的值域为R,求a 的取值范围;(3)若关于x 的方程21()log (2)0f x a x-+=的解集中恰好只有一个元素,求a 的取值范围.。
重庆市南开中学校2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题及参考答案
重庆南开中学高2026级高一（上）开学考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟。
命题：融侨南开老师第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）1．设全集R U =，{2,1,0,1,2}A =−−，{}12B x x x =≤−>或，则()UB A = （ ）A ．{0,1}B ．{1,0}−C ．{0,1,2}D ．{1,0,1}−2．若集合{1,1}A −，{}2B x mx ==，且B A ⊆，则实数m 的值是（ ） A ．2−B ．2C ．2或2−D ．2或2−或03．关于x 的一元二次方程2310mx x −+=有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）↑ A ．94m ≤且0m ≠ B ．94m ≥ C ．94m <且0m ≠ D ．94m ≤ 4．如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度(m)h 随行时间(s)t 的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ）A ．5mB ．7mC ．10mD ．13m5．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）① ② ③ ④ A ．32B ．34C ．37D ．416(的值应在（ ） A ．10和11之间B ．9和10之间C ．8和9之间D ．7和8之间7．有三支股票A ，B ，C ，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是（ ） A ．7B ．6C ．5D ．484=的实根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题（本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．设U 为全集，下列选项中能推出B A ⊆的有（ ） A ．A B A =B ．A B A =C ．()()U U A BD ．()U A B U =10．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为()p A ，用()n A 表示有限集A 的元素个数，则下列命题中正确的是（ ）' A ．对于任意集合A ，都有()A p A ∈B ．若()()1n A n B −=，则(())2(())n p A n p B =× C ．若A B =∅ ，则()()p A p B =∅ D ．若A B ⊆，则()()p A p B ⊆11．已知115ab a b =+，117bc b c =+，116ca c a =+，则abc ab bc ca++的取值不可能是（ ） A ．121 B ．122C ．123D ．12412．有n 个依次排列的整式：第1项是(1)x +，用第1项乘以(1)x −，所得之积记为1a ，将第1项加上()11a +得到第2项，再将第2项乘以(1)x −得到2a ，将第2项加上()21a +得到第3项，以此类推；下列说法正确的是（ ）A ．第4项为4321x x x x ++++B ．41411a x =− C ．若第2022项的值为0，则20231x =D ．当3x =−时，第k 项的值为1134k +−第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相对应位置上）13．如图，已知全集U =R ，集合{1,2,3,4,5}A =，{}12B x x x =≤−≥或，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为__________．14．对于任意集合M ，N ，定义：{},M N x x M x N −=∈∉且．已知集合{}21A y y x ==+，{}3B xx =≤，则A B −=__________．15．A ，B ，C ，D ，E 五个队进行单循环赛（单循环赛制是指所有参赛队在竞赛中均能相遇一次）；胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分．若A 队2胜2负，B 队得8分，C 队得9分，E 队胜了D 队，则D 队得分为__________．16．已知有限集合{}123,,,,n A a a a a =A 的“容量”，记为()L A ．若集合{}*14A x Nx =∈≤≤，则()L A =__________；若集合{}*12,A x Nx n n N =∈≤≤∈，且()8089L A =，则正整数n 的值是__________．四、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，所有作答过程都写在答题卡相对应位置上）17．解下列各题：（1）化简：22(2)(3)4x y x x y y −−+−； （2）因式分解：22236327x xy y m −+−；（3）计算：2++ ． 18．已知关于x 的方程222(2)40x m x m +−++=有两个实数根1x ，2x ． （1）若3m =−，求1211x x +的值； （2）若22121221x x x x +=+，求实数m 的值．19．已知集合{}37A x x x =<−>或，{}121B x m x m =+≤≤−． （1）若()R R A B A = ，求m 的取值范围；（2）(){}R A B x a x b =≤≤ ，且1b a −≥，求m 的取值范围．20．已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数4y x=的图象相交于点(1,)A m ，(,2)B n −．（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； （2）根据函数图象，直接写出不等式4kx b x+>的解集； （3）若点C 是点B 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ，求ABC △的面积．21．若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M 为“勾股和数”．例如：2543M =，223425+= ，2543∴是“勾股和数”； 又如：4325M =，225229+=，2943≠，4325∴不是“勾股和数”． （1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记()9c dG M +=，|10()()|()3a cb d P M −+−=．当()G M ，()P M 均是整数时，求出所有满足条件的M ．22．设集合A 为n 元数集，若A 的2个非空子集B ，C 满足：B C A = ，B C =∅ ，则称B ，C 为A 的一个二阶划分．记B 中所有元素之和为()S B ，C 中所有元素之和为()S C ． （1）若{1,2,3}A =，求A 的一个二阶划分，使得()2()S B S C =；（2）若{1,2,,10}A = ，求证：不存在A 的二阶划分B ，C 满足()2()S C S B =； （3）若()*{1,2,,}3,N A n n n =≥∈ ，B ，C 为A 的一个二阶划分，满足：①若x B ∈，则2x B ∉；②若x C ∈，则2x C ∉．记()f n 为符合条件的B 的个数，求()f n 的解析式．重庆市南开中学高2026级开学考试数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CDA DC BADACDABDABCAC13．714．(3,)+∞15．116．5；202317．（1）222222(2)(3)444347x y x x yy x xy y x xy y xy −−+−=−+−−−=−；（2）原式()222223293()(3)3(3)(3)x xy y m x y m x y m x y m =−+−=−−=−+−− ；（3 18．（1）2m =−时，2880x x −+=，6432320∆=−=>，可得128x x +=，128x x =，21211211818x x x x x x ++===； （2）由()224(2)44160m m m ∆=−−+=−>，得0m ≤，1242x x m +=−，2124x x m =+， 由()22212121212221x x x x x x x x +=+−=+，得()222(42)24421m m m −−+=++，解得17m =舍去，或1m =−，所以实数m 的值为1−． 19．（1）由题意知：{}R 37A x x =−≤≤ ，()RRA B A = ，()RB A ∴⊆ ，①当B =∅，即121m m +>−时，满足()R B A ⊆ ，此时2m <；②当B ≠∅时，若()R B A ⊆ ，则121123217m m m m +≤−+− −≤，解得：24m ≤≤；综上所述：m 的取值范围为{}4m m ≤． （2）(){}R A B x a x b =≤≤ ，1b a −≥，B ∴≠∅，即121m m +≤−，解得：2m ≥，13m ∴+≥，213m −≥； ①当217m −≤，即4m ≤时，(){}R 121A B B x m x m ==+≤≤− ，21(1)1m m ∴−−+≥，解得：34m ≤≤；②当21717m m −>+≤ ，即46m <≤时，(){}R 17A Bx m x =+≤≤ ，7(1)1m ∴−+≥，解得：45m <≤；③当17m +>，即6m >时，()R A B =∅ ，不合题意； 综上所述：m 的取值范围为{}35m m ≤≤．20．解：（1） 反比例函数4y x=的图象过点(1,)A m ，(,2)B n −． 41m ∴=，42n =−，解得4m −，2n =−，(1,4)A ∴，(2,2)B −−， 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过A 点和B 点， 422k b k b += ∴ −+=−，解得22k b − = ，∴一次函数的表达式为22y x =+，描点作图如下图；（2）由（1）中的图象可得，不等式4kx b x+>的解集为：20x −<<或1x >； （3）由题意作图如下图：由图知ABC △中BC 边上的高为6，4BC =21．解：（1）22228+= ，820≠，2022∴不是“勾股和数”，225550+= ，5055∴是“勾股和数”； （2）M 为“勾股和数”，2210a b c d ∴+=+， 220100c d ∴<+<，()G M 为整数，9c d+为整数，9c d ∴+=． 2299|10()()|()33c d ca cb d P M +−−−+−∴==为整数，22812c d cd ∴+=−为3的倍数，cd ∴为3的倍数，∴①0c =，9d =或9c =，0d =，此时8109M =或8190；②3c =，6d =或6c =，3d =，此时4536M =或4563．22．（1）B 中所有元素之和为()S B ，C 中所有元素之和为()S C ，且()2()S B S C =，()()()3()6S A S B S C S C ∴=+==，()2S C ∴=，即可知{2}C =， B C A = ，B C =∅ ，{1,3}B ∴=． （2）假设存在符合条件的一个二阶划分B ，C 满足()2()S C S B =， 则()()()3()S A S B S C S B =+=，从而()S A 是3的倍数， 又{1,2,,10}A = ，()121055S A ∴=+++= ．55 不是3的倍数，∴假设不成立．∴不存在A 的二阶划分B ，C 满足()2()S C S B =．（3）任取偶数x A ∈，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…经过k 次以后，商必为奇数， 此时记商为m ，即2kx m =⋅，其中m 为奇数．x B ∈ ，则2x B ∈，即2x C ∈，∴若m B ∈，k 为奇数时，2k x m B =⋅∈，即x C ∈；当k 为偶数时，2kx m B =⋅∈，A ∴中的任意一个偶数2kx m =⋅的位置都是确定的，且与m 的位零相关．∴可知B 是由A 中的奇数1，3，5，…的位置确定，设n Q 表示A 中所有的奇数的集合，则()f n 等于n Q 的子集的个数．当n 是奇数时，A 中的奇数个数有2n个，此时n Q 的子集个数有22n个，即2()2n f n =；当n 是偶数时，A 中的奇数个数有12n +个，此时n Q 的子集个数有122n +个，即12()2nf n+=，所以2122,()2,nnnf nn+=是偶数是奇数．。
2020-2021学年重庆市一中高一上学期期中数学试卷
考点：对数式运算公式
3．C
【解析】
试题分析：A中函数定义域为 ，并且满足 ，函数为偶函数；B中函数定义域为 ， 且 ，函数为非奇非偶函数；C中函数定义域为 ，并且满足 ，函数为奇函数；D中函数定义域为 ，满足 ，函数为偶函数，故选C
考点：函数奇偶性
4．A
【解析】
试题分析： ，
，所以 是 的充分不必要条件，故选A
考点：1．函数单调性；2．不等式恒成立问题
【方法点睛】求解此类题目一般有两种思路：其一，当函数的单调区间比较容易求时首先求得其单调区间，将题目中给定的区间与单调区间对比，确定子集关系，从而得到参数范围；其二，利用函数的导数与单调区间的关系，如函数 在区间 上为增函数（减函数），则有 在该区间上 恒成立，转化为不等式恒成立问题，通过分离参数法求得其范围，本题求解时要注意当 时真数恒为正的限定
A、 B、 C、 D、
11．已知函数 在区间 上单调递增，那么实数 的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
12．对于任意 ，函数 的值非负，则实数 的最小值为（）
A、 B、-5C、-3D、-2
二、填空题
13．将函数 的图象向上平移1个单位，再向右平移2个单位后得到函数 ，那么 的表达式为__________．
考点：充分条件与必要条件
5．D
【解析】
试题分析：由幂函数定义可知 或 ，当 时，函数式为 ，满足在实数集 上单调，当 时，函数式为 ，不满足在实数集 上单调，所以 ，故选D
考点：幂函数及单调性
6．B
【解析】
试题分析：由 可知当 时有 ，所以函数 在实数集 上是增函数， ，结合选项 为 ，故选B
考点：函数单调性比较大小
重庆南开中学校2023-2024学年高一上学期11月阶段测试数学试题
因为函数 f (2x +1) 为奇函数，则 f (1- 2x) = - f (2x +1) ，所以， f (1- x) = - f ( x +1) ，
所以， f ( x + 3) = - f ( x +1) = f ( x -1) ，即 f ( x) = f ( x + 4) ，
故函数 f ( x) 是以 4 为周期的周期函数，
A． y = (-3)x
B．
y
=
(2m
-1)x
æ çè
m
>
1 2
,m
¹ 1ö÷ø
C． y = (0.19)x
D． y = 2 ×3x
10．（多选）若函数 f ( x) 在 (0, +¥ ) 上满足：对任意的 x1 ， x2 Î (0, +¥) ，当 x1 ¹ x2 时，
恒有
x2
f
( x1 ) - x1 f
f ( x) = 2 - x ，设函数 g ( x) = e- x-2 (-2 < x < 6) ，则（ ） A．函数 f ( x) 图象关于直线 x = 2 对称 B．函数 f ( x) 的周期为 6 C． f (2023) + f (2022) = -1 D． f ( x) 和 g ( x) 的图象所有交点横坐标之和等于 8
A． (-2,3]
B． [ -2, 3]
C． (0,3]
4．若 a = 0.23-π2 , b = 3- 2, c = 3- ，则 a, b, c 的大小关系为（ ）
A． a < b < c
B． c < b < a
C． b < a < c
重庆市南开中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题答案
重庆南开中学高2024级高一（上）期中考试数学试题本试卷分第 Ⅰ 卷(选择题)和第 Ⅱ 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第 Ⅰ 卷和第 Ⅱ 卷都答在答题卷上.第 Ⅰ 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上．1. 已知集合{}|5U x N x *=∈≤，{}0, 1, 2, 3A =，{}2, 3, 5B =，则()U A C B =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}1, 2D ．{}2, 32. 命题“21, 10x x x ∀>++>”的否定为（ ）A ．21, 10x x x ∀≤++≤B ． 21, 10x x x ∃≤++≤C ．21, 10x x x ∀>++≤D ． 21, 10x x x ∃>++≤3. 已知集合{}|11A x x =-≤≤，{}|11B y y =-≤≤，则下列图象中，能表示从集合A 到集合B 的一个函数的为（ ）ABCD4. 设a R ∈，则“2a ≥”是“24a ≥”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不必要也不充分条件5. 已知函数()22f x x ax =++在区间(),3-∞-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a =B ．3a ≤C ．6a ≤D ．6a ≥6. 函数()f x x =- ） A ．(], 2-∞ B ．[)2, +∞ C ．()2, +∞ D ．(, 2)-∞7. 已知集合{}1, 2, 3A =，集合{}2, 3, 4, 5B =，集合C 满足A C ≠∅且C B ⊆，则满足条件的集合C 的个数为（ ） A ．8 B ．12C ．16D ．248. 已知定义在(8, 8)-上的奇函数()f x 在[0, 8)上单调递增，则关于x 的不等式0)()2(32>+-x f x x f 的解集为（ ）A ．()0, 1B ．(2, 0)(1, 4)-C ．(2, 0)(1, )-+∞D ．(2, 0)(1, 2)-二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知, , a b c R ∈，若a b >，0c >，则下列关系式中恒成立的有（ ）A ．22ac bc >B ．330a b ->C ． a b >D ．2211c ca b <++ 10. 下列四组函数中是相同函数的有（ ）A ．()1, f n n n N =+∈；()1, g x x x Z =-∈B ．x x f =)(；2)(x x g =C ． ()f x=2()g t =D ． ()f x =()g x =11. 设函数()243f x x x =-+，()2g x ax =-（a R ∈），则下列说法正确的有（ ）A ．函数y =的单调递减区间为(), 2-∞ B ．若函数()()y f x g x =+为偶函数，则4a =C ．若函数y =R ，则[2, 6]a ∈D ．[]10, 3x ∀∈，[]21, 2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则1a ≤12. 群论是代数学中一门很重要的理论，我们熟知的一元五次及以上的方程没有根式解就可以群论的知识证明，群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“”是G 上的一个代数运算，若满足：①,,,a b c G ∀∈有()()a b c a b c =；②e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ==； ③,a G b G ∀∈∃∈，使a b b a e ==，则称G 关于“”构成一个群，则下列说法正确的有（ ） A ．{1, 1}G =-关于数的乘法构成群 B ．有理数集关于数的乘法构成群 C ．{2|}G m m Z =∈关于数的加法构成群D ．|,}G m n Z =∈关于数的加法构成群第 Ⅱ 卷(非选择题 共90分)三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分. 各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了“永远跟党走”文艺汇演活动. 已知高一（1）班参演了两个节目，20名同学合唱了歌曲《没有共产党就没有新中国》，10名同学表演了诗朗诵《党的赞歌》. 其中，两个节目都参加的有5名同学. 则这个班表演节目的共有____________人.14. 已知29,3,()2,3x x a R f x x a x ⎧->⎪∈=⎨-+≤⎪⎩，若(()5,f f =，则a =____________.15. 设函数()4324211x x x x f x x x -+-+=++，若函数()f x 在R 上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=____________.16. 设函数()22f x x x a =++，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围为____________.四、解答题：本大题6个小题，共70分. 各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17. （10分）设全集U R =，集合{}240A x x x a =++=，{}220B x x bx =+-=. （1）若集合A 恰有一个元素，求实数a 的值； （2）若(){}2U C A B =，(){}3U C B A =-，求A B .18. （12分）集合103x A x x ⎧-⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}23B x x =-<，{}2,C x m x m m R =<<-∈. （1）求A B ；（2）现有三个条件：①B C C =，②B C =∅，③条件:p x C ∈，:q x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件. 在这三个条件中任选一个填到横线上，并解答本题. 选择多个条件作答时，按第一选择给分.已知 ，求实数m 的取值范围.19. （12分）已知定义在R 上的函数()f x 满足：22()()2f x f x x --=+. （1）求函数()f x 的表达式；（2）若函数()()()g x f x ax a R =-∈在区间[]1, 2-上最小值为1，求实数a 的值.20.（12分）2019年7月，教育部出台《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，正式提出“五育并举”的教育方针，要求各级各类学校开足开好劳动教育课. 为此，某中学在校内开辟了种植园区，供学生劳动使用. 为保障同学们种植的作物更好地成长，学校准备采购一批优质种子. 某商家在售的优质种子，原价每千克100元，为了促销，准备对购买量大的客户执行团购优惠活动. 购买量没达到20千克时，依然按原单价执行；购买量达到或超过20千克时，超出部分每多一千克，则购买的所有产品单价每千克降低1元. 比如购买21.5千克，则所有的21.5千克均按98.5元单价执行. 另外商家规定一次性最大购买量不超过60千克.（1）求购买该种子x 千克花费的总费用y （元）关于x 的函数；（2）学校采购该种子时，幸运的获得了一张900元代金券，在购买产品总量不少于20千克时，可用来一次性抵扣900元. 那么，在购买量不超过60千克且花掉代金券的前提下，采购该批种子每千克的平均花费在什么范围？21.（12分）设二次函数()f x 满足()13f =-，且关于x 的不等式()0f x <的解集为(0, 4).（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()10mf x x -+=在区间()0, 2上有解，求实数m 的取值范围．22.（12分）已知定义在(0, )+∞上的函数()f x 满足：①(3)0f =；②()()(), 0, 2x y f xy f x f y ∀>=++； ③当()0, 1x ∈时，()2f x <-. （1）求19f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）求证：函数()f x 在()0, +∞上单调递增；（3）若实数0>a ，()194fff a f ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭在10, 2a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，求a 的取值范围.重庆南开中学2021-2022年度（上）高2024级期中考试数学试题答案一、选择题（单选）13. 2514. 4 15. 216. ⎫+∞⎪⎪⎣⎭四、解答题17. 【答案】（1）4a = （2）{}3, 1, 2A B =--【解析】（1）()1card A = 1640a ∴∆=-= 解得：4a =（2）(){}{}22 2|20U C A B B x x bx =∴∈=+-= 42201b b ∴+-=⇒=-又(){}{}23 3|40U C B A A x x x a =-∴-∈=++= 91203a a ∴-+=⇒=即{}{}2|4301,3A x x x =++==-- {}{}2|201,2B x x x =--==-检验：(){}2U C A B = ，(){}3 U C B A =-{}3, 1, 2A B ∴=--18. 【答案】（1）{}|11AB x x =-<<（2）选①：[)1,m ∈-+∞；选②[)1,m ∈+∞；选③[)1,m ∈-+∞ 【解析】（1）()()101303x x x x -<⇔-+<+ 解得：()3,1x ∈- {}|31A x x ∴=-<<23323x x -<⇔-<-<解得：()1,5x ∈-{}|15B x x ∴=-<< {}|11A B x x ∴=-<<（2）选①：B C C = C B ∴⊆当C =∅即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅即21m m m <-⇒<时，1125m m m ≥-⎧⇒≥-⎨-≤⎩；∴综上：[)1,m ∈-+∞.选②：当C =∅即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅即21m m m <-⇒<时，21m -≤-或1m ≥，m ∈∅ 综上：[)1,m ∈+∞ 选③：由题：C B Ü.当C =∅即21m m m ≥-⇒≥时，满足题意；当C ≠∅即21m m m <-⇒<时，1125m m m ≥-⎧⇒≥-⎨-≤⎩； ∴综上：[)1,m ∈-+∞.19. 【答案】（1）2()2f x x =+ （2）2a =±【解析】（1）将22()()2f x f x x --=+①中x 换成x -可得：22()()2f x f x x --=+②联立①②可解得：2()2f x x =+（2）由（1）可得：2()2g x x ax =-+，易知()g x 开口向上且关于2ax =对称 1 当1,2a≤-即2a ≤-时，()g x 在区间[1,2]-上单调递增 min ()(1)312g x g a a =-=+=⇒=-满足题意2 当12,2a -<<即24a -<<时，()g x 在[1,]2a -上单调递减，在[,2]2a上单调递增2min()()2122()24a a g x g a a ==-=⇒==-或舍3 当2,2a≥即4a ≥时，()g x 在区间[1,2]-上单调递减 min 5()(2)621[4,)2g x g a a ==-=⇒=∉+∞，舍去 综上：2a =±.20. 【答案】（1）2100,020120,2060x x y x x x ≤<⎧=⎨-+≤≤⎩（2）[45,60] 【解析】（1）当020x ≤<时，100y x =；当2060x ≤≤时，2[100(20)]120y x x x x =--=-+；2100,020120,2060x x y x x x ≤<⎧∴=⎨-+≤≤⎩.（2）设购买种子每千克的平均花费为()f x ，则由题可知2060x ≤≤；此时2120900900()120()x x f x x x x-+-==-+.当30x =时，900y x x =+取得最小值60；当60x =时，900y x x=+取得最大值75； ∴当2060x ≤≤时，900y x x=+的值域为[60,75]； 故()f x 值域为[45,60]，即购买种子每千克平均花费在[45,60]元. 21. 【答案】（1）2()4f x x x =- （2）1(,)4m ∈-+∞ 【解析】（1）由题可设()(0)(4)(0)f x a x x a =--≠，又(1)331f a a =-=-⇒=， 2()4f x x x ∴=-（2）由221()10(4)14x mf x x m x x x m x x--+=⇔-=-⇔=-在(0,2)x ∈上有解，① 当1x =时，0m =，符合题意； ② 当(0,1)(1,2)x ∈时，令1t x =-，则(1,0)(0,1)t ∈-，213232t m t t t t==----，设3() 2 ( (1,0)(0,1) )h t t t t =--∈-；()h t 在(1,0)-，(0,1)上单调递增，∴()h t 值域为(,4)(0,)-∞+∞. ∴1()y h t =值域为1(,0)(0,)4-+∞综上，当1(,)4m ∈-+∞时原方程有解. 22. 【答案】（1）6)91(-=f （2）证明见解析 （3）1≥a【解析】（1）取3==y x 得，22)3(2)9(=+=f f取1==y x 得，2)1(,2)1(2)1(-=+=f f f 取919==y x ，得，,22)91()9()1(-=++=f f f 6)91(-=f .（2）任取210x x <<，令212,x x y x x ==得：()()11222x f x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为210x x <<，所以2)(),1,0(2121-<∈x xf x x ,所以()()112220x f x f x f x ⎛⎫-=+< ⎪⎝⎭，故函数()f x 在()0, +∞上单调递增. （3）方法一：(9)2f =，所以()92ff f ff f ++=++=所以(14f x f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 由（2）知)(x f单调递增，则14x a <，（*） 定义域0,0>->x a x，此时14a 也为正 由题，在)21,0(+∈a x 上有定义，则1,21≥≤+a a a令t =222x ax a t -+=,)21,0(+∈a x ，则]4,0(,21222a x ax a a a ∈-≤+<，所以]2,(222a a x ax a t ∈-+=，]2,(a a t ∈（*）式可化为)41(22+<-t a a t 即02322<--a at t 在]2,(a a t ∈恒成立设a at t t g 232)(2--=，只需,0)2(0)(⎪⎩⎪⎨⎧<≤a g a g 解得321>a综上，1≥a .方法二：()194f a x a f⎛⎫- ⎪⎝⎭()14f a f⎫=+⎪⎭()14fff a f ⎫∴+<+⎪⎭(★)在1(0,)2a +恒成立即可， 由题，在)21,0(+∈a x 上有定义，则12a a +≤， 1a ∴≥， 下证：当1a ≥时，(★)式在区间1(0,)2a +上均成立 ()()222111210222a a a aa a +-+--∴-==≥，,a <≤又14a x -<，且)(x f 单调递增，()14fff a f ⎫∴+<+⎪⎭ ，即1a ≥时，(★)式成立.综上，1≥a。
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重庆南开中学高2021级高一上半期考试
数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合A={-1,1,2}，集合B={x|x ∈A 且2-x ∉A}，则B=（ ）
A.{-1}
B.{2}
C.{-1,2}
D.{1,2}
2、函数11
)3(-+-=x x x y 的定义域为（ ）
A. [0,3]
B.[1,3]
C.[3,+ ∞]
D.(1,3]
3、下列各组的两个函数为相等函数的是（ ）
A.)1)(1()(,11)(+-=+-=x x x g x x x f
B.52)(,)()52(2-==-x x g x f x
C.11)(,11)(22++=+-=x x x
x g x
x f
D.)()(2
4
)(,)(t t
x x g x x f ==
4、已知函数5a f ,12)121
(=-=-）（且x x f ，则a=（ ）
A.21
- B.21
C.2
D.1
5、函数123+-=x x
y 的图像为（ ）
6、已知函数f （x ）是R 上的奇函数，当x>0时，f （x ）==+-）（则21
-f ,4x x （
）
A.-1
B.0
C.1
D.23
7、函数的值域为)3,43
(,132)(-∈+-=x x x x f （ ）
A.[-2,0)
B.(-3,0)
C.[-825,0)
D.[-827,0)
8、已知f （x ）是奇函数且在R 上的单调递减，若方程0)()1(2=-++x m f f x 只有一个实数解，则实数m 的值是（ ）
A.87-
B.83-
C.41
D.8
1 9、已知开口向上的二次函数f （x ）对任意x ∈R 都满足f （3-x ）=f （x ），若f （x ）在区间 （a ，2a-1）上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）
A.（45,∞-]
B.（45,1]
C.[-2
3,+∞) D.（2,∞-] 10、已知f （x ）是定义在（-+∞∞,）上的偶函数，若f （x ）对任意的x 1，x 2∈[0,+∞)（x 1≠x 2）都满足01-x 2f -1x f ,0)()(2
121<+>--）（）（则不等式x x x f x f 的解集为（ ） A.（0,2） B.（-2,∞+） C.（-0,∞）),2(+∞⋃ D.（-2,-∞）
11、已知函数f （x ）=mx x g m x m x =-+-+)(,4)4(22若存在实数x ，使得f （x ）与g （x ）均不是正数，则实数m 的取值范围是（ ）
A.m 4≥
B.-24≤≤m
C.2≥m
D.13-≤≤-m
12、已知函数⎩⎨⎧<≥+=0x x -0x x -)(x x 22，，x f ，若关于x 的不等式[]恰有一个整数解，0)(22)(<-+b x f x af 则实数a 的最大值为（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填写在答题卡相应位置上
13、已知=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=））（（则21f f ,0,10,)(2x x
x x f x 14、函数f （x ）=x|x-2|的单调递减区间为
15、设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （-2）=0，若f （x ）在（0，∞+）单调递减，则不等式（x+1）f （x-1）>0的解集为
16、已知函数f （x ）对任意的实数x ，y 都满足f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （1）=2
1，则f （2）+f （-2）的值为
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. （10分）已知集合A={x||x-1|2≤}，B={X|
03
1>+-x x },C={x|2m-11+≤≤m x },其中m R ∈ （1）设全集为R ，求A )(B C R
（2）若R C B A = ,求实数m 的取值范围
18. （1）（4分）计算：445.00)2()49()223(1
21π--+-+-- （2）（4分）设a>0,化简：a a a a 4343
3
4--
（3）（4分）若的值求2
-1-x ,6x x x 2-21-2121++=+-x
x
19、（12分）已知函数）（上的奇函数，且是定义在21f ]2,2[1)(2-++=
x b ax x f =54 （1）求f （x ）的解析式
（2）求函数14)(2++
=x
x f y 的值域
20、（12分）已知集合A={x|R a a x a x ∈=+--+,043)22(2}，B={x|0232=+-x x }, C={x|062<-+x x }
（1）若≠B A ∅，求实数a 的取值集合
（2）若的取值范围求实数a ,C A ⊆
21、（12分）定义在（0，∞+）上的函数f （x ）满足f （xy ）=f （x ）+f （y ）对所有的正数x 、y 都成立，f （2）=-1且当x>1，f （x ）<0
（1）求f （1）的值
（2）判断并证明函数f （x ）在（0，∞+）上的单调性
（3）若关于x 的不等式f （kx ）-f （12+-kx x ）1≥在（0，∞+）上恒成立，求实数
k 的取值范围
22、（12分）已知3≥a ，函数}242|,1|2m in{)(2-+--=a ax x x F x ，其中
min{p ，q}=⎩
⎨⎧>≤q p q q
p p ,, （1）求使得等式242)(2-+-=a ax x F x 成立的x 的取值范围（用a 表示）
（2）①求F （x ）的最小值m （a ）
②求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）。