1.1集合映射及函数1

三、映射与函数
1. 映射
定义1 设 A , B 是两个非空集合.若对每一个x A , 按照某种 确定的法则f ,有唯一确定的y B 与它相对应,则称 f 为从
A 到 B的一个映射算子.记作:
f : A B, 或 f : x y f ( x) , x A.
其中,y称为x在映射f下的像，x称为y在f下的原像；
映射的 图像：
def
设 f : A B 是映射, 称集合Grf {( x, f ( x)) | x A} A B
为映射 f 的图像. 例如：
f : x x2 ,( x [1,1])的 图 像 Grf { ( x, x2 ) | x [1,1] }
Grf
1y
0.8 0.6 0.4 0.2
（1）f : A B是单射； （2） 若 x1 , x2 A, 且 x1 x2 , 则 f ( x1 ) f ( x2 ); (3) 若x1 , x2 A, 且 f ( x1 ) f ( x2 )， 则x1 x2 .
一一映射：若 f 既是满射又是单射,则称 f 是 A 到 B 上的一一映射或满单射。
A 称为映射f的定义域，记作 D( f ) A
A中所有元素x的像y的全体所构成的集合称为f 的值域，记作 R( f )或f (A).
即： R( f ) f (A) { y | y f (x) , x A}
注意: 1) 映射的要素— 定义域 、 对应法则 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
• 考试
教考分离式
• 期末成绩
平时成绩 15% 期末卷面 85%
• 答疑 每周五下午2：00-4：00 南1-217
第一章 函数,极限,连续
第一节 集合、映射与函数
一、集合 二、实数的完备性
与确界存在原理 三、映射与函数
一、集合
1. 定义和表示法
1) 定义
集合 具有某种特定性质的对象全体, 记为 A,B,C,… 。
有理数不能与坐标轴上的所有点一一对应， 因此，有理数集是不完备的。
2.确界与确界存在定理
定义1.1 （集合的有界性） 设 A R,且 A ,若存在 L R,使 x A, 有
x ()L,则称 L 为 A的一个上（下）界。 若 A既有上界又有下界,则称 A 有界,否则,称 A 无界。
由定义1.1易知， （1）A有界 M R, M 0, 使得 x A , 都有| x | M; (2) 有上界（下界）数集的上界（下界）不是唯一的。
实数集 R x x 为有理数或无理数
2. 集合之间的关系及运算
设有集合 A, B ,若 x A 必有 x B , 则称 A是B 的
子集 ,或称 A 包含于B , 记作 A B.
例如 ,
,
,
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
则称 A是B 的真子集.
记作 A B 显然有下列关系 :
元素 组成这个集合的个别对象, 记为 a,b,c,…
a∈A 如果a是集合A的元素
a A 或 a A
空集 不含任何元素的集合，记为 。
有限集 只有有限个元素的集合
无限集
注: A 为数集
A* 表示 A 中排除 0 的集 ; A 表示 A 中排除 0 与负数的集 .
2）集合的表示法
(1) 列举法： 按某种方式列出集合的全体元素
恒等映射（单位映射）： 把集 A中的每个元都映为自己的映射称为A 上的
恒等映射或单位映射，记作 I A 或I ,即 x A, Ix x . 显然，恒等映射是一一映射.
映射的 相等：
若f , g 都是从A 到B的映射,并且x A, f ( x) g( x), 则称映射f与 g相等,记作: f g.
g( A)
注意:
必须有 g( A) D( f )中,否则,不能定义复合映射.
可以推广到多个映射的情形. 复合映射满足结合律，即 f , g, 分别是 A B, B C, C D的映射，则: (g f ) （ g） f .
2). 逆映射
逆 映 射: 设 有 映 射 f : A B,若 存 在 一 个 映 射g : B A,
X
f
Y
例1 设A {(x,y) R2 | x2 y2 r,r R}, f : ( x, y) r 2
确定了一个从A 到 R的映射 f : A R . 例2 设 A R2 ,{( x,0) | x R} R {0} R2 ,则由对应法则
p : ( x, y) R2 ( x,0) R {0} 确定了一个从R2 到 R {0}的映射 p。在几何上就是平面上 点到x 轴上的投影。
集合的运算：设A,B为两个集合，定义下列运算：
并集 A B x
或
A B
交集 A B x
且
B
A
差集 A \ B x
且 xB
余集 AC I \ A (其中A I )
A\B AB
AC I
A
积集 A B (x , y) x A, y B
特例: R R 记 R 2
为平面上的全体点集
有理数与无理数统称为实数
坐标轴(数轴): 一条规定了原点和单位长度的有向直线。
有理点: 有理数在坐标轴上的对应点。
有理点在坐标轴上是处处稠密的。
无理点: 坐标轴上非有理点的点。
图中A点不是有理点，
1
o
1A
x
实数布满了整个数轴，实数集与坐标轴上的所有点 是一一对应的，实数集的这个特性称为实数的连续 性 或称实数的完备性。
满射：对于映射f：A B ,若有R( f ) B , 则称 f 是 A到B 上的映射或称满射。
内射：若R( f ) B ,则称 f 是 A 到 B内的映射或内射。 单射：若对每个 y R( f ) , 有唯一的原象x A ,
则称 f 是单射. 定理1 设有映射 f : A B,则下面三个论断是等价的：
例1.1 A {x | x sin t, t } 是一个有界数集.
2
2
L 1是它的一个上界，l 1 是它的一个下界,
并 且 任 何 大 于1的 数 也 是 它 的 上 界 ，
任何小于 1的数也都是它的下界。
例1.2 B {1, 1 , 1 ,, 1 ,} 也是有界数集. 23 n
反之不一定成立。
比如，例1.1中，supA maxA 1, infA minA -1; 在 例1.2中，infB 0 B , B 没有最小值。
iii) 若数集 A 没有上（下）界,自然也没有上（下）确
界,此时规定sup A (inf A -) .
定理1.1（确界存在定理）有上(下)界的非空实数集必 有上(下)确界. (确界存在定理对有理数集不成立)
由定义1.2 易知，例1.1中，sup A 1, inf A 1; 例1.2中， sup B 1 , inf B 0 .
注：i) 如果一个数集的上确界（下确界）存在，那
么它必定唯一。
ii) 一个数集的上(下)确界与它的最大(小)值是有区别的。
若A有最大值max A（最小值min A）, 则最大值（最小值）必是 A的上确界（下确界）。
显然，上面的推理可 以反向进行，因此相反 的 包含关系也 成立， 即: (A B)c Ac Bc. 从而 (A B)c Ac Bc. (2) 由（1）知，
(Ac Bc )c (Ac )c (Bc )c A B. 等式两边取余即得所要 证的等式。 * 以上证明的对偶原理可 以推广到任意有限多个 集合的情形。
L 1 是它的一个上界，l 1 是它的一个下界， 并且任何大于1的数也是它的上界，
任何小于 1 的数也都是它的下界。
定义1.2（确界）设 A R且A ,若存在 s R， 满足：（1）x A，有x s,
（2） 0，x0 A, 使x0 s 则称 s为A的上确界，记为sup A s 类似地可以定义A的下确界，记为inf A 。
则y B, y IB ( y) ( f g)( y) f (g( y)). 由 于 g( y) A ,所 以 f 是 满射 。 又 若f ( x1 ) f ( x2 ) , 则 必有
B AB A
集合的运算有下列运算法则：
A B B A, A B B A (A B) C A (B C)
(A B) C A (B C)
(A B) C (A C) (B C) (A B) C (A C) (B C)
A A A, A A A A A, A A ( A B) A, A ( A B) A
( A B)c Ac Bc
( A B)c Ac Bc
交换律 结合律 分配率 幂等律 吸收率
对偶率
Baidu Nhomakorabea
下面给出对偶律的证明,以此说明集合等式的证明方法。
证：(1) 事实上 ，x (A B)c x (A B) x A且 x B x Ac 且 x Bc x Ac Bc , 所以 (A B)c Ac Bc.
例： 有限集
A a1
,
a2
,,
an
ai
n i 1
自然数集 N 0,1, 2,...,n,...
整数集 Z ...,n,...,0,1, 2,...,n,...
正整数集 Z 1 , 2 , , n, N * N
(2) 描述法： A x x 具有的性质
例：有理数集
Q
p q
p Z,q Z , p 与 q 互质
2. 复合映射与逆映射
1). 复合映射
设有映射链 g : A B,
f : B C，
x u g( x),
u z,
则定义映射 f g : A B C x g( x) z f [g(x)]
称为映射 g 和 f构成的复合映射.
其中 u g( x) B 称为中间元. “”称为复合运算.
工科数学分析
1. 什么是“工科数学分析” ？ 它有哪些内容？
工科数学分析是区别于初等数学的高等数学 函数 — 研究对象 微积分 — 研究内容 也称这门课程为微积分。 极限理论——微积分的基础
2. 本课程的特点如何？
由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数 学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特 点：
对数学分析课程学习的建议和要求
1. 课前预习-----定义、定理、公式、疑点； 2. 不迟到（提前5分钟）， 不早退； 3. 认真听课，适量做笔记； 4. 疑问及时记到本子上，合适时间提问； 5. 课后及时复习，复习后做作业； 6. 认真按时完成作业.
关于数学分析课程的作业、考试和成绩
• 作业
写在16开散页纸上，抄题。 作业记平时成绩，每次批1/4, 做记录；
使
g f IA, f g IB ,
则 称 f 是 可 逆 映 射,并 且 称g 是 f 的 逆 映 射,记 作 g f 1.
容易证明,若 f 可逆,则其逆映射g 是唯一的,且 g 也是可逆的，g1 f .
定理2 映射 f：A B可逆的充要条件为 f 是一一映射.
证：（必要性）设f 可逆,则存在唯一的g : B A , 使 g f IA , f g IB
二、实数的完备性 与确界存在原理
1. 实数的完备性 实数的完备性是极限理论的基础。
有理数：形如 p
q
( p Z, q N , p的与数q。互 质 ）
有理数的特性：
• 对有理运算（＋,－,×,÷）的封闭性 •稠密性 即任意两个有理数之间必存在一个有理数。 无理数：不能表成上述形式的数（或无限十进不循环 小数）。如 2， 等5 。
概念更复杂 理论性更强 表达形式更加抽象 推理更加严谨
3.如何学好本课程？
一、 调整学习心态，尽快适应大学学习环境是 前提. 做好以下几点：
1.学习要扎扎实实，切忌不求甚解； 2.勤学好问； 3.摆脱对老师和课堂的依赖心理.
3.如何学好本课程？
二、 不断改进学习方法，提高学习效果. 1. 学会听课 -----听思路、重点、难点， 获得整体认识而不是拘泥于细节 2. 做好预习和复习 3. 解题 重视基本概念和原理的理解和掌 握；适当参考一些书籍；
就 是 区 间[1,1] 上 的 一 条 抛 物 线 （ 如 图）. --11 -0.5 o
0.5
1x 1
映射的其它称谓：
若 B 是实数集,则称映射 f : A B为泛函；
若 A, B R,则映射 f : A B 就是一元函数;
若 A B ,则 称映射f : A A为 A 上的一个变换。
映射的分类