【恒心】高考数学必背经典结论-正四面体性质【冲刺必备版】

必背经典结论---提高数学做题速度！

立体几何（必背经典结论）

之

正四面体性质（李炳璋提供）

【***】由于时间仓促，难免有误，若有错误，请及时指正！谢谢！！！

设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的

对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为

（1）对棱间的距离为a 2

2

（正方体的边长）/ 对棱中点连线段

的长 d=

2

a ；(此线段为对棱的距离，

若一个球与正四面体的6条

棱都相切，则此线段就是该球的直径。)

（2） 正四面体的高

a 3

6

（正方体体对角线l 32=）

（3） 正四面体的体积为

3

12

2a （正方体小三棱锥正方体V V V 314=-）

（4） 正四面体的全面积 S 全= 2a ；

（5） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1

（正方体体对角线正方体体对角线

：l l 2

1

61=）

（6）外接球的半径为

a 4

6 （是正方体的外接球，则半径正方体体对角线l 2

1

=） （7）内切球的半径为

a 12

6 （是正四面体中心到四个面的距离，则半径正方体体对角线l 6

1

=

） （8）相邻两面所成的二面角 α=1

arccos 3

（9）侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3

（10）对棱互相垂直。

（11）正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。

直角四面体的性质

有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体。

如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°， OA=a ,OB=b ,OC=c .则

A

B

C

D

O

H

（1）不含直角的底面ABC 是锐角三角形；

（2）直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； （3）体积 V= 16a b c ；

（4）底面面积S

△ABC

（5）S

2△BOC

=S △BHC ·S △ABC ； （6）S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2

△ABC

（7）

22221111

OH a b c =++;

（8）外接球半径

（9）内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c

∆∆∆∆++-++