2-2直杆轴向拉伸与压缩时的应力分析详解

合集下载

材料力学(机械类)第二章轴向拉伸与压缩

第
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1

轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长（简称拉伸）轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短（简称压缩）

2
拉、压的特点：

1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3

§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。（刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4

材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变形和破坏等方面的特性。

现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、低碳钢拉伸时的力学性能（含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：

N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2

2.第二章直杆的拉伸与压缩

21
§2-3 材料的力学性能
力学性能（机械性能）：指材料在外力作用下在
强度与变形等方面所表现出的性能。
材料的力学性能是通过材料的力学试验得到的，常做的力学性能试验有拉伸、压缩、弯曲、冲击、疲劳、硬度等试验。
22
一、拉伸试验
实验条件：室温、静载（缓慢加载）、小变形等金属标准试件：圆截面长试件标距L=10d；短试件 L=5d，d =10mm。试件材料：低碳钢（Q235-A）、灰铸铁试验仪器：万能试验机
8
二、外力与内力的概念
外力：物体所受其它物体所给的作用力。包括载荷和约束反力。内力：由于外力作用引起同一构件内部各质点间的附加相互作用力。内力与外力的关系：外力增加，内力随之增加，但内力达到某一限度时就会引起构件破坏，因此内力与构件的承载能力密切相关。研究构件强度问题时首先必须求内力。
蠕变极限σn 、持久极限σD ⑵应力松弛
如高温管道的法兰连接螺栓
36
3. 低温对材料力学性能的影响
低温对材料力学性能的影响主要表现为材料的塑性、韧性指标随温度的降低而减小。
当温度低于某一数值后，材料的塑性指标将急剧下降，从而转变为脆性材料，这一温度称为无塑性转变温度NDT（或脆性转变温度）。
于1900年提出
d
F F HB A D D 2 d2 D 2

39
σ b≈3.6HB(MPa)
B. 洛氏硬度
由美国人Rockwell 于1919年提出。用金刚石圆锥体或硬度钢球做压头，根据试样的压痕深度来表示硬度高低。常见有：HRA、HRB、HRC HB=10HRC
弹性性能：抵抗弹性变形的能力，
用弹性模量E表示

机械基础教材第二章强度与刚度知识ppt课件

17
§2.2 拉伸和压缩时材料的力学性质二、铸铁拉伸与压缩时的力学性能
特点：没有“屈服”和“颈缩”现象，Rm很低；铸铁的抗压强度远大于抗拉强度；宜作承压材料，不宜作拉杆材料。
18
§2.2 拉伸和压缩时材料的力学性质
三、塑性与冷作硬化
1.塑性
塑性是材料抵抗永久变形而不断裂的能力。工程中常用的塑性指标是断
件的左端为对象，列平衡方程为FN－F=0，则内力FN=F，如图（b）所示。
F
F
F
FN
（a）
（b）
5
§2.1 直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析（3）应力杆件在外力作用下，单位面积上的内力称为应力。
拉压杆横截面上各点处只产生正应力，且正应力在截面上均匀分布。
F
FN
A
FN
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。式中：
max
FN A
150 103
1570
MPa
95.5 MPa﹤ 所以斜拉杆 C 的D 强度足够。
31
§2.3 直杆轴向拉伸和压缩时的强度计算五、应力集中与温差应力 1.应力集中局部应力显著增大的现象：应力集中，使零件破坏危险性增加。
32
§2.3 直杆轴向拉伸和压缩时的强度计算 2.温差应力由于温度变化，结构或构件产生伸或缩，而当伸缩受到限制时，结构或构件内部便产生应力，称为温差应力或热应力。工业生产中输送高压蒸汽的管道要设置膨胀节，以避免受温度变化影响。
二、内力与应力（1）内力
杆件所受其他物体的作用力都称为外力，包括主动力和约束力。在外力作用下，杆件发生变形，杆件材料内部产生阻止变形的抗力，这种抗力称为内力（。2）截面法
将受外力作用的杆件假想地切开，用以显示内力的大小。并以平衡条件确定其合力的方法称为截面法。如下图（a）所示,假想将杆件切开，选取杆

轴力与应力计算

FN1=F
FN3
F
2F
FN2
FN 2 F
FN 3 F
轴力图
F
2F A
2F B
F
FN
F
F x
F
例2：已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN； F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。
A
B
F1
F2
C
D
F3
F4
A 1B
F1
1 F2
FN / kN 10
2 C 3D
2 F3 3 F4
25
P
三、轴向拉压时横截面上的应力
已知轴力的大小，是否就可以判定构件是否发生破坏？
如果轴力很大，而杆件的横截面面积也很大，杆件是否一定发生破坏？如果轴力很小，而杆件的横截面面积也很小，杆件是否一定不发生破坏？
不能只根据轴力就判断杆件是否有足够的强度；还必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。在拉压杆的横截面上，与轴力对应的应力是正应力。
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
例1、起吊三角架，如图所示，已知AB杆由2根截面面积为10.86cm2的角钢制成，P=130kN，=30O。求AB杆横截面上的应力。
B
C
A
P
NAB
变形前
受载后
F
F
所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线且与轴线垂直。
1.平面假设 (Plane assumption)
变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面，且仍垂直于轴线.

5 材料力学第二章轴向拉伸和压缩

μ
16锰钢
合金钢铸铁混凝土石灰岩木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面上分布内力的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。“EA”称为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类：延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷，玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示，即此类材料的失效应力。锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标

材料力学第二章-轴向拉伸与压缩

FN 3 P
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆，当截面变化缓慢时，横截面上旳正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等效旳合力替代原力系，则这种替代对构件内应力与应变旳影响只限于原力系作用区域附近很小旳范围内。对于杆件，此范围相当于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n

直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析和拉伸与压缩时材料的力学性能——教案

直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析和拉伸与压缩时材料的力学性能——教案第一章：直杆轴向拉伸与压缩的基本概念1.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的基本概念；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。

1.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的定义；2. 直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。

1.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的基本概念；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。

第二章：直杆轴向拉伸与压缩的变形分析2.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。

2.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。

2.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。

3.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。

3.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。

3.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。

第四章：拉伸与压缩时材料的力学性能4.1 学习目标1. 了解拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 掌握拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。

4.2 教学内容1. 拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。

4.3 教学活动1. 讲解拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 分析拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。

第五章：实例分析与应用5.1 学习目标2. 能够应用所学知识解决实际问题。

5.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的实例分析；2. 应用所学知识解决实际问题。

5.3 教学活动1. 分析直杆轴向拉伸与压缩的实例；2. 解决实际问题，巩固所学知识。

第六章：弹性模量的概念与应用6.1 学习目标1. 理解弹性模量的定义及其物理意义；2. 掌握弹性模量在材料力学中的应用。

工程力学第2章轴向拉伸压缩与剪切

拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
F
N （＋） N
F
F
N （－） N
F
轴力一般按正方向假设。
3、轴力图：轴力沿轴线变化的图形
F
F
N
4、轴力图的意义
+ x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系；
② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。
1、低碳钢轴向拉伸时的力学性质 (四个阶段)
⑴、弹性阶段:OA
OA’为直线段； E
AA’为微弯曲线段。
p —比例极限； e —弹性极限。
一般这两个极限相差不大，在工程上难以区分，统称为弹性极限
低碳钢拉伸时的四个阶段
⑴、弹性阶段:OA, ⑵、屈服阶段:B’C。
s —屈服极限
屈服段内最低的应力值。
例图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N1
A
BC
D
FA
FB
FC
FD
解：求OA段内力N1：设截面如图
X 0 FD FC FB FA N1 0
N4= F
FD
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
轴力图如下图示
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N 2F
5F

材料力学第二章轴向拉伸与压缩习题答案

3-13图示结构的AB杆为刚性杆，A处为铰接，AB杆由钢杆BE与铜杆CD吊起。已知CD杆的长度为，横截面面积为，铜的弹性模量；BE杆的长度为，横截面面积为，钢的弹性模量。试求CD杆和BE杆中的应力以及BE杆的伸长。
解：为一次超静定问题。
静力平衡条件：
： ①
变形协调方程：
即：
即： ②
由①②解得：
由于内压的作用，油缸盖与缸体将有分开的趋势，依靠六个螺栓将它们固定在一起。
油缸盖受到的压力为
由于6个螺栓均匀分布，每个螺栓承受的轴向力为
由螺栓的强度条件
≤
可得螺栓的直径应为
≥
3-3图示铰接结构由杆AB和AC组成，杆AC的长度为杆AB长度的两倍，横截面面积均为。两杆的材料相同，许用应力。试求结构的许用载荷。
第二章
2-1试求图示直杆横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并画出轴力图。
2-2图示中部对称开槽直杆，试求横截面1-1和2-2上的正应力。
解：
1．轴力
由截面法可求得，杆各横截面上的轴力为
2．应力
MPa MPa
MPa MPa
2-3图示桅杆起重机，起重杆AB的横截面是外径为、内径为的圆环，钢丝绳BC的横截面面积为。试求起重杆AB和钢丝绳BC横截面上的应力。
解：
由几何关系，有
取AC杆为研究对象
：
由此可知：当时，
由 ≤
可得
≥
3-9图示联接销钉。已知，销钉的直径，材料的许用切应力。试校核销钉的剪切强度，若强度不够，应改用多大直径的销钉。
解：
1．校核销钉的剪切强度
MPa MPa
∴销钉的剪切强度不够。
2．设计销钉的直径
由剪切强度条件 ≤ ，可得

轴向拉伸与压缩时横截面上的应力

图46fncfabdcbff二轴向拉伸与压缩时杆横截面上的正应力由材料的均匀性连续性假设可以推断出轴力在横截面上的分布是均匀的而且都垂直于横截面故横截面上的正应力也是均匀分布的如图46c所示
第三节轴向拉伸与压缩时横截面上的应力一、应力的概念应力的概念
1、定义定义：内力在截面上分布的集度称为内力定义 2、分类正应力—垂直于横截面的应力分类：正应力分类用 σ 表示切应力—相切于横截面的应力切应力用 τ 表示图4-5
1 2
F
1 2
F
解 (1) 计算轴力由截面法可求得杆中各横截面上的轴力均为
a)
FN F
b)
图4-7
FN = -F = -20kN
A1
h0 h
A2பைடு நூலகம்
h
b b
c)
(2)计算最大正应力图4-7 由于整个杆件轴力相同，故最大正应力发生在面积较小的横截面上，即开槽部分的横截面上如图4-7c,其面积为
A = (h-h0 )b = (25-10)
b a) a′
d
中始终为直线，只是从起始位置平
c′
移到a′b′和c′d′的位置，但仍
F
b′ b) d′
F
垂直于杆轴线；各纵向线伸长量相同，横向线收缩量也相同如图4-6b。
2、结论
F FN
c)
受拉伸的杆件变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，仅沿轴线产生了相对平移仍与杆的轴线垂直。
图4-6
由材料的均匀性、连续性假设可以推断出轴力在横截面上的分布是均匀的，而且都垂直于横截面，故横截面上的正应力也是均匀分布的，如图4-6c所示。因此，轴向拉伸与压缩时的横截面上的正应力计算公式为

轴向拉伸与压缩1(内力与应力)

1 4、作内力图 P 1 FN P P
2
3 P
2
3
P
P
x
[例2] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
O
A
PA PB
B
C
PC
D
PD D PD
FN1
A PA
B PB
C PC
解：求OA 段内力FN1，设置截面如图
F
x
0 F N 1 P A PB PC P D 0
解： 1、求1-1截面上内力 FN1，设置截面如图
F
x
0
1 P 1 FN1 P P P
2
3
P
FN 1 P 0 FN 1 P
P
2
3
2、2-2截面上的内力
F
x
0
P
FN2
P P
FN 2 0
3、3-3截面上的内力
FN 3 P
P
FN3
FN 1 P FN 2 0
FN 3 P
2
s
α
t
Pa
1 2
t p sin s cos sin
s sin 2
四、sα 、tα出现最大的截面
1、=0º 即横截面上，s达到最大
s s cos s
2
t 0
t max s cos sin
1 2
2、=45º 的斜截面上， t剪应力达最大
P -3P x
★轴力图的特点：
1）遇到集中力，轴力图发生突变；
2）突变值 = 集中载荷的大小
5kN FN 5KN

第二章轴向拉伸和压缩

60 MPa
已知：薄壁圆环，长度为b，内径d=200mm，壁厚δ=5mm，承受p=2MPa的内压力作用。求：圆环径向截面上的拉应力
b
δ p
p
d
将钢环截开，取上半部为研究对象
Fy 0

p
0
得：
b d sin d
2 pb d 2FN

2FN 0 FN p
bd 2
ABC杆为圆杆，直径d=10mm
钢材的
F1 A
E 200GPa
0.28
F2 B
C F3
求：（1）杆的伸长（2）BC 段变形后的直径
解：作杆的轴力图 F1 A
F2 B
C F3
杆的横截面面积
FN（kN） 10
10
A 102 106 m2 78.5106 m2
4
l
内力 — 是一个分布力系，利用截面法求得的是该分布力系的合力。
F1
F2
F3
Fn
应力 — 内力在一点的分布集度
通俗地说，应力就是单位面积上的内力。
2、平均应力
pm

F A
F 是矢量
pm 也是矢量
3、应力
p lim F A0 A
F1
F
C
A
F2
F1
p
C
称为C点的应力
F2
4、正应力和切应力
长度为1.2 m，BD杆为8号槽钢，长
F
度为1.6 m，F=60kN，
C
B
材料的 160MPa
3
4
求：（1）校核结构的强度
（2）计算B点的位移
D
解：