寿险精算习题及答案讲解学习
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100 Var ( z)
二、延期定额寿险
0.9) Pr(t
fx(t)tpx x
0.9
tdt
z100
R)E( z)}
N(0,1)
1.96
10 R
DAx
ln
lnv
0.9)
t|
dt
2Ax
Pr(t
e(
)t
(Ax)2
t，则，
ln
ln
ln0 .9e
1
18
0.9)
0.9，
0.92 ln0.9
e
0.9，
N{ 100E (z),100Var ( z)}，根据题意，
III
六、延期寿险
【例4.7 】某人在 40岁时投保了一份寿险保单， 死亡年年末赔付，如果在 40-60岁死亡，赔付
50000元；65-75岁死亡，赔付100000元；在75岁后死亡， 保险金为 30000元。利用生命表93U、利率 6%条件下的转换基数表计算该保单趸缴净保费。
解、这份保单可以分解为一份 50000元的25年定期寿险、一份 100000元延期 25年的 10年定期 寿险和一份 30000元延期35年的终身寿险的组合，即，
1809
1.032
1705.16
3
1000*2|q40=1.986
1986
1.033
1817.47
4
1000*3|q40=2.181
2181
1.034
1937.79
5
1000*4|q40=2.391
2391
1.035
2062.50
合计
---
10017
---
9124.86
根据上表可知 100张保单未来赔付支出现值为：
定给付 10年年金， 如果被保险人到 70岁依然存活， 则从70岁起获得生存年金。 如果年金每年 年初支付一次，每次支付 6000元，利率 6%，根据93U生命表计算趸缴净保费。
III、 20年定期两全保险：
A
22
DA50:20|(DM50DM70DD70)/ DD50(M50M70D70) /D50
2
(225.6235-60.4193 209.471)/2 773.6211-((11729.04-6149.05 12374.69)/ 51090.53)2IV、延期 10年终身寿险：
求A40和 DA40。
当x
40，fx(t)
1，0 t 100
60
40
60。
160 t
1t
60
10.05t
60
A40
etdt
e
0
e
0600.31674 ，
600
60
60
0.05
2
160
2t
12 t
60
120.05t
60
A40
e2 tdt
e
0
e
0600. 1662544，
600
2 60
2 600.05
DA40
解：I、单位趸缴纯保费为，
64
k 1 2 3 65
A40vk|q40vq40v1|q40v2|q40... v64|q400.18853(元)。
k0
II、单位赔付现值期望的方差为，
64
2
k0
III、趸缴纯保费为，10000 A401885.29 (元)
三、n年定期生存寿险
【例4.5 】某人在 40岁时投保了 10000元20年定期生存寿险， 死亡赔付在死亡年年末， 利率为
根据上表可知 100张保单未来赔付支出现值为：
1000 （1
解：II
表4–2死亡赔付现值计算表
年份
年内死亡人数
赔付支出
折现因子
赔付支出现值
（1）
（2）
( 3)=1000*(2)
（4）
(5)=(3)*(4)
1
1000* q40=1.650
1650
1.031
1601.94
2
1000*1|q40=1.809
习题
第一章人寿保险
一、n年定期寿险
【例 4.1 】设有 100个40岁的人投保了 1000元 5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率 为3%。
I、如果各年预计死亡人数分别为 1、2、3、 4、5人，计算赔付支出；
II、根据 93男女混合表，计算赔付支出。
解：I
表4–1死亡赔付现值计算表
年份
年内死亡人数
50000(13451.43 7800.72)700004432.388008.487(元)
93942.958008.487(元)
这份保单还可以分解为一份 30000元终身寿险、一份 200000元的 35年定期寿险和一份50000元延期 25年的 10年定期寿险的组合，即，
七、变额寿险
【例 4.8 】利用计算基数表求下列保单在被保险人50岁签单时的 1单位元趸缴纯保费和方差，
22
10|DA50:20|(DM60DM80DD80) /DD50(M60M80D80) /D50
2
(130.1094-18.522 40.7625)/2773.6211- ((9301.66- 2802.27 4312.51)/51090.53)20.010144
第三节 连续型(死亡即刻赔付)寿险趸缴纯保费
方差：
10Ax
0.12te0.0410
0.04t
e dt
0.0410
0.16t
e dt
0.25e0.16t|10x0.25e1.60.050474
10|D Ax
22
102Ax(10|Ax)20.028820484
中位数
0.05：
当事件zt0时，意味着被保险人一直处于延期范围，在这段时间会有一个累积死亡概率， 也称为重点概率。在本例中延期范围m 10，则，
93U生命表计算单位元精算现值的期望和方差，并计算每年可领取的金额。
解、a45
N46
1610605 .74615.128
D45
106465.32
Da45
1
2
2
[DM45(M45)2](1 i)2
[DM45
(M45)2]
d2
[DD45(D45) ]i2
DD45
D45
2
1.05
2
0.05
每年可领取金额
【例 5.2 】某人在 40岁购买了一份 20年定期生存年金产品，如果存活可在每年年初领取1000
例 4.3 】某人在 50岁时投保了 100000元 30年期定期寿险，利率为
x
lx1000（1），计算趸缴纯保费。
100000 1 1
20468.70 (元)
55
二、终身寿险
【例 4.4 】某人在 40岁时投保了 10000元终身寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据
93男女混合表计算：
I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、(总)趸缴纯保费；
2A40
(A40)2
0.06593 ；
例 4.10】(x)投保终身寿险，
死亡即刻赔付 1元。假设余命服从常数死亡率分布，
利息力0.03。计算，I、Ax、D Ax；II 、Pr(zt0.9) 0.9 ，求0.9；III、假设有100 个(x)独立同分布的个体购买了该保险， 每人世纪缴纳保费为(1 R)Ax。在正态分布条件下 要使保费有 95%的概率足够支付死亡赔偿，计算R。
xt
解、在常数死亡力下，
tpxexp(
ds)
ut
，则，
I、
Ax
2Ax
II、Pr(zt
0.9)
tpx x tdt
(2 ) tdt
Pr(vt
t(余命)的密度函数
Pr(t
ln0.9)
ln
解得，
0.9
0.9；
III、zagg
z1
z2
Pr{zagg
100
(1
zaபைடு நூலகம்g100
E(z)
100 Var (z)
100 R E( z)
赔付支出
折现因子
赔付支出现值
（1）
（2）
(3)=1000*(2)
（4）
(5)=(3)*(4)
1
1
1000
1.031
970.87
2
2
2000
1.032
1885.19
3
3
3000
1.033
2745.43
4
4
4000
1.034
3553.95
5
5
5000
1.035
4313.04
合计
---
15000
---
13468.48
2 1 2 3 4 5
1000
元） 则每张保单未来赔付的精算现值为 91.25 元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
【例4.2 】某人在 40岁时投保了 10000元3年期定期寿险， 死亡赔付在死亡年年末， 利率为5%。 根据 93男女混合表计算：
I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III
10
P
也就是说有 32.968%的死亡事件发生在延期范围内。 由于 0.32968<0.5 ，说明中位数不在重点 概率上。则，
r
0.04e
10
中位数 =17.33 。
第五章 生存年金
第一节 离散型年金
1、终身生存年金
【例5.1 】某人今年 45岁，花费 10000元购买了一份期末付终身生存年金产品，利率5%，根据
【例 4.6 】某人在 40岁时投保了10000元20年两全寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。
根据 93男女混合表计算：
I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、(总)趸缴纯保费；
解：I、单位趸缴纯保费为，A40:20|A410:20|A40:201|0.391722(元)
II
0.04x
，( x 0)。求赔付现值zt趸缴净保费、方差和
中位数
0.05。
解，fx(t)
S( x t)
S(x)
0.04(x
0.04e0.04(x
t)
0.04x
0.04t
0.04e0.04t，
趸缴净保费：
10|Ax
x
e
10
0.06t0.04
0.04t
e dt
0.04
xe0.1tdt
0.4e0.1t|10x0.4e10.147152
DA50DM50/ DD50M520/D520225.6235/2 773.6211-(11729.04 51090.53)20.028642II、 20年定期寿险：
A
DA510:20|(DM50DM70) / DD50(M50M70)2/ D520
2
(225.6235-60.4193)/2 773.6211-((11729.04-6149.05)/5 1090.53)20.047634
5%。根据 93男女混合表计算：
I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、(总)趸缴纯保费；
解：I、单位趸缴纯保费为，A40:201|v2020p400.342332(元)
II、单位赔付现值期望的方差为，v2 2020p40 20q400.0313891
III
纯保费 +风险附加费用
四、n年定期两全保险
10|DA50:20|(DM60DM80) / DD50(M60M80) / D50
2
(130.1094-18.522)/2773.6211-((9301.66-2802.27)/5 1090.53)20.024048
VI、延期10年的 20年定期两全保险：
10|A50:20|(M60M80D80) / D50(9301.66- 2802.27 4312.51)/51090.53 0.211622
元的给付，利率 6%，根据93U生命表计算精算现值。
元) 3、延期终身生存年金
【例5.3 】对于( 30)从60岁起每年年初 6000元的终身生存年金，利率为 6%，试用93U生命表
求趸缴净保费。
4、延期定期生存年金
【例 5.4 】某人在 30岁时投保养老金保险，保险契约规定，如果被保险人存活到60岁，则确
死亡年度末给付，年利率 6%，参照生命表(U,93,1000000):
I、终身寿险；II、20年定期寿险；III、20年定期两全保险；IV、延期 10年终身寿险；V、延期 10年的20年定期寿险；VI、延期10年的 20年定期两全保险。
解、I、终身寿险：
A50M50D5011729.04 51090.53 0.229574
Pr{
AxDAx
zagg100 E( z)
100 Var (z)
100 R E( z)}
100 Var (z)
0.95
1.96DAx
10 Ax
1.961/ 18
20/3
0.069296465
例 4.11】(x)投保延期10年的终身寿险，
保额为 1单位元， 保险金在死亡时即刻给付。已知
利息力为
0.06，生存函数S(x) e
10|A50M60/D509301.66/51090.53 0.182062
2 2 2
10|DA50DM60/ DD50M620/ D520130.1094/2773.6211- (9301.66/51090.53)20.013763V、延期10年的 20年定期寿险：
10|A510:20|(M60M80) / D50(9301.66- 2802.27)/51090.53 0.127213
二、延期定额寿险
0.9) Pr(t
fx(t)tpx x
0.9
tdt
z100
R)E( z)}
N(0,1)
1.96
10 R
DAx
ln
lnv
0.9)
t|
dt
2Ax
Pr(t
e(
)t
(Ax)2
t，则，
ln
ln
ln0 .9e
1
18
0.9)
0.9，
0.92 ln0.9
e
0.9，
N{ 100E (z),100Var ( z)}，根据题意，
III
六、延期寿险
【例4.7 】某人在 40岁时投保了一份寿险保单， 死亡年年末赔付，如果在 40-60岁死亡，赔付
50000元；65-75岁死亡，赔付100000元；在75岁后死亡， 保险金为 30000元。利用生命表93U、利率 6%条件下的转换基数表计算该保单趸缴净保费。
解、这份保单可以分解为一份 50000元的25年定期寿险、一份 100000元延期 25年的 10年定期 寿险和一份 30000元延期35年的终身寿险的组合，即，
1809
1.032
1705.16
3
1000*2|q40=1.986
1986
1.033
1817.47
4
1000*3|q40=2.181
2181
1.034
1937.79
5
1000*4|q40=2.391
2391
1.035
2062.50
合计
---
10017
---
9124.86
根据上表可知 100张保单未来赔付支出现值为：
定给付 10年年金， 如果被保险人到 70岁依然存活， 则从70岁起获得生存年金。 如果年金每年 年初支付一次，每次支付 6000元，利率 6%，根据93U生命表计算趸缴净保费。
III、 20年定期两全保险：
A
22
DA50:20|(DM50DM70DD70)/ DD50(M50M70D70) /D50
2
(225.6235-60.4193 209.471)/2 773.6211-((11729.04-6149.05 12374.69)/ 51090.53)2IV、延期 10年终身寿险：
求A40和 DA40。
当x
40，fx(t)
1，0 t 100
60
40
60。
160 t
1t
60
10.05t
60
A40
etdt
e
0
e
0600.31674 ，
600
60
60
0.05
2
160
2t
12 t
60
120.05t
60
A40
e2 tdt
e
0
e
0600. 1662544，
600
2 60
2 600.05
DA40
解：I、单位趸缴纯保费为，
64
k 1 2 3 65
A40vk|q40vq40v1|q40v2|q40... v64|q400.18853(元)。
k0
II、单位赔付现值期望的方差为，
64
2
k0
III、趸缴纯保费为，10000 A401885.29 (元)
三、n年定期生存寿险
【例4.5 】某人在 40岁时投保了 10000元20年定期生存寿险， 死亡赔付在死亡年年末， 利率为
根据上表可知 100张保单未来赔付支出现值为：
1000 （1
解：II
表4–2死亡赔付现值计算表
年份
年内死亡人数
赔付支出
折现因子
赔付支出现值
（1）
（2）
( 3)=1000*(2)
（4）
(5)=(3)*(4)
1
1000* q40=1.650
1650
1.031
1601.94
2
1000*1|q40=1.809
习题
第一章人寿保险
一、n年定期寿险
【例 4.1 】设有 100个40岁的人投保了 1000元 5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率 为3%。
I、如果各年预计死亡人数分别为 1、2、3、 4、5人，计算赔付支出；
II、根据 93男女混合表，计算赔付支出。
解：I
表4–1死亡赔付现值计算表
年份
年内死亡人数
50000(13451.43 7800.72)700004432.388008.487(元)
93942.958008.487(元)
这份保单还可以分解为一份 30000元终身寿险、一份 200000元的 35年定期寿险和一份50000元延期 25年的 10年定期寿险的组合，即，
七、变额寿险
【例 4.8 】利用计算基数表求下列保单在被保险人50岁签单时的 1单位元趸缴纯保费和方差，
22
10|DA50:20|(DM60DM80DD80) /DD50(M60M80D80) /D50
2
(130.1094-18.522 40.7625)/2773.6211- ((9301.66- 2802.27 4312.51)/51090.53)20.010144
第三节 连续型(死亡即刻赔付)寿险趸缴纯保费
方差：
10Ax
0.12te0.0410
0.04t
e dt
0.0410
0.16t
e dt
0.25e0.16t|10x0.25e1.60.050474
10|D Ax
22
102Ax(10|Ax)20.028820484
中位数
0.05：
当事件zt0时，意味着被保险人一直处于延期范围，在这段时间会有一个累积死亡概率， 也称为重点概率。在本例中延期范围m 10，则，
93U生命表计算单位元精算现值的期望和方差，并计算每年可领取的金额。
解、a45
N46
1610605 .74615.128
D45
106465.32
Da45
1
2
2
[DM45(M45)2](1 i)2
[DM45
(M45)2]
d2
[DD45(D45) ]i2
DD45
D45
2
1.05
2
0.05
每年可领取金额
【例 5.2 】某人在 40岁购买了一份 20年定期生存年金产品，如果存活可在每年年初领取1000
例 4.3 】某人在 50岁时投保了 100000元 30年期定期寿险，利率为
x
lx1000（1），计算趸缴纯保费。
100000 1 1
20468.70 (元)
55
二、终身寿险
【例 4.4 】某人在 40岁时投保了 10000元终身寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据
93男女混合表计算：
I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、(总)趸缴纯保费；
2A40
(A40)2
0.06593 ；
例 4.10】(x)投保终身寿险，
死亡即刻赔付 1元。假设余命服从常数死亡率分布，
利息力0.03。计算，I、Ax、D Ax；II 、Pr(zt0.9) 0.9 ，求0.9；III、假设有100 个(x)独立同分布的个体购买了该保险， 每人世纪缴纳保费为(1 R)Ax。在正态分布条件下 要使保费有 95%的概率足够支付死亡赔偿，计算R。
xt
解、在常数死亡力下，
tpxexp(
ds)
ut
，则，
I、
Ax
2Ax
II、Pr(zt
0.9)
tpx x tdt
(2 ) tdt
Pr(vt
t(余命)的密度函数
Pr(t
ln0.9)
ln
解得，
0.9
0.9；
III、zagg
z1
z2
Pr{zagg
100
(1
zaபைடு நூலகம்g100
E(z)
100 Var (z)
100 R E( z)
赔付支出
折现因子
赔付支出现值
（1）
（2）
(3)=1000*(2)
（4）
(5)=(3)*(4)
1
1
1000
1.031
970.87
2
2
2000
1.032
1885.19
3
3
3000
1.033
2745.43
4
4
4000
1.034
3553.95
5
5
5000
1.035
4313.04
合计
---
15000
---
13468.48
2 1 2 3 4 5
1000
元） 则每张保单未来赔付的精算现值为 91.25 元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
【例4.2 】某人在 40岁时投保了 10000元3年期定期寿险， 死亡赔付在死亡年年末， 利率为5%。 根据 93男女混合表计算：
I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III
10
P
也就是说有 32.968%的死亡事件发生在延期范围内。 由于 0.32968<0.5 ，说明中位数不在重点 概率上。则，
r
0.04e
10
中位数 =17.33 。
第五章 生存年金
第一节 离散型年金
1、终身生存年金
【例5.1 】某人今年 45岁，花费 10000元购买了一份期末付终身生存年金产品，利率5%，根据
【例 4.6 】某人在 40岁时投保了10000元20年两全寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。
根据 93男女混合表计算：
I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、(总)趸缴纯保费；
解：I、单位趸缴纯保费为，A40:20|A410:20|A40:201|0.391722(元)
II
0.04x
，( x 0)。求赔付现值zt趸缴净保费、方差和
中位数
0.05。
解，fx(t)
S( x t)
S(x)
0.04(x
0.04e0.04(x
t)
0.04x
0.04t
0.04e0.04t，
趸缴净保费：
10|Ax
x
e
10
0.06t0.04
0.04t
e dt
0.04
xe0.1tdt
0.4e0.1t|10x0.4e10.147152
DA50DM50/ DD50M520/D520225.6235/2 773.6211-(11729.04 51090.53)20.028642II、 20年定期寿险：
A
DA510:20|(DM50DM70) / DD50(M50M70)2/ D520
2
(225.6235-60.4193)/2 773.6211-((11729.04-6149.05)/5 1090.53)20.047634
5%。根据 93男女混合表计算：
I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、(总)趸缴纯保费；
解：I、单位趸缴纯保费为，A40:201|v2020p400.342332(元)
II、单位赔付现值期望的方差为，v2 2020p40 20q400.0313891
III
纯保费 +风险附加费用
四、n年定期两全保险
10|DA50:20|(DM60DM80) / DD50(M60M80) / D50
2
(130.1094-18.522)/2773.6211-((9301.66-2802.27)/5 1090.53)20.024048
VI、延期10年的 20年定期两全保险：
10|A50:20|(M60M80D80) / D50(9301.66- 2802.27 4312.51)/51090.53 0.211622
元的给付，利率 6%，根据93U生命表计算精算现值。
元) 3、延期终身生存年金
【例5.3 】对于( 30)从60岁起每年年初 6000元的终身生存年金，利率为 6%，试用93U生命表
求趸缴净保费。
4、延期定期生存年金
【例 5.4 】某人在 30岁时投保养老金保险，保险契约规定，如果被保险人存活到60岁，则确
死亡年度末给付，年利率 6%，参照生命表(U,93,1000000):
I、终身寿险；II、20年定期寿险；III、20年定期两全保险；IV、延期 10年终身寿险；V、延期 10年的20年定期寿险；VI、延期10年的 20年定期两全保险。
解、I、终身寿险：
A50M50D5011729.04 51090.53 0.229574
Pr{
AxDAx
zagg100 E( z)
100 Var (z)
100 R E( z)}
100 Var (z)
0.95
1.96DAx
10 Ax
1.961/ 18
20/3
0.069296465
例 4.11】(x)投保延期10年的终身寿险，
保额为 1单位元， 保险金在死亡时即刻给付。已知
利息力为
0.06，生存函数S(x) e
10|A50M60/D509301.66/51090.53 0.182062
2 2 2
10|DA50DM60/ DD50M620/ D520130.1094/2773.6211- (9301.66/51090.53)20.013763V、延期10年的 20年定期寿险：
10|A510:20|(M60M80) / D50(9301.66- 2802.27)/51090.53 0.127213