用空间向量求空间角共22张
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用向量方法求空间中的角 课件
求空间距离
●
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是
A1B1，CD的中点，求点B到平面AEC1F的距离．
思路点拨： AB是平面AEC1F的斜线段，AB在平面AEC1F的法向量 方向上的投影长即为点B到平面AEC1F的距离，所以应先求出平面 AEC1F的一个法向量，再利用向量的数量积求解．
co〈s A→B ，C→D 〉＝
→→
A B ·C D
→→
|A B |·|C D |
角的 分类
向量求法
设二面角 α－l－β 的平面
二角 面
角为 θ，平面 α、β 的法向 量为 n1，n2，则 _|c_o_s_〈__n_1_，__n_2〉__|_＝||nn11|··|nn22||
图形
1．对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识： (1)斜线与平面的夹角范围是0，π2；而直线与平面的夹 角范围是0，π2. (2)设A→B在平面 α 内的射影为A′→B′，且直线 AB 与平面 α 的夹角为 θ，则|A′→B′|＝|A→B|·cos θ.
解析： 以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，F0，12，0， E1，12，1，B(1,1,0)． ∴A→E＝0，12，1， A→F＝－1，12，0.
设平面 AEC1F 的法向量为 n＝(1，λ，μ)， 则 n·A→E＝0，n·A→F＝0.
∴12－λ＋1＋μ＝12λ0＝，0，
用向量方法求空间中的角
空间角的向量求法
角的 分类
向量求法
图形
异面 设两异面直线所成的角为
直线 θ，它们的方向向量为 a，b，
所成 则 cos θ＝_|c_o_s_〈__a_·_b_〉__| ＝ |a·b|
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
用向量法求空间角 人教课标版精品公开PPT课件
设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，直线 lθ与＝平_π2面__－α__θ所__1 成__的_，角且为sθin，θ向＝|量_c_ov_s与_θ_n_1的_|_＝夹__|角_|v_v|为_··_θ_n|_|n1_|，__则_.
(3)二面角的平面角
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
若AC、BD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直 的异面直线，则二面角的大小就是向量_A→_C______、 _B→_D______的夹角(如图42－1所示)．
则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． B→C1＝(－1,0,2)，A→E＝(－1,2,1)， cos〈B→C1，A→E〉＝|B→BC→C1|1··A→|EA→E|＝ 1300.所以异面直线 BC1 与 AE
所成角的余弦值为 1300.
(2)直线与平面所成的角
3
则A→O1·B→C1＝32，|A→O1|＝ 26，|B→C1|＝
2，cos〈A→O1，B→C1〉＝
2 26×
＝ 23， 2
∴BC1 与 AO1 的夹角为π6.
答案：A
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1
的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( )
1. 两条异面直线所成的角
【例1】 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点， P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求异面直线AM与PQ所成角的余弦 值．
解 如图，建立空间直角坐标系 B－xyz，
则 A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，
uuur uuur uFuuEur uAuPuur
(3)二面角的平面角
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
若AC、BD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直 的异面直线，则二面角的大小就是向量_A→_C______、 _B→_D______的夹角(如图42－1所示)．
则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． B→C1＝(－1,0,2)，A→E＝(－1,2,1)， cos〈B→C1，A→E〉＝|B→BC→C1|1··A→|EA→E|＝ 1300.所以异面直线 BC1 与 AE
所成角的余弦值为 1300.
(2)直线与平面所成的角
3
则A→O1·B→C1＝32，|A→O1|＝ 26，|B→C1|＝
2，cos〈A→O1，B→C1〉＝
2 26×
＝ 23， 2
∴BC1 与 AO1 的夹角为π6.
答案：A
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1
的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( )
1. 两条异面直线所成的角
【例1】 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点， P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求异面直线AM与PQ所成角的余弦 值．
解 如图，建立空间直角坐标系 B－xyz，
则 A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，
uuur uuur uFuuEur uAuPuur
利用空间向量求角-课件
因E→F⊥P→C，D→G⊥P→C，
故 E－PC－D 的平面角 θ 的大小为向量E→F与D→G的夹角．
＝
|DG||EF|
22，θ＝4π，
即二面角 E－PC－D 的大小为π4.
跟踪训练
3.如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中
2．求异面直线所成的角主要是转化为两个向量的夹 角，这时要特别注意二向量的方向及最后求出的角一定要 是锐角或直角．
3．线面角是求线与平面的法向量所成角的余角．
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
|A→M|＝ A→A1＋A→1M2 ＝ |A→A1|2＋|A→1M|2＝
1＋14＝
25，同理，|C→N|＝
5 2.
设直线 AM 与 CN 所成的角为 α. 则 cos α＝|AA→→MM|·|CC→→NN|＝5412＝25.
∴直线 AM 与 CN 所成的余弦值为25.
法二：如图，分别以D→A、D→C、D→D1 方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空 间直角坐标系．
A→B＝∵(0M，→Ca1,0·A→)，B＝A→A0，1＝M(→0C,01·，A→A1＝2a0)．，
∵M→C1·A→B＝0，M→C1·A→A1＝0， ∴MC1⊥平面 AA1B1B， ∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 AA1B1B 所成的角．
第七章 §7.7 向量法求空间角-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
7－4sin θ＝7±2 3.
思维升华
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)用坐标表示异面直线的方向向量. (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值. (4)注意异面直线所成角的范围是 0，π2 ，即异面直线所成角的余弦值 等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
跟踪训练1 (1)(2023·台州统考)如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角 线BD长为5，将△ABD沿着对角线BD翻折至△A′BD，使得线段A′C长 为3，则异面直线A′B与CD所成角的余弦值为
(2)如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 CC1 的
中点，A→F＝λA→D(0<λ<1)，若异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值为3102， 1
则 λ 的值为___3___.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)， 正方体的棱长为2， 则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)， ∴—D1→E ＝(0,2，－1)，A1A＝(0,0，－2)， A→D＝(－2,0,0)，
所以—A′—→B ·C→D＝(—A′—→C ＋C→B)·C→D＝—A′—→C ·C→D＋C→B·C→D＝－92－72＝ －8. 若异面直线A′B与CD所成的角为θ，
则 cos θ＝|cos〈—A′—→B ，C→D〉|＝||——AA′—′—→→BB |·|CC→→DD||＝3|－×83|＝89. 所以异面直线 A′B 与 CD 所成角的余弦值为89.
则(x0，y0＋ 3，z0－3)＝232－x0， 23－y0，－z0，
x0＝232－x0，
即y0＋
3＝2
思维升华
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)用坐标表示异面直线的方向向量. (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值. (4)注意异面直线所成角的范围是 0，π2 ，即异面直线所成角的余弦值 等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
跟踪训练1 (1)(2023·台州统考)如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角 线BD长为5，将△ABD沿着对角线BD翻折至△A′BD，使得线段A′C长 为3，则异面直线A′B与CD所成角的余弦值为
(2)如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 CC1 的
中点，A→F＝λA→D(0<λ<1)，若异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值为3102， 1
则 λ 的值为___3___.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)， 正方体的棱长为2， 则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)， ∴—D1→E ＝(0,2，－1)，A1A＝(0,0，－2)， A→D＝(－2,0,0)，
所以—A′—→B ·C→D＝(—A′—→C ＋C→B)·C→D＝—A′—→C ·C→D＋C→B·C→D＝－92－72＝ －8. 若异面直线A′B与CD所成的角为θ，
则 cos θ＝|cos〈—A′—→B ，C→D〉|＝||——AA′—′—→→BB |·|CC→→DD||＝3|－×83|＝89. 所以异面直线 A′B 与 CD 所成角的余弦值为89.
则(x0，y0＋ 3，z0－3)＝232－x0， 23－y0，－z0，
x0＝232－x0，
即y0＋
3＝2
立体几何中的向量方法空间角ppt
,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1 BD1
x
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
所以 BD与1 A所F1成角得余弦值为
42 30
10
2、直线与平面得夹角:
设直线 l 的方向向量分别为 a ，平面 的 法向量分别为 u ，
直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),sin a u ；
立体几何中的向量方法空间角
1、两条直线得夹角:
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),cos a b ；
2
ab
l
a
m
l
a
b m
例: 在直三棱柱ABC A1B1C1中，BC AC,
BC CA CC1, 取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
CD为a,b得公垂线,
n是直线CD的方向向量，
A,B分别在直线a,b上
b
n
C A
DB a
n AB d CD
n
例.已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, AC BC 2, BCA 900, E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解：如图建立坐标系C xyz,则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1(0,2,4).
E C
y B
x
G
D
A
(1)证明:设正方形边长为1,则PD=DC=DAz=1、连AC、BD交于G点
以DA，DC，DP为正交基底建立空间 P
直角坐标系。如图所示。则
E
y
利用空间向量求空间角PPT教学课件
澶渊之盟
宋真宗赵恒 1004年，辽军大举南征时，亲自领兵到澶 渊抵御，并与辽签订了“澶渊之盟”。
下一页
寇准
寇准
北宋宰相。1004年，辽军大举南征时， 主战。
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西夏武士
西夏的建立
1038年，党项族首领元昊建立西夏 国。图为李元昊之墓
下一页
党项人
女男供供养养人人
下一页
西夏铜牛
下一页
西夏飞天壁画
nn
α
与平面垂直的直线叫做平面
的法线．因此平面的法向量
就是平面法线的方向向量
异面直线所成角
a, b分别是两直线l1 , l2的方向向量,
l1, l2的所成的角为 ,则
cos | a b |
|a||b|
l2
b a
l1
巩固性训练1
1.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱
长为2,底面连长为1.求异面直线AB1与
BC1夹角的余弦值.
解：取的中点O建立如图 所示的空间直角坐标系O-XYZ。
1
A(
2
,0,2)
3
B(0, 2
,2)
B1 (0,
3 2
,0)
C1
1(-
,0 ,0)
2
A
BC ∴
1 AB1 ( 2 ,
3 ,2) 2
1
=（-
1 2
，-
3 ，-2） 2
X
∴cos = AB1 • BC1 = 7
AB1 • BC1 10
m 设 =(x,y,z) 是平面PBC的一个法向量
∴ PB ⊥ m
PC ⊥ m
∴ PB • m =x-z=0
y
PC • m =x+y-z=0
利用向量法求空间角 ppt课件
（1）当 m 与 n 的夹 角不大于90°时，异 面直线a、b 所成的
角 与m 和 n
的夹角 相等
（2）当 m 与 n 的 夹角大于90°时，异 面直线a、b 所成的
角 与 m 和n
的夹角 互补
ma
m
a
a´
o•
b´
a´
o•
b´
b
n
b
n
PPT课件
13
cos cos m, n
sin = cos AB, n
PPT课件
15
二面角 （范围： 0, ）
n2
n1
n2
n1
n1, n2
n1, n2
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
PPT课件
16
例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点
3
D y
8
点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤
建系
求直线的方向向量 求平面的法向量
求直线的方向向量与平面的法向量 的夹角的余弦值
得直线与平面所成角的正弦值
PPT课件
9
例2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的
余弦值。
z
(2)由题意知 F(0,1, 1 ), E( 1 ,1,0) A1
2
AB
( AC
CD
DB)2
A
2
2
2
AC CD BD 2(ACCD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2 AC DB
用向量法求空间角ppt 人教课标版
即
1 － ＋λ ＝0， 2 λ － ＋λ ＝0. 经检验，当 AS＝
1 1 1 2 → → 故 λ ＝ ，此时AS＝(0， ， )，|AS|＝ . 2 2 2 2 2 时，ES⊥平面 AMN. 2 2 . 2
故线段 AN 上存在点 S，使得 ES⊥平面 AMN，此时 AS＝
变 式 2 . 如 图 ， 四 边 形 A B C D 是 矩 形 ， P A 平 面 A B C D， 2 a， E 是 线 段 P D 上 的 点 ， PE BF F 是 线 段 AB上 的 点 ， 且 ( 0 )． ED FA 1 当 1 时 ， 求 直 线 E F 与 平 面 ABCD所 成 的 角 ； P A A D a， A B
3. (1) 【 证 明 】 ∵PA⊥ 平 面 ABCD ， ∴PA⊥AB. 再由 AB⊥AD，得 AB⊥平面 PAD. ∴AB⊥PD ，又∵AE⊥PD ，∴PD⊥平面 ABE，故 BE⊥PD.
(2)【解析】 如图所示，以 A 为原点，AB、AD、AP 所 在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点 C、D 的坐标 分别为(a，a,0)，(0,2a,0)． ∵PA⊥平面 ABCD，∠PDA 是 PD 与底面 ABCD 所成的角． ∴∠PDA＝30°.
3 2
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1 的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( ) 10 30 A. B. 10 10 2 15 3 10 C. D. 10 10
答案
B
解析 建立坐标系如图． 则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． → ＝(－1,0,2)，→ BC AE＝(－1,2,1)，
高考数学一轮复习第八章立体几何第六节利用空间向量求空间角课件理
(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成 的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选 择一个合理的位置建立空间直角坐标系．
[易错防范] 1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间 角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同． 2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．
答案：13
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平 面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．
解析：以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长 为 1，
则 A1(0,0,1)，E1，0，12，D(0，1,0)，
以 B 为原点，分别以
的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的
正方向建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，
F(2,2,1)．
因为 AB⊥平面 BEC，所以 ＝(0,0,2)为平面 BEC 的法向量． 设 n＝(x，y，z)为平面 AEF 的法向量．
所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为23.
A(0，－ 3，0)，E(1,0， 2)，F－1，0， 22，C(0， 3，0)，
所以直线
AE
与直线
CF
所成角的余弦值为
3 3.
[解题模板] 利用向量法求异面直线所成角的步骤
直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，
A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )
接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3.
向量法求空间角(含解析)
高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇考点1：异面直线所成的角若异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别是u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u·v||u||v|．考点2：直线与平面所成的角如图，直线AB 与平面α相交于点B ，设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|＝ u ·n |u ||n |＝|u·n||u||n|．考点3：平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n 1和n 2，则平面α与平面β的夹角即为向量n 1和n 2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|．【常用结论总结】1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|． 2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是0,2．【例1】 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1如图所示，AB =4，BC=3，AC =5，D 为棱AB 的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为61π，则异面直线A 1D 和B 1C 所成的角的余弦值为（ ）高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇A ．5B ．25C ．5D ．25【例2】 如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，△PAD 是正三角形，AB =2，平面PAD ⊥平面ABCD ，则PC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．4C ．13D 【例3】 如图四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，各棱长均相等，E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为（）A 6B C ．13D ．12学霸笔记用向量法求异面直线所成的角的一般步骤（1）建立空间直角坐标系；（2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；（4）注意两异面直线所成角的范围是(0,]，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇【对点训练1】 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长均相等，∠BAA 1=∠CAA 1=60°，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（）AB ．13C ．4D 【对点训练2】 “曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，AA ⊥面ABCD ，AA 1=4，底面扇环所对的圆心角为π2，AD 的长度是BC 长度的2倍，CD =1，则异面直线A 1D 1与BC 1所成角的正弦值为（）A ．3B ．13C ．3D ．4【对点训练3】 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=AC=AB=2，BC =2√2，Q 为A 1B 1的中点，E 为AQ 的中点，F 为BC 1的中点，则异面直线BE 与AF所成角的余弦值为（ ）A． BC ．D高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇【例4】 在正方体ABCD −A B C D 中，如图E 、F 分别是BB 1、CD 的中点． （1）求证：平面AD F ⊥平面ADE ； （2）求直线EF 与AD F 所成角的正弦值．【例5】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，P A=AD=2AB=8，点M 在棱PD 上，且PA =PM ⋅PD ，AM ⊥MC．（1）求证：CD ⊥平面P AD ；（2）求BM 与平面ACM 所成角的余弦值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇 学霸笔记利用空间向量求线面角的解题步骤【对点训练4】 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点． （1）求证：D 1 F ∥平面A 1EC1；（2）求直线AC 1与平面A 1EC 1所成角的正弦值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇 【对点训练5】 如图所示，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，AB =2，AA 1=2√3，E 为线段DD 1上一点．（1）求证：AC ⊥B 1D ；（2）若平面AB 1E 与平面ABCD 的夹角的余弦值为25，求直线BE与平面AB 1E 所成角的正弦值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇【例6】 在如图所示的空间几何体中，△ACD 与△ACB 均是等边三角形，直线ED ⊥平面ACD ，直线EB ⊥平面ABC ，DE ⊥BE ． （1）求证：平面ABC ⊥平面ADC ；（2）求平面ACE 与平面BCE 夹角的余弦值．【例7】 如图，三棱锥A −BCD 中，DA =DB =DC ，BD ⊥CD ，∠ADB =∠ADC =60∘，E 为BC 的中点． （1）证明：BC ⊥DA ；（2）点F满足EF⃗=DA ⃗，求二面角D −AB −F 的正弦值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇学霸笔记利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤【对点训练6】 直三棱柱ABC −A B C 中，AA =AB =AC =2,AA ⊥AB,AC ⊥AB ，D 为A B 的中点，E 为AA 的中点，F 为CD 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求直线BE 与平面CCD所成角的正弦值； （3）求平面A CD 与平面CC D 夹角的余弦值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇 【对点训练7】 如图，在棱长为2的正方体ABCD −A B C D 中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（1）求证：D 1F ∥平面A EC ；（2）求直线AC 与平面A EC 所成角的正弦值． （3）求二面角A −A C −E 的正弦值．【对点训练8】 如图，PO 是三棱锥P −ABC 的高，PA =PB ，AB ⊥AC ，E 是PB 的中点． （1）证明：OE ∥平面PAC ；（2）若∠ABO=∠CBO =30°，PO =3，PA =5，求二面角C −AE −B 的正弦值．。
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
1
M
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1，y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B
C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1， 2， 2) 1 2 4 6 cos B1O， n 6 6 9
x
由图可知二面角为锐角
6 所以二面角B1 MA C的余弦值为 。 6
即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向
量夹角的补角．
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A
2
n
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B
O
结论： sin
| cos n, AB |
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程 • 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的 法向量分别为n1、n2.
10 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
课堂小结：
1.异面直线所成角：
C
D
cos sin
|cos CD, AB | | cos n, AB |
A
B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： 3.二面角：
n
B
n2
用向量方法求空间中的角 课件
错解:以点 C 为原点,分别以, , 1 的方向为x 轴、y 轴、z
轴正方向建立空间直角坐标系,如图.
设 BC=2,CC1=a(a>0),
则 A(4,0,0),A1(4,0,a),B(0,2,0),B1(0,2,a).
由 A1B⊥B1C,得1 ·1 = 2 − 4 = 0,
∴a=2.
用向量方法求空间中的角
空间中的角的向量求法
设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 α,β 的法向量分别为 u,v,
则
(1)两条直线 l,m 的夹角为 0 ≤ ≤
则 cos = |cos <a,b>|=
|·|
;
||||
π
2
,
(2)直线 l 与平面 α 所成的角为 0 ≤ ≤
θ=sin φ.
|·|
或cos
||||
3.二面角
剖析:(1)二面角的取值范围是[0,π].
(2)用向量求二面角的平面角有两种方法:
①几何法:若 AB,CD 分别在二面角 α-l-β 的两个半平面内,且是
与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量与的夹角(
或其补角)(如图①).
示的空间直角坐标系,又 E,F 分别为 BC,PC 的中点,
所以 A(0,0,0),B
3, −1,0 ,
3, 1,0 , 0,2,0 , 0,0,2 ,
3 1
( 3, 0,0),
, ,1 ,
2 2
所以 = ( 3, 0,0), =
3 1
, ,1
2 2
.
设平面 AEF 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1),
设 n=(x,y,z)是平面 A1ABB1 的一个法向量,则
高中数学课件：利用空间向量求空间角
面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量―A→B 与―CD→的夹 角，如图①.
(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量
为n 2，〈n 1，n2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角 |n 1·n 2|
大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1||n 2| ，如图②③. (3)二面角的平面角的取值范围是___[_0__，___π__]____．
―→ ―→
EF ·DC ―→ ―→
＝－
22，
| EF || DC |
∴〈―E→F ，―D→C 〉＝135°，
∴异面直线 EF 和 CD 所成的角是 45°，故选 B. 答案：B
2. 如 图 ， 正 三 棱 柱 ( 底 面 是 正 三 角 形 的 直 棱 柱)ABC-A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 2 2， 则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为________．
∴∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，
∴cos∠C1AD＝ |
―→ ―→
AC1 ·AD ―→ ―→
＝
AC1 || AD |
1＋ 12× 0＋89＝
23，
又∵∠C1AD∈0，π2，∴∠C1AD＝π6.
答案：π6
四、“基本活动体验”不可少 在用直线的方向向量求两条异面直线的夹角时，向量的夹
角就等于两异面直线的夹角，这种认识正确吗？ 解：不正确．当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角 时，此夹角就是异面直线所成的角；当异面直线的方向向 量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0,0,0)，
D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，知AD⊥平面
(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量
为n 2，〈n 1，n2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角 |n 1·n 2|
大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1||n 2| ，如图②③. (3)二面角的平面角的取值范围是___[_0__，___π__]____．
―→ ―→
EF ·DC ―→ ―→
＝－
22，
| EF || DC |
∴〈―E→F ，―D→C 〉＝135°，
∴异面直线 EF 和 CD 所成的角是 45°，故选 B. 答案：B
2. 如 图 ， 正 三 棱 柱 ( 底 面 是 正 三 角 形 的 直 棱 柱)ABC-A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 2 2， 则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为________．
∴∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，
∴cos∠C1AD＝ |
―→ ―→
AC1 ·AD ―→ ―→
＝
AC1 || AD |
1＋ 12× 0＋89＝
23，
又∵∠C1AD∈0，π2，∴∠C1AD＝π6.
答案：π6
四、“基本活动体验”不可少 在用直线的方向向量求两条异面直线的夹角时，向量的夹
角就等于两异面直线的夹角，这种认识正确吗？ 解：不正确．当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角 时，此夹角就是异面直线所成的角；当异面直线的方向向 量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0,0,0)，
D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，知AD⊥平面
高中数学第3章322用向量方法求空间中角课件新人教A版选修21
问题探究
1．异面直线所成的角是否等于它们的方向向量 所成的角？ 提示：不一定．若方向向量所成角小于等于90°, 则 相 等 ； 若 方 向 向 量 所 成 角 大 于 90° ， 则 不 相 等． 2．直线与平面所成角与直线的方向向量和平面 法向量所成角互余吗？ 提示：不一定．
课堂互动讲练
考点突破
【思路点拨】 利用正三棱柱的性质，建立适当 的空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时 有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的 中 点 M ， 连 结 C1M ， 证 明 ∠ C1AM 是 AC1 与 平 面 A1ABB1所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法 向量n＝(λ，x，y)求解．
【解】 如图所示，建立空间 直角坐标系，点 A 为坐标原 点 ． 设 AB ＝ 1 ， 依 题 意 得 D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，
E1，32，0.
【名师点评】
变式训练 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB＝ 1，AC＝AA1＝ 3，∠ABC＝60°. (1)证明：AB⊥A1C； (2)求二面角 A-A1C-B 的余弦值．
方法感悟
1．利用空间向量求线线角、线面角的关键是转化 为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的 法向量之间的角，通过数量积求出，通常方法分为 两种：坐标方法、基向量方法，解题时要灵活掌 握．
ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的 点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4. (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； (2)证明AF⊥平面A1ED； (3)求二面角A1EDF的正弦值．
【思路点拨】 解答本题首先建立空间坐标系，
写出一些点的坐标，再利用向量法求解．
第七节 利用空间向量求空间角 (高中数学精品课件PPT)
[小题查验基础]
返回
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角． ( × )
(2)已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则a ∥
c，a ⊥b .
(√ )
(3)已知向量m ，n 分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若
所以公式中要加绝对值．
|a ·n | 量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a ，n 〉|＝ ❷.
|a ||n |
3．二面角
返回
(1)若AB，CD分别是二面角α-l-β的两个平面内与棱l垂直
的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量―A→B 与
―C→D 的夹角，如图(1)．
(2利 〈)平用 n面1，公αn式与2〉与β与相二二交面面于角角的直大平线小面l，的角平关时面系，α，要的是注法相意向量为n 1，平面β的法 向等量还为是n互2，补〈，n需1，要n结2〉合＝图θ形，进则行二判面断角．α -l -β为直线l与平面α所成的角为120°. ( × ) (4)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平
面所成的二面角的大小为45°.
( ×)
二、选填题
返回
1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是
A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角
BD(1由(()20证已，,0明,知02,)：0，，)，―ED得(→CE0|c(,＝02o,,s42〈(,)00，,―)2N，,M0→H)P(，，0(0，―，―DB0→B→0E,1,4＝)〉，)，(|2N＝,0(|1|，――NN,2→H－→H,0)|2·|．――)BB．→E→E ||
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立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程
• 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的
二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角，
直线与平面所叫成做角这的条范直围线和：这个[0平, 面]所成的角.
Hale Waihona Puke 2An思考：如何用空间向量的夹角
表示线面角呢？
B
O
结论：sin | cos n, AB |
例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，
求A1B与平面A1B1CD所成的角
①向量法
三、面面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角必须满足：
A O
l
B
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
范围:[0, ]
10
三、面面角：
uur uur
向量法
n1，n2
z
AA11
BB11 M
由A1N 5,可得 N (0,4,3)
A
AM (6,2,6), AN (0,4,3).
设平面的法向量n (x, y, z),由
xB
AM • n 0
AN
•
n
0
即 6x 2y 6z 0
4y 3z 0
D11 N C11
Dy
C
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
法向量分别为n1、n2.
则⑴l1∥l2或l1与l2重合⇔ a∥⇔ b
a.＝ tb
⑵ l1⊥l2⇔ a⊥b ⇔ a·b ＝ 0 .
⑶ α∥β或α与β重合⇔ n1∥n2 ⇔ n1＝tn.2
⑷α ⊥ β⇔ n1⊥n2⇔ n1 ·n.2＝ 0 ⑸l∥α或l⊂α⇔ n1⊥ a ⇔ n1 ·a ＝ 0.
⑹ l ⊥ α⇔
D1
C1 ② 传统法
A1
B1
O
D A
C B
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
n1∥ a
⇔ n1＝t a .
引例：
如图所示，四边形ABCD是边 长为6的正方形，SA 平面 ABCD，SA=8,M是SA的中点， 过M和BC的平面交SD于N.
(1)求二面角M-BC-D的平面角的正切值； (2)求CN与平面ABCD所成角的正切值； (3)求CN与BD所成角的余弦值； (4)求平面SBC与SDC所成角的正弦值
z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
C1
F1
D1
B1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：uAuFur1
(
1 2
,
0,1),
uuuur BD1
(
1 2
,
1 2
,1)
A
By
uuur uuuur cos AF1, BD1
n2
uur uur
n1，n2 n2
n1
n1
l
ur uur
cos cos n1, n2
l
ur uur
cos cos n1, n2
关键：观察二面角的范围
例3.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为2，
O为AC和BD的交点，M为 DD1的中点
z
（1）求证： 直线B1O 面MAC;
uuur uuuur x uAuFur1 • uBuDuur1
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为
30 10
[悟一法] 利用向量求异面直线所成的角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时， 即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向 量夹角的补角．
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
z
得n (1,1, 4) 又 AD (0,8,0),
AA11
3
BB11 M
NN C11
D11
A
| 0 1•8 0 | 3 34 , 8 • 12 12 ( 4)2 34
xB
3
AD与平面ANM所成角的正弦值是3 34 34
Dy
C
[悟一法] 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角 时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角 等于这个夹角减去90°.
一、线线角：异面直线所成的锐角或直角
范围：
C
0,
2
D 思考：空间向量的夹角与
A D1 异面直线的夹角有什么关系？
B
r
r
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
r
a
rr
r
a，b
r
ara，br
r
b
b
结论： cos
|
|
|cos CD, AB |
例1.如图所示的正方体中，已知F1与 E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的
（2）求二面角
uuur
Bu1uur
MA
uuuur
C
的余弦值.
D1
①证明：以 DA、DC、DD1为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
uuur
uuuur
所以MA (2，0，1)，MC (0，2，1)，
uuur B1O (1，1， 2)
D O
A(2，0，0)，C(0，2，0)，M (0，0，1)， A
B1(2，2，2)，O(1，1，0)。
x
uuur uuur
uuur uuuur
B1O MA 2 0 2 0，B1O MC 0 2 2 0
夹角余弦值z？
D1
F1
C1
A1
E1 B1
① 传统法：平移
D
C
y
② 向量法
A
B
x
练习：RtVABC中，BCA 900,现将VABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1，
取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值.
解：如图所示，建立空间直角坐标
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程
• 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的
二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角，
直线与平面所叫成做角这的条范直围线和：这个[0平, 面]所成的角.
Hale Waihona Puke 2An思考：如何用空间向量的夹角
表示线面角呢？
B
O
结论：sin | cos n, AB |
例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，
求A1B与平面A1B1CD所成的角
①向量法
三、面面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角必须满足：
A O
l
B
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
范围:[0, ]
10
三、面面角：
uur uur
向量法
n1，n2
z
AA11
BB11 M
由A1N 5,可得 N (0,4,3)
A
AM (6,2,6), AN (0,4,3).
设平面的法向量n (x, y, z),由
xB
AM • n 0
AN
•
n
0
即 6x 2y 6z 0
4y 3z 0
D11 N C11
Dy
C
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
法向量分别为n1、n2.
则⑴l1∥l2或l1与l2重合⇔ a∥⇔ b
a.＝ tb
⑵ l1⊥l2⇔ a⊥b ⇔ a·b ＝ 0 .
⑶ α∥β或α与β重合⇔ n1∥n2 ⇔ n1＝tn.2
⑷α ⊥ β⇔ n1⊥n2⇔ n1 ·n.2＝ 0 ⑸l∥α或l⊂α⇔ n1⊥ a ⇔ n1 ·a ＝ 0.
⑹ l ⊥ α⇔
D1
C1 ② 传统法
A1
B1
O
D A
C B
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
n1∥ a
⇔ n1＝t a .
引例：
如图所示，四边形ABCD是边 长为6的正方形，SA 平面 ABCD，SA=8,M是SA的中点， 过M和BC的平面交SD于N.
(1)求二面角M-BC-D的平面角的正切值； (2)求CN与平面ABCD所成角的正切值； (3)求CN与BD所成角的余弦值； (4)求平面SBC与SDC所成角的正弦值
z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
C1
F1
D1
B1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：uAuFur1
(
1 2
,
0,1),
uuuur BD1
(
1 2
,
1 2
,1)
A
By
uuur uuuur cos AF1, BD1
n2
uur uur
n1，n2 n2
n1
n1
l
ur uur
cos cos n1, n2
l
ur uur
cos cos n1, n2
关键：观察二面角的范围
例3.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为2，
O为AC和BD的交点，M为 DD1的中点
z
（1）求证： 直线B1O 面MAC;
uuur uuuur x uAuFur1 • uBuDuur1
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为
30 10
[悟一法] 利用向量求异面直线所成的角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时， 即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向 量夹角的补角．
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
z
得n (1,1, 4) 又 AD (0,8,0),
AA11
3
BB11 M
NN C11
D11
A
| 0 1•8 0 | 3 34 , 8 • 12 12 ( 4)2 34
xB
3
AD与平面ANM所成角的正弦值是3 34 34
Dy
C
[悟一法] 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角 时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角 等于这个夹角减去90°.
一、线线角：异面直线所成的锐角或直角
范围：
C
0,
2
D 思考：空间向量的夹角与
A D1 异面直线的夹角有什么关系？
B
r
r
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
r
a
rr
r
a，b
r
ara，br
r
b
b
结论： cos
|
|
|cos CD, AB |
例1.如图所示的正方体中，已知F1与 E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的
（2）求二面角
uuur
Bu1uur
MA
uuuur
C
的余弦值.
D1
①证明：以 DA、DC、DD1为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
uuur
uuuur
所以MA (2，0，1)，MC (0，2，1)，
uuur B1O (1，1， 2)
D O
A(2，0，0)，C(0，2，0)，M (0，0，1)， A
B1(2，2，2)，O(1，1，0)。
x
uuur uuur
uuur uuuur
B1O MA 2 0 2 0，B1O MC 0 2 2 0
夹角余弦值z？
D1
F1
C1
A1
E1 B1
① 传统法：平移
D
C
y
② 向量法
A
B
x
练习：RtVABC中，BCA 900,现将VABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1，
取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值.
解：如图所示，建立空间直角坐标