函数及图像教学设计

函数及其图像（第一课时）

一、变量与函数 1、变量与函数的概念

（1）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 （2）一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量。此时也称y 是x 函数。

（3）对函数概念的理解，主要抓住三点：①有两个变量；②一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；③自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。

（4）在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。

2、表示函数关系的方法通常有三种：

（1） 解析法，如f = ， S ＝2r π，这些表达式称为函数的关系式．

（2） 列表法 如：

（3） 图象法，如：

▲练习：写出下列各问题中的函数关系式，并指出常量与变量。 ①圆的周长C 与半径r 的函数关系式。

λ300000

图18.1.1

②火车以60㎞／时的速度行驶，它驶过的路程s 与所用时间的函数关系式。

③n 边形的内角和的度数S 与边数n 的函数关系式。 3、求函数自变量的取值范围 ●实际问题中的自变量取值范围 按照实际问题是否有意义的要求来求。 ●用数学式子表示的函数的自变量取值范围

(1)解析式为整式的，x 取全体实数；(2)解析式为分式的，分母必须不等于0式子才有意义；(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；(4)解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。

4．函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实际上就是以前学的求代数式的值。 ▲练习：

（1）求下列函数自变量x 的取值范围

① y=3x+1 ② 122+=x y ③2

1

+=

x y ④2-=x y ⑤8

25-=x y

（2）分别写出下列问题中的函数关系式，指出自变量和因变量，以及自变量的取值范围。

①已知等腰三角形的面积是20㎡，设它的底边长是x （米），求底边上的高y （米）关于x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

②寄一封重量为20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式。

③如果一个直角三角形中一个锐角是α，那么求另一个锐角的度数β与α之间的函数关系式。

二、平面直角坐标系

1、在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点。

●在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示。

●在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。

●在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。

2、在四个象限上及坐标轴上点的特征

▲巩固练习：

①点(0，2)在( )

A.X轴上

B.y轴上

C.第三象限

D.第四象限

②点P（3-m，m)是第二象限内的点，则m的取值范围为（）

③若点P（a，b)在第四象限，则点M(a-b，b-a)在第( )象限。

3、关于x轴、y轴、坐标原点对称的两点的坐标特征：

(1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；

即点p(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b).

(2)关于y轴对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标相同；

即点p(a,b)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b).

(3)关于原点对称的两点：横坐标坐标互为相反数，纵坐标也坐标互为相反数．即点p(a,b)关于原点的对称点的坐标为(-a,-b).

▲巩固练习：

①若点A(-3，a)与点B(3，4)关于y轴对称，则a的值为( )。

②若点P(a，-2)，Q(3，b)关于原点对称，则a-b=( )。

③若点P(a，-3)到y轴的距离是2，则a＝( )

4、点到两坐标轴的距离情况：

b a

点P(a，b)到x轴的距离等于，到y轴的距离等于。

三、函数的图像

1、一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上的每一点的坐标（x，y）代表函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值。

O

t(时）

s （千米）

302520

1016

151413*********、画函数图像的方法：描点法。即列表、描点、连线三步。 ▲例题1：画出y=0.5x 的图像 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

▲例题2：周末小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离s （千米）与时间t （时）的关系可以用图中的曲线表示，根据这个图像回答下列问题。 ①小李到达离家最远的地方是什么时候？ ②小李何时第一次休息？

③10时到13时，小李骑了多少千米？ ④返回时，小李的平均车速是多少？

四、历年中考题

1、（2012•海南）星期六，小亮从家里骑直行车到同学家去玩，然后返回，图是他离家的路程y （千米）与时间x （分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法不一定正确的是（ ）

A.小亮到同学家的路程是3千米

B.小亮在同学家逗留的时间是1小时

C.小亮去时走上坡路，回家时走下坡路

D.小亮回家时用的时间比去时用的时间少

2、（山东省滨州市）小明外出散步，从家走了20分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸然后用了15分钟返回到家．则下列图象能表示小明离家距离y 与时间x 关系的是（ ）

3、（浙江省湖州市）如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离．．为S ,则S 关于t 的函数图象大致为（ ）

10 20 30 40 50 900

0 A ．

时间/分

距离/米 900

距离/米 900

距离/米 900

距离/米 10 20 30 40 0 时间/分 10 20 30 40 50 0 时间/分 10 20 30 40 50 0 时间/分

B ．

C ．

D ．

B

A

O

A.

B.

C.

D.

S

t S

t

S

t

S

t

O

O

O

O