典例精析：_二元一次方程组的解法(1)

《二元一次方程组的解法》典例精析

【例1】解二元一次方程组：35, 382. x y y x =-⎧⎨=-⎩①②

【分析】先把①代入②求出y 的值，再把y 的值代入①即可求出x 的值，进而得出方程组的解．

【解】把①代入②得：3y =8-2(3y -5)，解得y =2．

把y=2代入①可得：x =3×2-5，解得x =1．

所以此二元一次方程组的解为1,2.x y =⎧⎨=⎩

【例2】解下列二元一次方程组．

（1）3759x y x y +=⎧⎨-=⎩　①　②； （2）211321 x y x y +=⎧⎨-=-⎩

① ② 【分析】（1）通过观察看到这两个方程的未知数y 的系数绝对值相等，符号相反，那么把两个方程相加得到一个关于x 的一元一次方程．再解这个方程把x 求出来．

（2）本题将方程①两边都乘2，未知数y 的系数和②的系数绝对值相等，符号相反，那么和②两边相加可消去y ．

【解】（1）将①＋②得8x ＝16，

解得：x ＝2．

将x ＝2代入①中3×2＋y ＝7，

解得：y ＝1．

故原方程组的解为⎩

⎨⎧==12y x ． （2）将①×2得4x ＋2y ＝22 ③

将③＋②得7x ＝21，

解得：x ＝3．

将x ＝3代入①得2×3＋y ＝11，

解得y ＝5．

故原方程组的解为⎩⎨⎧==5

3y x ．

【点评】（1）两个方程中，如果有相同未知数的系数的绝对值相等，那么只要将两个方程的两边相加或相减，就可消去一个未知数．

（2）两个方程中，如果某个相同未知数的系数成整数倍，可以在系数绝对值小的方程两边同乘以相同的倍数，使这个未知数的两个系数的绝对值相等，然后再将两个方程两边分别相加或相减，就可以消去这个未知数．

（3）当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较简单的未知数消元，将两个方程分别乘某个数，使该未知数的系数的绝对值相等（即得两系数的最小公倍数，其绝对值相等），再加减消元求解．

【例3】解方程组120,34331.4

312a b a b ++⎧-=⎪⎪⎨--⎪-=⎪⎩①②

【分析】本题不是标准类型的二元一次方程组，因此应先整理变形，变形后再根据方程组的特点选择适当的消元（代入消元或加减消元）法求解，力求简化解方程组的过程．

【解】原方程组可化为432, 34 2. a b a b -=⎧⎨-=-⎩③④

由③+④，得7a -7b =0，即a =b ，

把a =b 代入①，得4b -3b =2，即b =2，∴a =2．

∴原方程组的解为2,2.a b =⎧⎨=⎩

【例4】小明和小华同时解方程组⎩⎨⎧=-=+1325ny x y mx ，小明看错了m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==2

27y x ，小华

看错了n ，解得⎩

⎨⎧-==73y x ，你能知道原方程组正确的解吗？请求出来． 【分析】小明看错了m ，而求得⎪⎩⎪⎨⎧-==2

27y x ，

则知该解符合2x －ny ＝13．而小华看错了n ．而求得⎩

⎨⎧-==73y x ，则知该解符合mx ＋y ＝5．再根据方程解的定义，建立关于m 、n 的方程，问题即可得到解决．

【解】把⎪⎩

⎪⎨⎧-==227y x 代入方程2x －ny ＝13中，得n ＝3．把⎩⎨⎧-==73y x 代入方程mx ＋y ＝5中，得m ＝4．

所以原方程组为⎩

⎨⎧=-=+133254y x y x ，解方程组，得原方程组的解为⎩⎨⎧-==32y x ． 【例5】当k 为何值时，方程组216,240

x ky x y +=⎧⎨-=⎩有正整数解？请分别写出这些正整数解．

【解析】216, 240 x ky x y +=⎧⎨-=⎩

①② 由①-②得(k +4)y =16，y =16,4k +把16,4y k =+代入②得x =2·1632,44

k k =++ ∵x 、y 都是正整数．∴k +4是16和32的公约数，即k +4=1，2，4，8，16，k =－3，－2，0，4，12．

当k 为以上各数时，这些正整数的解分别为32,

16,x y =⎧⎨=⎩16,8,x y =⎧⎨=⎩8,4,x y =⎧⎨=⎩2,1.

x y =⎧⎨=⎩ 【例6】已知方程组2564x y ax by +-⎧⎨⎩＝ ①－＝－ ②和方程组35168x y bx ay -=⎧⎨-=-⎩

③ ④的解相同．求2012(2)a b +的值．

【分析】两个方程组有相同的解，这个解也就是2x ＋5y ＝－6和3x －5y ＝16的解．由于这两个方程的系数都已知．故可联立求出x 、y 的值．再将x 、y 的值代入ax －b y ＝－4，bx －ay ＝－8，建立关于a 、b 的方程组即可求出a 、b 的值．

【解】依题意联立方程组2563516x y x y +=-⎧⎨-=⎩

　① ③ ①＋③得5x ＝10，解得x ＝2．

把x ＝2代入①得：2×2＋5y ＝－6，解得y ＝－2，

所以⎩

⎨⎧-==22y x ， 又联立方程组⎩⎨⎧-=+-=-84ay bx by ax ，则有⎩⎨⎧-=+--=+8

22422b a b a ，解得⎩⎨⎧-==31b a ．

所以（2a ＋b ）2011＝（2×1－3）201２＝1．

【点评】本例利用解相同，将方程重新组合、换位联立是解答本题的关键．

【例7】食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A 、B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰恰好生产了A 、B 两种饮料共100瓶，问A 、B 两种饮料各生产了多少瓶？

【分析】本例的关键词为“已知270克该添加剂恰恰好生产了A 、B 两种饮料共100瓶”，这个关键的语句中包含有两个相等关系，可以根据这两个相等关系建立方程组求解．

【解】设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶，依题意得：

⎩⎨⎧=+=+270

32100y x y x ，解得：⎩⎨⎧==7030y x ． 答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶．

【点评】本题也可设A 饮料生产了x 瓶，则B 饮料生产了（100－x ）瓶，列一元一次方程求解．