MATLAB三次样条插值之三弯矩法
三次样条插值例题解析matlab
三次样条插值例题解析matlab 三次样条插值是一种常用的插值方法，可以通过一定数量的离散数据点，拟合出一个光滑的曲线。
在MATLAB中，插值函数interp1可以实现三次样条插值。
该函数的基本语法为：y_interp = interp1(x, y, x_interp, 'spline');其中，x和y分别是原始数据的横坐标和纵坐标，x_interp是插值点的横坐标，'spline'表示使用三次样条插值方法。
插值函数会根据原始数据拟合出一个插值曲线，在插值点的位置上返回相应的纵坐标值。
下面我们以一个具体的例子来解析三次样条插值的使用。
假设我们有如下一组离散数据点：```matlabx = [0, 1, 2, 3, 4];y = [2, 3, 1, 4, 2];```我们希望通过这些离散数据点拟合出一个光滑的曲线，并在插值点处求取纵坐标值。
首先，我们需要在插值区间内定义一组插值点。
这里我们取0.1为步长，生成插值点：```matlabx_interp = 0:0.1:4;```然后，使用interp1函数进行插值计算：```matlaby_interp = interp1(x, y, x_interp, 'spline');```最后，我们可以通过图表来比较原始数据和插值结果：```matlabplot(x, y, 'o', x_interp, y_interp, '-');legend('原始数据', '插值结果');```在生成的图表中，原始数据以圆点表示，插值结果以实线表示。
通过比较可以看出，插值结果在原始数据之间形成了光滑的曲线。
以上就是使用MATLAB进行三次样条插值的基本步骤和方法。
然而，三次样条插值在某些情况下可能会产生不稳定的结果。
这是因为三次样条插值的结果受到了边界条件的影响。
数值分析课程设计报告书三次样条插值的三弯矩法
数值分析课程设计报告书院系名称：学生姓名：专业名称：班级：时间：实验一 三次样条插值的三弯矩法一、实验目的已知数据i x ,()i i y f x =,0,,i n =及边界条件()n j x y j j 1,0),(2=,求)(x f 的三次样条插值函数)(x S .要求输出用追赶法解出的弯矩向量0[,,]n M M M =及()(),0,,,0,1,2k i S t i m k ==的值.画出)(x S y =的图形,图形中描出插值点(,)i i x y 及(,())i i t S t 分别用‘o ’和‘*’标记.二、实验原理1.用追赶法求解第二类边界条件的三弯矩方程:0010012111121111[,,]21[,,]26[,,]212[,,]n n n n n n n n n n f x x x M f x x x M M f x x x M f x x x μλμλ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 其中1111,,j jj j j j j j j j j h h h x x h h h h μλ-+--===-++.2.得出样条函数表达式:332211111()()()()()6666j j j j j j j j j j j j j j j jx x x x M h x x M h x x S x M M y y h h h h +++++----=++-+-. 3.计算(k)(),0,,,0,1,2i S t i m k ==.三、实验结果所用数据:x=[-2.223,-1.987,-1.8465,-1.292,-1.2266,-1.1056,-0.8662,-0.6594,-0.2671,-0.0452,0.5385,1.2564,1.4398,1.5415,1.7646,1.9678,2.236];y=[0.83995,1.1696,1.3141,1.6992,1.7312,1.7847,1.8708,1.9262,1.9881,1.9997,1.9511,1.7169,1.618,1.5543,1.3871,1.191,0.81662];d2s1= -4.5000;d2sn= -4.8967; %第二种边界条件t=[-2.223,-1.9443,-1.6656,-1.3869,-1.1083,-0.82956,-0.55088,-0.27219,0.0065,0.28519,0.56387,0.84256,1.1212,1.3999,1.6786,2.236]; ;(指定计算点)计算结果:-2.5-2-1.5-1-0.500.51 1.52 2.50.811.21.41.61.82四、实验分析通过实验结果我们，知道三弯矩法求出满足初始条件的三次样条函数，与其他插值函数的构造相比，三次样条插值法的计算量要小得多。
三次样条函数三弯矩算法
摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
在用近似值代替真实值时，遇到的问题就是近似值的代数精度是否足够。
当代数精度不足够时，很显然提高插值函数的次数是一种方法，但是考虑到数值计算的稳定性，当次数过高时，会出现龙格现象，用增大n的方法来提高数值积代数精度是不可取的。
正如我们所知道的分段线性插值，逼近程度好，但光滑性差。
分段三次Hermite插值，逼近程度好，光滑性也有所提高，但是需要增加更多的条件，不太实用。
因此，我们将介绍一种结合二者的优点的插值方法——三次样条插值。
本实验将介绍三次样条插值的三弯矩算法。
关键词：龙格现象三弯矩算法代数精度分段三次Hermite插值1、实验目的1) 通过本次实验体会并学习三次样条插值的优点。
2) 通过对三次样条插值进行编程实现，提高自己的编程能力。
3) 用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程如果已知函数)(x f y =在节点a =x 0<x 1<⋯<x n =b,y i =f (x i ),i =0,1,2,⋯,n 处的函数值和导数值：n i x f y i i ,,2,1,0),( ==如果)(x S 满足条件：1) S (x )是一个分段的三次多项式且i i y x s =)(；2) S (x )在[a,b]具有二阶连续导数。
则称S (x )是三次样条插值函数。
S (x )的具体形式为：其中S i (x)在[x n−1,x n ]上是三次多项式S i (x )=a i x 3+b i x 2+c i x +d i 由插值条件S (x i )=y i ，i=0,1,2,…,n ，得n+1个条件。
边界条件一：S ′(x 0)=y 0′,S ′(x n )=y n ′边界条件二：S ′′(x 0)=y 0′′,S ′′(x n )=y n ′′边界条件三：假定函数y =f(x)是以b-a 为周期的周期函数，这时要求S(x)也是周期函数，即{S (x 0+0)=S(x n −0)S ′(x 0+0)=S ′(x n −0)S ′′(x 0+0)=S ′′(x n +0)()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈=-]12,121,01,[,...............][,][,n n n x x x x s x x x x s x x x x s x s针对三种边界条件的求解方法的不同，可以分为三转角算法和三弯矩算法，本实验将介绍和学习三转角算法。
计算方法上机作业——求三次样条插值函数的matlab程序
附录 3 求三次样条插值函数的 matlab 程序 for f = 2:n-1; ly = 0; for g = 1:f-1 ly = ly+l(f,g)*yy(g); end yy(f) = D(f)-ly; end M1(n-1) = yy(n-1)/u(n-1,n-1); for rr=1:n-2 r = n-1-rr; uM1 = 0; for s=r+1:n-1 uM1 = uM1+u(r,s)*M1(s); end M1(r) = (yy(r)-uM1)/u(r,r); end M = [M1(n-1,1);M1]; end ss = 0; for t=1:n-1 S(t,1) = (M(t+1)-M(t))/(6*h(t)); S(t,2) = (M(t)*x(t+1)-M(t+1)*x(t))/(2*h(t)); S(t,3) = (M(t+1)*x(t)^2-M(t)*x(t+1)^2)/(2*h(t))+(y(t+1)-y(t))/h(t)+h(t)*(M(t)-M(t+1))/6; S(t,4) = (M(t)*x(t+1)^3-M(1)*x(t)^3)/(6*h(t))+(y(t)*x(t+1)-y(t+1)*x(t))/h(t)+h(t)*(M(t+1)* x(t)-M(t)*x(t+1))/6; for x1 = x(t):(x(t+1)-x(t))/100:x(t+1) ss = ss+1; xx(ss) = x1; SS(ss) = S(t,1)*x1^3+S(t,2)*x1^2+S(t,3)*x1+S(t,4); end end plot(xx,SS,'-k','linewidth',2); hold on plot(x,y,'*k','markersize',10); hold on xlabel('x'); ylabel('S(x)'); grid; fprintf('\n 所求的三次样条插值函数为：\n'); for uu=1:n-1 fprintf('S(x) = %10.5f*x^3+%10.5f*x^2+%10.5f*x+%10.5f, %8.4f<= x <=%8.4f\n',S(uu,1),S(uu,2),S(uu,3),S(uu,4),x(uu),x(uu+1)); end
三次样条插值
三次样条插值的数值实验姓名： 王维滨 学号：0842011157 姓名： 李佳乐 学号：0842011034 姓名： 谢朝 学号：0842011062 姓名： 杨其荣 学号：08420110721.实验项目的性质和任务对三次样条插值进一步理解，并编写matlab 程序，实现这些功能2.算法设计和matlab 编程。
总前提：x i 第i 点的横坐标i y 第i 点的纵坐标i M ,,s 的记号,,,,,,23()()()()()()()2!3!i i i i i i i s x s x s x y s x x x x x x x =+-+-+- 有数值逼近书上的推导，我们令：111i i i i i x x u x x -+--=-，111i i i i i x x x x λ++--=-，11111111f (,,)i i i i i i i i i i i i i y y y y x x x x x x x x x +-+--++------=- 由于未知数的数目多于方程的个数，我们需要增加两个条件才能唯一确定一个分段三次函数1）D1的三次样条插值a ．实验方案与原理：我们加上条件：,,,,11()(),()()n n s x f x s x f x ==我们建立三弯矩方程组：1211211111126(,,)26(,,),2,3.....126(,,)i i i i i i i i n n n n n M M f x x x u M M M f x x x i n M M f x x x λ-+-+--+=⎧⎪++==-⎨⎪+=⎩然后采用追赶法迭代求方程组，但是我们在程序中采用简单的方法（矩阵计算）直接求解降低编程难度,2）D2三次样条插值223123211i 11112111126(,,)26(,,),3,4.....226(,,)i i i i i i i n n n n n n n n M M f x x x u M u M M M f x x x i n u M M f x x x M λλλ-+-+----+-+=-⎧⎪++==-⎨⎪++=-⎩3）D3三次样条插值22321231i 111211126(,,)26(,,),3,4.....126(,,)n i i i i i i i n n n n n n n M M u M f x x x u M M M f x x x i n M u M M f x x x λλλ-+-+--+++=⎧⎪++==-⎨⎪++=⎩b ．编写程序：见附录调用test,每次显示一个图像，关闭后按回车继续显示下一幅。
matlab三次样条插值的方法
matlab三次样条插值的方法Cubic spline interpolation is a common method used in MATLAB to approximate values between specified data points. This technique involves fitting a piecewise cubic polynomial to the data points, ensuring that the function is smooth and continuous at the knots. Through this process, the spline curve can accurately represent the overall trend of the data, making it particularly useful in various scientific and engineering applications.三次样条插值是MATLAB中常用的一种方法，用于在指定数据点之间近似数值。
这种技术涉及将分段三次多项式拟合到数据点，确保在节点处函数平滑连续。
通过这个过程，样条曲线可以准确地表示数据的总体趋势，使其特别适用于各种科学和工程应用。
One advantage of cubic spline interpolation is its ability to capture the local behavior of the data while maintaining global smoothness. This is achieved by constructing individual cubic polynomials between adjacent data points, ensuring that the interpolated curve passes through each data point without introducing significant oscillations or deviations. As a result, cubic splines provide a reliableand visually appealing way to interpolate data that may exhibit complex patterns or fluctuations.三次样条插值的一个优点是能够捕捉数据的局部行为，同时保持全局的平滑性。
matlab牛顿插值法三次样条插值法
(){}21()(11),5,10,20:12521()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)()()235,20:1100(i i i i n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x nx y i n Newton N x S x n x k y f x =-≤≤=+=-+====-+=L L 题目：插值多项式和三次样条插值多项式。
已知对作、计算函数在点处的值；、求插值数据点的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max()n k n k n k n k n k n k kkN x S x k E N y N x E S y S x ==-=-L 和；、计算，；解释你所得到的结果。
算法组织:本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式)(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。
如此，则第三、四问则迎刃而解。
计算两种插值多项式的算法如下：一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下：Newton 插值多项式的表达式如下：)())(()()(110010--⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N其中每一项的系数c i 的表达式如下：1102110),,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-根据i c 以上公式，计算的步骤如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----),,,,(1),,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算二、求三次样条插值多项式)(x S n ，算法组织如下：所谓三次样条插值多项式)(x S n 是一种分段函数，它在节点i x 011()n n a x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<=分成的每个小区间1[,]i i x x -上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：22331111111()[()()]()()666[,]1,2,,.i i i i i i i i i i i i i i ii i h x x h x x S x x x M x x M y M y M h h h x x x i n --------=-+-+-+-∈=⋅⋅⋅，， 因此，只要确定了i M 的值，就确定了整个表达式，i M 的计算方法如下： 令：11111111116()6(,,)i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i h h h h h h y y y y d f x x x h h h h μλμ++++--+++⎧===-⎪++⎪⎨--⎪=-=⎪+⎩， 则i M 满足如下n-1个方程：1121,2,,1i i i i i i M M M d i n μλ-+++==⋅⋅⋅-，方程中有n+1个未知量，则令0M 和n M 分别为零，则由上面的方程组可得到(11)i M i n ≤≤-的值，可得到整个区间上的三次样条插值多项式)(x S n 。
数值分析实验内容
1.用三次样条插值的三弯矩法,编制第一与第二种边界条件的程序.求)(x f 的三次样条插值函数)(x S 满足： (1)自然边界条件''(0.2)''(1.0)0;S S ==(2)第一种边界条件.55741.1)0.1(',20271.0)2.0('==S S要求输出用追赶法解出的弯矩向量(0M ,1M ,2M ,3M ,4M )及)1.02.0(i S +(i=0,1,2,3,4,5,6,7,8)的值.并画出)(x S y =的图形.2.编制以离散点{}i x ()m i ,,2,1,0 =的正交多项式(){}x P k 为基的最小二乘拟合程序,并用于对下列数据做三次多项式最小二乘拟合.取权()≡i x ω1,求出拟合曲线()()x P x S y k k k∑===3*α=kk kxa∑=3,输出*k α,()x P k ,k a )321,0，，（=k 及平方误差22δ,并画出()x S y =的图形.3.给出积分 ①2220xI x edx -=⎰, ②342cot I xdxππ=⎰, ③32211I dxx =-⎰(1)运用龙贝格求积公式计算上述积分I 的值,要求到())0()0(1kk T T --610-<时结束,输出T 表及I 的近似值.(2)用5点高斯求积公式及复化3点高斯求积公式计算上述积分,并输出I 的近似值.(3)分析比较各种计算结果.4.比较求一阶导数的数值方法,给出函数[]1(),0.5,2x f x e x =∈.利用某距离点函数值,必要时给定端点导数值,分别用中心差分,数值积分求导和理查森外推计算)(x f 的一阶导数,分析,比较各种方法的效果,说明精度与步长h的关系.5. 给定方程组① ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11134.981.4987.023.116.427.199.103.601.3321x x x ② ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----15900001.582012151526099999.23107104321x x x x 用LU 分解和列主元高斯消去法求解上述两个方程组,输出Ax=b 中矩阵A 及向量b ,LU A =分解的L 与U ,A det 及解向量x .(1) 用LU 分结合列主元高斯消去法求解上述两个方程组.输出Ax=b 中矩阵A 及向量b ，A=LU 分解的L,U,detA 及解向量x.(2) 将方程组①中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990.用列主元高斯消去法求解，输出列主元行交换次序、解向量x 及detA ，并与(1)中结果比较.将方程组②中的2.099999改为2.1，5.900001改为5.9.用列主元高斯消去法求解，输出解向量x 及detA ，并与(1)中结果比较.6. 研究解线性方程方程组b Ax =迭代法收敛速度,给定2020⨯∈R A 为五对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------------=32/14/12/132/14/14/12/132/14/14/12/132/14/14/12/132/14/12/13 A (1)选取不同的初始向量)0(x 及右端项向量b ,给定迭代误差要求,用雅可比迭代和 法求解,观察得到的序列是否收敛？若收敛,记录迭代次数,分析计算结果并得出你的结论.(2)用SOR 迭代法求上述方程组的解,松弛系数ω取1<ω<2的不同值,在)1()(+-k k xx510-≤时停止迭代.记录迭代次数,分析计算结果并得出你的结论.7. 求非线性方程及方程组的根,精确到610-,给定方程分别为： (i)2320x x x e -+-=.(ii) 2212(0)T2312130,(1,1)310.x x x x x ⎧-=⎪=⎨--=⎪⎩x .(1) 用你自己设计出的一种线性收敛迭代法求方程(i)的根,然后再用斯蒂芬森加速迭代计算.(2) 用牛顿法求方程(i)的根,输出迭代初值,各次迭代值及迭代次数,并与(1)的结果比较.(3) 用牛顿法求(ii)的解,输出迭代次数及解向量x 的近似值. 8. 用QR 算法求矩阵特征值：(i)621231111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(ii)23456445670367800289010H ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1) 根据QR 算法原理编制求(i)及(ii)中矩阵全部特征值的程序并输出计算结果(要求误差<）510-.(2) 直接用现有数学软件求(i),(ii)的全部特征值,并与(1)的结果比较.9. 求初值问题的数值解,给定初值问题为(i) 21',12,(1) 1.y y x x xy ⎧=-≤≤⎪⎨⎪=⎩(ii) 2'50502,01,1(0).3y y x x x y ⎧=-++≤≤⎪⎨=⎪⎩(1)用改进欧拉法(取h=0.05)及四阶R-K.方法(取h=0.1)求(i)的数值解,并输出)10,,1,0(1.01 =+=i i x i 的数值解.i y(2)用经典四阶R-K 方法解(ii),步长h 分别取为h=0.1,0.025,0.01计算,并输出)10,,1,0(1.0 ==i i x i 各点的数值解y ()i x ,并分析结果.(初值问题(ii)的准确解()50213xy x ex-=+)。
matlab---三次样条插值
4多项式插值与函数最佳逼近37（上机题）3次样条插值函数：（1）编制求第一型3次样条插值函数的通用程序；（2）已知汽车门曲线型值点的数据如下：端点条件为8.0'0=y ，2.0'10=y ，用所编程序求车门的3次样条插值函数S （x ），并打印出9,,1,0),5.0(⋯=+i i S 。
用matlab 编写通用程序为：function [Sx ]=Threch(X,Y,dy0,dyn )%X 为输入变量x 的数值%Y 为函数值y 的数值%dy0为左端一阶导数值%dyn 为右端一阶导数值%Sx 为输出的函数表达式n=length(X)-1;d=zeros(n+1,1);h=zeros(1,n-1);f1=zeros(1,n-1);f2=zeros(1,n-2);for i=1:n %求函数的一阶差商h(i)=X(i+1)-X(i);f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);endfor i=2:n %求函数的二阶差商f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));d(i)=6*f2(i);endd(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1);%赋初值A=zeros(n+1,n+1);B=zeros(1,n-1);C=zeros(1,n-1);for i=1:n-1B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));C(i)=1-B(i);endA(1,2)=1;A(n+1,n)=1;for i=1:n+1A(i,i)=2;endfor i=2;nA(i,i-1)=B(i-1);A(i,i+1)=C(i-1);endM=A\d;syms x;for i=1:nSx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-X(i))...+M(i)/2*(x-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-X(i))^3);digits(4);Sx(i)=vpa(Sx(i));endfor i=1:ndisp('S(x)=');fprintf('%s(%d,%d)\n',char(Sx(i)),X(i),X(i+1));endS=zeros(1,n);for i=1:nx=X(i)+0.5;S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-X(i))...+M(i)/2*(x-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-X(i))^3;enddisp('S(i+0.5)');disp('i X(i+0.5)S(i+0.5)');for i=1:nfprintf('%d%.4f%.4f\n',i,X(i)+0.5,S(i));endEnd在运行窗口输入：>>X=[012345678910];Y=[2.513.304.044.705.225.545.785.405.575.705.80]; Threch(X,Y,0.8,0.2)运行结果如下：S(x)=-0.005714*x^3-0.004286*x^2+0.8*x+2.51(0,1)S(x)=-0.01286*x^3+0.01714*x^2+0.7786*x+2.517(1,2) S(x)=-0.015*x^3+0.03*x^2+0.795*x+2.45(2,3)S(x)=-0.015*x^3+0.03*x^2+0.865*x+2.24(3,4)S(x)=0.03*x^3-0.51*x^2+3.08*x-0.86(4,5)S(x)=-0.135*x^3+1.965*x^2-9.09*x+18.74(5,6)S(x)=0.2925*x^3-5.73*x^2+36.96*x-72.9(6,7)S(x)=-0.1475*x^3+3.51*x^2-27.55*x+76.87(7,8)S(x)=0.0025*x^3-0.09*x^2+1.118*x+1.11(8,9)S(x)=0.04625*x^3-1.271*x^2+11.72*x-30.53(9,10)S(i+0.5)i X(i+0.5)S(i+0.5)10.5000 2.90822 1.5000 3.68023 2.5000 4.39064 3.5000 4.99195 4.5000 5.40636 5.5000 5.72567 6.5000 5.596687.5000 5.437298.5000 5.6416109.5000 5.7383。
三次样条插值函数matlab
三次样条插值函数matlab一、 MATLAB 三次样条插值函数MATLAB 提供了一系列的函数可以进行数据的插值，样条插值函数提供了基于曲线和曲面的插值，MATLAB 主要提供了两类样条插值函数：一类是 spline 函数，另一类是 csapi 函数。
1. spline 函数spline 函数是基于经典的三次样条插值理论，它接受三维点集并用一条三次样条曲线连接。
使用 spline 函数时，您可以向函数提供三维点集，例如：x=[1,2,3,4,5];y=[2,8,16,30,50];z=[3,6,12,24,42];spline_curve=spline(x,y,z);2. csapi 函数csapi 函数是 MATLAB 的一种“三次样条插值”，允许你使用固定的方程，更有效地解决插值问题。
它可以把一组三维点集拟合成一条三次样条曲线。
使用 csapi 时，您可以向函数提供三维点集，例如：x=[1,2,3,4,5];y=[2,8,16,30,50];z=[3,6,12,24,42];csapi_curve=csapi(x,y,z);二、MATLAB 三次样条插值函数使用1. spline 函数spline 函数可以实现三次样条曲线的插值，该函数的基本格式如下：y2=spline(x,y,x2)其中，x 为一个由 N 个不重复的坐标值组成的向量，y 为长度为 N 的向量，x2 为要求的坐标值向量；而 y2 为长度为 length(x2) 的向量，其中的每个元素表示一个拟合结果。
例如，有以下数据：x=[2.1;3.3;4.2;5.1]，y=[7.2;11.7;15.3;20.5]，现在要求 x=2.8 时，插值结果 y2：x=[2.1;3.3;4.2;5.1];y=[7.2;11.7;15.3;20.5];x2=2.8;y2=spline(x,y,x2)2. csapi 函数csapi 函数可以实现三次样条曲线的插值，该函数的基本格式如下：pp=csapi(x,y)其中，x 为一个由 N 个不重复的坐标值组成的向量，y 为长度为 N 的向量；而 pp 为三次样条插值函数的拟合结果。
三次样条插值算法详解
三次样条插值函数的定义
如果函数f (x)在节点x0 , x1 ,, xn处的函数值为 f (x j ) y j , j 0,1,, n
并且关于这个节点集的三次样条函数s(x)满足插值条件：
S(x j ) y j , j 0,1,, n
则称这个三次样条函数s(x)为三次样条插值函数。
3
三次样条插值函数的边界条件
因为分段三次Hermite插值多项式已经至少是一阶连续可导了
，为了让它成为三次样条函数只需确定节点处的一阶导数使这 些节点处的二阶导数连续即可！
S(xi 0) S(xi 0),i 1,, n 1
S(x)
yi0
(
x xi hi
)
y ( ) m h ( ) m h ( ) xi1x i1 0 hi
化为矩阵形式
17
2 1
2
2
2
m1 g1 1m0
m2
g2
3 2 3 4 2
m3
g3
n2 2 n2 mn2
gn2
n1 2 mn1 gn1 n1mn
这是一个严格对角占优的三对角方程组，
用追赶法可以求解！
18
第二类三次样条插值问题的方程组
x xi i i 1 hi
xi1 x i1 i 1 hi
hi xi1 xi , i 0,1,, n 1
H3 (x) HH33((10))((xx))
x0 x x1 x1 x x2HFra bibliotek( 3
n1)
(
x)
xn1 x xn
12
我们采用待定一阶导数的方法即设
S(x j ) m j , j 0,1,, n
这个方程 组的系数 矩阵仍然 是严格对 角占优阵
matlab_牛顿插值法_三次样条插值法
(){}21()(11),5,10,20:12521()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)()()235,20:1100(i i ii n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x nxy i n Newton N x S x n x k y f x =-≤≤=+=-+====-+= 题目：插值多项式和三次样条插值多项式。
已知对作、计算函数在点处的值；、求插值数据点的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max()n k n k n k n k n k n k kkN x S x k E N y N x E S y S x ==-=- 和；、计算，；解释你所得到的结果。
算法组织:本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式)(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。
如此，则第三、四问则迎刃而解。
计算两种插值多项式的算法如下：一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下：Newton 插值多项式的表达式如下：)())(()()(110010--⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N其中每一项的系数c i 的表达式如下：1102110),,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-根据i c 以上公式，计算的步骤如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----),,,,(1),,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算 二、求三次样条插值多项式)(x S n ，算法组织如下：所谓三次样条插值多项式)(x S n 是一种分段函数，它在节点i x 011()n n a x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<=分成的每个小区间1[,]i i x x -上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：22331111111()[()()]()()666[,]1,2,,.i i i i i i i i i i i i i i i i i h x x h x x S x x x M x x M y M y M h h h x x x i n --------=-+-+-+-∈=⋅⋅⋅，，因此，只要确定了i M 的值，就确定了整个表达式，i M 的计算方法如下： 令：11111111116()6(,,)i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i h h h h h h y y y y d f x x x h h h h μλμ++++--+++⎧===-⎪++⎪⎨--⎪=-=⎪+⎩， 则i M 满足如下n-1个方程：1121,2,,1i i i i i i M M M d i n μλ-+++==⋅⋅⋅-，方程中有n+1个未知量，则令0M 和n M 分别为零，则由上面的方程组可得到(11)i M i n ≤≤-的值，可得到整个区间上的三次样条插值多项式)(x S n 。
matlab 三次样条函数
matlab 三次样条函数
《Matlab三次样条函数》
Matlab三次样条函数是由三次多项式函数组成的连续函数，根
据指定函数值，可以计算得到每一段函数的三次多项式系数。
经常用于数值计算中。
1、定义
Matlab中的三次样条函数（Cubic Spline）是一种连续函数，
由于其在每一段函数上都是三次多项式函数的拼接，因此又被称为三次拉格朗日插值法。
2、原理
Matlab中的三次样条函数可以用以下公式表示：
y=ax^3+bx^2+cx+d
其中，x为变量，y为函数值，a、b、c、d四个参数可以由指定的函数值计算出来。
首先，需要指定函数数据，一般是步长一致的函数值，即：
{x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3,...}
然后，根据以上函数值可以计算出每一段三次多项式函数的系数，即：
a_1,b_1,c_1,d_1
a_2,b_2,c_2,d_2
...
最后，函数总值可以由以上每一段的三次多项式函数拼接而成，
即：
y(x)=
begin{align}
t&a_1x^3+b_1x^2+c_1x+d_1, xin[x_1,x_2]
t&a_2x^3+b_2x^2+c_2x+d_2, xin[x_2,x_3]
t& ....
end{align}
3、应用
Matlab三次样条函数经常用于数值计算中，比如：（1）求解积分；
（2）求解微分方程；
（3）近似计算目标函数；
（4）曲线拟合等。
三次样条插值的MATLAB实现
MATLAB 程序设计期中考查在许多问题中，通常根据实验、观测或经验得到的函数表或离散点上的信息，去研究分析函数的有关特性。
其中插值法是一种最基本的方法，以下给出最基本的插值问题——三次样条插值的基本提法：对插值区间[]b a ,进行划分：b x x x a n ≤<⋯⋯<<≤10，函数()x f y =在节点i x 上的值()()n i x f y i i ⋯⋯==,2,1,0，并且如果函数()x S 在每个小区间[]1,+i i x x 上是三次多项式，于[]b a ,上有二阶连续导数，则称()x S 是[]b a ,上的三次样条函数，如果()x S 在节点i x 上还满足条件()()n i y x S i i ⋯⋯==,1,0则称()x S 为三次样条插值函数。
三次样条插值问题提法：对[]b a ,上给定的数表如下.求一个分段三次多项式函数()x S 满足插值条件()()n i y x S i i ⋯⋯==,1,0 式，并在插值区间[]b a ,上有二阶连续导数。
这就需要推导三次样条插值公式：记()x f '在节点i x 处的值为()i i m x f ='(n i ⋯⋯=,1,0)(这不是给定插值问题数表中的已知值)。
在每个小区间[]1,+i i x x 利用三次Hermite 插值公式，得三次插值公式：()()()()1111+++++++=i i i i i i i i i m m x y x y x x S ββαα，[]1,+∈i i x x x 。
为了得到这个公式需要n 4个条件：(1).非端点处的界点有n 2个；(2).一阶导数连续有1-n 个条件；(3).二阶导数连续有1-n 个条件，其中边界条件：○1()()n n m x S m x S ='=' 00 ○2()()αα=''=''n x S x S 00 ○3()()()()16500403βααβαα=''+'=''+'n n x S x S x S x S○4n y y =0 ()()()()000000-''=+''-'=+'n nx S x S x S x S 其中：()⎩⎨⎧=≠=j i j i x j i,1,0α ()0='j i x α ()0=j i x β 且(1,0,=j i )。
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ＭATLＡＢ三次样条插值之三弯矩法
首先说这个程序并不完善，为了实现通用（１，２，…,ｎ）格式解题，以及为调用追赶法程序，没有针对节点数在三个以下的情况进行分类讨论。
希望能有朋友给出更好的方法。
首先，通过函数saｎwanｊ得到方程的系数矩阵，即追赶法方程的四个向量参数,接下来调
用追赶法(在inteｒｓaｎwj函数中），得到三次样条分段函数系数因子,然后进行多项式合并
得到分段函数的解析式，程序最后部分通过判断输入值的区间自动选择对应的分段函数并计算
改点的值。
附:追赶法程序cｈase
％%%％％%%%%%%%％%
fｕncｔiｏｎ [nｅwv,w,newu，neｗd]=sanwj（ｘ,y,x０,y0,y1ａ,y1b）ﻫ％三弯矩样
条插值ﻫ％将插值点分两次输入，x0y０单独输入ﻫ% 边值条件a的二阶导数 y1a 和ｂ
的二阶导数ｙ1b，这里建议将y１ａ和y1b换成y2a和ｙ2b,以便于和三转角代码相区别
ﻫn=length(x);m=leｎgth(y);
ｉf m~=nﻫerrｏｒ(＇x or y 输入有误,再来'）;
endﻫv=ｏneｓ(ｎ-１，1);u=ｏnes(n－１,1）;d=zeros（n－１,１）;ﻫw=２*ｏ
nes(n+１)；ﻫh0=x（１）-x0;ﻫh=zerｏs(n-１,1);
for k＝1:n-１ﻫｈ(k)＝x（k+1)－x（k);ﻫenｄ
ｖ(1)＝h0/(ｈ0+h(1）);
u(1)＝1－v（1）;
ｄ（１)＝6*((y（2）-y(1）)/h（1)-(y(1)-y０)/ｈ0）/(h0+ｈ(１）);ﻫ%
ｆoｒ k＝2:ｎ-1ﻫｖ(ｋ）＝h(ｋ-１)/(ｈ(k-１)+h(ｋ)）;ﻫu(k)=1－v(k);ﻫd（k)＝
6*((y(ｋ+１)-ｙ（ｋ)）/h（k）-(ｙ(k）-y(ｋ-1）)/ｈ(k－1))／(h（k-1)+h(k));
ｅnd
newv=[v;1］;ﻫnewu=［1;u]；
d0=6＊（(y(1)-y0)/h0-y1a)/h0;
d(n)=6＊（y1ｂ-(ｙ(n）－ｙ(n-1))／ｈ(n-1))／h(ｎ-1）;
newd=［d0;d];
%%%%%%％％%％％％
ｆunctｉon iｎｔersａnｗj（x，y,ｘ0,y0,y1a，y1b)
%三弯矩样条插值ﻫ%第一部分ﻫn=leｎgtｈ(ｘ）;ｍ＝length(y);
iｆ m~＝nﻫeｒror（'ｘｏｒy 输入有误，再来');
enｄﻫ%重新定义hﻫh=zｅｒｏs(n,1）;
h(1)=x（1）-ｘ０;
fｏr k=2:n
h（k)=ｘ(ｋ)－x(k-1)；ﻫend
％sptep1调用三弯矩函数ﻫ[a,b,c,d]=sanwj(x，ｙ,ｘ0,ｙ0,y１ａ,y1b);
% 三对角方程ﻫM＝cｈaｓe(a,b,ｃ,ｄ);
% 求插值函数ﻫfｐrintf（＇三次样条(三弯矩)插值的函数表达式\ｎ')；
sｙｍｓ X ；ﻫfpｒintf('Ｓ0--1:\n');
S（１)＝cｏlｌeｃｔ（（(１/６）*M(2)*（X－x0)．^3－(1/6)*M(1)*(X－ｘ（1))．^3+(y(1)-(M(2)*h(１）.^2）/6)*(X－x０)－(y０－(Ｍ(1)*h（1)．^2）/6）＊(Ｘ-x(1））)/ｈ（1));ﻫfoｒ k=2：n
ｆpｒinｔｆ（＇Ｓ%d-－%d:\n',k-1,k)；
Ｓ(ｋ)=ｃｏllect((（1／６)*M(ｋ+1)*(X-x(k－1)).＾３-(1／6)*M(ｋ)*(X-x(ｋ)).^３＋(y(k）-（M(k+1)*h(k).^2)/6）*(X－ｘ（ｋ-1)）-(y(k-１)-(M(k)＊ｈ(k)．^2)/６)*(X-ｘ（k)))/h(ｋ)）;
ｅndﻫS=S．';ﻫｄisp（S);ﻫfprintf('以上为样条函数(三弯矩)解析式，显示为手写如下：＼n＇）；ﻫpreｔtｙ(S);
%第二部分
%是否继续运行程序ﻫmｙlｏop=iｎput('继续运行程序输入“1”，否则输入“0”\n＇);ﻫｉｆmyloｏp
ｗhile ｍylｏop
xi＝input('输入需要计算的点的值，并按回车键\ｎ＇)；
if ｘi＞ｘ0｜xi<x(ｎ）ﻫfｐrintf（＇现在开始计算输入点的插值函数值……\n');
elseﻫfprintｆ（'输入数值不在插值范围内,请重新输入\n');ﻫｘi=inpｕｔ('输入需要计算的点的值,并按回车键……＼ｎ');
eｎd
％确定输入的数值应该使用哪个解析式
newx=[x0;ｘ］;
[r,suoy］＝min(ａbs(newｘ－xi)）；ﻫfpｒintｆ（'输入点的插值函数值为:\n\n＇)；fpr ｉntf(＇＼t＇);
if ｘi＜=nｅwx(sｕｏy）ﻫf=ｓubs（S(suoy-１),X,xi）;ﻫelse
f=sｕｂs(S(suoy）,X,ｘｉ)；
eｎd
ｄisp(f);ﻫmｙloop＝inｐut('继续计算输入“1”，终止计算输入“０”\n')；
end
else
return；
ｅnｄ
%%%%%%％%%%%%
functｉon[x]=chasｅ(a,ｂ,c,d)
%追赶法解性方程组 a是下三角b是对角线c是上三角 d是常数项
%输入的a ｂｃ d 均为列向量ﻫn=lengｔh(b)；ﻫu=ｚｅros(n,1）;ﻫv=zeroｓ(n，1);ﻫx=zerｏs（n,1);
%追
v(１）=c(1）/b(1);u(１)=d(1)/b(１）；
for i＝2：n-１
v（i)=c（ｉ)／（b(i)-v(i－1)*a(ｉ－1)）；
u(i)=(d(i)－u（i-１)*a（i-1))/(b(i)-v(i-１)＊a(i-1）)；
enｄﻫu(n）＝(ｄ(n）－ｕ(n-1）*a(n－1))/（b（n)-v(n-１)*a(n-1）)；ﻫ%赶ﻫx （n)=u(n）;ﻫfoｒｉ=n-1:-１:1
x(i)＝u(i)－v(ｉ)*ｘ(ｉ+1);ﻫeｎd。