信号处理中的若干典型算法

y ( n)
L fs M
插值
抽取
因为两个滤波器工作在同样的抽样频率下，所以 可将它们合并成一个
x ( n)
fs
L
v ( n)
Lf s
h ( n)
u ( n)
Lf s
M
y ( n)
L fs M
L H (e ) 0
j
0 | | min( , ) L M 其它

x ( n L) n 0, L,2 L (n) 其它 0
包含很多乘以零的运算，实际上是不需要的
) 由 u (n求
y ( n) ，每两个点只要一个，即 u(1), u(2), u(3),
y (0) u (0) y (1) u (2) y (2) u (4)
白计算了
所以，在抽取与插值中，一定会有高效的计 算方法，原则是： 插值时，乘以零的运算不要做； 抽取前，要舍弃的点就不要再计算。
y (n)
k
x(k )h( Mn Lk )

的又一种表示形式：
Mn Lk 0

M k n L
Mn k m L
Mn Mn y ( n) x m h Mn L mL L m L
k
h(k ) x(n k )

(n)
k
h(k ) x(n k )
k

y ( n ) ( Mn )
h(k ) x( Mn k )



1 Y ( z) M
1 j Y (e ) M
M 1 k 0
k
x(k )h( Mn k )
同一首音乐，从录音、制作成 CD 唱盘到 数字音频广播，抽样频率要多次变化。 再例如：当需要将数字信号在两个或多个具 有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求 该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而 转换。
3. 信号多分辨率的需要
根据信号频率成分的分布，将一个信号分 解成低频信号和高频信号，或分解成多带信 号（如M个带），分解后的信号带宽减少 M 倍，所以抽样频率可减少M倍。
所以：
1 X1 ( z) M
M 1 k 0
k X ( zW M)
又因为：
Y ( z) X1 ( z
1 Y ( z) M
M 1 k 0
1 M
)
1 M
最后：
X (z
j
W )
k
ze
1 j Y (e ) M
M 1 k 0
X (e
j ( 2 k ) / M
k
h(n k ) (k )

u(0) x (0)h(0)
u(1) 0 h(0) x(0)h(1)
u(2) 0 h(0) 0 h(1) x(0)h(2) u(3) x(1)h(0) 0 h(1) 0 h(2) x(0)h(3)
1 p( n ) M
M 1 k 0
W
kn M
WM e
j 2 / M
周期序列展为傅里叶级数
X1 ( z)
n


x ( n) p ( n) z n
1 M 1 M
n M 1


kn n x(n) WM z k 0
M 1
k n x(n)( zWM ) k 0 n
y (n) u( Mn )
u( n ) ( n ) * h( n )
n ~
k
h(n k ) (k )
L)
k

u(n )
k
h(n k ) x(k
y (n)
k

h(n Lk ) x(k )


20
加上频带为（ M ,）的低通 滤波器后，可 M 以避免抽取后频谱的混迭
二、信号的插值
x ( n)
L
v ( n)
Up-Sampler
最简单的方法是将
插值：f s Lf s
每两个点之间补 L-1个零。 x( n)
x ( n L) (n) 0
n 0, L,2 L, 其它
分数倍抽样率转换：L / M CD 产品用的抽样率是 44.1kHz ，而数字 音频广播用的是32kHz。如何转换？
先 L 320 倍插值，再
x ( n)
fs
的抽取 M 441
合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取
L
v ( n)
Lf s
h 1(n)
u ( n)
Lf s
h 2(n)
Lf s
M
X (e j )
2

0

2

V (e j )
2

2
0

2
2

镜像（Image)
必须去除！
坐标轴的又一种标注法
x(n) : f s ;
v(n) : f v Lf s
v 2 f fv 2 f Lf s x L
去除镜像的目的实 c j 质上是解决所插值 H (e ) 的为零的点的问题。 0 方法：滤波
j
将 X (e j ) 作3倍 的扩展 将 X (e )移动 2 后作3倍的扩展 将 X (e j )移动 4 后作3倍的扩展
j
) 将信号 x(n 作
M 的抽取，得
y ( n)
目的：将抽样频率降低 M 倍； 原则： y (n 应保留 )
x ( n) 中的全部信息；
的一个周期； X( e j )
一、 信号的抽取
抽取：f s f s / M
x ( n)
抽样频率减少 M 倍
↓M
y ( n)
Down-Sampler
x (n ) 个点 M 中抽 最简单的方法是将 中每 取一个，依次组成一个新的序列y，即
y (n) x( Mn )
n ~
x ( n)
x(n) : f s
x1 (n)
x ( n)
| | L 其它
L
v ( n)
h ( n)
y ( n)
y ( n ) ( n ) * h ( n ) ( k ) h ( n k )
x ( k Baidu Nhomakorabea) h ( n k )
y (n)
k
k
x(k )h(n kL)

k
三、抽取与插值相结合的抽样率转换

x(k )h( Mn Lk )
L插值倍数
单独抽取和单独插值时的时域关系的结合
M抽取倍数
例
如何计算？
let L3 M 2
y (n)
k
x(k )h( Mn Lk )
n

x ( n)
v ( n)
L
n
h( n)
n
u ( n)
法1
u( n ) ( n ) * h( n )
9.1 信号的抽取与插值
前言：关于抽样率转换问题
（一）为什么要作抽样率转换？
1. 信号原来的抽样频率不合适 如抽样频率过高，数据量太大,因此存储 量 大；计算负担重，传输时需要大的带宽。
2. 实际的数字系统中，不同的处理环节需要 不同的抽样频率
例如：在音频世界，就存在着多种抽样频率。 得到立体声信号（Studio work ）所用的抽 样频率是48kHz，CD产品用的抽样率是 44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz。
j 措施： Y (e 的一个周期应等于 )
结论：
f s 2 Mf c
：抽取的结果不会发生频谱的混迭
由于 M是可变的，所以很难要求在不同的 下 M
都能保证
f s 2 Mf c
结果：出现了频谱的混迭，如：
M 2
1 1 j / 2 j / 2 Y (e ) X (e ) X (e ) 2 2
)
信号抽 取前后 频域的 关系
1 j Y (e ) M
M 1 k 0
X (e
j ( 2k ) / M
)
如何理解
令： M 3
1 j / 3 Y (e ) X (e ) 3 1 j ( 2 ) / 3 X (e ) 3 1 X (e j ( 4 ) / 3 ) 3
j
抽 取 后 频 谱 的 混 迭
解决的办法：在抽取前加反混迭滤波器，去除
中 | | 2 的成分。虽然牺牲了一部分高频内 M 容，但总比混迭失真好。
X (e j )
1 | | 2 M H (e ) 其它 0
j
x ( n)
h( n)
v ( n)
M
y ( n)
(n)
y(n) : f s / M
x1 (n)
y ( n)
x(n ) 和 y(n) 的时域、 要找到抽取前后，
频域关系。对于抽取，要通过中间序列
x1 (n)
现证明如
右的关系：
1 Y ( z) M
1 j Y (e ) M
M 1 k 0
k X ( z W )
M 1 k 0 j ( 2k ) / M X ( e )
1 M
证明：
y (n) x( Mn )
Y ( z)
n


y (n ) z n

n
n x ( Mn ) z

Mn m, Y ( z )
m
x(m) z
m M
X (z
1M
)
令：
x(n) x1 ( n ) 0
n 0, M ,2 M ,, 其它
多抽样频率情况下信号的处理称为
“多抽样率信号处理”
Multirate Signal Processing
（二）、如何实现抽样率的转换 1. 对原来的模拟信号重新抽样；
2. x(n) D/A x(t ) A/D x(n)
3. 基于原数字信号，用信号处理的 方法实现抽样率转换。☆
（三）、多抽样率信号处理的内容 1. 信号的抽取(Decimation); 2. 信号的插值（Interpolation); 3. 抽取与插值的实现、多相结构、多抽 样率系统； 4. 两通道滤波器组，分析与综合； 5. M通道滤波器组，分析与综合； 6. 多抽样率信号处理的应用。
x1 (n) 的抽样率仍为 f s
y ( n ) 的抽样率是 f s / M
现在的任务是: 1. 2. 3. 找到 x1 (n ) 和 x(n) 的时域与频域的关系; 找到 x1 (n ) 和 y (n) 的时域与频域的关系; 找到 y (n) 和 x(n) 的时域与频域的关系;
y (n ) x( Mn ) x1 ( Mn )

n 0 y (0)
n 1

2 y (1) x m h(3m 2 3 ) m 3

m
m
x(m)h(3m) x(0)h(0) u(0)
jn x ( n L ) e
V (e j )
n
jn ( n ) e


k
jkL x ( k ) e
n
V (e j ) X (e jL )
V ( z) X ( z )
L
j j
信号插补前后 频域的关系
X (e )周期： - ~ ; V (e )周期： - / L ~ / L
Y ( z)
n
x ( Mn ) z
1

n

n
x (n) z
1

n / M
正确
Y ( z ) X1 ( z1/ M )
关键是 x1 (n ) 和 x(n) 的关系：
令
p(n )
i
(n Mi )

为一脉冲序列，其抽样频率也为 f s
x1 (n) x(n) p(n)
1M k 1M k X ( z W ) H ( z W M M)
M 1 k 0
X (e
j ( 2 k ) M
) H (e
j ( 2 k ) M
)
由于低通滤波H的作用（仅考虑带内） 1 | | 2 M j H (e ) 其它 0 则Y可以化简
M 1 1 j ( 2 k ) M j ( 2 k ) M Y (e j ) X ( e ) H ( e ) M k 0 1 X e jx M
Mn y ( n) x m h mL Mn L m

L

多相 结构 表示
Mn 表示 L
对模 求余 Mn L
法2
2n y (n) x m h(3m 2n 3 ) m 3