若干优化算法的运行分析比较

2 2 10sin（ ］ +（ y30 - 1 ） ｝+ !y i + 1 ） i =1
U （ xi ， 10 ，
100 ， 4） ， \ xi \ 50 （ 12 ） 其中， y i = 1 +（ x i + 1 ） / 4， U （ xi ， a， I， m） 0 ，- a
1） Sphere Modei
收稿日期： 2005 - 02 - 03
f（ 3 x） =
（
i =1 j =1
2 xj ） ， \ xi \
100
（3）
…， 0） = 0 最优状态和最优值为 f（ 3 x ） = f（ 3 0， 4） Schwefei's Probiem 2. 21
— 149 —
f（ ｛\ x i \ ｝ ， \ xi \ 4 x ） = max
最优状态和最优值为 f（ …， 0） = 0， 其中 1 x ） = f（ 1 0， x
T =（ x1 ， …， xn ） 为已知的最优状态， 下同。
。然而对于具体工程问题， 选择何种优化算法都是根
据自己的经验或者喜好， 具有一定的盲目性。本文通过对各 类标准寻优问题的实验数据结果的分析， 比较了各算法对不 同问题的寻优效果。目的在于在具体工程问题寻优算法的 选取中能起到参考作用。
2） Schwefei's Probiem 2. 22
30 30
f（ 2 x） =
i =1
\ xi \ +
i =1
\ xi \ ， \ xi \
10
（2）
最优状态和最优值为 f（ …， 0） = 0 2 x ） = f（ 2 0， 3） Schwefei's Probiem 1. 2
30 i
2
［ 2］ 标准寻优问题
第 23 卷
第3 期
计
算
机
仿
真
2006 年 3 月
文章编号： 1006 - 9348 （ 2006 ） 03 - 0149 - 05
若干优化算法的运行分析比较
王静， 蒋珉
（ 东南大学自动化研究所， 江苏 南京 210096 ） 摘要： 研究了若干优化算法在连续空间寻优问题中的应用。通过对标准寻优问题的寻优结果， 分析并比较了优化算法的运 行效果。考察的性能指标主要有寻优偏差、 寻优次数等， 分析比较方法采用平均分析法和最优最差分析方法等。文中涉及 到的优化算法有遗传算法、 模拟退火法、 禁忌搜索法、 单纯形法和蚁群算法。实验结果表明， 单纯形法受解空间的维数以及 寻优问题类型的影响较大， 而遗传算法、 模拟退火法、 禁忌搜索法和蚁群算法对各个标准寻优问题则各有所长。对于工程中 的实际寻优模型， 可将其与标准寻优问题相对照以选择较适合的算法。 关键词： 函数优化； 遗传算法； 模拟退火法； 禁忌搜索法； 单纯形法； 蚁群算法 TM622 ；TM732 中图分类号： 文献标识码： A
f（ 9 x） =
［ x2 （ 2 !x i ）+ 10 ］ ， \ xi \ i - 10cos
i =1
最优状态和最优值为 f（ …， 0） = 0 9 x ） = f（ 9 0， 10 ） Ackhey's Function f10 （ x） = - 20exp
30
[ - 0. 2
30
!
x / 30 ]
1
引言
函数优化问题一般可归为求解一个目标函数的最小值
30
f（ 1 x） =
i =1
x2 \ xi \ i，
100
（1）
问题， 而很多问题又可以归为某一类的寻优问题。目前普遍 认为进化类寻优算法对于高维和非线性问题有其独特的优 点
［1， 2］
T 其中， x =（ x1 ， …， xn ） ， n 为自变量 x 的维数， 下同。
25 2 j =1
1 j+
6 （ x i - a ij ） i =1
]
-1
， （ 14 ）
f（ 6 x） =
2 （ xi + 0. 5」 ） ， \ xi \ i =1
100
（6） 其中， （ a ij ） =
\ xi \
65 . 56
…， 0） = 0 最优状态和最优值为 f（ 6 x ） = f（ 6 0， 7） Ouartic Function i. e. Niose
5. 1 2 5 1 2 x1 + x - 6） + 10 （1 ） cosx1 + 10 ， 8! ! 1 4 !2 -5 x1 10 ， 0 x2 15 （ 17 ）
最优状态和最优值为 f11 （ x ） = f11 （0， …， 0） = 0 12 ） Generahized Penahized Function f12 （ x） = ! 2 ｛ 10sin（ ! y1 ） + 30
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Comparison of Operational Behavior for Several Optimization Algorithms
WANG Jing， JIANG Min
（ Research Institute of Automation，Southeast University，Nanjing Jiangsu 210096 ，China） ABSTRACT： The appiication of severai optimization aigorithms in continuous function optimization is studied. Based on the operationai resuits for some standard optimization probiems，the effects of the optimization aigorithms are compared. The guide iines considered are dispersion of objective function vaiue and searching times，and the average anaiyticai method and the worst - best anaiyticai method are used. Genetic Aigorithm，Simuiated Anneaiing，Tabu Search，Simpiex Aigorithm，Ant System Aigorithm are inciuded. Experiment resuits show that Simpiex Aigorithm is more sensitive to the dimension of the probiems，whiie the others are fit for certain modeis，comparativeiy. As to the naturai optimization modeis in engineering，it is suggested to choose suited aigorithms comparing to the standard probiems. KEYWORDS ： Function optimization； Genetic aigorithm； Simuiated anneaiing； Tabu search； Simpiex aigorithm； Ant system aigorithm
最优状态和最优值为 f（ …， 0） = 0 7 x ） = f（ 7 0， 8） Generahized Schwefeh's Probhem 2. 26
30
最优状态和最优值为 f14 （ x ） = f14 （ - 32 ，- 32 ） 15 ） Kowahik's Function
11
f（ 8 x） = -
30
f（ 7 x） =
i =1
ix4 ［0， 1） ， \ xi \ i + random
1 . 28 （ 7 ）
…，0 ， 16 ， 32 - 32 ，- 16 ， 0 ， 16 ， 32 ， - 32 ， () 32 ，- 32 ，- 32 ，- 32 ，- 32 ，- 16 ， …， 32 ， 32 ， 32 1
30
=
（ 0 . 1957 ， 0 . 1947 ， 0 . 1735 ， 0 . 16 ， 0 . 0844 . 0 . 0627 ， 0 . 0456 ， 0 . 0342 ， 0 . 0323 ， 0 . 0235 ， 0 . 0246 ）
（ 1 / 6 i ） =（ 0 . 25 ， 0. 5， 1， 2， 4， 6， 8， 10 ， 12 ， 14 ， 16 ） 5 . 12 （9） 最优状态和最优值为 f15 （ x ） = f15 （ 0 . 1928 ， 0 . 1908 ， 0. 1231 ， 0 . 1358 ） 0 . 0003075 16 ） Six - Hump Cameh - Back Function
最优状态和最优值为 f10 （ x ） = f10 （0， …， 0） = 0 11 ） Generahized Griewank Function 1 f11 （ x） = 4000
30 30
x i =1 i =1
2 i
cos （
xi i !
）+ 1 ， \ xi \
600 （ 11 ）
f17 （ x） =（ x2 -
i =1
30
100
（4）
Generahized Penahized Function 13 ）
29 2 f13 （ x） = 0 . 1｛sin（ 3 !x1 ）+ 30 2 2 （ xi - 1） ［ 1 + sin（ 3 !x i + 1 ） ］ i =1 2 +（ x30 - 1 ） ｝+ i =1
（ x i sin （! \ xi \ ） ） ， \ xi \ i =1
500
（8） 其中， （ a ij ）
f15 （ x） =
i =1
[a
i
-
2 2 x（ 1 6 i + 6 i x2 ） ， \ xi \ 2 6 i + 6 i x3 + x4
]
5 （ 15 ）
…， 420 . 最优状态和最优值为 f（ 8 x ） = f（ 8 420 . 9687 ， 9687 ） = - 12569 . 5 9） Generahized Rastrigin's Function
2 f18 （ x） =［ 1 + （ x1 + x2 + 1 ） （ 19 - 14 x1 + 3 x2 1 - 14 x2 + 6 x1 x2 2 + 3 x2 ］X［ 30 +（ 2 x1 - 3 x2 ） （ 18 - 32 x1 + 12 x2 2） 1 +
（ yi
i =1
-
2 1） ［ 1 30
50
（ 13 ）
（ x ） = f13 （1， …， 1） = 0 最优状态和最优值为 f13 14 ） Shekeh's Foxhohes Function f14 （ x） =
最优状态和最优值为 f（ …， 1） = 0 5 x ） = f（ 5 1， 6） Step Function
30
[
1 + 500
…， 0） = 0 最优状态和最优值为 f（ 4 x ） = f（ 4 0， 5） Generahized Rosenbrock's Function
29
f（ 5 x） =
2 2 ［ 100 （ x i + 1 - x2 （1 - xi ） ］ ， \ xi \ i） + i =1
30 （5）
U （ xi ， 5， 100 ， 4） ， \ xi \
29
最优状态和最优值为 f17 （ x ） = f17 （ - 3 . 142 ， 2 . 275 ） = f17 （ 3 . 142 ， 2 . 275 ） + = f17 （ 9 . 425 ， 2 . 425 ） = 0 . 398 18 ） Gohdstein - Price Function
2 i
4 6 2 4 f16 （ x ） = 4 x2 \ xi \ 1 - 2 . 1 x1 + x1 / 3 + x1 x2 - 4 x2 + x2 ，
5 （ 16 ）
i =0
- exp （
i =1
cos （ 2 !x i ） / 30 ）+ 20 + e， \ xi \
32 （ 10 ）
最优状态和最优值为 f16 （ x ）= f16 （ 0 . 08983 ， - 0 . 7126 ）= f16 （ - 0 . 08983 ， 0 . 7126 ） = - 1 . 0316285 17 ） Branin Function