数字信号处理(第三版)课后习题答案(全) PPT
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第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
3． 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。
(1) x(n) Acos 3 πn A是常数
7 8
(2)
j( 1 n )
x(n) e 8
解： （1） 因为ω= 列， 周期T=14
π, 所以3 7
, 这是2π有理1数4， 因此是周期序
X
(e j
)
n
n
（6） 因为
X (e j ) x(n)e jn
n
对该式两边ω求导， 得到
因此
dX (e j ) j nx(n)e jn jFT[nx(n)]
d
n
FT[nx(n)] j dX (e j )
e j3 e j4 1 e j
1 e j7 1 e j
e j3
j7 j7
e 2 (e 2
j7
e 2 ) e j3
sin(7 ) 2
j1 j1
Βιβλιοθήκη Baidu
j1
e 2 (e 2 e 2 )
sin(1 ) 2
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
（4）假设n0>0， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和 n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤M， 因此系统
（5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的 未来值。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM， 因此系统是 稳定的。
解： （1） 令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n －n0－2)
y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n －n0－2)
=y′(n)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=T［ax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］ +3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］ T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)
所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（2） 令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=2x(n－n0)+3 y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n) 故该系统是非时变的。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是非线性系统。
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
2.5 习题与上机题解答
1． 设X(ejω)和Y(ejω)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里
叶变换：
(1) x(n－n0) (2) x*(n) (6) nx(n)
解：（1） FT[x(n n0 )]
x(n n0 )e jn
n
令n′=n－n0, 即n=n′+n0， 则
FT[x(n n0 )] x(n)e j(nn0 ) e jn0 X (e j )
n
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
（2） FT[x(n)]
x (n)e jn
x(n)e jn
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（5） y(n)=x2(n)
令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x2(n－n0) y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠aT［x1(n)］+bT［x2(n) =ax21(n)+bx22(n)
因此系统是非线性系统。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
6． 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明 理由。
（2） y(n)=x(n)+x(n+1) （4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n)
解：（2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时 间以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则 |y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M,
n
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
(2)
X 2 (e j )
x2 (n)e jn
n
1 2
e j
1
1 2
e j
1 1 (e j e j ) 1 cos
2 (4)
X 4 (e j )
[u(n 3) u(n 4)]e jn
d
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
6． 试求如下序列的傅里叶变换： (1) x1(n)=δ(n－3)
(2)
x2
(n)
1 2
δ(n
1)
δ(n)
1 2
δ(n
1)
(4) x4(n)=u(n+3)－u(n－4)
解 (1) X1(e j )
δ(n 3) e jn e j3
3
（2） 因为ω=
,
所以
1
8
=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。
2π
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输 出， 判断系统是否是线性非时变的。
（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3 （5）y(n)=x2(n)
14． 求出以下序列的Z变换及收敛域:
3
e jn
n
n3
3
3
3
3
e jn e jn e jn e jn
n0
n1
n0
n1
1 e j4 1 e j
1 e j3 1 e j
e j
1 e j4 1 e j
1 1
e j3 e j
3． 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。
(1) x(n) Acos 3 πn A是常数
7 8
(2)
j( 1 n )
x(n) e 8
解： （1） 因为ω= 列， 周期T=14
π, 所以3 7
, 这是2π有理1数4， 因此是周期序
X
(e j
)
n
n
（6） 因为
X (e j ) x(n)e jn
n
对该式两边ω求导， 得到
因此
dX (e j ) j nx(n)e jn jFT[nx(n)]
d
n
FT[nx(n)] j dX (e j )
e j3 e j4 1 e j
1 e j7 1 e j
e j3
j7 j7
e 2 (e 2
j7
e 2 ) e j3
sin(7 ) 2
j1 j1
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j1
e 2 (e 2 e 2 )
sin(1 ) 2
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
（4）假设n0>0， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和 n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤M， 因此系统
（5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的 未来值。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM， 因此系统是 稳定的。
解： （1） 令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n －n0－2)
y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n －n0－2)
=y′(n)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=T［ax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］ +3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］ T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)
所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（2） 令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=2x(n－n0)+3 y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n) 故该系统是非时变的。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是非线性系统。
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
2.5 习题与上机题解答
1． 设X(ejω)和Y(ejω)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里
叶变换：
(1) x(n－n0) (2) x*(n) (6) nx(n)
解：（1） FT[x(n n0 )]
x(n n0 )e jn
n
令n′=n－n0, 即n=n′+n0， 则
FT[x(n n0 )] x(n)e j(nn0 ) e jn0 X (e j )
n
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
（2） FT[x(n)]
x (n)e jn
x(n)e jn
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（5） y(n)=x2(n)
令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x2(n－n0) y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠aT［x1(n)］+bT［x2(n) =ax21(n)+bx22(n)
因此系统是非线性系统。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
6． 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明 理由。
（2） y(n)=x(n)+x(n+1) （4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n)
解：（2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时 间以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则 |y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M,
n
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
(2)
X 2 (e j )
x2 (n)e jn
n
1 2
e j
1
1 2
e j
1 1 (e j e j ) 1 cos
2 (4)
X 4 (e j )
[u(n 3) u(n 4)]e jn
d
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
6． 试求如下序列的傅里叶变换： (1) x1(n)=δ(n－3)
(2)
x2
(n)
1 2
δ(n
1)
δ(n)
1 2
δ(n
1)
(4) x4(n)=u(n+3)－u(n－4)
解 (1) X1(e j )
δ(n 3) e jn e j3
3
（2） 因为ω=
,
所以
1
8
=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。
2π
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输 出， 判断系统是否是线性非时变的。
（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3 （5）y(n)=x2(n)
14． 求出以下序列的Z变换及收敛域:
3
e jn
n
n3
3
3
3
3
e jn e jn e jn e jn
n0
n1
n0
n1
1 e j4 1 e j
1 e j3 1 e j
e j
1 e j4 1 e j
1 1
e j3 e j