九年级(上)培优讲义第14讲二次函数及其应用

第14讲 二次函数及其应用

一、基础拓展

1.抛物线2

y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：

x … －2 －1 0 1 2 … y

…

4

6

6

4

…

小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与

x 轴的一个交点为（3,0）

； ②函数2y ax bx c =++的最大值为6；③抛物线的对称轴是1

2

x =

；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．其中正确有（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

2.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，有下列结论： ①0c ，④0=++c b a ，⑤02=+a b 其中正确的个数有（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3．边长为1的正方形111C B OA 的顶点1A 在x 轴的正半轴上，如图将正方形111C B OA 绕顶点

O 顺时针旋转︒75得正方形OABC ，使点B 恰好落在函数

)0(2＜a ax y =的图像上，则a 的值为（ ） A ．3

2- B ．21- C ．2-

D ． 3

2-A

4. 将二次函数1422

-+-=x x y ，化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，结果为_____ _____，该函数图像不经过第_________象限。

5. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为 21

(4)312

y x =-

-+，由此可知铅球推出的距离是 6． 已知二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（1,3）及部分图象（如

图），其中图像与横轴的正半轴交点为（3,0），由图象可知： ①当x ________时，函数值随着x 的增大而减小；

②关于x 的一元二次不等式02

>++c bx ax 的解是__________．

1B

O

1

-

C

7. 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了迎接十周年店庆，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠．．．．．．．．．．．，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

8.如图，抛物线2

12

y x mx n =

++交x 轴于A 、B 两点，直线y =kx +b 经过点A ，与这条抛物线的对称轴交于点M （1，2），且点M 与抛物线的顶点N 关于x 轴对称．

（1）求这条抛物线的函数关系式；

（2）根据图象，写出函数值y 为负数时，自变量x 的取值范围；

（3）设题中的抛物线与直线的另一交点为C ，已知P （x ，y ）为直线AC 上一点，过点P 作PQ ⊥x 轴，交抛物线于点Q ．当－1≤x ≤1.5时，求线段PQ 的最大值．

9．如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．

二、综合应用 1．抛物线2-x 2

1

-x 21y 2=

与直线3-x y =交于A ,B 两点（A 在B 的左侧）动点P 从A 出发先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到B ，若使得点P 的运动的总路程最短，则点P 的总路程长为（ ） A ．

10 B ． 15 C ．32 D ．13

2．如图，已知抛物线2

y x bx c =++经过点（1 ，－ 5），（－ 2 ，4）． （1）求这条抛物线的解析式．

（2）设该抛物线与直线y =x 相交于点A , B (点B 在点A 的右侧)，平行于y 轴的直线x =m (0＜m ＜51+)与抛物线交于点M , 与直线y =x 交于点N ，交x 轴于点P ，求线段MN 的长（用含m 的代数式表示）

（3）在（2）的情况下，连接OM ,BM ,是否存在m ，使△BOM 的面积S 最大？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．

P

N M

B A O

x

y

3. 如图，已知抛物线的方程C1：1(2)()

y x x m

=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴

m

交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，

使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．