九年级(上)培优讲义第14讲二次函数及其应用
人教版九年级上册数学《实际问题与二次函数》二次函数培优说课教学复习课件
巩固练习
2.某社区委员会决定把一块长40m，宽30m的矩形空地改建成健身
广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花
坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为
xm(6≤x≤10)，健身活动区域的面积为Sm2．
(1)求出S与x之间的函数关系式；
(2)求健身活动区域的面积S的最大值．
4ac b 2
302
h
45．
4a
4 （ 5）
小球运动的时间是 3 s 时，小球最高． 0
小球运动中的最大高度是 45 m．
6
小结
1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如
何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.
2.利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写
出二次函数表达式是解决问题的关键.
边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面
积最小？
解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面
积为y，则DG=1-x.
2
1
1 1
y 12 4 x(1 x ) 2 x (0 x 1)
2
2 2
当x 1 时, y有最小值 1 .
解：(1)由题意解得：
= 40 × 30 − 4 − 5 = −4 2 + 20 + 1200；
6 ≤ ≤ 10
巩固练习
(2)求健身活动区域的面积S的最大值．
解：(2) = −4 2 + 20 + 1200
= −4
5 2
−
2
+ 1225，
∵ = −4 < 0，抛物线开口向下，对称轴为 =
九年级数学复习课件：第14讲：二次函数的应用 (共31张PPT)
考点2
二次函数与几何图形
求图象的边长、 建立二次函数模型， 利用函数的 面积 性质求图形的边长、面积 探索图形中的边、 通过建立二次函数关系，探索 角和面积间的关系 边、角及图形面积之间的关系 通过建立二次函数关系探究点、 探究图形中点、 线的变化中图形性质及相关数 线的运动规律 量关系
图14－2
第14讲┃ 二次函数的应用
2.如图14－2，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角 料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取 矩形(阴影部分)片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边 长x、y应分别为( )
A．x＝10，y＝14 C．x＝12，y＝15
图14－2 B．x＝14，y＝10 D．x＝15，y＝12
第三环节：交流展示 小组合作讨论达标检测题目
第四环节：典例精析 《初中毕业升学总复习》 P58 T7、 T8 、 T9
第五环节：总结提升 《初中毕业升学总复习》 P58 T6
第五环节：总结提升
1．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋ m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)(如图14－2所示)， 则能使y1＞y2成立的x的取值范围是_____________．
第14讲┃ 二Leabharlann 函数的应用考点3二次函数与生产、生活问题
商品利润 利用二次函数的性质， 解决商 问题 品的利润问题 最长、最短 利用二次函数的性质解决距 距离问题 离问题 最优设计 通过建立二次函数关系探究 问题 方案的最优设计
第14讲┃ 二次函数的应用
第二环节：达标检测 《初中毕业升学总复习》 P58 T2 T3 T4 T5
A．x＝10，y＝14 C．x＝12，y＝15
九年级数学总复习课件：第14课时二次函数的图象及性质
∵点M为对称轴上一点， ∴OM=BM， ∴OM+AM=BM+AM=AB， 则此时OM+AM最小， 过A点作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中， AB＝ AN 2 BN 2 42 42 4 2 ， 因此OM+AM最小值为 4 2 .
类型二 二次函数的图象与性质 例2已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 如图所示，
（３）若已知抛物线与ｘ轴的两个交点或是
一个交点和对称轴，要想到用两点式来求抛 物线的解析式，即设抛物线的解析式为： y=a(x-x1)(x-x2)；2.代入点坐标：用待定系数 法将已知点坐标代入相应的解析式中，得到 关于待定系数的方程（组）；3.求解：解方 程（组），求出待定系数的值，从而得出函 数的解析式.
抛物线与x轴有一个
二次函数
交点( b , 0 ),x= b
2a
2a
y=ax2+bx+c(a b2-4ac＝0 是方程ax2+bx+c=0的
≠0)，若y=0 时，得一元 二次方程 ax2+bx+c=0
两个相等的实数根，
即x1＝x2＝
b 2a
抛物线与x轴没有交
点，即方程 b2-4ac ＜0
ax2+bx+c=0没有实数
3.二次函数的平移 由于抛物线的开口方向与开口大小均由二
次项系数a确定，所以两个二次函数如果a相 等，那么其中一个图象可以由另一个图象平 移得到.
移动方向
平移后的解析 式
简记
向左平移 y=a(x-h+m)2+k 左加
m个单位
向右平移
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h-m)2+k m个单位
(家教培优专用)人教版数学九年级上册--《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式． 【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即2(3)2y a x =--，也就是2692y ax ax a =-+-，再由在x 轴上截得的线段长为6建立方程求出a ．也可根据抛物线的对称轴是直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y ＝a(x-0)·(x-6)．【答案与解析】解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，∴ 设解析式为y ＝a(x-3)2-2(a ＞0)，即2692y ax ax a =-+-，设抛物线与x 轴两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0)．则12||6x x -==，解得29a =．∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--，即22493y x x =-． 解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)， ∴ 设抛物线解析式为2(3)2y a x =--．∵ 对称轴为直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，∴ 抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)．把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2-2，解得29a =，∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--， 即22493y x x =-．解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为y ＝a(x-0)(x-6)，把(3，-2)代入得3(36)2a ⨯⨯-=-，解得29a =． ∴ 抛物线的解析式为2(6)9y x x =-，即22493y x x =-．【点评】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单． 举一反三：【高清课程名称：二次函数复习高清ID 号：357019 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】 【变式】已知抛物线2442y mx mx m =-+-（m 是常数）．（1）求抛物线的顶点坐标； （2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．【答案】（1）依题意，得0≠m ，∴2242=--=-=mma b x ，m m m m a b ac y 442444422)()(---=-=241681622-=--=m m m m∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-． （2）∵抛物线与x 轴交于整数点，∴02442=-+-m mx mx 的根是整数．∴2x ==．∵0m >，∴2x =±2m是完全平方数．∵155m <<， ∴22105m <<，∴2m取1，4，9，24164(42)222m m m m mx ±--==±． 当21m =时，2=m ；当24m =时，21=m ；当29m =时，29m =． ∴m 的值为2或21或29．∴抛物线的解析式为6822+-=x x y 或x x y 2212-=或22810999y x x =--．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2. 函数y ax b =+和2y ax bx c =++(0)a ≠在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）【答案】C ；【解析】 ∵ a ≠0，∴ 分a ＞0，a ＜0两种情况来讨论两函数图象的分布情况．若a ＞0，则y ＝ax+b 的图象必经过第一、三象限，2y ax bx c =++的图象开口向上，可排除D ． 若a ＞0，b ＞0，则y ＝ax+b 的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，2y ax bx c =++的图象的对称轴在y 轴的左侧，故B 不正确．若a ＞0，b ＜0，则y ＝ax+b 的图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，2y ax bx c =++的图象的对称轴在y 轴的右侧，故C 正确．若a ＜0，则y ＝ax+b 的图象必经过第二、四象限，2y ax bx c =++的图象开口向下，故A 不正确． 【点评】在同一直角坐标系中研究两种函数图象的分布情况，待定系数a ，b 满足一致性，因此讨论a ，b 符号的一致性成为解决本题的关键所在．事实上，a ，b 的符号既决定了一次函数图象的分布情况，又决定了抛物线的开口方向和对称轴的位置．类型三、数形结合3.（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y 1=﹣x 2+x+c 的图象与x 轴的一个交点为A （4，0），与y 轴的交点为B ，过A 、B 的直线为y 2=kx+b ．（1）求二次函数y 1的解析式及点B 的坐标；（2）由图象写出满足y 1＜y 2的自变量x 的取值范围；（3）在两坐标轴上是否存在点P ，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案与解析】解：（1）将A点坐标代入y1，得﹣16+13+c=0．解得c=3，二次函数y1的解析式为y=﹣x2+x+3，B点坐标为（0，3）；（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，∴x＜0或x＞4时，y1＜y2；（3）直线AB的解析式为y=﹣x+3，AB的中点为（2，）AB的垂直平分线为y=x﹣当x=0时，y=﹣，P1（0，﹣），当y=0时，x=，P2（，0），综上所述：P1（0，﹣），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．【点评】本题考察了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用函数与不等式的关系求不等式的解集；（3）利用线段垂直平分线的性质，利用直线AB得出AB的垂直平分线是解题关键．类型四、函数与方程4.（2015•本溪模拟）某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≧60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式；（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？【答案与解析】解：（1）销售单价为x元，则销售量减少×20，故销售量为y=240﹣×20=﹣4x+480（x≥60）；（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000，解得x1=70，x2=50（不合题意舍去），故当销售价为70元时，月销售额为14000元；（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：w=（x﹣40）（﹣4x+480）=﹣4x2+640x﹣19200=﹣4（x﹣80）2+6400．当x=80时，w的最大值为6400．故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，考查了数学建模思想方法，关键是对题意要正确理解. 举一反三：【变式1】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．【答案】由题意得把②代入①得.∵抛物线与直线只有一个公共点，∴方程必有两个相等的实数根，∴，∴．【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程的两个根；(2)写出不等式的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】(1)(2).(3).(4)方法1：方程的解，即为方程组中x的解也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图象可看出，当时，直线与抛物线有两个交点，∴．方法2：∵二次函数的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点，∴∴∴，即，∴.∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴.类型五、分类讨论5．若函数22(2)2(2)x x y x x ⎧+≤=⎨>⎩，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )．A ．6±B ．4C ．6±或4D ．4或6-【思路点拨】此题函数是以分段函数的形式给出的，当y ＝8时，求x 的值时，注意分类讨论. 【答案】D ； 【解析】由题意知，当228x +=时，6x =±．而62>，∴ 6x =-．6x =(舍去)．当2x ＝8时，x ＝4．综合上知，选D ．【点评】正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．类型六、与二次函数有关的动点问题6．如图所示，在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，(0，3)，过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)求当AD+CD 最小时点D 的坐标；(3)以点A 为圆心，以AD 为半径作⊙A ．①证明：当AD+CD 最小时，直线BD 与⊙A 相切； ②写出直线BD 与⊙A 相切时，D 点的另一个坐标．【思路点拨】根据A 、B 两点在x 轴上，可设交点式求解析式．要AD+CD 最小，根据两点之间线段最短，可判定D 点位置，从而求出点D 坐标．要让BD 与⊙A 相切，只需证AD ⊥BD ，由圆的对称性， 可直接写出D 点另一个坐标．【答案与解析】(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x+1)(x-3)．将(0，3)代入上式，得3＝a(0+1)(0-3)．解得a ＝-1．∴ 抛物线的解析式为y ＝-(x+1)(x-3)，即223y x x =-++．(2)连接BC ，交直线l 于点D ′．∵ 点B 与点A 关于直线l 对称，∴ AD ′＝BD ′．∴ AD ′+CD ′＝BD ′+CD ′＝BC ．由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时AD ′+CD ′最小，点D ′的位置即为所求．设直线BC 的解析式为y ＝kx+b ，由直线BC 过点(3，0)，(0，3)，得03,3.k b b =+⎧⎨=⎩解这个方程组，得1,3.k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线BC 的解析式为y ＝-x+3．∵ 对称轴l 为x ＝1．将x ＝1代入y ＝-x+3，得y ＝-1+3＝2．∴ 点D 的坐标为(1，2)．(3)①连接AD．设直线l与x轴的交点为点E．由(2)知：当AD+CD最小时，点D的坐标为(1，2)．∵ DE＝AE＝BE＝2，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴∠ADB＝90°．∴ AD⊥BD．∴ BD与⊙A相切．②(1，-2)．【点评】动点问题分单点运动和双点运动，是中考的热点问题，在运动变化中发展空间想象能力和提高综合分析问题的能力，解决此类题要“以静制动”，即把动态问题变为静态的问题去解决，解题时用运动的眼光去观察研究问题，挖掘运动变化过程中的不变量、不变关系．。
九年级上数学：二次函数的应用课件ppt(共30张PPT)
比较顶点式和一般式的优劣
一般式：通用， 一般式：通用，但计算量大 顶点式：简单， 顶点式：简单，但有条件限制
使用顶点式需要多少个条件？ 使用顶点式需要多少个条件？
顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 再加上一个其它点的坐标 对称轴再加上两个其它点的坐标 再加上两个其它点的坐标； 对称轴再加上两个其它点的坐标； 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。 三个条件才能求 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。
二次函数的应用
专题三： 专题三： 二次函数的最值应用题
二次函数最值的理论
b 你能说明为什么当x = − 时，函数的最值是 2a 2 4ac − b y= 呢？此时是最大值还是最小值呢？ 4a
求函数y=(m+1)x 2(m+1)x- 的最值。 求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。其 为常数且m≠ m≠－ 中m为常数且m≠－1。
A O D
B
C
最值应用题——面积最大 面积最大 最值应用题
•
用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做 用一块宽为 m 一个水槽，水槽的横断面为底角120 120º的等 一个水槽，水槽的横断面为底角120 的等 腰梯形。要使水槽的横断面积最大， 腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的 侧面AB应该是多长？ AB应该是多长 侧面AB应该是多长？ D A
C
145km
A
D
最值应用题——销售问题 销售问题 最值应用题
某商场销售一批名牌衬衫， 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利 元，为了扩大销售，增加 件 每件盈利40元 为了扩大销售， 盈利，尽快减少库存， 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施。经调查发现， 降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降 价1元，商场平均每天可多售出 件。 元 商场平均每天可多售出2件 （1）若商场平均每天要盈利 ）若商场平均每天要盈利1200元，每件 元 衬衫应降价多少元？ 衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 ）每件衬衫降价多少元时， 盈利最多？ 盈利最多？
九年级数学上册二次函数讲义
初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质： 上加下减。
()2x h -4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；0a >二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y 1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数培优讲义
二次函数培优讲义1.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点坐标为。
2.如图，抛物线C1：y=x2-4x的对称轴为直线x=a，将抛物线C1向上平移5个单位长度得到抛物线C2，则图中的两条抛物线、直线x=a与y轴所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（2）（4）（6）（9）（10）3.抛物线1422++-=xxy在x轴上截得的线段长度是．4.二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，则abc，acb42-，cba++这3个式子中，值为正数的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5.已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，那么( )A.a>0,b>0,c>0B.a<0,b<0,c=0C.a<0,b<0,c>0D.a>0,b>0,c=06.已知二次函数)0(2≠++=acbxaxy的图象如图所示对称轴为21-=x。
下列结论中，正确的是【】A．0abc> B．0a b+= C．20b c>+ D．42a c b+<7.关于x的二次函数()()y=x+1x m-，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是【】A. m<1- B. 1<m<0- C. 0<m<1 D. m>18.二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是【】A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．﹣1＜t＜19.二次函数2y ax bx=+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m++=有实数根，则m的最大值为【】A．3-B．3 C．6- D．9O xy-1110. 如图，抛物线y 1=a （x ＋2）2－3与y 2=12（x －3）2＋1交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2－y 1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是【 】A ．①② B．②③ C．③④ D．①④11. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )12. 已知抛物线y ＝5x 2＋(m －1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距离平方等于为 4925，则m 的值为( )A.－2 B.12 C.24 D.4813. 二次函数n x x y +-=62的部分图像如图所示，若关于x 的一元二次方程062=+-n x x 的一个解为11=x ，则另一个解2x =（13） （17）14. 抛物线m x x y +--=22，若其顶点在x 轴上，则=m15. 已知抛物线c x ax y ++=22与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M （c a ,）在第 象限．16. 已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴的正半轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ．17. 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点。
九年级数学上册二次函数讲义
初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
最新人教版九年级全一册数学培优课件第14课时 二次函数的相关概念
__________；
（3）y=x2：_______________.
x为任意实数
（4） y=
__________________.
x≥-1且x≠3
返回目录
变式训练
4. 写出下列函数的自变量x的取值范围：
（1）
__________；
x≠-2
（2）y=2x－3x2：__________________；
一边长为x（cm）之间的函数关系式为
y=-x2+20x
______________________.
14. 2020年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销
量剧增．某药店一月份销售量是5 000枚，二、三两个月销售量
连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩数y
y=5 000（1+x）2
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），
其中（h，k）为顶点坐标；
（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，x1，x2是常数，
a≠0）
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b2－4ac的取值
二次
函数
与一
元二
次方
程
b2－4ac＞0
b2－4ac=0
b2－4ac＜0
二次函
数y=ax2
a＞0
＋bx＋c
（枚）与x的函数关系式是____________________________.
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C组
15.
某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中
一边靠墙，另外三边用长为30 m的篱笆围成，已知墙长为18 m
（如图1-22-14-1），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m，
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
数学中考第14课时 二次函数的应用ppt课件
5．【2020·黔东南州】黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已 知购进 3 件甲商品和 2 件乙商品，需 60 元；购进 2 件甲商品 和 3 件乙商品，需 65 元． (1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
解：设甲、乙两种商品的进货单价分别是 a、b 元/件，由题意得
3a＋2b＝60， 2a＋3b＝65，
②若点 M(－2，y1)、点 N12，y2、点 P(2，y3)在该函数图象上， 则 y1<y2<y3； ③将该抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，所 得抛物线解析式为 y＝－(x＋1)2＋m；
④点 A 关于直线 x＝1 的对称点为 C，点 D、E 分别在 x 轴和 y 轴上，当 m＝1 时，四边形 BCDE 周长的最小值为 34＋ 2. 其中正确判断的序号是__①__③__④__．
解：如图②，设 P 点的坐标为t，14t2，连接 PD. ∵以 OC 为一边且顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行四边形， ∴PD∥OC，PD＝OC， ∴D 点的坐标为t，－12t＋34，
∴14t2－－12t＋34＝34， 整理得：t2＋2t－6＝0 或 t2＋2t＝0， 解得 t＝－1－ 7或 t＝－1＋ 7或 t＝－2 或 t＝0(舍去)， ∴P 点坐标为－1－ 7，2＋ 27或－1＋ 7，2－ 27或(－2，1)．
则
BB1∥OC∥AA1
，ห้องสมุดไป่ตู้
∴
BM MC
＝
MB1 MO
＝
32－1 3
＝
1 3
，
MC MA
＝
MO MA1
＝
2
3 32－（2－3）＝13，∴BMMC＝MMCA，即 MC2＝MA·MB.
(3)若点 P，D 分别是抛物线与直线 l 上的动点，以 OC 为一边且 顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条 件的 P 点坐标．
九年级数学上册《二次函数》优秀课件
抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点是 它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展， 当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
y 0
y x2
y = x2、y= - x2
y ห้องสมุดไป่ตู้2
0
y x2
二次函数
y = x2
y = - x2
顶点坐标 对称轴
（0，0）
y轴
（0，0）
y轴
位置
在x轴上方(除顶点外)
注意 x 的取值范围是全体实数.
注意
y ax2 bx c 的三种特殊表示形式
（1） y=ax²
（a≠0，b = 0，c = 0）
（2） y=ax² + c （a≠0，b = 0，c≠0）
（3） y=ax² + bx （a≠0，b≠0，c = 0）
等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没 有二次项.
y 1 x的2 图象的关系吗? 3
3
y 1 x 12 2
3
y 1 x2 3
y 1 x 12 2
3
y 1 x2 3
y 1 x2 向右平移1 3 个单位
y 1 x 12
3
向上平移2 个单位
——或者——
y 1 x2 向上平移2
3
个单位
y 1 x2 2 3
向右平移1 个单位
二次函数
学习目标
【知识与能力】
理解二次函数的意义. 会用描点法画出二次函数 y = ax2 的图象. 知道抛物线的有关概念.
【过程与方法】
通过二次函数的教学进一步体会研究函数的一般方 法.
加深对数形结合思想的认识.
【情感态度与价值观】
中考数学重高生培优复习讲义：(第13课时)二次函数及其应用
第14课时 二次函数及其应用一、【知识要点】1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ；2. 顶点式的几种特殊形式.⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） . 3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质图 象 开 口4. c bx ax y ++=2用配方法可化成k h x a y +-=的形式，其中＝ ， ＝ . 5. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.6．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得224()24b ac b y a x a a-=++，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）.⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ；⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ． 7、二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况．（2）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根．（3）当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax 2+bx+c 有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2+ bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程y=ax 2+bx+c 没有实数根 8、二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值； （2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值． 二、【经典例题剖析】1. 已知二次函数y=x 2－6x+8，求：（1）抛物线与x 轴J 轴相交的交点坐标； （2）抛物线的顶点坐标；（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：①方程x 2－6x ＋8=0的解是什么？ ②x 取什么值时，函数值大于0？ ③x 取什么值时，函数值小于0？2. 已知抛物线y ＝x 2－2x －8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积．3.如图所示，直线y=-2x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB角△ABC ，∠BAC=90o， 过C 作CD ⊥x 轴，垂足为D（1）求点A 、B 的坐标和AD 的长 （2）求过B 、A 、D 三点的抛物线的解析式三、当堂检测一、选择题1．(2014·滨州)下列函数中，图象经过原点的是( ) A ．y ＝3x B ．y ＝1－2xC ．y ＝4xD ．y ＝x 2－12．(2014·成都)将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h)2＋k 的形式，结果为( )A ．y ＝(x ＋1)2＋4B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝(x －1)2＋4D ．y ＝(x －1)2＋23．(2014·黄石)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的图象如图，则函数值y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＜－1B ．x ＞3C ．－1＜x ＜3D ．x ＜－1或x ＞34．(2014·毕节)抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2共有的性质是( )A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．都有最低点D ．y 随x 的增大而减小5．(2014·荆门)将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －4)2－2C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －1)2－36．(2014·陕西)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )A ．c ＞－1B ．b ＞0C ．2a ＋b ≠0D ．9a ＋c ＞3b7．(2014·云南)抛物线y ＝x 2－2x ＋3的顶点坐标是__ _． 8．已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y 轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式_ _ _．9．(2014·扬州)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a －2b ＋c 的值为__ __．10．出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出(6－x )个，则当x ＝__ __元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大．11．数学课本上，用“描点法”画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，列了如下表格：x … －1－20 1 2 …y … －612 －4 －212 －2－212… __ __12．(2014·菏泽)如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1＝x 2(x≥0)与y 2＝x23(x≥0)于B ，C两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB＝_三、解答题13．(2014·滨州)已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3.(1)用配方法求其图象的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况； (2)求函数图象与x 轴的交点A ，B 的坐标，及△ABC 的面积．14．(2014·泉州)如图，已知二次函数y ＝a(x －h)2＋3的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)． (1)写出该函数图象的对称轴；(2)若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？16．(2014·泰州)某研究所将某种材料加热到1000 ℃时停止加热，并立即将材料分为A ，B 两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min 时，A ，B 两组材料的温度分别为y A ℃，y B ℃，y A ，y B 与x 的函数关系式分别为y A ＝kx ＋b ，y B ＝14(x －60)2＋m(部分图象如图所示)，当x ＝40时，两组材料的温度相同．(1)分别求y A ，y B 关于x 的函数关系式；(2)当A 组材料的温度降至120℃时，B 组材料的温度是多少？ (3)在0＜x ＜40的什么时刻，两组材料温差最大？。
九年级数学二次函数的应用PPT教学课件
３、如图所示，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方 形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一直线上， 开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2cm的速度向
左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积yc(m 2 )
与时间t（秒）之间的函数式为————
１、如图所示,阳光中学教学楼前喷 水池喷出的抛物线形水柱，其解析
式为 y=-x2+4x+，2则水柱的最大高
度是（）。 Ａ、２ Ｂ、４ Ｃ、６ Ｄ、２+ 6
２、已知二次函数ya2xbcx(a0)的
图像如图所示，有下列５个结论： ①abc>0; ②b<a+c;③4a+2b+c>0;
④2c<3b; ⑤ a+b>m(am+b),(m 1
物线 yx2bxc，与x轴交于A，B两点，
点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y
轴交于点C，且tan ∠1 ACO= 1/2 ， 2
CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式
是______Leabharlann yABC
6、 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物 价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发 现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90 箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。
（1）求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之 间的函数关系式。
（2）求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销 售价x(元/箱)之间的函数关系式。
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获利 最大利润？最大利润是多少？
4、烟花厂为扬州“4.18” 烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种 礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式 是h5t2 20t1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引 爆，则从2点火升空到引爆的时间为（） A、3s B、4s C、5s D、6S
九年级数学(上)课件二次函数的应用_4
【例1】
如图，在△中，∠90°，6，12，点P 从点A开始，•沿着向点B以1的速度 移动；点Q从点B开始，沿边向点C 以2的速度移动，•设P，Q同时出 发，问：
（1）经过几秒后P，Q的距离最短？ （2）经过几秒后△的面积最大？最大
面积是多少？
【例1】
如图，在△中，∠90°，6， 12，点P从点A开始，•沿 着向点B以1的速度移动； 点Q从点B开始，沿边向 点C以2的速度移动，•设P， Q同时出发，问：
练习提升
完成课内练习。
思考
如图所示，一位运动员在距篮圈4m处跳 起投篮，球运行的路线是抛物线，当球 运行的水平距离为2.5m时，达到最大高 度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈 中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的坐标系，求抛物 线的解析式；
（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投 中，球在头顶上方0.25m处出手，问球 出手时，他跳离地面的高度是多少？
（1）经过几秒后P，Q的距 离最短？
（2）经过几秒后△的面积最 大？最大面积是多少？
【注意】
对于动点问题，一般采用“以静制动”的方 法，抓住某个静止状态，寻找等量关系．在 求最值时，可用配方法或公式法，同时取值 时要注意自变量的取值范围．
【例2】
某高科技发展公司投资1500万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品， 并投入资金500万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元，在销售过 程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价若增加10元， 年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利 额（年获利额=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）． （1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （3）计算销售单价为160元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，•销 售单价还可以定为多少元？相应的年销量分别为多少万件？ （4）公司计划：在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售；•第二年 的年获利额不低于1130万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单 价x（元）•应确定在什么范围？
人教版数学九年级上册第14课时 二次函数的实际应用-课件
销售单价为50元时，平 销售单价为x元；价格提
一
均每天销售90箱，价格 每提高1元，平均每天
高了(x－50)元，平均每天 销售量y＝90－3×(x－50)
少销售3箱
箱
二
销售单价为x元，平均 每天的销售利润为w元
根据“销售利润＝销售量 ×(售价－进价)”列出函数 关系式
【自主解答】 (1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关 系式；
解：(1)由题意得，y＝90－3(x－50)，化简得y＝－3x＋ 240(50＜x≤55)； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱) 之间的函数关系式；
解：(2)由题意得，w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋ 360x－9600(50＜x≤55)；
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元， 该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销 售单价应定为多少元？
解：(3)由(2)知，w＝－3x2＋360x－9600， ∵a＜0，∴抛物线开口向下， ∴当x＝－ b ＝60时，w有最大值，
2a ∵当x＜60时，w随x的增大而增大， ∴当x＝55时，w的最大值为1125元， 答：当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的 最大利润．
•11、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/11/12021/11/1November 1, 2021 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、生活即教育，社会即学校，教学做合一。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2021年11月2021/11/12021/11/12021/11/111/1/2021 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/11/12021/11/1
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第14讲 二次函数及其应用
一、基础拓展
1.抛物线2
y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 … y
…
4
6
6
4
…
小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与
x 轴的一个交点为（3,0）
； ②函数2y ax bx c =++的最大值为6；③抛物线的对称轴是1
2
x =
；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．其中正确有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，有下列结论： ①0<a ，②0<b ，③0>c ，④0=++c b a ，⑤02=+a b 其中正确的个数有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．边长为1的正方形111C B OA 的顶点1A 在x 轴的正半轴上，如图将正方形111C B OA 绕顶点
O 顺时针旋转︒75得正方形OABC ，使点B 恰好落在函数
)0(2＜a ax y =的图像上，则a 的值为（ ） A ．3
2- B ．21- C ．2-
D ． 3
2-A
4. 将二次函数1422
-+-=x x y ，化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，结果为_____ _____，该函数图像不经过第_________象限。
5. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为 21
(4)312
y x =-
-+，由此可知铅球推出的距离是 6． 已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（1,3）及部分图象（如
图），其中图像与横轴的正半轴交点为（3,0），由图象可知： ①当x ________时，函数值随着x 的增大而减小；
②关于x 的一元二次不等式02
>++c bx ax 的解是__________．
1B
O
1
-
C
7. 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了迎接十周年店庆，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠．．．．．．．．．．．，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
8.如图，抛物线2
12
y x mx n =
++交x 轴于A 、B 两点，直线y =kx +b 经过点A ，与这条抛物线的对称轴交于点M （1，2），且点M 与抛物线的顶点N 关于x 轴对称．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）根据图象，写出函数值y 为负数时，自变量x 的取值范围；
（3）设题中的抛物线与直线的另一交点为C ，已知P （x ，y ）为直线AC 上一点，过点P 作PQ ⊥x 轴，交抛物线于点Q ．当－1≤x ≤1.5时，求线段PQ 的最大值．
9．如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．
二、综合应用 1．抛物线2-x 2
1
-x 21y 2=
与直线3-x y =交于A ,B 两点（A 在B 的左侧）动点P 从A 出发先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到B ，若使得点P 的运动的总路程最短，则点P 的总路程长为（ ） A ．
10 B ． 15 C ．32 D ．13
2．如图，已知抛物线2
y x bx c =++经过点（1 ，－ 5），（－ 2 ，4）． （1）求这条抛物线的解析式．
（2）设该抛物线与直线y =x 相交于点A , B (点B 在点A 的右侧)，平行于y 轴的直线x =m (0＜m ＜51+)与抛物线交于点M , 与直线y =x 交于点N ，交x 轴于点P ，求线段MN 的长（用含m 的代数式表示）
（3）在（2）的情况下，连接OM ,BM ,是否存在m ，使△BOM 的面积S 最大？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．
P
N M
B A O
x
y
3. 如图，已知抛物线的方程C1：1(2)()
y x x m
=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴
m
交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，
使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
4. 将抛物线c1：2
=-+沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．
y x
33
（1）请直接写出抛物线c2的表达式；
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．
①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．。