§4.2.3直线与圆的方程的应用
4.2.3 直线与圆的方程的应用
4.2.3 直线与圆的方程的应用一、知识点回顾与归纳直线与圆的方程的应用主要是两方面：一是直线与圆的方程的实际应用；二是用坐标法解决平面几何问题。
1、直线与圆的方程的实际应用用直线和圆的方程解决实际生活问题的步骤（1）建立适当的直角坐标系，求出直线和圆的方程，把一个实际问题转化为数学问题；（2）解决这个数学问题；（3）解释它的实际意义，回归实际问题。
2、坐标法解决几何问题坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论。
这就是用坐标法解决平面几何问题的：“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。
二、典型例题讲解与方法总结例1、已知一个圆形的公园，其半径长为2km，有两个村庄A和B，其中村庄A在公园的正东方向4km处，村庄B在公园的西北方向处（A，B相对公园的位置都是指相对公园的中心位置，现在要修一条连接村庄A和B的公路，但公路不能穿过公园，现有两种方案可供选择：方案一：分别从A，B沿与公园相切的方向修路，直至两公路相交；方案二：分别从A，B沿与公园相切的方向修路，至切点处，再环绕公园修路，直至连接两个切点，试问两种方案哪种更好？例2、已知圆内接四边形的两条对角线互相垂直，求证：经过对角线交点作任意一边的垂线必平分这一条边的对边。
例3、如图，圆O上任取一点M，以点M为圆心的圆与圆O的直径AB相切于点D，圆M与圆O相交于,E F，求证：EF平分MD。
例4、4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系一、知识点回顾与归纳1、空间直角坐标系的概念从空间中某一定点O 引三条互相垂直的数轴，通常用,,x y z 表示，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，统称为坐标轴，这三条坐标轴中的每两条都确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面。
4.2.3直线与圆的方程的应用
即 2x y 5 0 为直线 l被圆截的线段
最短时的直线方程.
y
此时圆心C(1，2)到直线 2x y 5 0 的距离为
| CA | | 21 1 2 5 | 5 22 (1)2
最短弦长为| BD | 2 | AB | 2 25 5 4 5.
.C .A D
o
x
B
（2）求直线 l 被圆C截得的弦长最短长度以及此时直线 l 的方程.
8
1 2
30 .
例4 圆 x2 y2 8 内有一点P(1，2)，
AB 为过点P 且倾斜角为 的弦.
(1) 当
3
4
时，求
AB 的长；
.
P
（2）当弦 AB 被点 P 平分时，直线AB的方程 .
解2：
(1) 当
3
4
时，直线
AB 的斜率为 k
tan
3
4
1
直线 AB 的方程为 y 2 ( x 1) 即 y x 1
由
y x1
x
2
y2
8
得
2x2 2x 7 0
设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( x1 x2 )2 [(( x1 1x)2)](2 x2 1)]2
1 (1)2 | x1 x2 |
2 ( x1 x2 )2 4x1 x2
已知四边形ABCD（如图），|AB|2 + |CD|2 = |BC|2 + |AD|2
求证：AC ⊥ BD .
y B
证明：建系如图:
设A(a, 0) , B(0 , b)，C(c ,0) , D(x , y) .
4.2.3直线与圆的方程的应用
(5, 3 )
o
(2,0)
(6,0)
C
x
5
例 3、 有 一 大 型 商 品 , A , B 两 地 均 有 出 售 且 价 格 相 同 ,某 地 居 民 从 两 地 之 一 购 得 商 品 运 回 来 , 每 公 里 的 运 费 A地 是 B 地 的 2倍 , 若 A , B 两 地 相 距 1 0公 里 , 顾 客 选 择 A地 或 B 地 购 买 这 种 商 品 ,以 运 费 和 价 格 的 总 费 用 较 低 为 标 准 ,那 么 不 同 地 点 的 居 民 应 如 何 选 择购买此商品的地点.
§4.2.3直线与圆的方程的应用
1
例1、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示 意图,该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m， 在建造时每隔4m需用一个支柱支撑， 求支柱A2P2的长度（精确到0.01）
y
x
2
例2、已知内接于圆的四边形的对角线 互相垂直，求证圆心到一边的距离等于 这条边所对边长的一半.
y
B (0,b)
6
例4、AB为圆的定直径,CD为动直径,自D 作AB的垂线DE,延长ED到P,使|PD|=|AB|, 求证直线CP必过一定点.
7
(c,0) C
M
A (a,0)
O
N O`
Байду номын сангаас
x
d E( , ) 2 2
3
a
(0,d) D
第一步:建立适当的坐标系,用坐标和 方程表示问题中的几何元素,将平面几 何问题转化为代数问题； 第二步:通过代数运算,解决代数问题；
第三步:把代数运算结果翻译成几何结论.
4
y
(3,3 3 ) A
(0,0)
B
E P D
【数学必修2课件】4.2.3 直线与圆的方程的应用
建立如图所示的坐标系，则
A(3,3 3), B(0, 0), C(6, 0), D(2, 0), E(5, 3)
直线AD的方程为 y 3 3(x 2)
y A
解以上两方程联立的方程组，得
x 15 , y 3 3
7
7
直线BE的方程为y 3 (x 5) 3
5
所以点P的坐标是 (15 , 3 3 )
xE
a 2
xO '
பைடு நூலகம்
xM
ac 2
yE
d 2
bd yO' yN 2
证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直 线分别为x轴、y轴，建立如所图所示的直角坐标系，设A （a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），过四 边形外接圆O的 圆心 分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为 M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，
第二步： 通过代数运算，解决代数问题．
第三步： 把代数运算结果“翻译”成几何结论．
等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且有
BD 1 BC , CE 1 CA ,
3
3
AD,BE相交于点P．
y
求证： AP CP.
A
P
E
BD
C
解：以B为原点，BC边所在直线为轴，线段 1 BD为单位长，
D0
解得
E6
F 16
y N
┐
B
M
x
因此所求圆的方程为 x2＋y2＋6y－16＝0，
化为标准方程是
y N
A
┐
B
M
x
x2＋(y＋3)2＝52，
所以这个零件的半径为 5 cm．
课件5：4.2.3 直线与圆的方程的应用
①－②，得 2x1x＋2y1y－1－x21＝0.③ ③式就是直线 EF 的方程，设 CD 的中点为 H， 其坐标为(x1，y21)，将 H 代入③式，得 2x12＋2y1·y21－1－x21＝2x12＋y21－1－x21＝x12＋y21－1＝0， 即 CD 的中点 H 在 EF 上，
∴EF 平分 CD．
则 C(0，－r)，即圆的方程为 x2＋(y＋r)2＝r2.
①
将点 A 的坐标(6，－2)代入方程①，得
36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10.
∴圆的方程为 x2＋(y＋10)2＝100.②
当水面下降 1 米后，可设点 A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)，
将 A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得 x0＝ 51.
解：以 BC 为 x 轴，AE 为 y 轴建立直角坐标系 xOy.如图，则 A(0,60)， B(90,0)．AB 所在的直线方程为9x0＋6y0＝1，即 y＝60－23x， ∴P(x,60－23x)．
开发面积为 S＝(300－x)(240－y)＝(300－x)[240－(60－23x)]， ∴S＝－23x2＋20x＋54 000(0＜x＜90)． 当 x＝－2×(2－0 23)＝15 且 y＝50 时，S 取最大值为 54 150 m2.
＝14.52，于是 y＝ 14.52－(－2)2－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)．
题型三 用坐标法证明几何问题 例3 如图所示，在半径为1的圆O上任取C点为圆心，作 一圆与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F. 求证：EF平分C.
证明:以 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的中点 O 为原点建立平面直 角坐标系，如图所示，则圆 O 的方程为 x2＋y2＝1. ① 设圆 C 的圆心为 C(x1，y1)， 则可得圆 C 的方程为(x－x1)2＋(y－y1)2＝y21， 即 x2＋y2－2x1x－2y1y＋x21＝0. ②
高一数学人教A版必修二课件：4.2.3 直线与圆的方程的应用
一二三
知识精要 典题例解 移应用
证明:如图所示,以 O 为原点,以直径 AB 所在直线为 x 轴建立平 面直角坐标系,
设☉O 的半径为 r,|OE|=m,则☉O 的方程为 x2+y2=r2,设 C(m,b1),D(m,b2).
则有 m2+������12=r2,m2+������22=r2, 即 b1,b2 是关于 b 的方程 m2+b2=r2 的根,
则 2a (������ + 5)2 + ������2<a (������-5)2 + ������2,
整理得
������ + 25
3
2
+y2<
20 3
2
.
即点 P 在圆 C:
������ + 25
3
2
+y2=
20 3
2
的内部.
也就是说,圆 C 内的居民应在 A 地购物.
同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物.
������ 7
+
���4���=1,
即 4x+7y-28=0,圆心(0,0)到直线 4x+7y-28=0 的距离 d=
|28| 4 2 +72
=
28 ,半径 r=3.
65
∵d>r,
∴直线与圆相离,∴轮船不会受到台风的影响.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
二、坐标法在平面几何中的应用 1.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几 何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题;然后通过 代数运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,
【高中数学必修二】4.2.3直线与圆的方程的应用
几何
代数
几何
练习：教材132页练习中第3题、第4题
4.2.3 直线与圆的方程的应用
例1、如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱 跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需要 用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度
P2 P
A
A1
A2 O A3
A4
B
例1、如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱 跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需要 用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度
A(a,0) B(0, b) C (c,0)
D(0, d )
过四边形ABCD外接圆圆心Q分别作AC，BD，AD的垂 线，垂足分别为M，N，E，则M，N，E分别是线段AC， BD，AD的中点，由线段的中点坐标公式得： bd ac (0, b) y y xQ xM B Q N 2 2 a d xE yE ( a , 0 ) (c,0)C M 2 2 O A x N Q 所以， ac a 2 bd d 2 1 2 2 E QE ( ) ( ) b c 2 2 2 2 2 (0, d )D 又
因为P、B都在圆上， 所以它们的坐标（0， 4）、（10，0）满足 方程
解得：b=-10.5
r2=14.52
所以圆的方程为x2+（y+10.5）2=14.52
把点P2的横坐标x=-2代入这个圆的方程，得y=3.86(y>0)
答：支柱A2P2的长度约为3.86米
例2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂 直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对 边长的一半
解：如图建立平面直角坐标系，圆心 在y轴上。设圆心的坐标是（0，b）, 圆的半径是r，那么圆的方程是
4.2.3 直线与圆的方程的应用
的本质是什么？
台风
轮船
类型一 直线与圆的方程在实际问题中的应用 例1 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它 的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的 点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条 由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离.
跟踪训练2 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点.
(1)求
y－2 x－1
的最大值与最小值；
y－2 解 显然x－1可以看作是点 P(x，y)与点 Q(1，2)连
y－2 线的斜率，令x－1＝k，如图所示， 则其最大、最小值分别是过点Q(1，2)的圆C的两条切线的斜率.
对上式整理得kx－y－k＋2＝0，
2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联 想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图 形的几何量值关系分析、解决问题.
补（4）点P在圆C1（x-2）2 y2 =1上一动点，Q为圆C2（x+4）2 ( y 8)2 4 上一动点，求 PQ 的最值
分析：
PQ min
C1C2
r1 r2
7
PQ max
C1C2
r1 r2
13
反思与感悟 利用直线与圆的方程解决最值问题的方法 (1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程 及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的 几何量有斜率、截距、距离等. (2)转化成函数解析式，利用函数的性质解决.
两方程作差，得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2.
C§4.2.3直线与圆的方程的应用
§4.2.3直线与圆的方程的应用学习目标1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．1381401．圆与圆的位置关系有.2．圆224450x y x y ++--=和圆2284x y x y +-+70+=的位置关系为 .3．过两圆22640x y x +--=和22628x y y ++-0=的交点的直线方程 .二、新课导学※ 学习探究1．直线方程有几种形式? 分别是?2．圆的方程有几种形式?分别是哪些?3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?4．直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?※典型例题例1 已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20OP m=,建造时每间隔4m需要用一根=,拱高4AB mA B的高度(精确0.01m)支柱支撑,求支柱22变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程例2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.※ 动手试试练1. 求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.练2. 讨论直线2y x =+与曲线y =.三、总结提升※ 学习小结1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． .学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一动点到(4,0)A -的距离是到(2,0)B 的距离的2倍，则动点的轨迹方程（ ）.A ．()2244x y -+=B ．()22416x y -+=C ．22(4)4x y +-=D ．22(4)16x y +-=2. 如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则y x的最大值为（ ）A ．13. 圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的点共有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 圆()()22114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 . 5. 求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程 .课后作业1. 坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.2. 机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
课件3：4.2.3 直线与圆的方程的应用
变式与拓展 4－1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2＋y2＝4 上有且仅有 四个点到直线 12x－5y＋c＝0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围 是_(_－__1_3_,1_3_)_．
解析：圆半径为 2，圆心(0,0)到直线 12x－5y＋c＝0 的距离 |c|
小于 1，12 <1，c 的取值范围是(－13,13)．
解析：直线 l 是原点和(－4,2)连线的垂直平分线． 3．已知 A 点是圆 x2＋y2－2ax＋4y－6＝0 上任一点，A 点关于 直线 x＋2y＋1＝0 的对称点也在圆上，那么实数 a 等于_3_. 解析：直线 x＋2y＋1＝0 过圆心． 4．若直线 3x＋4y＋m＝0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 没有公共点， 则实数 m 的取值范围是__(－__∞__，__0_)∪__(_1_0_，__＋__∞_)__．
3，3＋4
3 .
例 4：已知直线 l：y＝x＋b 与曲线 C：y＝ 1－x2有两个公 共点，求 b 的取值范围．
错因剖析：忽略了曲线 C：y＝ 1－x2表示一个半圆，而没
有考虑变量的取值范围． 正解：如图，曲线C：y = 1 x2表示一个圆，直线与半圆有两个 交点，b 为直线在 y 轴上的截距，
显然 1≤b＜ 2.
－y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
∴k·0－0k＋ 2＋31k－32＝3，解得 k＝－34.
∴此直线方程为 y＋32＝－34x＋3，
即 3x＋4y＋15＝0. 当斜率 k 不存在时，过点 P 的直线方程为 x＝－3， 代入 x2＋y2＝25，得 y1＝4，y2＝－4. 弦长为|y1－y2|＝8，符合题意． ∴所求直线方程为 x＋3＝0 或 3x＋4y＋15＝0.
4.2.3直线与圆的方程的应用-精选文档
河北武中·宏达教育集团教师课时教案备课人授课时间课题 4.2.3直线与圆的方程的应用课标要求利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系教学目标知识目标理解直线与圆的位置关系的几何性质技能目标会用“数形结合”的数学思想解决问题．情感态度价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．重点直线与圆的方程的应用．难点直线与圆的方程的应用．教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动一、复习提问圆的标准方程是什么？一般方程是什么？点到直线的距离公式是什么？直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，本节通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用。
二、新课例4、某圆拱形桥一孔圆拱的示意图（如图），这个圆的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）。
分析：建立如图所示的直角坐标系，只需求出P2的纵坐标，就可得出支柱A2P2的高度。
1教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动解：建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径为r，那么圆的方程为：x2＋（y－b）2＝r2因为点P（0,4），B（10,0）在圆上，所以，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+22222210)4(rbrb，解得：⎩⎨⎧=-=225.145.10rb所以，圆的方程为：2225.14)5.10(=++yx把P2的横坐标x ＝－2代入圆的方程，得2225.14)5.10()2(=++-y，由题可知y＞0，解得：y＝3.86答：支柱A2P2的高度约为3.86米。
例5、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。
分析：如图，选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴。
本题关键是求出圆心'O的坐标。
过'O作AC的垂线，垂足为M，M是AC的中点，垂足M的横坐标与'O的横坐标一致。
4.2.3 直线与圆的方程的应用
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3．保持例3条件不变，求(x－3)2＋(y－4)2的最大值和最小
值．
解：圆x2＋y2＋4x＋3＝0可化为(x＋2)2＋y2＝1.
∴其圆心坐标和半径分别为C(－2,0)，r＝1.
令A(3,4)，则(x－3)2＋(y－4)2表示圆上的点与A点距离的平
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直线与圆的方程的实际应用
如图所示，某粮食储备库 占地呈圆域形状，它的斜对面有一 条公路．从储备库中心A向正东方向 走1 km是储备库边界上的点B，接着 向正东方向走2 km到达公路上的点 C；
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【规范解答】 如图所示，设 M(x，y)，则点 M 在圆 C：(x＋2)2＋y2＝1 上， 令 Q(1,2)，设 k＝xy－－12， 即 kx－y－k＋2＝0.2 分
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过点 Q 作圆 C 的两条切线 QA、QB，则直线 QM 夹在两切
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【题后总结】解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意 以下几个方面：
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1．有一种商品，A、B两地均有出售，且价格相同，某地居 民从两地之一购得商品后，回运的费用是：每单位距离A地的运 费是B地运费的3倍．已知A、B两地相距10 km，顾客选A或B地 购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A、 B两地售货区域的分界线的曲线形状．
课件4：4.2.3 直线与圆的方程的应用
3.方程x(x2+y2-1)=0和x2-(x2+y2-1)2=0表示的图形是( ) A.都是两个点 B.一条直线和一个圆 C.前者是一条直线和一个圆,后者是两个圆 D.前者为两个点,后者是一条直线和一个圆
解析:x(x2+y2-1)=0 x=0或x2+y2-1=0,
则它表示一条直线x=0和一个圆x2+y2=1;
π(| PA |)2 π(| PB |)2 π(| PO |)2 π (| PA |2 | PB |2 | PO |2 ).
2
2
24
∴所求面积的最大值为 11π ,
2
最小值为 9π .
2
变式训练3:一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台 的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范 围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心的正 北40 km处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台 风的影响?
D. 1 1 ≥1 a2 b2
答案:D
题型二 用坐标法求圆的方程 例2:如图所示,点M是弓形弧 OMA 的中点,弦|OA|=8,弓形 的高为2 m,求此弧所在圆的方程.
解:设圆心坐标为(4,b),圆的半径为r, 那么圆的方程是(x-4)2+(y-b)2=r2. 由于原点O(0,0)和圆弧最高点M(4,2)也在圆上
| c | 1. a2 b2
答案:B
2.已知点A､B分别在两圆x2+(y-1)2=1与(x-2)2+(y-5)2=9上,则
A､B两点之间的最短距离为( )
A.2 5
B.2 5 2
2 0)2 (5 1)2 2 5 4 r1 r2, ∴两圆相离,∴A、B两点之间的最短距离为 2 5 4. 答案:C
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§4.2.3直线与圆的方程的应用
一、课前准备：讲评上节课作业
二、新课导学
1．直线方程有几种形式? 分别是?
2．圆的方程有几种形式? 分别是?
3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?
※ 典型例题
探究一：交点问题
例1、讨论直线y =x +m 与曲线y .
变式：讨论直线4)2(+-=x k y 与曲线y =.
例2、已知圆C 的圆心坐标是1(,3)2
-,且圆C 与直线230x y +-=相交于,P Q 两点,又,OP OQ O ⊥是坐标原点,求圆C 的方程.
探究二：轨迹问题
例3、 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切
线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM =.试建立适当的坐标系，并求动点P 的
轨迹方程.
变式：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 3
1=，问点M 的轨迹是什么？
探究三：与圆有关的最值问题
例4、已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，求22PB PA +的最小值
变式：已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实
数m 的取值范围．
例5、已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．。