专题1 数与式的运算

专题01数与式的运算

本专题在初中、高中扮演的角色

初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.

二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.

当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.

本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幂运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）

，掌握运算性质，能够区别

n

的异同. 通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.

高中必备知识点1：绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：

,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：

b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

典型考题

【典型例题】

阅读下列材料：

我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离； 例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ．

例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．

例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|x +2|=3的解为 ；

（2）解不等式：|x －2|＜6；

（3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9；

（4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15.

（1）1x =或x =－5；（2）－4＜x ＜8；（3）x ≥4或x ≤－5；（4）103x =-

或203

x = . （1）由已知可得x+2=3或x+2=-3

解得1x =或x =－5．

（2）在数轴上找出|x －2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8， ∴方程|x －2|=6的解为x =－4或x =8，∴不等式|x －2|＜6的解集为－4＜x ＜8．

（3）在数轴上找出|x －3|+|x +4|=9的解．

由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x 的值． ∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在3的右边或－4的左边．

若x 对应的点在3的右边，可得x =4；若x 对应的点在－4的左边，可得x =－5，

∴方程|x －3|+|x +4|=9的解是x =4或x =－5，

∴不等式|x －3|+|x +4|≥9的解集为x ≥4或x ≤－5．

（4）在数轴上找出|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解．

由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．

若x对应的点在5的右边，可得

20

3

x=；若x对应的点在－2的左边，可得

10

3

x=-，

∴方程|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解是

10

3

x=-或

20

3

x=.

【变式训练】

实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简.

a-2b

解：由数轴知：a＜0，b>0，|a|＞|b|，

所以b-a>0，a-b＜0

原式=|a|-（b-a）-(b-a)

=-a-b+a-b+a

=a-2b

【能力提升】

已知方程组的解的值的符号相同.

(1)求的取值范围；

(2)化简：.

(1) −1

(1)

①+②得：5x=15−5a，即x=3−a，

代入①得：y=2+2a，

根据题意得：xy=(3−a)(2+2a)>0，

解得−1

(2)∵−1

∴当−1

高中必备知识点2：乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式22()()a b a b a

b +-=-； （2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式2233()()a b a

ab b a b +-+=+； （2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；

（3）三数和平方公式2222()

2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式33223()

33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式3

3223()

33a b a a b ab b -=-+-．

典型考题

【典型例题】 （1）计算：2

03212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭

（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +--- （1）3

（2）4ab-8b 2

解：（1）原式=4+1+（-8）÷

4 =5-2

=3

（2）原式=a 2-4b 2-(a 2-4ab+4b 2)

=a 2-4b 2-a 2+4ab-4b 2

=4ab-8b 2