利用Matlab求解线性规划问题
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§15. 利用Matlab求解线性规划问题
线性规划是一种优化方法，Matlab优化工具箱中有现成函数linprog对如下式描述的LP问题求解：
% min f'x
% s.t .(约束条件)： Ax<=b
% (等式约束条件)： Aeqx=beq
% lb<=x<=ub
linprog函数的调用格式如下：
x=linprog(f,A,b)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
[x,fval]=linprog(…)
[x, fval, exitflag]=linprog(…)
[x, fval, exitflag, output]=linprog(…)
[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)其中：
x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则
令
A=[ ]、b=[ ] 。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。
Options的参数描述：
Display显示水平。选择’off’ 不显示输出；选择’I ter’显示每一步迭代过程的输出；选择’final’ 显示最终结果。
MaxFunEvals 函数评价的最大允许次数
Maxiter 最大允许迭代次数
TolX x处的终止容限
[x,fval]=linprog(…) 左端 fval 返回解x处的目标函数值。
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0) 的输出部分：
exitflag描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解x 处；若为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。
output 返回优化信息：output.iterations表示迭代次数；output.algorithm表示所采用的算法；outprt.funcCount表示函数评价次数。
lambda返回x处的拉格朗日乘子。它有以下属性：
lambda.lower-lambda的下界；
lambda.upper-lambda的上界；
lambda.ineqlin-lambda的线性不等式；
lambda.eqlin-lambda的线性等式。
下面通过具体的例子来说明：
例如：某农场I、II、III等耕地的面积分别为100 hm2、300hm2和200 hm2，计划种植水稻、大豆和玉米，要求三种作物的最低收获量分别为190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地种植三种作物的单产如表5.1.4所示。若三种作物的售价分别为水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。那么，（1）如何制订种植计划，才能使总产量最大？（2）如何制订种植计划，才能使总产值最大？
表1不同等级耕地种植不同作物的单产(单位:kg / hm2)
I等耕地II等耕地III等耕地水稻11 000 9 500 9 000
大豆8 000 6 800 6 000
玉米14 000 12 000 10 000
首先根据题意建立线性规划模型（决策变量设置如表2所示，表中
ij
x表示第i种作物在第j等级的耕地上的种植面积。）：
2
约束方程如下：
耕地面积约束：⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
+
+
≤
+
+
≤
+
+
200
x
x
x
300
x
x
x
100
x
x
x
33
23
13
32
22
12
31
21
11
最低收获量约束： ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤--≤---35000010000x 12000x 14000x -0000
3-10x 0066800x 8000x --1900009000x 9500x 11000x -333231232221131211
非负约束： 1,2,3)j 1,2,3;(i 0x ij ==≥
(1)追求总产量最大，目标函数为：
33
32312322
2113121110000x 12000x 14000x -0x 0066800x 8000x - 9000x 9500x -11000x =minZ ------ (2)追求总产值最大，目标函数为：
33323123
222113
12113332312322211312110x 0089600x 11200x 9000x 10200x 12000x 10800x 11400x 13200x -)
10000x 12000x 14000x (×0.80-)
0x 0066800x (8000x ×1.50-)
9000x 9500x (11000x ×-1.20=maxZ --------=++++++
根据求解函数linprog 中的参数含义，列出系数矩阵，目标函数系数矩阵，以及约束条件等。
这些参数中没有的设为空。譬如，
（1）当追求总产量最大时，只要将参数
f=[-11000 –9500 –9000 –8000 –6800 –6000 –14000 –12000 -10000];
A=[1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000;
0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000;
0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000;
-11000.0000 0.0000 0.0000 -9500.0000 0.0000 0.0000 -9000.0000 0.0000 0.0000;
0.0000 -8000.0000 0.0000 0.0000 -6800.0000 0.0000 0.0000 -6000.0000 0.0000; 0.0000 0.0000 -14000.0000 0.0000 0.0000 -12000.0000 0.0000 0.0000 -10000.0000];
b=[100 300 200 -190000 -130000 -350000];