立体几何中的角度与距离问题

立体几何中的角度与距离问题

【基础知识】

一．空间角度问题

（一）理解空间中各种角的定义及其取值范围

1．异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的概念。

2．各种角的取值范围：（1）异面直线所成的角的取值范围是：0°< θ ≤90°；（2）直线于平面所成的角的取值范围是： 0°≤ θ ≤90°；（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，通常认为二面角平面角的取值范围是： 0°< θ ≤180° （二）空间中的角的计算

1、用直接法求角的一般步骤是：（1）找出或做出有关角的图形；（2）证明它符合定义（3）计算（一般通过解三角形）

2、异面直线所成的角：用平移转化的方法使它成为相交直线所成的角。

当异面直线垂直时，运用直线垂直平面的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成角是90°.

3． 斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段/斜线段及斜线段在平面内的射影。

4． 二面角要转化为其平面角，掌握以下三种基本做法：（1）直接利用定义；（2）利用三垂线定理及其逆定理（3）作棱的垂面

另外，还要特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角

注意：1.空间各种角的计算方法都是转化为平面角来计算的，应熟练掌握这种转化。

2.计算题必须有推理过程。 二．空间距离问题

1．立体几何中的各种距离有：（1）点到直线的距离（2）点到平面的距离（3）平行直线间的距离（4）异面直线间的距离（5）直线与平面的距离（6）两个平面间的距离（7）球面上两点间距离

2．空间七种距离求法，通常是转化为平面上两点间的距离：（1）找出或作出有关距离的图形；（2）证明它们就是所求的距离；（3）利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算

α β

A

O

P A B

O

P α

β (1)

(2)

(3)

3． 求异面直线距离（1）定义：关键确定公垂线段（2）转化为直线和平面间距离（过a 而与b 平行的平面）

（3）转化为平面间距离（4）极值法

4． 求点面距离其法有二：（1）直接法，确定垂足的位置（2）等体积法，同一个三棱锥，从不同的角度选择

底和高计算体积并加以比较即可。

5． 曲面上两点间距离（1）曲面可展开，则在侧面展开图上计算。（2）曲面不可展开，球面上两点的球面距

离按定义求。

6．各种距离可相互转化：点到平面的距离、点到直线的距离是重点。求点到平面的距离：转移法、体积法体现了转化的思想。

【课后训练】

1.ABCD 是边长为2的正方形，以BD 为棱把它折成直二面角A —BD —C ，E 是CD 的中点，则异面直线AE 、BC 的距离为

A.2

B.3

C.

2

3

D.1 2．在△ABC 中，AB =15，∠BCA =120°，若△ABC 所在平面α外一点P 到A 、B 、C 的距离都是14，则P 到α的距离是

A.13

B.11

C.9

D.7

3．长方体AC 1的长、宽、高分别为3、2、1，从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为

A

1

A.1+3

B.2+10

C.32

D.23

4．（2006全国卷）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为则侧面与底面所成的二面角等于_____ 5．（2006年辽宁卷）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______.

【针对练习】

1．（2002全国）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）

A.

4

3 B.

5

4 C.

53 D.－5

3 2．右图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．

中， ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE

是异面直线

③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④

3．平面α内的∠MON =60°，PO 是α的斜线，PO =3，∠POM =∠PON =45°，那么点P 到平面α的距离是

A.

3 B.

4

33 C. 23 D. 33

4．已知直线a ∥α，且a 与α间的距离为d ，a 在α内的射影为a ′，l 为平面α内与a ′平行的任一直线，则a 与l 之间的距离的取值范围是

A.［d ，+∞）

B.（d ，+∞）

C.（0，d ］

D.{d }

5．（2006年四川卷）已知二面角l αβ--的大小为0

60，,m n 为异面直线，且,m n αβ⊥⊥，则,m n 所成的角为（ ）

（A ）0

30 （B ）0

60 （C ）0

90 （D ）0

120

6．关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是 （注：把你认为是正确判断的序号都填上）.

7．正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是_____.

8．（2006年安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体

上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：

①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号．．

） A B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1 第8题图

α