华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A卷)

华北电力大学硕士研究生课程考试试题（A 卷）
2014～2015学年第一学期
课程编号：50920021 课程名称：矩阵论 年 级：2014 开课单位：数理系 命题教师： 考核方式：闭卷 考试时间：120分钟 试卷页数： 2页
特别注意：所有答案必须写在答题册上，答在试题纸上一律无效
一、 判断题（正确的请画○,错误的请画X ）（每小题2分，共10分）
1. 在n R 中，设),,,(),,,,(2121n n ηηηβξξξαΛΛ==，定义实数∑∑===n j j n i i
11))((),(ηξβα，则),(βα是
n R 中的内积。

2. 设n n ij a A ⨯=)(，且1>n ，则实数j i j
i a A ,,max =是n n C ⨯中的矩阵范数。

3.100()000A λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=λλλ0010001)(B 是两个-λ矩阵，则()A λ与()B λ等价. 4. 设n n C A ⨯∈,则21)(-∞=-=∑A E A nA
n n 。

5. 设m H 是n 阶Householder 矩阵，m n E -是n -m 阶单位阵（m n <）,则⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-m n m n E O O H H 是n 阶Householder 矩阵。

二、填空题（每小题3分，共18分）
6.若A 的谱为{})3,0(),2,4(),1,2(-=A σ，则矩阵A 的谱半径为________.
7.已知向量11,⨯⨯n m y x ，且122==y x ，=⊗2y x _________ .
8. 设n m C A ⨯∈，{}
1A A ∈-是A 的一个减号逆，则)cos(A A -π=__________ 9. 设m x x x Λ,,21)1(>m 是n R 中两两正交的单位列向量，),,,(21m x x x A Λ=，则+A = ________ .
10. 设55⨯实对称矩阵A 满足0)2(3=-E A A ,A 的秩为3，则A Jordan 标准形为________.
11. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+
=)1ln(1111sin A 1
n n n n n n ）（，则=∞→）（n n A lim （ ）。

三 .（6分）设4阶矩阵A 的特征值为0,0,,ππ-，求A A cos ,sin .
四 . 设n n C A ⨯∈满足A A =2， )(A R 表示A 的值域，)(A N 表示A 的核空间，
证明：{}0)()(=A N A R I 五（10分）设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=311111002A ，求)(A f 的Jordan 表示 并计算A ln 和A sin . 六（10分）设矩阵空间22⨯R 的线性变换T 为T X XB TX 2+= ,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110B ，求线性变换T 的值域)(T R 的基和核空间)(T N 的维数。

七 （10分）设A 是n 阶方阵，证明{}
ij n j i a n A ≤≤=,1m ax 是一种矩阵范数。

八（14分） 设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101121110011A ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=413b （1）（5分） 求A 的满秩分解；
（2）（5分）求A 的加号逆+
A ；
（3）（4分）求b Ax =的极小范数解或极小最小二乘解. 九（12分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1
01121103A ，T t x t x t x t x ))(),(),(()(221=，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00)(2t e t b （1）（8分）求At e （2）（4分）求初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax dt dx )
1,0,1()0()()( 的解。