2020届全国百校联考新高考原创精准预测试卷(三)文科数学
2020年全国卷(3)文科数学
2020年全国卷(3)文科数学2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅲ）文科数学适用地区：云南、贵州、四川、广西、西藏等一、选择题：1.已知集合 $A=\{1,2,3,5,7,11\}$，$B=\{x|3<x<15\}$，则$A \cap B$ 中元素的个数为 A。
2 B。
3 C。
4 D。
52.复数 $z\cdot(1+i)=1-i$，则 $z=$ A。
$1-i$ B。
$1+i$ C。
$-i$ D。
$i$3.设一组样本数据 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的方差为 0.01，则数据 $10x_1,10x_2,\dots,10x_n$ 的方差为 A。
0.01 B。
1 C。
100 D。
4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。
有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)$（$t$ 的单位：天）的 Logistic 模型$I(t)=\frac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$，其中 $K$ 为最大确诊病例数。
当 $I(t^*)=0.95K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则$t^*$ 约为（$\ln 19 \approx 3$） A。
60 B。
63 C。
66 D。
695.若 $\sin\theta+\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=1$，则$\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=$ A。
$\frac{3}{4}$ B。
$\frac{1}{4}$ C。
$-\frac{1}{4}$ D。
$-\frac{3}{4}$6.在平面内，$A,B$ 是两个定点，$C$ 是动点，$AC\cdot BC=1$，则点 $C$ 的轨迹是 A。
圆 B。
椭圆 C。
抛物线 D。
直线7.设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线$C:y^2=2px(p>0)$ 交于 $D,E$ 两点，若 $OD\perp OE$，则$C$ 的焦点坐标为 A。
2020高考数学(文科)全国三卷高考模拟试卷(1)
）
A ．5
B ．10
C．﹣ 5
【解答】 解：根据题意，等差数列 { an} 中，有 a4+a8＝ 2a6，
若 a4+a8＝ 10，
则 a6＝ 5； 故选： A．
D． √10
10．（ 5 分）甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成
绩均为整数满分 100 分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于
5
C． 4
16 D．
5
4．（ 5 分）某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表
面积为（
）
A ．23π
23?? B．
4
C． 64π
5．（ 5 分）若 α为第二象限角，下列结论错误的是（
）
A ．sinα＞cosα
B． sinα＞ tanα
C． cosα+tanα＜0
D． sinα+cosα＞ 0
．
三．解答题（共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分）
17．（ 12 分）△ ABC 中， AC＝ 3，三个内角 A， B，C 成等差数列．
（ 1）若 ?????=??√?6，求 AB； 3
→→
（ 2）求 ???????的? 最大值．
18．（ 12 分）如图： AB⊥面 BCD， BC＝ CD，∠ BCD ＝ 90°．∠ ADB＝ 30°， E， F 分别是 AC， AD 的中点． （ 1）求证：平面 BEF ⊥平面 ABC
D． sinα+cosα＞ 0
所以 sinα＞ 0，cosα＜ 0， tanα＜ 0，A， B，C 都对， D 错误．
故选： D ．
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(三)(全国Ⅰ卷)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（三）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|2x >2}，B ＝{y|y ＝x 2, x ∈R}，则(∁R A)∩B ＝（ ） A.(0, 2) B.[0, 1) C.(−∞, 1] D.[0, 1]2. 已知i 是虚数单位，z(1−12i)=12i ，则复数z 所对应的点位于（ ） A.第二象限 B.第一象限 C.第三象限 D.第四象限3. 已知O 为坐标原点椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过右焦点F 的直线l ⊥x 轴，交椭圆C 于A ，B 两点，且△AOB 为直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ） A.−1+√32B.−1+√52C.12D.−1−√524. 如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形T ，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分T 的概率是（ ）A.14 B.18C.12D.235. 在△ABC 中,AB =2√3,AC ＝4，D 为BC 上一点，且BC →=3BD →，AD ＝2，则BC 的长为（ ） A.√422B.√423C.√42D.46. 已知f(x)＝a sin 2x +b cos 2x 的最大值为f(π12)＝4，将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到的函数解析式为（ ） A.y ＝4sin (x +π3) B.y ＝4sin (2x +π3) C.y ＝4sin (12x +π3)D.y ＝4sin (4x +π3)7. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.2π−23B.2π−33C.2π3D.4π−138. 函数f(x)＝(x 2−2|x|)e |x|的图象大致为（ ）A. B.C. D.9. 已知a >b >0，ab ＝1，设x =b 2a ,y =log 2(a +b),z =a +1b ，则log x 2x ，log y 2y ，log z 2z 的大小关系为（ ）A.log y 2y >log z 2z >log x 2xB.log x 2x >log y 2y >log z 2zC.log x 2x >log z 2z >log y 2yD.log y 2y >log x 2x >log z 2z10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A.39B.31C.47D.6011. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1内接于一个半径为√3的球，四边形A 1ACC 1与B 1BCC 1均为正方形，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，C 1M =12A 1B 1，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A.√3010 B.310C.710D.√701012. 已知函数f(x)={e 2x −1,x >0−x 2−2x −2,x ≤0 ，若|f(x)|≥mx 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A.[2−2√2, 1]B.[2−2√2, 2]C.[2−2√2, e]D.[2−2√e, e]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.已知向量a →=(2, 1)，b →=(m, −1)，且b →⊥(2a →−b →)，则a →⋅b →=________．若sin (α+π6)+cos α=−√33，则cos (2π3+2α)=________．已知圆M:x 2+y 2−2ay ＝0(a >0)与直线x +y ＝0相交所得圆的弦长是2√2，若过点A(3, 0)作圆M 的切线，则切线长为________．某饮料厂生产A 、B 两种饮料．生产1桶A 饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B 饮料需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A 饮料的产量不超过B 饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A 饮料的时间不低于生产B 饮料的时间，每桶A 饮料的利润是每桶B 饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A 饮料m 桶，B 饮料n 桶时(m, n ∈N ∗)利润最大，则m +n =________．三、解答题：解答应写出文字说明，证眀过程或演算步骤.已知正项等比数列{a n }满足a 1＝2，a 3a 7＝322，数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2−n ． (Ⅰ)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(Ⅱ)设c n ={a n ,nb n ,n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．2019年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽取了500名观众（含200名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方图．(Ⅰ)计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分；(Ⅱ)若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于70分定为“满意”． (i)试比较男观众与女观众不满意的概率，并说明理由；(ii)完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关．参考数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABD 是等边三角形，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC ＝CD =√2，E 为三棱锥A −BCD 外一点，且△CDE 为等边三角形． (Ⅰ)证明：AC ⊥BD ；(Ⅱ)若AE ⊥平面CDE ，求点E 到平面BCD 的距离．已知抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，圆O:x 2+y 2＝3与抛物线C 相交于M ，N 两点，且|MN|＝2√2． (Ⅰ)若A ，B ，E 为抛物线C 上三点，若F 为△ABC 的重心，求|FA →|+|FB →|+|FE →|的值；(Ⅱ)抛物线C 上存在关于直线l:x −y −2＝0对称的相异两点P 和Q ，求圆O 上一点G 到线段PQ 的中点H 的最大距离．已知函数f(x)＝x −ln x ．(Ⅰ)当1<x <2时，比较ln xx，(ln xx)2，ln x 2x 2的大小；(Ⅱ)当0<m ≤12时，若方程f(x)＝mx 2−2mx +m +1在(0, +∞)上有且只有一个解，求m 的值． 请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1−√22t ，y =1+√22t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A ，B ，C 的极坐标分别为(4, π6)，(4, 5π6)，(4, 3π2)，且△ABC 的顶点都在圆C 2上，将圆C 2向右平移3个单位长度后，得到曲线C 3． (1)求曲线C 3的直角坐标方程；(2)设M(1, 1)，曲线C 1与C 3相交于P ，Q 两点，求|MP|⋅|MQ|的值． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|3x −1|+|x −2|． (1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若m >1，n >1，对∀x ∈R ，不等式3log 2m ⋅log 2n ≥5f(x)恒成立，求mn 的最小值．参考答案与试题解析2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（三）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】解都还形三角形射面积公放【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换三角水三的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】由三都问求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】异面直线表烧所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 【答案】此题暂无答案【考点】平面射量长量化的性置及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯线性规表的声际应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：解答应写出文字说明，证眀过程或演算步骤. 【答案】此题暂无答案【考点】等差明列政快比数坏的综合数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】独根性冬验频率都着直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线验周面垂直点于虫、练板的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】抛物线正算准方程直三与臂容在的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利来恰切研费函数的极值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】此题暂无答案【考点】参数较严与普码方脂的互化圆的较坐标停程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】不等式三成立的最题绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020届全国百校联考新高考押题模拟考试(三)文科数学
2020届全国百校联考新高考押题模拟考试（三）数学试题（文史类）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|24},{|lg(2)}A x x B x y x =-<<==-，则A B =I （ ） A. (2,2]- B. (2,2)-C. (2,4)-D. (2,4)【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，求得{|2}B x x =>，再利用集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|24},{|lg(2)}{|2}A x x B x y x x x =-<<==-=>， 所以{|24}(2,4)A B x x =<<=I . 故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据对数函数的性质，正确求得集合B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数12z i =-，再利用复数的表示，即可判定，得到答案.【详解】由题意，复数()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-， 所以复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限. 故选：D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.将函数sin 2y x =的图象向左平移8π个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. sin 28y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】依题意将函数2y sin x =的图象向左平移8π个单位长度得到： sin 2sin 284y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选A4.已知等比数列{}n a 满足12233,6a a a a +=+=，则7a 的值为（ ） A. 9 B. 32C. 64D. 128【答案】C【解析】 【分析】根据两个等式列出方程组求解出首项和公差得到通项公式，然后求解7a 的值. 【详解】因为12233,6a a a a +=+=，所以1121136a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩，解得：112a q =⎧⎨=⎩，所以12n n a -=，则67264a ==， 故选：C.【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，难度较易.5.若2sin cos 12x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则cos2x =（ ） A. 89-B. 79-C.79D. 725-【答案】C 【解析】2sin cos 2312x x sinx sinx sinx π⎛⎫+-=+== ⎪⎝⎭13sinx ∴=217cos21239x ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭故选C6.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A. 28B. 56C. 84D. 120【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求解.【详解】模拟程序的运行，可得：0,0,0i n S === 执行循环体，1,1,1i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，2,3,4i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，3,6,10i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，4,10,20i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，5,15,35i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，6,21,56i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，7,28,84i n S ===； 满足判断条件7i ≥，退出循环，输出S 的值为84. 故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中模拟程序运行的过程，通过逐次计算和找出计算的规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7.设,m n u r r为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=u r r m n ”是“0m n ⋅<u r r”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】,m n v v 为非零向量,“存在负数λ,使得m n λ=v v ”,则向量,m n v v 共线且方向相反,可得0m n ⋅<v v ，即充分性成立；反之不成立,非零向量的夹角为钝角时,满足0m n ⋅<v v ,而m n λ≠v v”，即必要性不成立； 综上可得“存在负数λ,使得m n λ=v v ”是“0m n ⋅<v v”的”的充分不必要条件. 本题选择B 选项.8.已知函数22()log f x x x =+，则不等式(1)(1)0f x f ---<的解集为（ ）A. (0,2)B. (1,2)-C. (0,1)(1,2)UD. (1,1)(1,3)-U【答案】A 【解析】 【分析】由函数22()log f x x x =+，得到函数()f x 为偶函数，且当0x >时，函数()f x 为单调递增函数，把不等式转化为11x -<-，即可求解.【详解】由题意，函数22()log f x x x =+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，且关于原点对称， 又由2222()()log log ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，当0x >时，函数22()log f x x x =+为单调递增函数，因为不等式(1)(1)0f x f ---<，即(1)(1)f x f -<-，则满足11x -<-，即11x -<，即111x -<-<，解得02x <<， 所以不等式(1)(1)0f x f ---<的解集为(0,2). 故选：A.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质应用，其中解答中根据函数的解析式，利用函数的奇偶性的定义和初等函数的单调性，得到函数()f x 的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知动点(,)P x y 满足3,(0,0)24x y O x y +≥⎧⎨+≥⎩，则||OP 的最小值为（ ）A.5B. 54C. 3D.322【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，分别计算,A B 的坐标，求得,OA OB 的长，即可求解. 【详解】由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由方程组324x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得(1,2)A ，此时22125OA =+=，过原点(0,0)O 与直线3x y +=垂直的直线方程为0x y -=，联立方程组30x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得33(,)22B ，此时223332()()222OB =+=，过过原点(0,0)O 与直线24x y +=垂直的直线方程为20x y -=，联立方程组2420x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得84(,)55C ，此时点C 不在不等式组所表示的平面区域内，又由325>，所以当点P 为B 点重合时，此时||OP 取得最小值，最小值为32. 故选：D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 10.函数cos y x x =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】由于()()cos ,cos f x x x f x x x =+∴-=-+，()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-， 故此函数是非奇非偶函数，排除,A C ；又当2x π=时，满足cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2π，排除D ， 故选B ． 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除11.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，且23BP BC =u u u v u u u v ，则AD AP u u u v u u u v⋅=（ ）3 B. 13D. 3【答案】D 【解析】 【分析】设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则2,2a b v v==，且a r 与b r 的夹角为060，由向量的运算法则可得112(),233AD a b AP a b =+=+u u u v u u u v v vv v ，利用数量积的公式，即可求解.【详解】由题意，设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则2,2a b v v==，且a r 与b r 的夹角为060， 又由向量的运算法则可得112(),233AD a b AP a b =+=+u u u v u u u v v vv v所以221112111()()2233623AD AP a b a b a a b b ⋅=+⋅+=+⋅+u u u v u u u v v v v v v v v v20211121142cos6022236233223a b =⨯+⋅+⨯=+⨯⨯⨯+=v v ，故选D. 【点睛】本题主要考查了向量的运算法则和向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量的三角形法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.已知函数32()ln 3,()a f x x x g x x x x =++=-，若()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为（ ） A. [4,)+∞ B. [3,)+∞C. [2,)+∞D. [1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】把对于()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，转化为函数()f x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值不小于()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，分别利用导数求得函数()(),f x g x 单调性与最值，即可求解. 【详解】由题意，对于()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值不小于()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，由()32g x x x =-，则()22323()3g x x x x x '=-=-，可得当12[,)33时，()0g x '<，()g x 单调递减，当2(,2]3时，()0g x '>，()g x 单调递减，又由12(),(2)4327g g =-=，即()g x 在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4， 所以()ln 34a f x x x x =++≥在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即2ln a x x x ≥-在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()21ln ,,23h x x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()12ln h x x x x '=--，令()12ln p x x x x =--，则()32ln p x x '=--，当1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0p x '<，函数()p x 单调递减，即()h x '在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，又由()10h '=，所以()h x '在1[,1)3为正，在(1,2]上为负， 所以()h x 在1[,1)3为单调递增，在(1,2]上单调递减， 所以()h x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()11h =，所以1a ≥．故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，其中利用导数研究不等式恒成立问题时，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量,a b r r 满足(1,2),(2,)a b m =-=r r .若//a b r r ，则||b =r ______.【答案】【解析】 【分析】由//a b r r ，根据向量的共线条件，求得4m =-，得到(2,4)b =-r ，再利用向量模的计算公式，即可求解.详解】由题意，向量,a b r r 满足(1,2),(2,)a b m =-=r r，因//a br r ，所以122m -⨯=⨯，解得4m =-，即(2,4)b =-r ，所以b ==r故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的共线条件和向量的模的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 14.已知0,0a b >>，若461log log 2a b ==，则ab=______．【解析】 【分析】由指数式与对数式的互化公式，得到2,a b ==ab的值，得到答案. 【详解】由对数式与指数式的互化，因为461log log 2a b ==，可得112242,6a b ====所以a b ==. 【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，其中解答中熟记指数式与对数式的互化公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4,cos 5b B ==-，则sin A =______.【答案】5【解析】 【分析】由三角函数的基本关系式，求得3sin 5B =，再由正弦定理，即可求解sin A 得值，得到答案.【详解】由题意，在ABC ∆中，因为4cos 5B =-，所以3sin 5B ==，又由正弦定理可得sin sin a b A B =，则3sin sina B Ab ====故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中利用三角函数的基本关系式求得sin B 的值，再利用正弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.函数()()g x x R ∈的图象如图所示，关于x 的方程()()2230g x m g x m ⎡⎤+⋅++=⎣⎦有三个不同的实数解，则m 的取值范围是__________【答案】34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】设()g x t =，结合函数图象可得2230t mt m +++=有两个根，且一个在()0,1上，一个在[)1,+∞上，设()223h t t mt m =+++，①当有一个根为1时，由()10h =，求得m 的值，检验符合题；②当没有根为1时，由()()0230112+30h m h m m ⎧=+>⎪⎨=++<⎪⎩，求得m 的范围，综合可得结论.【详解】根据函数()()g x x R ∈的图象，设()g x t =，Q 关于x 的方程()()2230g x m g x m ⎡⎤+⋅++=⎣⎦有三个不同的实数解，即为2230t mt m +++=有两个根，且一个在()0,1上，一个在[)1,+∞上， 设()223h t t mt m =+++，①当有一个根为1时，()411230,3h m m m =+++==-，此时另一个根为13，符合题意；②当没有根为1时，则()()0230112+30h m h m m ⎧=+>⎪⎨=++<⎪⎩，解得3423m -<<-，综上可得，m 的取值范围是34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦，故答案为34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．三、解答题：共70分。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(三)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（三）数学（文）试题一、单选题1．集合{(,)|1}P x y y x ==+，{}2(,)|Q x y y x ==，则集合P Q I 中元素的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】根据集合,P Q 元素特征，联立方程，判断其解的个数即可. 【详解】P Q I 表示直线1y x =+与抛物线2y x =的图象交点，联立21y x y x=+⎧⎨=⎩，整理得210,1450x x --=∆=+=>， ∴方程有两个不同的实数解，即方程组有两个解，可知两个函数有两个公共点，故集合P Q I 中元素的个数为2． 故选：C. 【点睛】本题考查交集中元素的个数，注意集合元素的特征，属于基础题． 2．若复z 满足(2)23i z i ⋅+=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i B ．2iC ．1D ．2【答案】D【解析】根据复数除法的运算法则，求出z ，即可得出结论. 【详解】∵223i z i i ⋅+=-+，∴212iz i i-+==+， ∴z 的虚部为2． 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数运算及复数的基本概念，属于基础题．3．已知向量()()2332a b ==r r ，，，，则|–|a b =r rA ．B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】本题先计算a b -r r，再根据模的概念求出||a b -r r ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-r r，所以||a b -==r r故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若75a =，927S =，则公差d 等于（ ） A ．0 B ．1C ．12D ．32【答案】B【解析】由927S =可求出5a ，结合已知即可求解. 【详解】()199599272a a S a +===，解得53a =， 所以75531752a a d --===-． 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 和、等差数列基本量的运算，掌握公式及性质是解题的关键，属于基础题．5．若双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，则C 的两个焦点坐标为（ ）A ．(0,B ．(0)C ．(0,D ．(【答案】C【解析】根据双曲线渐近线方程，建立m 的等量关系，求出双曲线方程，即可得出结论. 【详解】∵双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，23=，解得4m =， ∴双曲线方程为22149y x -=，∴双曲线C 的两个焦点坐标为(0,． 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质与标准方程的应用，要注意双曲线焦点位置，属于基础题．6．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确的是（ ） A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】B【解析】根据表格提供的数据，逐项分析，即可得出结论. 【详解】选项A ，该公司2018年度冰箱类电器利润率占比为负值， 因此冰箱类销售亏损，所以A 项正确；选项B ，该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，所以B 项错误；选项C ，该公司2018年度空调类净利润占比比其它类占比大的多， 因此2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，所以C 项正确； 选项D ，剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度总净利润变大， 而空调类电器销售净利润不变，因此利润占比降低，所以选项D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查统计图表与实际问题，考查数据分析能力,属于基础题．7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．将函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ）A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 【答案】D【解析】根据函数平移关系求出()g x ，再由()g x 的对称性，得到ϕ的值，结合其范围，即可求解. 【详解】因为()cos 2cos 263g x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象关于y 轴对称， 所以()3k k πϕπ+=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=． 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换关系以及余弦函数的对称性，属于基础题． 9．已知1b a <<，则下列大小关系不正确的是（ ） A ．b a a a < B ．a b b b > C ．b b a b > D ．b a a b >【答案】D【解析】根据指数函数和幂函数的单调性，逐项验证，即可得出结论. 【详解】∵1b a <<，∴x y a =和x y b =均为增函数， ∴b a a a <，a b b b >，A ，B 项正确，又∵by x =在(0,)+∞为增函数，∴b b a b >， C 项正确； b a 和a b 的大小关系不能确定，如3,2,b aa b a b ==>；4,2,b a a b a b ===；5,2,b a a b a b ==< ，故D 项不正确．故选：D. 【点睛】本题考查比较指数幂的大小关系，应用指数函数与幂函数的性质是解题的关键，属于基础题．10．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．11．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．5 C ．306D ．66【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中6cos ,226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．(,)e -+∞D ．[,)e -+?【答案】A 【解析】【详解】由函数()()ln xe f x k x x x =+-，可得()211'1x x x e x e x e f x k x x x x ⎛⎫--⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x Q 有唯一极值点()1,'0x f x =∴=有唯一根1x =，0xe k x ∴-=无根，即y k=与()xe g x x =无交点，可得()()21'x e x g x x-=，由()'0g x >得，()g x 在[)1+∞上递增，由()'0g x <得，()g x 在()0,1上递减，()()min 1,g x g e k e ∴==∴≤，即实数k 的取值范围是(],e -∞，故选A. 【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题13．设x ，y 满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩，则3z x y =-的取值范围为_________．【答案】(1,9)-【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最大值和最小值即可. 【详解】做出满足不等式组001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩表示的平面区域，如下图（阴影部分）所示，根据图形，当目标函数3z x y =-过点(0,1)A 时， 取得最小值为1-，当目标函数3z x y =-过点(3,0)B 时， 取得最大值为9，所以3z x y =-的取值范围为(1,9)-. 故答案为：(1,9)-. 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 【答案】2827【解析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有3127q =，解得13q =， 则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--． 故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n项和，考查计算求解能力，属于基础题.A B C D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外15．高三某班一学习小组的,,,活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D在_________.【答案】画画【解析】以上命题都是真命题，∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞，B在打篮球，∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，∴C在散步，则D在画画，故答案为画画16．设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y ， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．三、解答题17．在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，122cos b a c C=-．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，b =，求ABC V 的面积．【答案】（1）3B π=； （2 【解析】（1）由正弦定理将已知等式边化角，再由两角和的正弦公式，即可求解； （2）利用余弦定理，建立c 边方程关系，再由三角形面积公式，即可求出结论. 【详解】 （1）由122cos b a c C=-，得sin 12sin sin 2cos B A C C =-，2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，∴2cos sin sin B C C =，又∵在ABC V 中，sin 0C ≠， ∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即2742c c =+-，∴2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍）， ∴ABC V 的面积133sin 2S ac B ==． 【点睛】本题考查正、余弦定理以及两角和差公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题． 18．某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过1kg 的包裹收费10元，重量超过1kg 的包裹，除收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；（2）该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？ 【答案】（1）平均数和中位数都为260件； （2）1000元．【解析】（1）根据频率分布直方图，求出每组的频率，即可求出平均数，确定中位数所在的组，然后根据中位数左右两边图形面积各占0.5，即可求出中位数；（2）由（1）每天包裹数量的平均数求出网点平均总收入，扣除工作人员工资即为所求. 【详解】（1）每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(0,200)Q 的频率为0.2，[200,300)的频率为0.5中位数为0.32001002600.5+⨯=， 所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件． （2）由（1）可知平均每天的揽件数为260， 利润为260531001000⨯-⨯=元， 所以该网点平均每天的利润有1000元． 【点睛】本题考查频率分布直方图求中位数、平均数以及简单应用，属于基础题．19．在如图所示的几何体中，已知BAC 90∠=o ，PA ⊥平面ABC ，AB 3=，AC 4=，PA 2.=若M 是BC 的中点，且PQ //AC ，QM //平面PAB ．()1求线段PQ 的长度；()2求三棱锥Q AMC -的体积V ．【答案】（1）2；（2）2.【解析】()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，推导出四边形PQMN 为平行四边形，由此能求出线段PQ 的长度．()2取AC 的中点H ，连接QH ，推导出四边形PQHA 为平行四边形，由此能求出三棱锥Q AMC -的体积． 【详解】解：()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，MN //AC ∴，且1MN AC 22==，PQ //AC Q ，P ∴、Q 、M 、N 确定平面α， QM //Q 平面PAB ，且平面α⋂平面PAB PN =，又QM ⊂平面α，QM //PN ∴，∴四边形PQMN 为平行四边形，PQ MN 2∴==．解：()2取AC 的中点H ，连接QH ，PQ //AH Q ，且PQ=AH=2，∴四边形PQHA 为平行四边形， QH //PA ∴，PA ⊥Q 平面ABC ，QH ∴⊥平面ABC ，AMC 11S AC AB 322=⨯⨯=V Q （），QH PA 2==，∴三棱锥Q AMC -的体积：AMC 11V S QH 32233V =⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>. (1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证: 2||||||QH AB OH =⋅；(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.【答案】（1）见解析；（2）24y x =【解析】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==再根据点Q 在抛物线上可得到结果；（2）联立直线和抛物线得到2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，OM ON ⊥有12120x x y y +=，根据韦达定理得到结果.【详解】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==2AB p =，从而2200||2QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有()()1212440y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．已知2()2()x f x mx e m R =-∈.（Ⅰ）若()'()g x f x =，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 在(1,(1))f 处的切线与(22)3y e x =-+平行时，关于x 的不等式()0f x ax +<在(0,1)上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()g x 在(ln ,)m +∞上单调递减，在(,ln )m -∞上单调递增. （Ⅱ）(,21]a e ∈-∞-.【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的导数'()2()xg x m e =-，分0m ≤和0m >两种情况讨论，即可得到函数()g x 的单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得1m =，把不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2x e a xx<-在(0,1)上恒成立，设2()xe F x x x=-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可得到实数a 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）因为()()'22xg x f x mx e ==-，所以()()'2xg x m e=-，当0m ≤时，()'0g x <，所以()g x 在R 上单调递减，当0m >时，令()'0g x <，得ln x m >，令()'0g x >，得ln x m <， 所以()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()'122f m e =-，由2222m e e -=-，得1m =，不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2xe a x x<-在()0,1上恒成立.设()2x e F x x x =-，则()2222'x x xe e x F x x --=. 设()222xxh x xe e x =--，则()()'222221xxxxh x xe e e x x e =+--=-，在区间()0,1上，()'0h x >，则函数()h x 递增，所以()()11h x h <=-， 所以在区间()0,1上，()'0F x <，函数()F x 递减.当0x →时，()F x →+∞，而()121F e =-，所以()()21,F x e ∈-+∞， 因为()a F x <在()0,1上恒成立，所以(],21a e ∈-∞-.点睛：本题主要考查导数求解函数的单调区间，利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (3)利用导数研究函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知():0l θαρ=>与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4OB OA =时，求α的值． 【答案】（1）1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为：4cos ρθ= （2）4πα=【解析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化关系，参数方程与一般方程的互化关系，即得解；（2）将():0l θαρ=>代入1C ，2C 的极坐标方程，求得||,||OA OB 的表达式，代入4OB OA=，即得解.【详解】（1）解：将直角坐标与极坐标互化关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线11C x y +=:得cos sin 1ρθρθ+=，即：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 所以曲线1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 又曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数ϕ得2240x y x +-=，将直角坐标与极坐标互化关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得4cos ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）∵():0l θαρ=>与曲线1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，所以将()0θαρ=>代入14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭及4cos ρθ=得14OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4cos OB α=， 又4OBOA =，sin 14παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos αα=，4πα=． 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知函数()11f x x x =+--， ()22g x x a x b =++-，其中a ， b 均为正实数，且2a b +=．（Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集； （Ⅱ）当x ∈R 时，求证()()f x g x ≤．【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）见解析【解析】（Ⅰ）把()f x 用分段函数来表示，分类讨论，求得()1f x ≥的解集． （Ⅱ）当x ∈R 时，先求得()f x 的最大值为2，再求得()g x ）的最小值，根据()g x 的最小值减去()f x 的最大值大于或等于零，可得()()f x g x ≤成立． 【详解】（Ⅰ）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，（1）当1x ≤-时， ()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解；（2）当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜．（3）当1x ≥时， ()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （Ⅱ）当x R ∈时， ()()11112f x x x x x =+--≤++-=；()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x R ∈时，()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．。
2020年高考文科数学试题(全国3卷试卷版+解析版)
(400 ， 600]
1（优 )
2
16
25
2（良 )
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不
1．已知集合 A {1 ，2，3，5，7，11} ， B {x | 3 x 15} ，则 A B 中元素的个数为 (
)
A．2
B．3
C．4
D．5
【思路分析】求出集合 A ， B ，由此能求出 A B ，进而能求出 A B 中元素的个数．
【解析】：集合 A {1 ，2，3，5，7，11} ， B {x | 3 x 15) ，
7．设 O 为坐标原点，直线 x 2 与抛物线 C : y2 2 px( p 0) 交于 D ，E 两点，若 OD OE ，则 C 的焦点坐标为 ( )
A． ( 1 ， 0) 4
B． ( 1 ， 0) 2
C． (1, 0)
D． (2, 0)
【思路分析】利用已知条件转化求解 E 、 D 坐标，通过 kOD kOE 1，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．
B． 3 3
C． 2 3
D． 2 2
【思路分析】利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可．
【解析】：法一：（通解）sin sin( ) 1，sin 1 sin 3 cos 1 ，
3
2020届全国高考三卷模拟试卷数学(文)试题(三)解析版
0
x
1，
g ( x)
0
)
上单调递增，
在 (1， ) 上单调递减. g(2) 0 ， g(x)max g(1) e ，当 x 2，g(x) 0. x ，g (x) ，
x ，g (x) 0 ． 由 g 2 (x) (3a 1)g(x) 2a2
的最大值即：圆心到原点的距离+半径，即 9 3 3 3 3 ，故选 D．
文科数学参考答案·第 1页（共 7页）
11 ． 设 P(x0，y0 )，A(x1，y1)，B(x2，y2 )
， 则 kAB
y1 y2 x1 x2
x12 x22 22 x1 x2
x1 x2 2
2．
z
1i 2i
(1 i)(2 i) (2 i)(2 i)
1 5
3 5
i
，点
1 ， 5
3 5
在第四象限，故选
D．
3．由判定定理和性质定理知，只有 B 选项正确，故选 B． 4．作出可行域，由 z x y，得 y x z ，当 y x z 与边界直线 x y 2 0 重合时， z 取得最小值，
2
2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号
13
14
15
16
答案
π
6
3
x2 y2 1
①③
5
33
【解析】
13．由正弦定理 AC AB ，∴ 2 2 ，∴ sin C 1 ， 又 AB AC，∴ C π .
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(三)(全国Ⅰ卷) (含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(三)(全国Ⅰ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|2x>1}，B={y|y=x2−1,x∈R}，则(∁U A)∩B=()A. (−1,1)B. [−1,0]C. [−1,0)D. (−∞,0]2.已知i为虚数单位，在复平面内复数2i1+i对应点的坐标为()A. (1,1)B. (−1,1)C. (2,2)D. (−2,2)3.设O是坐标原点，F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点，点M在C外，且MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OF⃗⃗⃗⃗⃗ ，P是过点M的直线l与C的一个交点，△PMF是有一个内角为120°的等腰三角形，则C的离心率等于()A. √34B. √33C. √3+14D. √324.如图，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是()A. 35B. 38C. 310D. 3205.在ΔABC中，AC=√7,BC=2,B=60∘，则BC边上的中线AD的长为()A. 1B. √3C. 2D. √76.设函数f(x)=sin2x，将y=f(x)的图像向左平移π8个单位，再将图像上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍得到y=g(x)的图像，则y=g(x)在[−π12,π4]上的最大值为()A. 3B. 3√22C. √22D.17.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 2B. 43C. 23D. 138.函数y=ln(2−|x|)的大致图象为()A. B.C. D.9.已知a=(13)x，b=x3，c=lnx，当x>2时，a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. a<c<bC. c<b<aD. c<a<b10.执行如图所示的程序框图，则输出的数的个数是()A. 7B. 6C. 5D. 411.三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为()A. 110B. 35C. 710D. 4512.已知函数f(x)满足f(2x)=2x2−2x−mln2x，若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，则m的取值范围是()A. [1,+∞)B.C. (0,+∞)D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(x−5,3),b⃗ =(2,x)且a⃗⊥b⃗ 则x=______．14.已知cos(π6−α)=√33，则sin(5π6−2α)=______．15.过点P(a,5)作圆(x+2)2+(y−1)2=4的切线，切线长为2√3，则a等于______ ．16.某运输公司承担了每天至少搬运280吨水泥的任务，已知该公司有6辆A型卡车和8辆B型卡车．又已知A型卡车每天每辆的运载量为30吨，成本费为0.9千元；B型卡车每天每辆的运载量为40吨，成本费为1千元，则该公司所花的最小成本费是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项等比数列{a n}满足a4=2a2+a3，a32=a6．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求a n⋅log2(a n)的前n项和T n．18.某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者(200名女性，300名男性)进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户：分值区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2040805010男性用户：分值区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数4575906030(Ⅰ)完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不要求计算具体值，给出结论即可)；(Ⅱ)分别求女性用户评分的众数，男性用户评分的中位数；(Ⅲ)如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；女性用户男性用户合计“认可”手机______ ______ ______“不认可”手机______ ______ ______合计______ ______ ______P(K2≥x0)0.050.01x0 3.841 6.635．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是CD的中点，点F在BC上，且BF=3FC．(Ⅰ)证明：EF⊥平面PAE；(Ⅱ)若PA=AB=4，求点C到平面PEF所成的距离．20.过点E(−1,0)的直线l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，F是C的焦点．(1)若线段AB中点的横坐标为3，求|AF|+|BF|的值；(2)求|AF|·|BF|的取值范围．21. 已知函数f(x)=(2−a)lnx +1x +2ax ．(1)当a =2时，求函数f(x)的极值； (2)当a <0时，讨论函数f(x)的单调性．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知函数f(x)=|x −2m|−|x +4m|(m >0)．(1)当m =2时，求不等式f(x)≤0的解集；(2)若关于x不等式f(x)≤|t−2|+|t+1|(t∈R)的解集为R，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题． 求出集合A ，∁U A ，B ，由此能求出(∁U A)∩B ． 解：∵集合A ={x|2x >1}={x|x >0}， ∁U A ={x|x ≤0}，B ={y|y =x 2−1,x ∈R}={x|≥−1}， ∴(∁U A)∩B =[−1,0]． 故选：B ．2.答案：A解析：根据复数的几何意义，即可得到结论． 本题主要考查复数的几何意义，比较基础． 解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i 22=1+i ，则对应的点的坐标为(1,1)， 故选：A ．3.答案：B解析：解：如图，∵MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴MO =3c ， ∵△PMF 是有一个内角为120°的等腰三角形， ∴MF =4c ，∠PMF =30°．∴P(−c,2c√3)．∵点P在椭圆上，∴c2a2+4c23b2=1，∴4c23b2=1−c2a2=b2a2，∴3a2−2√3ac−3c2=0．∴e=ca=−√3或√33又e>0，故e=ca =√33则椭圆C的离心率等于ca =√33．故选：B．根据题意可得MF=4c，∠PMF=30°，即可求得P的坐标．把P坐标代入椭圆即可得ca =√33，即可求得离心率．本题本题考查了椭圆的离心率，考查了转化思想、计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．根据几何概型的概率公式求出阴影部分的面积与两个正方形面积和的比即可．解：如图所示，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a和a，∴S阴影=S正方形ABFG+S△BCE−S△ACG=a2+12⋅2a⋅2a−12⋅a⋅3a=32a2；∴该平面图形内随机取一点P，则点P来自阴影部分区域的概率是P=32a2a2+(2a)2=310．故选：C．5.答案：D解析：本题主要考查的是余弦定理的有关知识，先利用余弦定理求出AB ，再在△ABD 中利用余弦定理进行求解即可． 解：如图在△ABC 中，AC =√7,BC =2,B =60∘， ∴cosB =AB 2+BC 2−AC 22×AB×BC，∴cos60°=AB 2+22−(√7)22×AB×2，解得AB =3，∵AD 为BC 边上的中线， ∴BD =12BC =12×2=1，在△ABD 中，AB =3，BD =1，B =60°， ∴cosB =AB 2+BD 2−AD 22×AB×BD ，∴cos60°=32+12−AD 22×3×1，解得AD =√7， 故选D ．6.答案：A解析：本题考查正弦函数图象的平移伸缩变换问题，正弦函数在闭区间上的最值问题，属于中档题． 由已知函数y =f(x)图象的平移伸缩变换，得到，再得到，由x ∈[−π12,π4]，即可求出g(x)在[−π12,π4]上的最大值．解：由函数y=f(x)图象向左平移π8个单位，得到，再将图象上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍，得到，由x∈[−π12,π4 ]，得到，故g(x)在[−π12,π4]上的最大值为3．故选A．7.答案：C解析：本题考查通过三视图求解几何体的体积，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．通过三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：如图所示，由三视图可知，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，且底边长为2，高为1，故三棱锥的体积为V P−ABC=13⋅S△ABC⋅PA=13×12×2×1×2=23．故选C．8.答案：A解析：本题考查函数图像的识别，属于基础题．从函数的奇偶性上排除C，D，从特殊值上排除B．解：令f(x)=ln(2−|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|−2<x <2}，且f(−x)=ln(2−|−x|)=ln(2−|x|)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C ，D ．当x =32时，f (32)=ln 12<0，排除选项B ，故选A ． 9.答案：B解析：本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：当x =e 时，a =(13)e <1，b =e 3>1，c =lne =1，∴a <c <b ．故选B ． 10.答案：A解析：解：由题意，即求n ≤100(n ∈N)，满足log 2n ∈N 的n 的个数，∴n =1，2，4，8，16，32，64，故选：A ．由题意，即求n ≤100(n ∈N)，满足log 2n ∈N 的n 的个数．本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能 11.答案：C解析：本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．如图所示，取AC 的中点为D ，建立空间直角坐标系．利用cos <AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM >=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可得出． 解：如图所示，取AC 的中点为D ，建立空间直角坐标系．不妨设AC =2.则A(0,−1,0)，N(0,0，2)，B(−√3,0，0)， M(−√32,−12,2)． 则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，2)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,2)． ∴cos <AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=72√5×√5=710．故选：C ． 12.答案：D解析：本题考查函数的解析式，导数的应用，比较基础．根据题意可得f′(x )=x −1−m x =0在(0,+∞)上有解，即m =x 2−x ，求解即可．解：令t =2x ，则x =t 2，所以，即， 因为曲线y =f(x)存在垂直于y 轴的切线，则f′(x )=x −1−m x =0在(0,+∞)上有解，即m =x 2−x则m 的取值范围是． 故选D ．13.答案：2解析：解：向量a⃗=(x−5,3),b⃗ =(2,x)且a⃗⊥b⃗ ，则2(x−5)+3x=0，解得x=2，故答案为：2．根据两个向量垂直的坐标表示建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．本题给出两个向量互相垂直，求参数x的值．着重考查了向量垂直的坐标表示的知识，属于基础题．14.答案：−13解析：解：∵已知cos(π6−α)=√33，则sin(5π6−2α)=sin[2(π6−α)+π2]=cos2(π6−α)=2cos2(π6−α)−1=2×13−1=−13，故答案为：−13．由条件利用诱导公式、二倍角公式，求得sin(5π6−2α)=sin[2(π6−α)+π2]的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．15.答案：−2解析：解：∵(x+2)2+(y−1)2=4的圆心为C(−2,1)、半径r=2，∴点P(a,5)到圆心的距离为|CP|=√(a+2)2+(5−1)2=√(a+2)2+16．∵过切点的半径与切线垂直，∴根据勾股定理，得切线长为2√3=√(a+2)2+16−4．解得：a=−2故答案为：−2．算出圆心为C(−2,1)、半径r=2，根据两点间的距离公式，算出圆心到点P的距离|CP|.再由切线的性质利用勾股定理加以计算，可得a的值．本题考查求圆的经过点P的切线长．着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式、切线的性质与勾股定理等知识，属于中档题．16.答案：7千元解析：解：设公司每天派出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，公司所花的成本费为z 千元，根据题意，得{ 30x +40y ≥2800≤x ≤60≤y ≤8x 、y ∈N ∗，目标函数z =0.9x +y ， 作出该不等式组表示的可行域，如下图：考虑z =0.9x +y ，变形为y =−0.9x +z ，这是以−0.9为斜率，z 为y 轴上的截距的平行直线族． 经过可行域，平行移动直线，当直线经过点(0,7)时，直线在y 轴上的截距最小，即z 取最小值，为7， 故答案为：7千元．先根据题意，列出不等式组、目标函数，作出可行域，利用图象可求公司所花的成本费最小． 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q(q >0)，则∵a 4=2a 2+a 3，a 32=a 6，∴a 1q 3=2a 1q +a 1q 2，a 12q 4=a 1q 5，∴a 1=2，q =2，故a n =2n ．(Ⅱ)a n ⋅log 2(a n )=n ⋅2n ，∴T n =1⋅2+2⋅22+⋯+n ⋅2n ，∴2T n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n+1，两式相减，整理可得−T n =−(n −1)2n+1−2，Tn =(n −1)2n+1+2．解析：(Ⅰ)利用方程组，即可求{a n}的通项公式；(Ⅱ)利用错位相减法，求a n⋅log2(a n)的前n项和T n．本题考查等比数列的通项，考查数列求和，考查学生的计算能力，属于中档题．18.答案：140；180；320；60；120；180；200；300；500解析：解：(Ⅰ)女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．(Ⅱ)由女性用户频率分布直方图知，女性用户评分的众数为75；在男性用户频率分布直方图中，中位数两边的面积相等．设中位数为x，则70<x<80．于是10×0.015+10×0.025+(x−70)×0.03=0.5，解得x=7313(Ⅲ)2×2列联表如下图：女性用户男性用户合计“认可”手机140180320“不认可”手机60120180合计200300500K2=500(140×120−180×60)2≈5.208>3.841，所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有200×300×320×180关．(Ⅰ)利用所给数据，可得频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小；(Ⅱ)由女性用户频率分布直方图知，女性用户评分的众数；在男性用户频率分布直方图中，中位数两边的面积相等，求出男性用户评分的中位数；(Ⅲ)求出K2，与临界值比较，即可得出结论．本题考查频率分布直方图，考查独立性检验知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥EF ，在正方形ABCD 中，∵E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且BF =3FC ，设AB =4，则ED =EC =2，BF =3，FC =1，∴AE 2=42+22=20，EF 2=22+12=5，AF 2=42+32=25，∴AE 2+EF 2=AF 2，即EF ⊥AE ，又PA ∩AE =A ，∴EF ⊥平面PAE ；(Ⅱ)解：连接PC ，由PA =AB =4，结合(Ⅰ)可得PF =√42+25=√41，PE =√42+20=6，EF =√5， ∴cos∠EPF =2×√41×6=6√4141，则sin∠EPF =√20541． ∴S △PEF =12×√41×6×√20541=3√5，S △EFC =12×2×1=1．设点C 到平面PEF 所成的距离为h ．则由V P−EFC =V C−PEF ，得13×3√5×ℎ=13×1×4，解得ℎ=4√515． 即点C 到平面PEF 所成的距离为4√515．解析：(Ⅰ)由PA ⊥平面ABCD ，得PA ⊥EF ，再由已知解三角形证明EF ⊥AE ，可得EF ⊥平面PAE ； (Ⅱ)连接PC ，由PA =AB =4，结合(Ⅰ)求得三角形PEF 与三角形EFC 的面积，然后利用等积法求点C 到平面PEF 所成的距离．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为线段AB 中点的横坐标为3，所以x 1+x 2=6，由抛物线的定义知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，则|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my −1，由{x =my −1,y 2=4x,得y 2−4my +4=0.即y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4． 由Δ=16m 2−16>0，得m 2>1．由抛物线的定义知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，则|AF|·|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2=4m 2.因为m 2>1，所以|AF|·|BF|>4．故|AF|·|BF|的取值范围是(4,+∞)．解析：本题考查抛物线的性质运用以及直线与抛物线的位置关系；(1)由线段AB 中点的横坐标为3，以及抛物线的定义得到|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8．(2)将直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理结合抛物线定义得到|AF|·|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2=4m 2，利用m 范围解得所求．21.答案：解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，当a =2时，函数f(x)=1x +4x ，所以f′(x)=−1x 2+4=4x 2−1x 2，令f′(x)>0，所以x >12，令f′(x)<0，所以0<x <12，所以函数f(x)单调增区间是(12,+∞)，单调减区间是(0,12)，所以函数f(x)在x =12处取得极小值，f(12)=4，无极大值；(2)f′(x)=2−a x −1x 2+2a =(2x−1)(ax+1)x 2， 令f′(x)=0，得x 1=12，x 2=−1a ，当a =−2时，f′(x)≤0，函数f(x)在定义域(0,+∞)单调递减；当−2<a <0时，在区间(0,12)，(−1a ,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(12,−1a )上f′(x)>0，f(x)单调递增；当a <−2时，在区间(0,−1a )，(12,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(−1a ,12)上f′(x)>0，f(x)单调递增；综上所述，当a =−2时，函数f(x)的在定义域(0,+∞)内单调递减；当−2<a <0时，f(x)在区间(0,12)，(−1a ,+∞)内单调递减，在区间(12,−1a )内单调递增； 当a <−2时，f(x)在区间(0,−1a )，(12,+∞)内单调递减，在区间(−1a ,12)内单调递增．解析：本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．(1)当a =2时，求出函数f(x)的导数，利用导数判断函数f(x)的单调性与极值；(2)求出f(x)的导数f′(x)，讨论a 的取值范围，利用导数即可判断函数f(x)在定义域(0,+∞)的单调性．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，经过伸缩变换{x′=x y′=y 2得到曲线C 2．得到：x 24+y 2=1．(Ⅱ)曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，转换为直角坐标方程为√3x −y −√3=0，由于点P(1,0)在直线l 上，故{x =1+12t y =√32t (t 为参数)．所以把直线的参数方程代入x 24+y 2=1，得到13t 2+4t −12=0，(t 1和t 2为M 、N 对应的参数) 所以t 1+t 2=−1413，t 1⋅t 2=−1213，所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√103．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)当m =2时，f(x)=|x −4|−|x +8|={−12,x ≥4−2x −4,−8<x <412,x ≤−8，由不等式f(x)≤0，可得：−8<x <4时：−2x −4≤0，解得−2≤x <4，x ≥4时，−12≤0恒成立；综上所述，不等式f(x)≤0的解集为{x|x ≥−2}；(2)关于x 的不等式f(x)≤|t −2|+|t +1|(t ∈R)的解集为R ，等价于对任意的实数x，f(x)≤[|t−2|+|t+1|]min恒成立，即[f(x)]max≤[|t−2|+|t+1|]min，∵f(x)=|x−2m|−|x+4m|≤|(x+4m)−(x−2m)|=6m，|t−2|+|t+1|≥|(t+1)−(t−2)|=3，∴6m≤3，又m>0，∴0<m≤1，2].即m的取值范围是(0,12解析：(1)m=2时利用分段函数写出f(x)，再求不等式f(x)≤0的解集；(2)由题意把问题转化为对任意的实数x，f(x)≤[|t−2|+|t+1|]min恒成立，即[f(x)]max≤[|t−2|+|t+1|]min，由此列出不等式求得m的取值范围．本题考查了不等式恒成立问题，也考查了绝对值不等式的解法与应用问题，是中档题．。
2020全国3卷高考文数试题答案解析
2020全国3卷高考文数试题1.已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5采用列举法列举出A B 中元素的即可.【解析】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B 中元素的个数为3.故选：B2.若()11+=-z i i ，则z =（ ）A. 1–iB. 1+iC. –iD. i【答案】D 先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可. 【解析】因为21(1)21(1)(1)2ii iz i i i i ---====-++-，所以z i .故选：D3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（）A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10【答案】C根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.【解析】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=，的方差是数据(1,2,,)i x i n =，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1⨯故选：C4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I Kt --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3）A. 60B. 63C. 66D. 69【答案】C将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e --=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解.【解析】()()0.23531t KI t e --=+，所以()()0.23530.951t KI t K e **--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【拓展】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A. 12B. 3C. 23D. 2 将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【解析】由题意可得：13sin sin cos 122θθθ++=， 则：33sin cos 12θθ+=，313sin cos 2θθ+=， 从而有：3sin cos cos sin 66ππθθ+=， 即3sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故选：B.6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（ ）A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线【答案】A首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【解析】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-， 从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y +-+=， 整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB .故选：A.7.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ）A. （14，0）B. （12，0）C. （1，0）D. （2，0）根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4COx COx π∠=∠=，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.8.点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 2首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果.【解析】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||2AP =.故选：B.【拓展】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A. 6+42B. 4+42C. 6+23D. 4+23【答案】C根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△ 根据勾股定理可得：22AB AD DB ===∴ADB △是边长为22根据三角形面积公式可得：2113sin 60(22)2322ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：2362332=⨯++故选：C.【拓展】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.10.设a =log 32，b =log 53，c =23，则（ ） A. a <c <b B. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b 【答案】A分别将a ,b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可. 【解析】因为333112log 2log 9333ac =<==，355112log 3log 25333b c =>==， 所以a c b <<.故选：A【拓展】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与回归的思想，是一道中档题.11.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）A. 【答案】C先根据余弦定理求c ，再根据余弦定理求cos B ，最后根据同角三角函数关系求tan .B【解析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 299a cb B B B ac +-==∴===故选：C【拓展】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（ ） A. f (x )的最小值为2B. f (x )的图像关于y 轴对称C. f (x )的图像关于直线x π=对称D. f (x )的图像关于直线2x π=对称【答案】D根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【解析】sin x 可以为负，所以A 错； 1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x x π≠∴≠∈-=--=-∴()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=故B 错； ()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D【拓展】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩， ，则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7作出可行域，利用截距的几何意义解决.【解析】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x z y=-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x z y =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯=.故答案为：7.【拓展】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.设双曲线C ：22221x y a b-= (a >0，b >0)的一条渐近线为y x ，则C 的离心率为_________．根据已知可得b a=,,a b c 的关系，即可求解. 【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以ba =c e a ===15.设函数e ()x f x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________． 【答案】1由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值【解析】由函数的解析式可得：()()()()()221x x x e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++， 则：()()()()12211111e a ae f a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aeea =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =.故答案为：1.【拓展】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】2π 将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于223122AM =-=1222222S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：3433V r π==.. 17.设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=．（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【答案】（1）13-=n n a ；（2）6m =.（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13-=n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=， 整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.【解析】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）根据正方形性质得AC BD ⊥，根据长方体性质得1AC BB ⊥,进而可证AC ⊥平面11BB D D ,即得结果；（2）只需证明1//EC AF 即可，在1CC 上取点M 使得12CM MC =,再通过平行四边形性质进行证明即可.【解析】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC =所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴因此1C 在平面AEF 内20.已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．【答案】（1）详见解析；(2)4(0,)27. （1）'2()3f x x k =-，对k 分0k ≤和0k >两种情况讨论即可；（2）()f x 有三个零点，由（1）知0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解不等式组得到k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.【解析】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x << 令'()0f x >，得x <x >()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增. （2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<， 当4027k <<>20f k =>， 所以()f x在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<， 所以()f x在(1,k --上有唯一一个零点， 又()f x在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点， 综上可知k 的取值范围为4(0,)27. 21.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. （1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【解析】（1）222:1(05)25x y C m m+=<< ∴5a =，b m =，根据离心率c e a ====解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=， 解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d⨯-⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=， ∴APQ 面积为：15555252⨯⨯=； ②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()2283111405185185811d ⨯--⨯+===+，根据两点间距离公式可得：AQ ==， ∴APQ面积为：1522=， 综上所述，APQ 面积为：52. 【拓展】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点.（1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.【答案】（1）2）3cos sin 120ρθρθ-+= （1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值；（2）由,A B 坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【解析】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A . 令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B-.AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【拓展】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【解析】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4abc .。
2020届全国百师联盟新高考原创考前信息试卷(三)文科数学
2020届全国百师联盟新高考原创考前信息试卷（三）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，则z C A =（ ） A. {0}B. {1}C. {0,1}D.{-1,0,1,2}【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次不等式解出集合A ，利用补集的运算即可求出z C A 。
【详解】由集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，解得：{}|21A x x x =∈≥≤-Z 或∴}{z 0,1C A =，故答案选C 。
【点睛】本题考查一元二次不等式的求解以及集合补集的运算，属于基础题。
2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A. 1- B. 1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==-- 虚部为-1， 故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.已知向量av)=,bv (=-,则向量b v在向量a v 方向上的投影为（ ）A.C. －1D. 1【答案】A 【解析】 【分析】本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算． 【详解】由投影定义可知：向量b r 在向量a r方向上的投影为：b cos a b ⋅r r r ＜，＞， 又∵a b a b cos a b ⋅=⋅⋅r r rr r r ＜，＞，∴()333331a bb cos a ba⋅-+⋅⋅===-+rrr rrr＜，＞．故选：A．【点睛】本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．4.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A. 522B. 324C. 535D. 578【答案】D【解析】【分析】根据随机抽样的定义进行判断即可．【详解】第6行第6列开始的数为808（不合适），436，789（不合适），535，577，348，994（不合适），837（不合适），522，535（重复不合适），578则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578则第6个编号为578本题正确选项：D【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．5.函数6()22x xxf x-=+的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数特点，判断奇偶性，再通过函数在0x >时的函数值，进行判断，得到答案. 【详解】()622x xxf x -=+定义域为R ，()()622x x x f x f x ---==-+，且()00f = 所以()f x 为R 上的奇函数，A 、B 排除.当0x >时，()f x 分子、分母都为正数，故()0f x >，排除D 项. 故选C 项.【点睛】本题考查函数的图像与性质，通过排除法进行解题，属于简单题.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.116πB.73π C.136πD.83π 【答案】C 【解析】 【分析】先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可.【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积2211131211326V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选C【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.7.已知1sin()54πα-=，则3cos(2)5πα+=（） A. 78-B. 78C.18D. 18-【答案】A 【解析】 由题意可得：2233cos 2cos 2510cos 2252cos 1252sin 157.8ππααππαππαπα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=-本题选择A 选项.8.下列说法正确的是（ ）A. 设m 是实数，若方程22112x ym m+=--表示双曲线，则2m >. B. “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件.C. 命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++>”.D. 命题“若0x 为()y f x =的极值点，则0'()0f x =”的逆命题是真命题. 【答案】B 【解析】 【分析】逐一分析每一个命题的真假得解.【详解】A. 设m 是实数，若方程22112x ym m+=--表示双曲线，则(m-1)(2-m)＜0，所以m ＞2或m ＜1,所以该命题是假命题；B. “p q ∧为真命题”则p 真且q 真，“p q ∨为真命题”则p,q 中至少有个命题为真命题，所以“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件.所以该命题是真命题；C. 命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++≥”.所以该命题是假命题；D. 命题“若0x 为()y f x =的极值点，则0'()0f x =”的逆命题是“0'()0f x =则0x 为()y f x =的极值点”，如函数3()f x x =，(0)0f '=，但是00x =不是函数的极值点.所以该命题是假命题. 故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和复合命题的真假，考查充要条件和导数，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】由题可知()1P X p==，()()21P X p p==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3 解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫⎪⎝⎭，答案选A【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功10.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A. ()f x 的图象关于直线23x π=对称 B. ()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 C. 将函数32cos 2y x x =- 的图象向左平移2π个单位得到函数()f x 的图象 D. 若方程()f x m =在[,0]2π-上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,3- 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图象求出ϕ得值，可得函数的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，得出结论.【详解】由函数的图象可得122,4312A w πππ=⋅=-，求得2w =， 由五点法作图可得23πϕπ⨯+=，求得3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+，当23x π=-时，()0f x =，不是最值，故A 不成立；当512x π=-时，()2f x =-，不是函数的对称中心，故B 不成立；将函数32cos 22sin(2)6y x x x π=-=-的图象向左平移2π个单位得到函数52sin[2()]sin(2)266y x x πππ=+-=+的图象，故C 不成立；当[,0]2x π∈时，22[,]333x πππ+∈-，因为2sin())132ππ-=-=-， 故方程()f x m =在[,0]2π上两个不相等的实数根时，则m的取值范围是(2,-，所以D成立，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，及由三角函数的部分图象求解函数的解析式，其中确定三角函数sin()y A x ωϕ=+中的参数的方法：（1）A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）w 的值主要由周期T 的值确定，而T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ值的确定主要是由图象的特殊点的坐标确定，着重考查了推理与运算能力.11.已知()()11,101,01x f x f x x x ⎧--<<⎪+=⎨⎪≤<⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( ) A. 2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. {}28,3⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D.{}28,3⎛⎫-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先表示出当()1,0x ∈-的()f x 表达式，再根据()f x 表达式画出对应图像，若要使方程()21f x ax a -=-有唯一解，即等价于函数()y f x =与函数()21g x ax a =+-有唯一的一个交点，采用数形结合进行求解即可.【详解】令()1,0x ∈-，则()10,1x +∈，()11f x x +=+，所以()11,101,01x f x x x x ⎧--<<⎪=+⎨⎪≤<⎩，作出()f x 图像，如图所示，方程()21f x ax a -=-有唯一解，即等价于()()21f x g x ax a ==+-有唯一的一个交点，()121212g x ax a a x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，恒过1,12A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为()1,1B ，43AB k =，422,33a a ∴>>，当()g x 与曲线()()11,101f x x x =--<<+相切时，也满足条件，令2112123101ax a ax ax a x -=+-⇒++-=+，229880a a a ∆=-+=，解得08a a ==-或，0a =（舍去）， 所以当方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是{}28,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.答案选D【点睛】本题考查函数解析式的求法、函数的图像、方程的解与函数图像的关系，需要结合基本运算能力，推理能力，数形结合思想，转化与化归思想，对考生核心的数学素养要求较高.12.已知(0,3)A ，若点P 是抛物线28x y =上任意一点，点Q 是圆22(2)1x y +-=上任意一点，则2||PA PQ的最小值为（ ）A. 34B. 221C. 32D. 421【答案】A 【解析】 【分析】 设点，要使2||PA PQ的值最小，则PQ 的值要最大，即点P 到圆心的距离加上圆的半径为PQ 的最大值，然后表示出2||PA PQ 关于0y 的方程，利用基本不等式即可求出2||PA PQ的最小值。
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2020届全国百校联考新高考原创精准预测试卷（三）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题（每小题5分，共60分)1．已知集合{}2|4A x x =≤，{|12}B x x =≤≤，则A C B =()A ．{|2}x x ≤-B ．{2,1,0}--C ．{|21}x x -≤<D ．{|02}x x <<2．如果121211sin 2,,log 23a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，那么( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>3．设x ∈R ，则“213x -≤”是“311x ≥+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．如图，在平行四边形 中， 相交于点， 为线段 的中点，若，则（ ）A ． B． C ． D ．5．若1sin()63πα-=，其中(,2)αππ∈，则2sin()3πα-的值为（ ） A．3-B．3C ．13-D ．136．函数(4)y x x =-在[],4a 上的最小值为4-，则实数a 的取值范围是（ ） A．22-⎡⎤⎣⎦ B ．(],2-∞ C．)2-⎡⎣D．()22-7．将函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x （ ） A ．为奇函数，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递減 B ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．为偶函数，在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 8．已知函数()xe f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,]e -∞D ．(,)e -∞9．函数的部分图象如图所示，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知数列{}n b 是首项为2，公差为1的等差数列，2221n n n c b b +=，若数列{}n c 的前n 项和n T λ≥对任意的*n N ∈恒成立，则λ的最大值为（ ） A ．13 B ．16 C ．115D ．21511．函数()f x 与它的导函数()f x '的图象如图所示，则函数()()exf xg x =的单调递减区间为（ ）．A ．()0,4B ．(),1-∞， 4,43⎛⎫⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,1， ()4,+∞ 12． 设函数()f x 的定义域为R ，(),0111,103xx x f x x R x ≤≤⎧⎪=∈⎨⎛⎫--<<⎪⎪⎝⎭⎩，且对任意的都有()()11f x f x +=-，若在区间[]()()1,5g x f x mx m -=--上函数，恰有6个不同零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．11,46⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．11,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．10,6⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题（每小题5分，共20分)13．“m A ∃∈，使得方程2210mx x -+=有两个不同的实数解”是真命题，则集合A =_________； 14．已知点D 是ABC ∆的边BC上一点，AB =，2AD =，1BD =，45ACB ∠=，AC =_____。
15．已知34,1()3,1x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩,若a b <，()()f a f b =，则3a b +的取值范围是_________16．对于函数()22,012,02x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪=⎨-+>⎪⎩有下列命题： ①在该函数图象上一点()()2,2f --处的切线的斜率为22e -； ②函数()f x 的最小值为2e-； ③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数()f x 在(],1-∞-上为减函数，在(]0,1上也为减函数． 其中正确命题的序号是______．三、解答题（70分)17．（12分）设:p 实数x 满足22320x ax a -+≤，其中0a >，命题:q 实数x 满足1288x <<. （1）若2a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（12分）在锐角三角形中，分别是角的对边，，，且（1）求角的大小； （2）求函数的值域.19．已知函数，满足， ，且函数的值域为 ．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设函数，对任意，存在 ，使得 求的取值范围20．（12分）已知正项等比数列{}n a 满足11a =，且1a ，22a +，3a 依次成等差数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1(25)n n b n a +=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．（12分）已知()ln f x ax x =-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，都有()x f x a ⋅≥，求实数a 的取值范围.22．（10分）坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为4π⎫⎪⎭，直线l 的极坐标方程为cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且点A 在直线l 上（Ⅰ）求a 的值和直线l 的直角坐标方程及l 的参数方程； （Ⅱ）已知曲线C 的参数方程为45cos 35sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数），直线l 与C 交于,M N 两点，求11+AM AN的值参考答案（文科）1．C 2．D 3．B 4．B 5．A 6．A 7．B 8．A 9．C 10．C 11．D 12．D13．{|10}m m m <≠且 14 15．(],8-∞ 16．①②④ 17．由22320x ax a -+≤，得()()20x a a a --≤， 又0a >，所以:2p a x a ≤≤. 又1288x <<得33x -<<，所以:33q x -<< （1）当2a =时:24p x ≤≤ 由p q ∧为真，则x 满足24{33x x ≤≤-<<，则实数x 的取值范围是23x ≤<，（2）p 是q 的充分不必要条件，记{}2,0A x a x a a =≤≤， {|33}B x x =-<< 则A 是B 的真子集，满足0{ 23a a ><，则实数a 的取值范围是302a <<18．（Ⅰ）由，则，即，由正弦定理得，，，在锐角三角形中，，∴故．（Ⅱ）在锐角三角形中，，故，所以因为，所以，所以，所以函数的值域为．19．（Ⅰ）根据，可得．由函数的值域为知，方程，判别式，即.又 ， ，即 ，解得：，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f(x)的对称轴为，则当时， 取得最大值为9，若对任意，存在，使得，即， 即 对任意恒成立． 设，则，即，解得．的取值范围是20．（Ⅰ）设{}n a 的公比为q .因为1a ，22a +，3a 依次成等差数列，()21322a a a +=+, 所以()2221q q +=+所以2124q q +=+.解得3q =（负值舍去）.所以1113n n n a a q --=⋅=.（Ⅱ）依题意，()()125253nn n b n a n +=-⋅=-⨯.故123433131333n T =-⨯-⨯+⨯+⨯+()253n n +-⨯， 2345333131333n T =-⨯-⨯+⨯+⨯+()1253n n ++-⨯.故1234233232323n T -=-⨯+⨯+⨯+⨯+ ()123253n n n ++⨯--⨯.故1234223232323n T -=⨯+⨯+⨯+⨯+()12325315n n n ++⨯--⨯-，即()()1313222531513nn nT n +⨯--=⨯--⨯--，整理得()1339n n T n +=-⨯+.21．（1）函数()ln f x ax x =-的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=. ①当0a ≤时，对任意的0x >，()0f x '<，此时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,∞+； ②当0a >时，令()0f x '<，得10x a <<；令()0f x '>，得1x a>. 此时，函数()y f x =的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （2）()x f x a ⋅≥Q ，即2ln ax x x a -≥，得2ln 0ax a x x --≥，又1x ≥，不等式两边同时除以x ，得ln 0a ax x x --≥，即1ln 0a x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭.易知()10g =，由题意可知()()1g x g ≥对任意的1x ≥恒成立，()22ax x ag x x-+'=. ①若0a ≤，则当1x >时，10x x->，ln 0x >，此时()0g x '<， 此时，函数()y g x =在[)1,+∞上单调递减，则()()1g x g ≤，不合乎题意； ②若0a >，对于方程20ax x a -+=. （i ）当2140a ∆=-≤时，即12a ≥，()0g x '≥恒成立， 此时，函数()y g x =在[)1,+∞上单调递增，则有()()1g x g ≥，合乎题意； （ii ）当2140a ∆=->时，即102a <<时， 设方程20ax x a -+=的两个不等实根分别为1x 、2x ，且12x x <， 则121=x x ，1210x x a+=>，所以， 210x x >>，21221x x x ∴=<，21x ∴>. 当21x x <<时，()0g x '<；当2x x >时，()0g x '>，()()21g x g ∴<，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 22．解：（Ⅰ）因为点∈A l，所以)44ππ=-=a ；由cos()4πρθ-=a得(cos sin )2ρθρθ+=于是l 的直角坐标方程为:20+-=l x y ；l的参数方程为：1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） （Ⅱ）由C ：45cos 35sin x y αα=+⎧⎨=+⎩⇒22(4)(3)25-+-=x y ， 将l 的参数方程代入22(4)(3)25-+-=x y 得2120-=t ，设该方程的两根为12,t t ，由直线l 的参数t 的几何意义及曲线C 知，121212⋅=⋅==AM AN t t t t ，1212+=+=-==AM AN t t t t所以1112++==⋅AM AN AM AN AM AN 。