材料力学 第八章 组合变形
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在小变形和线弹性条件下，
杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响； 即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变 形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很 小可以忽略）； 因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下 杆件内应力的叠加； 组合变形下杆件应力的计算，将以各种基本变形的应 力及叠加法为基础。
如何判断构件的变形类型？ 1 试分析下图杆件的变形类型。
2 试分析下图杆件的变形类型。
l F a
3 试分析下图所示杆件各段杆的变形类型
§８-2
工程实例
拉、弯组合变形
观察立柱变形
摇臂钻
摇臂钻的变形
简易吊车的立柱受力与变形分析
压弯组合变形
1、拉（压）弯组合变形杆件横截面上的内力
=
+
2、基本变形下横截面上的应力
P2 K 100
P1
2m 1m 50
9、 斜杆AB的横截面为100×100mm2的正方形， 若P=3kN，试求其最大拉应力和最大压应力。
10、 图示一矩形截面杆，用应变片测得杆件上、下 表面的轴向应变分别为εa=1×10-3，εb=0.4×10-3,材料 的弹性模量E=210GPa。试绘制横截面的正应力分布 图；并求拉力P及其偏心距e的数值。
zc
150 50 150
Mz1 FN I yc A
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
（6）强度条件
t .max 667 F
t .max 667 F t
c.max 934 F
y1
z0
yc
z1
50
截面面积
A 15000 mm2
形心位置 zc
z0 75mm
z1 125mm
150 50 150
计算形心主惯性矩
I yc 5.31 107 mm4
（3）求内力
F
350
M F 350 75 103
M
FN F
425F 10
3
N.m
FN
σcmax
讨论
Iz tg tg Iy
（1）中性轴只与外力倾角及截面的几何形状与 尺寸有关； 拉 y （2）一般情况下，
I y Iz
z
F 压
中性轴
即中性轴并不垂直于外力作用面。
讨论
（3）当截面为圆形、正方形、正三角形或正多边形时，
I y Iz ,
所有通过形心的轴均为主轴，且惯性矩相等;
+ _ （-z y)
y
_ z
| z |
FN I y A M y
_
+
|z|
_
-
中性轴是一条不过截面形心的的直线;
到形心轴的距离为
| z |
FN I y A M y
一般情况下，发生拉(压)与双向弯曲时
中性轴方程为
FN M y z M z y 0 A Iy Iz
中性轴可能位于截面之内，也可能位于截面之外，或 与截面周边相切。 则取决于叠加后的正应力在横截面上的分布情况。
E D C
B A
7、矩形截面简支梁长度为L＝2米，受均布载荷 q=30KN/m与拉力P＝500KN的联合作用。求梁内 最大正应力和跨度中央截面处中性轴的位置。
q 150 P 100
8、矩形截面外伸梁受力如图，材料的弹性模量为E ＝200GPa，泊松比为u=0.3，现测得K处45度角的 线应变为ε＝4×10－4，已知P1＝100KN，求P2＝？
F c A
y z
t ,max c ,max
Fl t ,max Wy
Fl c ,max Wy
3、组合变形下横截面上的应力
F c A
t ,max
c ,max
+
t ,max
=
Fl F t ,max Wy A Fl F c ,max Wy A
弯矩产生的最大拉应力
- -
" M W
z z
e P bh 6
2 2
e 横截面上不产生拉应力的条件 σ t P1 P 2 P 2 0 2 A bh 6
e =10cm
例4：正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面 面积为原来截面面积的一半。求：开槽后立柱的最 大压应力是原来不开槽的几倍。
P
P
1
1
a a
a a
未开槽前 立柱为轴向压缩
N P P P 1 2 A A (2a) 4a2
开槽后 立柱危险截面为偏心压缩;
P
1
P
1
a a
a a
P
1
Pa/2
1
N M P Pa 2 2P 2 2 A W 2a a 1 2a 2 a a 6 2 2 P a 开槽后立柱的最大压应力 8 2 P 4a 未开槽前立柱的最大压应力
1、在矩形截面杆的中间截面挖去t/2=5mm的槽。 P＝10KN， 杆件的许用应力[σ]＝160MPａ。 校核杆件的强度。
P 10
10
2、直角拐的边长为ａ＝60毫米，P＝10KN，力P 的作用线过AB截面的形心，求杆件内的最大正 应力。
4m B 3m P A
3、正方形截面的边长为ａ＝100毫米，P＝3KN， 求杆内的最大拉应力与最大压应力。
b
h
e
z y
（1） 外力 P 向轴向简化，判定基本变形
Mz
P 拉弯组合；
黑板面内弯曲； e
Mz
P 以z轴为中性轴的平面弯曲
P
b
z
y
h
（2） 求危险面上的内力 轴力 弯矩
Mz
P
FN P 2KN
M z P e 120Nm
Mz
e
P
（3）危险点的判定 z _ + _ +
+ + + +
中性轴垂直于外力作用面;
z F
y
中性轴
即外力无论作用在哪个纵向平面内，产生的均为平面弯曲。
7、斜弯曲梁的位移——叠加法
中性轴 α y
Fz l fz 3EI y
3
fy
Fy l 3 3EI z
总挠度：
f f y j fzk
f f y fz
2
fz f
F
大小为：
c ,max
3、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl F [ t ] Wy A
Fl F c ,max [ c ] Wy A
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN M y | z | 0 A Iy
b
P1
P2
m
m
z
e
y
h
1、外力向轴线简化，判定基本变形
P1 P2
P1 +P2 M z=P2e
m
m
m
m
压弯组合变形； 黑板面内发生平面弯曲
轴向压力 弯矩
FN P1 P2
Mz P 2 e
2、分析横截面上的应力 _ _
z 轴力产生压应力 _
+ +
-
P P1 P 2 σ ' A A
例1 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示， 材料的许用拉应力[]t＝30MPa，许用压应力[]c＝ 160MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。
F
350
150 50 150
50
F
（1）分析内力、判定基本变形
拉弯组合变形；
F
350
且弯曲发生在黑板面内；
M
FN
（2）计算横截面的形心位置、面积、形心主惯性矩
h L=1m P=20KN b
2、P1＝25KN，P2＝5KN。求固定端处四个角点的 正应力并确定中性轴的位置。
叠加
形成构件在组合变形下的内力、应力、应变、位移。
分解 组合变形 2、叠加原理： 基本变形
叠加 组合变形分析
如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 在小变形条件下，组合变形构件的内力，应力，变形等力 学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响 应的叠加; 且与各单独受力的加载次序无关。
叠加原理的应用条件
P
b
z y
h
竖杆的危险点在横截面的 内侧边缘处 ;
4、计算危险点处的正应力
_ + _ +
z
+ + + +
t max
FN M z 158MPa A Wz
tmax [ ]
立柱满足强度条件。
例3 矩形截面柱。 P1的作用线与杆轴线 重合，P2作用在 y 轴 上。已知， P1= P2=80KN，b=24cm , h=30cm。如要使柱的 m—m截面只出现压应 力，求P2的偏心距e。
§8-1
§8-2 §8-4
组合变形和叠加原理
拉（压）与弯曲的组合 扭转与弯曲组合
§８-1
基本变形 组合变形：
组合变形与叠加原理
构件只发生一种变形； 轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
构件在外载的作用下，同时发生两种或两种以上基本变形。
1、研究方法：
将复杂变形分解成基本变形； 独立计算每一基本变形的各自的内力、应力、应变、位移。
y
- +
Fz z
(|z|,y)
++ - +
( z, y )
My | z| Iy
Mz y Iz
FL | z | sin FLy cos Iy Iz | z | sin y cos FL( ) Iy Iz | z | sin y cos 0 Iy Iz
（4）立柱横截面的应力分布
t .max
c.max
（5）立柱横截面的最大应力
t .max
Mz0 FN I yc A
F
350
M
FN
y1
z0
425 10 3 F 0.075 F 5 5.31 10 15 10 3 667 F Pa
yc
z1
50
c .max
斜弯曲
平面弯曲： 外力作用在纵向对称面内，且过形心； 或外力过形心，且与形心主轴方向重合；
梁的轴线为纵向对称面内的一条平面曲线。 斜弯曲： 外力过形心，但不与形心主轴重合。 变形后,梁轴线不在外力作用面内。 z
研究方法：
斜弯曲
分解 平面弯曲
F
y
斜弯曲
分解
平面弯曲
Fz
z xz平面内的平面弯曲
Fz
F
t 30 106 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
c 160 106 F
934 934
171300 N
许可压力为 F 45000 N 45kN
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离 e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆的强 度。
z
y
Fy
y
z xy平面内的平面弯曲
Fy
y
已知：矩形截面梁截面宽度b、高度h、长度l，外载 荷F，与主惯轴y成夹角。
求：危险截面上的最大正应力
y x z F
φ
1、斜弯曲分解
y Fz z F φ Fy F x
y
Fz z
Fy
Fz F sin
Fy F cos
2、分别作各自平面弯曲的内力图，确定危险面 y 危险截面：
Fz
z Mz φ Fy
x 固定端截面
FyL=FLcosφ My FzL=FLsinφ
3、分析应力分布规律，确定危险点
Mz
中性轴
y
Fz z
F My
Fy
危险点位置：
右上角角点处
中性轴
4、提取危险点处应力状态
y
Fz z
单向应力状态 F
Fy
Mz Wy Wz
My
5、中性轴的位置
中性轴上正应力为零；
B L=2.5m A P 1m 1m 100 100
4、受力如图所示，求杆件内的最大拉应力与最 大压应力。
P
H
h L/2 L/2 b
5、灰铸铁的[σ]ｔ＝30MPａ，[σ]ｃ＝80MPａ， P=12KN，校核立柱的强度。
20 50 20 60
100
1-1
200
P
P
20
6、 吊斗和人体的总重量为500Kｇ，重心在G点。 吊斗上方的吊杆AE的各段均是38毫米×38毫米的正 方形截面，A、E两处铰接，且ED＝BC＝380毫米， DC＝1200毫米，BA＝1650毫米。求吊杆AB、BC、 CD各段的最大拉应力。
2
f y
设总挠度与y轴夹角为 ：
fz Fz I z I z tg tg fy Fy I y I y
一般情况下，I y I z
tg
挠曲线平面与荷载作用面不重合，是斜弯曲，而不是平面弯曲。
Hale Waihona Puke Baidu
练习1、矩形截面的悬臂梁，横截面宽为ｂ＝50毫 米，高为ｈ＝100毫米。构件长L＝1米，求构 件内的最大拉应力与最大压应力，并确定中性 轴的位置。
-Fy
中性轴的位置
| z | sin y cos 0 Iy Iz
拉 z
y
y I z sin I z tg z I y cos I y Iz tg tg Iy
压 中性轴 过截面形心、位于2、4象 限的一条斜线
F
6、正应力的分布规律
中性轴 σtmax
x
杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响； 即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变 形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很 小可以忽略）； 因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下 杆件内应力的叠加； 组合变形下杆件应力的计算，将以各种基本变形的应 力及叠加法为基础。
如何判断构件的变形类型？ 1 试分析下图杆件的变形类型。
2 试分析下图杆件的变形类型。
l F a
3 试分析下图所示杆件各段杆的变形类型
§８-2
工程实例
拉、弯组合变形
观察立柱变形
摇臂钻
摇臂钻的变形
简易吊车的立柱受力与变形分析
压弯组合变形
1、拉（压）弯组合变形杆件横截面上的内力
=
+
2、基本变形下横截面上的应力
P2 K 100
P1
2m 1m 50
9、 斜杆AB的横截面为100×100mm2的正方形， 若P=3kN，试求其最大拉应力和最大压应力。
10、 图示一矩形截面杆，用应变片测得杆件上、下 表面的轴向应变分别为εa=1×10-3，εb=0.4×10-3,材料 的弹性模量E=210GPa。试绘制横截面的正应力分布 图；并求拉力P及其偏心距e的数值。
zc
150 50 150
Mz1 FN I yc A
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
（6）强度条件
t .max 667 F
t .max 667 F t
c.max 934 F
y1
z0
yc
z1
50
截面面积
A 15000 mm2
形心位置 zc
z0 75mm
z1 125mm
150 50 150
计算形心主惯性矩
I yc 5.31 107 mm4
（3）求内力
F
350
M F 350 75 103
M
FN F
425F 10
3
N.m
FN
σcmax
讨论
Iz tg tg Iy
（1）中性轴只与外力倾角及截面的几何形状与 尺寸有关； 拉 y （2）一般情况下，
I y Iz
z
F 压
中性轴
即中性轴并不垂直于外力作用面。
讨论
（3）当截面为圆形、正方形、正三角形或正多边形时，
I y Iz ,
所有通过形心的轴均为主轴，且惯性矩相等;
+ _ （-z y)
y
_ z
| z |
FN I y A M y
_
+
|z|
_
-
中性轴是一条不过截面形心的的直线;
到形心轴的距离为
| z |
FN I y A M y
一般情况下，发生拉(压)与双向弯曲时
中性轴方程为
FN M y z M z y 0 A Iy Iz
中性轴可能位于截面之内，也可能位于截面之外，或 与截面周边相切。 则取决于叠加后的正应力在横截面上的分布情况。
E D C
B A
7、矩形截面简支梁长度为L＝2米，受均布载荷 q=30KN/m与拉力P＝500KN的联合作用。求梁内 最大正应力和跨度中央截面处中性轴的位置。
q 150 P 100
8、矩形截面外伸梁受力如图，材料的弹性模量为E ＝200GPa，泊松比为u=0.3，现测得K处45度角的 线应变为ε＝4×10－4，已知P1＝100KN，求P2＝？
F c A
y z
t ,max c ,max
Fl t ,max Wy
Fl c ,max Wy
3、组合变形下横截面上的应力
F c A
t ,max
c ,max
+
t ,max
=
Fl F t ,max Wy A Fl F c ,max Wy A
弯矩产生的最大拉应力
- -
" M W
z z
e P bh 6
2 2
e 横截面上不产生拉应力的条件 σ t P1 P 2 P 2 0 2 A bh 6
e =10cm
例4：正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面 面积为原来截面面积的一半。求：开槽后立柱的最 大压应力是原来不开槽的几倍。
P
P
1
1
a a
a a
未开槽前 立柱为轴向压缩
N P P P 1 2 A A (2a) 4a2
开槽后 立柱危险截面为偏心压缩;
P
1
P
1
a a
a a
P
1
Pa/2
1
N M P Pa 2 2P 2 2 A W 2a a 1 2a 2 a a 6 2 2 P a 开槽后立柱的最大压应力 8 2 P 4a 未开槽前立柱的最大压应力
1、在矩形截面杆的中间截面挖去t/2=5mm的槽。 P＝10KN， 杆件的许用应力[σ]＝160MPａ。 校核杆件的强度。
P 10
10
2、直角拐的边长为ａ＝60毫米，P＝10KN，力P 的作用线过AB截面的形心，求杆件内的最大正 应力。
4m B 3m P A
3、正方形截面的边长为ａ＝100毫米，P＝3KN， 求杆内的最大拉应力与最大压应力。
b
h
e
z y
（1） 外力 P 向轴向简化，判定基本变形
Mz
P 拉弯组合；
黑板面内弯曲； e
Mz
P 以z轴为中性轴的平面弯曲
P
b
z
y
h
（2） 求危险面上的内力 轴力 弯矩
Mz
P
FN P 2KN
M z P e 120Nm
Mz
e
P
（3）危险点的判定 z _ + _ +
+ + + +
中性轴垂直于外力作用面;
z F
y
中性轴
即外力无论作用在哪个纵向平面内，产生的均为平面弯曲。
7、斜弯曲梁的位移——叠加法
中性轴 α y
Fz l fz 3EI y
3
fy
Fy l 3 3EI z
总挠度：
f f y j fzk
f f y fz
2
fz f
F
大小为：
c ,max
3、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl F [ t ] Wy A
Fl F c ,max [ c ] Wy A
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN M y | z | 0 A Iy
b
P1
P2
m
m
z
e
y
h
1、外力向轴线简化，判定基本变形
P1 P2
P1 +P2 M z=P2e
m
m
m
m
压弯组合变形； 黑板面内发生平面弯曲
轴向压力 弯矩
FN P1 P2
Mz P 2 e
2、分析横截面上的应力 _ _
z 轴力产生压应力 _
+ +
-
P P1 P 2 σ ' A A
例1 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示， 材料的许用拉应力[]t＝30MPa，许用压应力[]c＝ 160MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。
F
350
150 50 150
50
F
（1）分析内力、判定基本变形
拉弯组合变形；
F
350
且弯曲发生在黑板面内；
M
FN
（2）计算横截面的形心位置、面积、形心主惯性矩
h L=1m P=20KN b
2、P1＝25KN，P2＝5KN。求固定端处四个角点的 正应力并确定中性轴的位置。
叠加
形成构件在组合变形下的内力、应力、应变、位移。
分解 组合变形 2、叠加原理： 基本变形
叠加 组合变形分析
如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 在小变形条件下，组合变形构件的内力，应力，变形等力 学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响 应的叠加; 且与各单独受力的加载次序无关。
叠加原理的应用条件
P
b
z y
h
竖杆的危险点在横截面的 内侧边缘处 ;
4、计算危险点处的正应力
_ + _ +
z
+ + + +
t max
FN M z 158MPa A Wz
tmax [ ]
立柱满足强度条件。
例3 矩形截面柱。 P1的作用线与杆轴线 重合，P2作用在 y 轴 上。已知， P1= P2=80KN，b=24cm , h=30cm。如要使柱的 m—m截面只出现压应 力，求P2的偏心距e。
§8-1
§8-2 §8-4
组合变形和叠加原理
拉（压）与弯曲的组合 扭转与弯曲组合
§８-1
基本变形 组合变形：
组合变形与叠加原理
构件只发生一种变形； 轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
构件在外载的作用下，同时发生两种或两种以上基本变形。
1、研究方法：
将复杂变形分解成基本变形； 独立计算每一基本变形的各自的内力、应力、应变、位移。
y
- +
Fz z
(|z|,y)
++ - +
( z, y )
My | z| Iy
Mz y Iz
FL | z | sin FLy cos Iy Iz | z | sin y cos FL( ) Iy Iz | z | sin y cos 0 Iy Iz
（4）立柱横截面的应力分布
t .max
c.max
（5）立柱横截面的最大应力
t .max
Mz0 FN I yc A
F
350
M
FN
y1
z0
425 10 3 F 0.075 F 5 5.31 10 15 10 3 667 F Pa
yc
z1
50
c .max
斜弯曲
平面弯曲： 外力作用在纵向对称面内，且过形心； 或外力过形心，且与形心主轴方向重合；
梁的轴线为纵向对称面内的一条平面曲线。 斜弯曲： 外力过形心，但不与形心主轴重合。 变形后,梁轴线不在外力作用面内。 z
研究方法：
斜弯曲
分解 平面弯曲
F
y
斜弯曲
分解
平面弯曲
Fz
z xz平面内的平面弯曲
Fz
F
t 30 106 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
c 160 106 F
934 934
171300 N
许可压力为 F 45000 N 45kN
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离 e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆的强 度。
z
y
Fy
y
z xy平面内的平面弯曲
Fy
y
已知：矩形截面梁截面宽度b、高度h、长度l，外载 荷F，与主惯轴y成夹角。
求：危险截面上的最大正应力
y x z F
φ
1、斜弯曲分解
y Fz z F φ Fy F x
y
Fz z
Fy
Fz F sin
Fy F cos
2、分别作各自平面弯曲的内力图，确定危险面 y 危险截面：
Fz
z Mz φ Fy
x 固定端截面
FyL=FLcosφ My FzL=FLsinφ
3、分析应力分布规律，确定危险点
Mz
中性轴
y
Fz z
F My
Fy
危险点位置：
右上角角点处
中性轴
4、提取危险点处应力状态
y
Fz z
单向应力状态 F
Fy
Mz Wy Wz
My
5、中性轴的位置
中性轴上正应力为零；
B L=2.5m A P 1m 1m 100 100
4、受力如图所示，求杆件内的最大拉应力与最 大压应力。
P
H
h L/2 L/2 b
5、灰铸铁的[σ]ｔ＝30MPａ，[σ]ｃ＝80MPａ， P=12KN，校核立柱的强度。
20 50 20 60
100
1-1
200
P
P
20
6、 吊斗和人体的总重量为500Kｇ，重心在G点。 吊斗上方的吊杆AE的各段均是38毫米×38毫米的正 方形截面，A、E两处铰接，且ED＝BC＝380毫米， DC＝1200毫米，BA＝1650毫米。求吊杆AB、BC、 CD各段的最大拉应力。
2
f y
设总挠度与y轴夹角为 ：
fz Fz I z I z tg tg fy Fy I y I y
一般情况下，I y I z
tg
挠曲线平面与荷载作用面不重合，是斜弯曲，而不是平面弯曲。
Hale Waihona Puke Baidu
练习1、矩形截面的悬臂梁，横截面宽为ｂ＝50毫 米，高为ｈ＝100毫米。构件长L＝1米，求构 件内的最大拉应力与最大压应力，并确定中性 轴的位置。
-Fy
中性轴的位置
| z | sin y cos 0 Iy Iz
拉 z
y
y I z sin I z tg z I y cos I y Iz tg tg Iy
压 中性轴 过截面形心、位于2、4象 限的一条斜线
F
6、正应力的分布规律
中性轴 σtmax
x