找规律 程序运算 定义新运算
第4讲 规律探究与新定义运算
b 2 b5 b8 b11 （3）一组按规律排列的式子： − , 2 , − 3 , 4 ，…，(ab≠0)，其中第 7 个式子是 a a a a 3n −1 b 个式子是 。(n 为正整数) (−1)n n a
例 3． （1）有一列数 1，1，2，3，5，8，13，21，…，那么第 9 个数是 34 ；
4．观察下列图形，它们是按照一定规律排列的，按照此规律第 n 个图形有多少个太阳？
5． 如图， 一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳， 若它停在奇数点上， 则下一次沿顺时针方向跳两个点； 若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点。若青蛙从数 1 这点开始跳，第 1 次跳到数 3 那个点， 如此，求经 2015 次跳后它停的点所对应的数。
n(a1 + an ) (a1 表示首项，an 表示末项，n 表示项数) 2 a − an q （2）等比数列求和公式：Sn= 1 (q≠1) (a1 表示首项，an 表示未顶，q 表示公比) 1− q
（1）等差数列求和公式：S= 例 1． （1）观察规律：2，8，14，20，26，32，…，依此规律，第 7 个数是 （2）观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第 2018 个数是 。
b 2 b5 b8 b11 （3）一组按规律排列的式子： − , 2 , − 3 , 4 ，…，(ab≠0)，其中第 7 个式子是 a a a a
式子是 。(n 为正整数)
，第 n 个
例 3． （1）有一列数 1，1，2，3，5，8，13，21，…，那么第 9 个数是
；
（2）一个叫巴尔末的瑞士中学教师成功地从光谱数据 ,
第四讲 规律探究与新定义运算
知识模块一、数字、数表与图形的规律 知识梳理 常见的数列规律： 1．等差数列： （1）1，3，5，7，9，…，2n−1 (n 为正整数) （2）2，4，6，8，10，…，2n (n 为正整数) （3）5，8，11，14，17，…，3n+2 (n 为正整数) 2．等比数列： （1）2，4，8，16，32，…，2n (n 为正整数) （2）1，2，4，8，16，…，2n−1 (n 为正整数) 3．平方数列及衍生： （1）1，4，9，16，25，…，n2 (n 为正整数) （2）2，5，10，17，26，…，n2+1 (n 为正整数) （3）0，3，8，15，24，…，n2−1 (n 为正整数) 4．三角数列及衍生： （1）1，3，6，10，15，21，…，
第07讲_定义新运算与找规律(二)_例题
定义新运算与找规律（二）整式的加减100％第七讲定义新运算与找规律（二）课程预览定义新运算与找规律（二）定义新运算找规律趣味课堂定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行． 注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．程序运算：程序运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．例1． （1）若A ❀B 表示()()3A B A B +⨯-，则()32-❀()23-=________．（2）定义新运算为1b a b a a b =-+-M ，则()()2612=M M M _______．（3）运算*按右表定义，如321*=，那么()()2413***的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（4）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：2a a b b ⊕=+，()1ba b a ⊗=--， 那么()()42112⊗⊗⊕⊕=⎡⎤⎣⎦__________．（5）定义运算“∆”，对于两个有理数a 、b ，有()a b ab a b ∆=-+， 则()()2211m m ∆-∆∆=⎡⎤⎣⎦________．* 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 3 1 4 2 3 2 1 3 4 44321课堂笔记点点精讲 定义符号定义符号 定义程序定义新运算板块一 定义新运算第七讲 定义新运算与找规律（二）例2．定义运算：()()()()1111121a b a a a a b b∆=++++++-，（1）当4321x ∆=时，x =___________；（2）当2105y ∆=时，y =___________；（3）当20152016m n ∆=时，m =___________，n =___________．例3．（1）定义一种新运算“⊕”：S a b =⊕，其运算原理如图1所示的程序框图，则式子5436⊕-⊕=___________．（2）对正整数n 定义()!11n n n =⨯-⨯⨯，如图2是求10!的程序框图，则在判断框内应填的条件是（ ） A ．10i < B ．10i > C ．11i ≤D ．10i ≤定义程序 开始输入a 、b()1S a b =+()1S b a =+?a b >输出S 结束 是否 图1图2开始输入ns s i =⨯输出S结束否 1i =，1s =1i i =+ 是例4．按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，请你探索第2015次输出的结果为______________．1. 定义运算“*”：a ba b a b⨯*=+． （1）20151111*****=个________________；（2）若20155526a a a a ******=个，则a =________________．2. 下图程序输出结果为________________．点点精练 1a =，1b =2b b =是否3a ≤1a a =+开始 结束输出结果 输入x5x +12x 输出x 为奇数x 为偶数第七讲 定义新运算与找规律（二）常见数列： 1 3 5 7 9 …… 21n -（n 为正整数）2 4 6 8 10 …… 2 4 8 16 32 …… 2 5 10 17 26 …… 03 8 15 24 …… 2 6 12 20 30 …… 1 3 6 10 15 ……11 23 5…… （斐波那契数列）x -x +x -x +x -…… x + x -x + x -x +……例5． 定义一个新的数字i ，已知21i =-，4221i i i =⋅=，54i i i i =⋅=，以此类推，则2016i =______．例6． 定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数． 如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依次类推，则2016a =_______．例7．一列数0b ，1b ，2b ，…，具有下面的规律，21n n b b +=，221n n n b b b ++=+，若01b =，则2015b =_______．课堂笔记 点点精讲找规律数字规律表格规律板块二 找规律数字字母规律图形规律例8． 定义一种对于三位数abc （a 、b 、c 不完全相同）的“F 运算”：重排的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为0）． （1）579经过三次“F 运算”得__________；（2）假设abc 中a b c >>，则abc 经过一次“F 运算”得______（用代数式表示）；（3）猜想：任意一个三位数经过若干次“F 运算”都会得到一个定值_______．例9．由于()()()111nn n ⎧-⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数，所以我们通常把()1n -称为符号系数．（1）一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是_______，第n 个式子是________（n 为正整数）．（2）观察下列单项式：13x -，2215x ，3335x -，4463x ，…按此规律，第五个单项式是________，第n 个单项式是__________；（3）计算：()122n a b a b+-+-； （4）请你根据（2）式写出一个当n 为偶数时值为1，当n 为奇数时值为0的式子．例10．（1）观察下列等式：111122⨯=-，222233⨯=-，333344⨯=-，…， 则n 个等式是______________________；（2）已知2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，…， 若288a ab b+=⨯（a 、b 为正整数），则a b +=___________；第七讲 定义新运算与找规律（二）（3）何小旭在一本书中发现了下面三个奇怪的等式：11313122+=⨯；558.218.213636+=⨯；121231312525+=⨯何小旭想除了上述三个之外应该还有这样奇怪的式子，于是何小旭进一步研究， 不但写出了很多奇怪的等式，还找到了内在的规律：如果一个数为()bb a a>， 另一个数为______时（用a 、b 表示），可以构成类似上述奇怪的等式．例11．如图，正方形ABCD 、DEFH 的边长都是5cm ，点P 从点D 出发，到点A ，然后沿箭头所指方向运动（经过点D 时不拐弯），则从出发开始连续运动2014cm 时，它离______点最近，此时它距该点_________cm ．例12．如图，已知青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若它停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从标有数字5的顶点开始跳，第一次跳后落在标有数字2的顶点上，第二次跳落在标有数字1的顶点上，…，则第2016次跳后所停的顶点对应的数字为（ ） A ．5B ．2C ．3D ．4例13．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ） A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿黄 绿 蓝 紫图形规律ABDEFH12345例14．正整数按下图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字_________．例15．已知2m ≥，2n ≥，且m 、n 均为正整数，若将n m 进行如下方式的“分解”，则：（1）在52的“分解”中最大的数是__________；（2）若3m 的“分解”中最小的数是31，则m =_________．例16．在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a ij (其中i ，j 都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数a ij ，规定如下：当i j ≥时，1ij a =；当i j <时，0ij a =．例如：当2i =，1j =时，211ij a a ==．按此规定，13a =_____；表中的25个数中，共有_____个1；计算：111122133144155i i i i i a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅的值为________．表格规律1251017...4361118 (9)871219...1615141320 (25242322)21......↓↓↓↓←↓↓↓←←↓↓←←←↓←←←←第一列第二列第三列第四列第五列第一行第二行第三行第四行第五行1 1 233322 3 5 7 9 3235 427 94325 27 2911 343 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15a 21a 22 a 23 a 24 a 25 a 31a 32 a 33 a 34 a 35 a 41a 42 a 43 a 44 a 45 a 51a 52 a 53 a 54 a 55第七讲 定义新运算与找规律（二） 1. 2015201523+的个位数字是________．2. 探究数学“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ，我们称它为数字“黑洞”．则T =_______．3. 已知下列等式：①3211=②332123+=③33321236++=④33332123410+++=……由此规律可知，第n 个等式是_______________________．4. 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A 、B 、C 、D ．请你按图中箭头所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式）从A 开始数连续的正整数：1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是______；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是______；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是___________（用含n 的代数式表示）．点点精练横扫学霸1.把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，…，点O处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点A接触时，指针指向_______（东、南、西、北），当圆与2012所对应的点接触时，指针指向_______（东、南、西、北）．2.观察下列等式：1223113221⨯=⨯；1334114331⨯=⨯；2335225332⨯=⨯；3447337443⨯=⨯；⨯=⨯；…6228668226以上每个等式中两边数字分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们成这类的等式为“数字对称等式”．（1）根据上述格式反应的规律填空，使式子成为“数字对称等式”；①______⨯275=572⨯_______；②请写一个“数字对称等式”：______⨯______=_______⨯_______；（2）设这类等式左边两位数的十位数为a，个位数字为b，且29≤+≤，写出表示“数a b字对称等式”一般规律式子（含a、b，不化简）；第七讲 定义新运算与找规律（二）3. 将1，2，3，…，100，这100个自然数任意分成50组，每组两个数，将其中一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式()13a b a b +--中计算，求出其结果，50组都代入后可得50个值，求这50个值的和的最小值．4. 记12n n S a a a =+++，令12n n S S S T n +++=，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”．已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，求15，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”．。
找规律程序运算定义新运算
找规律程序运算定义新运算Modified by JEEP on December 26th, 2020.第五讲找规律、程序运算、定义新运算板块一 数列、数表找规律一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。
数列规律：【例1】观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的。
那么这一组数的第k 个数是_______。
（k 为正整数）【例2】找规律，并按规律填上第五个数：357924816--，，，， ，第n 个数为： 。
（n 为正整数）【例3】有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是 。
第n 个数为（n 为正整数）。
【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 。
【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）。
【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。
【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门。
请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 。
【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19后面的数应为 。
【例9】探索规律：观察下面算式，解答问题：21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________；②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________；③请你用上述规律计算：10310510720032005+++++数列规律：【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当7a =时，b = 。
【精品】第03讲定义新运算与找规律(学生版)A4
f (a3) ，…
则 a3 ______， a1 a2 a3
a2014 ______________
题模二：图形类
例 2.2.1 如图，图①是一块边长为 1，周长记为 P1 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为
1 的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前 2
a、 b，都有 a
A． 25
B． m2 1
C． 5
b
2
b
1 ，例如 7
D． 26
2
2
2
1
5，
随练 1.3 定义一种新运算：观察下列式：
1⊙ 3=1× 4+3=7 3 ⊙（﹣ 1） =3× 4﹣1=11 5 ⊙ 4=5× 4+4=24 4 ⊙（﹣ 3） =4× 4﹣
3=13
（ 1）请你想一想： a⊙ b=
n 果为 2k （其中
k 是使得
n 2k 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取
n 6 ，则：
6
F② 第 1次
3
F① 第 2次
10
F② 第 3次
5，若 n 1 ，则第 2 次“ F 运算”的结果是 _______ ；若 n 13 ，则
；
（ 2）若 a≠ b，那么 a⊙ b
b⊙ a（填入“ =”或“≠”）
（ 3）若 a⊙（﹣ 2b） =4，请计算 （ a﹣ b）⊙（ 2a+b）的值．
随练 1.4 符号 f 表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1） f 1 0， f 2 1 ， f 3 2 ， f 4 3 ，
（2） f 1 2 ， f 1 3 ， f 1 4 ， f 1 5，
第09讲_定义新运算与找规律(一)_例题
定义新运算与找规律（一）整式的加减66.7％课程预览定义新运算与找规律（一）定义新运算找规律趣味课堂第九讲 定义新运算与找规律（一）定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行． 注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．程序运算：程序运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．例1． （1）若A B *表示3A B +，则57=*________．（2）定义一种运算：ab b a =，则23=________，()5-3=________．（3）定义新运算为()1a b a b ∆=+÷，则()634∆∆=_______．（4）定义运算“△”，对于两个有理数a 、b ，有()a b ab a b ∆=-+，例如：()323232615-∆=-⨯--+=-+=-，则()()11m -∆-=________． （5）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：1a b a b ⊕=+-，2a b ab ⊗=-， 那么()()6835⊕⊕⊗=__________．例2． （1）如果()2a b a b ∆=-⨯，例如()34=3244∆-⨯=，那么，当530a ∆=时，a =_____．（2）规定新运算※：32a b a b =-※，若()417x =※※，则x =_________， 当5x ※比5x ※大5时，x =_________．（3）定义新运算为1a ab bφ+=，①求()234φφ的值；②若4 1.35x φ=，则x 的值为多少？课堂笔记点点精讲 定义符号定义符号 定义程序定义新运算板块一 定义新运算例3． （1）如图是一个运算程序，当输入2-时，输出的数值为___________；（2）根据如图所示的运算程序计算，当输出为8.1时，输入的数值为___________．例4． 有一种数据转换器规定了如图运算：（1）若输入1x =-，则输出y =_______； （2）若输出2y =，则输入x =________．例5． 按下列程序来计算：（1）如果2x =，应该运算______次才停止；（2）若果输入一个数后该程序永不停止，则称“程序遇到bug ”，若x 为使程序遇到bug 的最大数，则x =______________．1. 对于任意有理数a ，b ，定义运算“*”：a b a b a b *=⨯--．求124*的值．2. 对于任意有理数a ，b ，规定2a bab +=． （1）24235⎛⎫= ⎪⎝⎭_________； （2）311462x =，求此时x 的值．点点精练 定义程序 输入x 22x -23x +输出yx 为奇数x 为偶数开始输入x乘4减3是否>260输出x结束是否输入x 乘负9个位十位交换小数点左移一位输出输入x()212-()2÷-输出第九讲 定义新运算与找规律（一） 3. 下图是一个简单的运算程序，若输入x 的值为2-，则输出的数值为_______．常见数列： 1 3 5 7 9 …… 21n -（n 为正整数）2 4 6 8 10 …… 2 4 8 16 32 …… 2 5 10 17 26 …… 03 8 15 24 …… 2 6 12 20 30 …… 1 3 6 10 15 ……11 23 5…… （斐波那契数列）x -x +x -x +x -…… x + x -x + x -x +……例6． 找规律填数或代数式：（1）1，2，3，4，______（2）1，11，______，1111，11111 （3）______，16，112，120，130（4）1x +，21x +，______，81x + （5）x -，2x ，3x -，4x ，______（6）x ，42x ，73x ，104x ，______课堂笔记 点点精讲找规律数字规律表格规律板块二 找规律数字字母规律 输入x229x -0>输出结果是否图形规律例7． （1）2，4，6，8，10，12，……，则第n 项为____________；（2）12，17，22，27，32，37，42，47，……，则第n 项为_____________； （3）1，1-，1，1-，1，1-，……，则第n 项为_____________； （4）1，2-，3，4-，5，6-，……，则第n 项为____________； （5）a ，2a ，3a ，4a ，5a ，……，则第n 项为____________；（6）212a ，4232a -，6352a ，8472a -，……，则第n 项为____________；（7）2a b -，542a b ，893a b -，11164a b，……，则第n 项为_____________；（8）观察等式：222211⨯=+，333322⨯=+，444433⨯=+，……，则第n 个等式为__________．例8． （1）已知数列如下：2，a ，b ，c ，3-，1……，其中任意三个相邻的数之和相等，则第2015个数为_________．（2）定义数列如下：()()211,2,1n a n n ==+，如()1211411a ==+，()2211921a ==+， 再定义数列如下：()()()122111n n b a a a =---，如()113212b a =-=， ()()21242113b a a =--=，则n b =__________．例9． 有一长条型链子，其外型由边长为1公分的正六边形排列而成．图表示此链之任一段花纹，其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻．若链子上有35个黑色六边形，则此链 子共有几个白色六边形？（ ） A ．140B ．142C ．210D ．212例10． 观察下列图形：它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第2015图形共有____________个笑脸.图形规律第1个第2个第3个第4个第九讲 定义新运算与找规律（一）例11． 根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（ ） A ．B ．C ．D ．例12． 下列图形按照一定规律组成，第一图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形……，依此规律第5个图形中三角形的个数是（ ）． A ．22B ．24C ．26D ．28例13． 四个电子宠物排座位，一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号座位上（如图所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次交换位置后，再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直下去，则第2016次交换位置后，小兔所在的位号是（ ）……A ．1B ． 2C ．3D ．4例14． 现有33 的方格，每个小方格内均有数目不同的点图，要求方格内每一行，每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图中给出了部分点图．则P 处所对应的点图是（ ） A ．B ．C ．D ．第3个第2个第1个表格规律123 4鼠猴兔 猫 兔猫 鼠 猴 猫兔猴 鼠例15． 下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：……根据此规律，可确定x 的值为（ ） A ．135B ．170C ．209D ．2521. （1）1，4，7，10，13，……，则第n 项为____________；（2）1-，1，1-，1，1-，1，……，则第n 项为_____________； （3）a ，3a ，5a ，7a ……，则第n 项为____________；（4）2ab -，23ab ，34ab -，45ab ，则第n 项为____________．2. （1）假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：请问第2015个棋子是黑色的还是白色的？（2）假设仍有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：请问第2015个棋子是黑色的还是白色的？3. 在下面格正方形中的四个数都有一定的规律，按此规律得出a b c ++=____________．点点精练 2 6 3204105 54 第1个 第2个第3个第4个1 42 93 84 35a 20 bx0 3 4132 5 6314 7 8576 a bc第九讲 定义新运算与找规律（一）1. 定义对x 的运算()233f x x x =-+，计算：（1）()1f =__________，()()12f f f +=⎡⎤⎣⎦__________；（2）记()()1f x f x =，()()()2f x f f x =，()()()()3f x f f f x =，依次类推， 则()21f =__________，()20150f = __________．2. （1）2，4，2，4，2，4，2，4，……，则第n 项为_____________．（2）1，23，13，427，……，则第n 项为_____________． （3）222a b ，546a b -，10612a b ，17820a b -，……，则第n 项为_____________．3. 如图，根据规律，问号格内的图形应该是（ ）A ．B ．C ．D ．横扫学霸。
找规律、程序运算和定义新运算.
谢老师工作室思路导航找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系.⑵一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系.⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系.⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.⑸数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.常见的数列规律：⑴1，3，5，7，9，…，21n -（n 为正整数）．⑵2，4，6，8，10，…，2n （n 为正整数）．⑶2，4，8，16，32， (2)（n 为正整数）．⑷2，5，10，17，26，…，21n +（n 为正整数）．⑸0,3,8,15，24，…，21n -（n 为正整数）．⑹2，6，12，20，…，(1)n n +（n 为正整数）．⑺x -，x +，x -，x +，x -，x +，…，(1)n x -（n 为正整数）．⑻x +，x -，x +，x -，x +，x -，…，1(1)n x +-（n 为正整数）．⑼特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，(1)2n n +.数列的规律数列的规律【例1】⑴观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的．那么这一组数的第k 个数是．（k 为正整数）2找规律、程序运算和定义新运算⑵瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第八个数据是．⑶找规律，并按规律填上第五个数:357924816--，，，，，第n 个数为：.（n 为正整数）⑷有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是．第n 个数为（n 为正整数）（5）一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是，第n 个式子是.（n 为正整数）数表的规律数列的规律【例2】⑴将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，若用有序数对(),m n 表示第m 行，从左到右第n 个数，如()4,3表示分数112.那么()9,2表示的分数是.1112211136311114121241111152030205谢老师工作室（2）正整数按图的规律排列.请写出第20行第21列的数字:．第一行第二行第三行第四行第五行第一列第二列第三列第四列第五列1251017…4361118…9871219…1615141320…2524232221………⑶按一定的规律排列成的数表如图所示.①当“X”型框中间数字为15时，框中五个数的和为.当“X”型框中间数字为-57时，框中五个数的和为.②如果设“X”型框中间的数为a，请用含a的代数式表示“X”型框中五个数的和；③若将“X”型框上下左右移动，所框住的五个数之和能等于－285吗？若能，请求出这图形的规律数列的规律【例3】⑴下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个图案由个基础图形组成．⑵观察下列图形：它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个★，第n 个图形有个★.⑶图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间小三角形三边的中点，得到图3．图3图2图1①图2有个三角形；图3有个三角形；②按上面的方法继续下去，第n 个图形中有多少个三角形？谢老师工作室⑷如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是．第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形算式的规律数列的规律【例4】观察下列等式：①23aa+=；②65aa+=；③127aa+=；④209aa+=…；则根据此规律第6个等式为，第n个等式为．思路导航一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系．程序运算数列的规律【例5】⑴如下图，输入23x=-，则输出值y是．⑵如下图所示是计算机程序计算，若开始输入1x =-，则最后输出的结果是.⑶如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……，第2013次输出的结果为．⑷按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正整数，最后输出的结果为853，试求出满足条件的x 的所有值.输出结果谢老师工作室【例6】阅读下面的框图并回答下列问题：（1）若A为785，则E=_____________；（2）按框图流程，取不同的三位数A，所得E的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E的所有可能的值；（3）将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A，它的百位数字减去个位数2．”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明．字所得的差大于．．思路导航定义新运算⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算.⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序.②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.定义新运算数列的规律【例7】⑴现定义两种新运算∆∇、，对于任意两个整数a、b ，都有：1a b a b ∆=+-，1b a b a ∇=-.试求：(∆∆∇(34)21)的值.⑵用“×”定义新运算：对于任意a b ，，都有a ×b 2a b =-．例如，4×27479=-=，那么5×3=；当m 为有理数时，m ×（1-×2）=．⑶对于正整数a ，b ，c ，d ，规定a b ad bc cd=-，若1134b d<<，则b d +=．谢老师工作室⑷定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知113a =-，①2a 是1a 的差倒数，则2a =；②3a 是2a 的差倒数，则3a =；③4a 是3a 的差倒数，则4a =，…，依此类推，则2009a =．【选讲题】【例8】（1）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，，，，…，当数到12时，对应的字母是_______；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是（用含n 的代数式表示）．（2）数1234,,,,a a a a 满足下列条件：10a =，211a a =-+,322a a =-+,433a a =-+, 则2013a 的值为.(3)如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去：⑴填表：⑵如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？⑶如果剪n 次，共剪出多少个小正方形？训练1.下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，……，第2002个数应该是（）A ．20022B ．200221-C ．20012D ．以上答案均不对训练2.根据右图所示的程序计算变量y 的值，若输入自变量x的值为32，则输出的结果是．训练3.读一读：式子“12345100++++++ ”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“12345100++++++ ”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号．例如：1357999++++++ ，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为50121n n =-∑（）；又如333333333312345678910+++++++++可表示为1031n n =∑．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．剪的次数12345正方形个数47谢老师工作室⑴246810100++++++ （即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为．⑵计算5211n n =-=∑（）．（填写最后的计算结果）训练4.在某种特制的计算器有一个按键★★★，它代表运算2a b a b++-．例如：输入顺序1，★★★，2-，ENTER=屏幕显示()1***2-2上述操作即是求()()12122+-+--的值，运算结果为2．回答下面的问题：⑴小明的输入顺序为5-，★★★，7，ENTER=，运算结果是．⑵小杰的输入顺序为100101，★★★，165-，ENTER=，★★★，1101-，ENTER=，★★★，6665-，ENTER=，★★★，101100，ENTER=，运算结果是．⑶若在20112012-，20102011-，20092010-，……，12-，0，12，……，20092010，20102011这些数中，任意选取两个作为a 、b 的值，进行★★★运算，则所有的运算结果中最大的值是．复习巩固数列的规律【练习1】⑴观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（）A ．20072B ．200721-C ．20082D ．20062⑵观察下列单项式，2x ，25x -，341017x x -，，……根据你发现的规律写出第5个式子是，第8个式子是，第n 个式子是．（n为正整数）数表的规律【练习2】下面是由自然数排成的数表，分为A ，B ，C 三列，按这个规律，1999在第列。
小学数学《找规律与定义新运算》练习题(含答案)
小学数学《找规律与定义新运算》练习题（含答案）内容概述1．找规律这类题目，要求我们能够观察数列或数表中每一个数自身的特征（如奇偶性，整除性，是否为质数或者合数等等）、相邻数之间的差或商的变化特征（常见的有等差数列，等比数列，菲波那契数列，复合数列等等），有时候还需要考虑连续多个数之间的和差倍关系，甚至对于某个自然数的余数数列。
2．定义新运算这类题目要求我们严格按照题目中给出的公式和新运算符号的定义进行计算。
某些比较复杂的题也会用到解方程的方法。
譬如：已知a*b=2a+3b, 3*x=21, 求x的值；有6+3x=21，则x=5。
例题分析【例1】（☆）下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：⑴ 3，5，7，11，15，19，23，……⑵ 6，12，3，27，21，10，15，30，……⑶ 2，5，10，16，22，28，32，38，24，……⑷ 2，3，5，8，12，16，23，30，……分析：这四个与众不同的数依次是：15，10，5，16。
因为：⑴除了15其余都是质数；⑵除了10其余都是3的倍数；⑶除了5其余都是偶数；⑷相邻两数之间的差依次是1，2，3，4，5，6，……，成等差数列。
【例2】（☆）下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数：（1） 11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 （）10 10 5 11 6 15 （）15 6 1（2） 12 43 6 94 8 12 165 10 15 ( ) 256 12 18 24 30 367 ( ) 21 28 35 42 49分析：（1）这个是著明的“杨辉三角”，其最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。
（）处分别填上5、20。
其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。
中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。
2021-2022初二上期末新定义---计算、找规律(有答案)
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据“铺地锦”的定义计算即可．
【详解】设3下面的数字为
根据“铺地锦”的定义 ，解得
∵ 必须是正整数，且a为十位上的数字
∴
故选：A
【点睛】本题考查新定义；能够理解新定义，3a的结果用各位数字正确表示出来是解题的关键．
A. 110B. 180C. 220D. 264
【答案】C
【解析】
【分析】观察图形得：第一个图形有 根火柴，第二个图形有 根火柴，第三个图形有 根火柴，据此规律求解即可．
【详解】解：观察图形得：
第1个图形有 根火柴，
第2个图形有 根火柴，
第3个图形有 根火柴，
第4个图形有 根火柴，
所以第 个图形有 根火柴，
故答案为：-2；
（2）根据题意得：2⊗x=22-2x=3+x，
整理得：4-2x=3+x，
解得：x= ．
故答案 ： ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
找规律
（2021通州区26题）26. 如图表示 的数表，数表每个位置所对应的数是1，2或3，有如下定义： 为数表中第a行第b列所对应的数．例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以， ．请根据以上定义，完成下面的问题：
（2021门头沟区15题）15．（2分）规定：符号“ ”为选择两数中负数进行运算，“◎”为选择两数中非负数进行运算，则 ◎ 的结果为．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：
原式 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键．
小学数学《找规律与定义新运算》练习题（含答案）
⼩学数学《找规律与定义新运算》练习题（含答案）⼩学数学《找规律与定义新运算》练习题（含答案）例题分析【例1】（☆）下⾯各列数中都有⼀个“与众不同”的数，请将它们找出来：⑴ 3，5，7，11，15，19，23，……⑵ 6，12，3，27，21，10，15，30，……⑶ 2，5，10，16，22，28，32，38，24，……⑷ 2，3，5，8，12，16，23，30，……分析：这四个与众不同的数依次是：15，10，5，16。
因为：⑴除了15其余都是质数；⑵除了10其余都是3的倍数；⑶除了5其余都是偶数；⑷相邻两数之间的差依次是1，2，3，4，5，6，……，成等差数列。
【例2】（☆）下⾯是两个按照⼀定规律排列的数字三⾓形，请根据规律填上空缺的数：（1） 11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 （）10 10 5 11 6 15 （）15 6 1（2） 12 43 6 94 8 12 165 10 15 ( ) 256 12 18 24 30 367 ( ) 21 28 35 42 49分析：（1）这个是著明的“杨辉三⾓”，其最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，⽽其余的数则是等于它肩上的两个数之和。
（）处分别填上5、20。
其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。
中国古代数学史曾经有⾃⼰光辉灿烂的篇章，⽽杨辉三⾓的发现就是⼗分精彩的⼀页。
杨辉，字谦光，北宋时期杭州⼈。
在他1261年所著的《详解九章算法》⼀书中，辑录了如上所⽰的三⾓形数表，称之为“开⽅作法本源”图。
（2）每⾏第k个数等于该⾏第⼀个数的k倍，故上、下空缺的数分别为20和14。
【例3】（☆☆）在下⾯的⼀串数中，从第五个数起，每个数都是它前⾯四个数字之和的个位数字，那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是2，0，0，8 ？1，9，9，9，8，5，1，3，7，6，7，3，3，9，2，7，1，9，9，6，……分析：运⽤奇偶性进⾏分析，这些数的奇偶性依次是：奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，……四个奇数⼀个偶数循环出现，⽽2，0，0，8均为偶数，必定不会出现在相邻的位置上。
找规律程序运算和定义新运算
找规律、程序运算和定义新运算一、数列、数表找规律⑴合理的猜想是正确解决找规律问题的前奏，它的思路一般是从简单的、局部的、特殊的情况出发，经过提炼、归纳。
猜想未知，寻找一般规律，获取新结论。
⑵一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。
【例1】⑴(海淀区期末考试)若一组按规律排成的数的第n项为n(n＋1)(n为正整数)，则这组数的第10项为；若一组按规律组成的数为：2，6，-12，20，30，-42，56，72，-90，…，则这组数的第3n(n为正整数)项是。
【例1】⑵(2008北京中考)一组按规律排列的式子：-b2 b5 b8，2，-3，【例2】⑴有一列数1，1，2，3，5，8，13，21……..，那么第9个数是;b11 a4a a a，…(ab ≠ 0 )，其中第7个式子是⑵瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数，第n个式子是(n为正整数)。
9 16 25 36据，，，，…中得到巴尔末公5 12 21 32式，从而打开光谱奥妙的大门。
请你按这种规律写出第7个数据是。
第n个分数为。
15 … 11 【例3】⑵ 观察表一，寻找规律，表二、表三分别是从表一中选取的一部分， 【例3】⑶将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排 则a ＝ a b ＝ 。
的位置是第 行第 列。
， 2表一 表二 表三【例4】⑴ (第17届希望杯) 开始如图是一个流程图，图中“结束”处的 写下1 计算结果是 。
乘-2写结果你乘-2已经5次了吗 否是 结束【例4】⑵(北师大附中初一期中考试)如下图所示是计算机程序计算，若开始输入 ，则最后输入 x ＝2出的结果是 。
输入x 的值计算1＋x －2x 2＜-5 输出结果是 否3a … … 14 … … … … 15 11 7 3 11 8 2 …7 5 3 1 … 3 2 1 0第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 1 2 3 第2行 6 5 4 第3行 7 8 9 第4行 12 11 10……11 1317 b。
找规律、程序运算和新定义-学生版
|
A． 2 6n
B． 8 6n
C． 4 4n
D． 8n
【变式练习】如图（1）所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图（2），再分别连
接图（2）中间的小三角形三边的中点，得到图（3），按此方法继续连接，请你根据每个图
中三角形的个数的规律完成下列问题.
（1）将下表填写完整； 图形编 号 三角形
10
又如13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 可表示为 n3 ． n1
通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．
⑴ 2 4 6 8 10 100 (即从 2 开始的 100 以内的连续偶数的和)用求和符合可表示 为．
5
⑵计算 （n2 1） n1
．(填写最后的计算结果)
PP 0 A4 A3 A2
P A1
模块二：程序运算与新定义
【例20】 ' 【例21】定义一种新运算： a b 1 a b ，那么 4*（-1）= _______
2
P
x A
【例22】现定义一种新运算：★，对于任意整数 a、b，有 a★b=a+b-1，求 4★[（6★8）★（3★5）] 的值
/
【例23】用“ ”、“ ”定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 a b=a 和 a b=b，例如 3 2=3，
【例27】定义：a
是不为1
的有理数，我们把
1 1
a
称为
a
的差倒数．如：2
的差倒数是
1
1
2
1ห้องสมุดไป่ตู้
，1
的
差倒数是
1
1 (1)
1 2
．已知
a1
1 3
第三讲找规律,程序运算与定义新运算
， ．
【例 7】⑴【★★☆】（08内江）根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空．
⑵【★★☆】填在下列三个田字格中的数具有相同的规律，根据此规律填空白田字格．
⑶【★★★☆】（2009年广西南宁）正整数按图的规律排列．请写出第 行，第 列的数
字．
9【解析】⑴如图．⑵如图．⑶ ．
【例 8】⑴（2012恩施市）观察数表
，所以 ．
④由③的例子可知“ ”也没有结合律．
⑤因为 ，解出 ．
点评：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的 倍减去符号后面的数的 倍．在定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值．还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题．
， 所以由密文字母 得到明文字母 的公式为：
③根据②中求得的公式，密文 对应的明文单词是 ．
※※※※定义新运算※※※※
前面学过有理数的五种运算：加、减、乘、除、乘方．如： ， 都是 和 的运算，可结果不同，主要是运算方式不同，实际是对应法则不同．可见一种运算实际就是一个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算．当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应．只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算．下面来了解和熟悉“定义新运算”．
现给出一个公式：
将明文字母对应的数字 按以上公式计算得到密文字母对应的数字 ，比如明文字母为 ， ，所以明文字母 对应的密文字母为 ．
①按照上述规定，将明文 译成的密文是什么?写出你的计算过程；
第三节-找规律、定义新运算和程序运算
'第三节 找规律、定义新运算和程序运算一、课标导航二、核心纲要1.找规律 ~解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论。
有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件。
一般有下列几个类型：(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系。
(2)一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系。
(3)图形（图标）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系。
(4) 图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数。
(5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。
常见的数列规律：(1) 1,3,5,7,9，…，12-n （n 为正整数）； 。
(2) 2,4,6,8,10，…，n 2（n 为正整数）； (3) 2,4,8,16,32，…，n 2（n 为正整数）； (4) 2,5,10,17,26，…，12+n （n 为正整数）； (5) 0,3,8,15,24，…，12-n （n 为正整数）； (6) 2,6,12,20，…，)1(+n n （n 为正整数）；(7) x -,x +,x -,x +,x -,x +,…，x n )1(-（n 为正整数）； (8) x +,x -,x +,x -,x +,x -,…，x n 1)1(+-（n 为正整数）；(9) 特殊数列： &①斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13，…，从第三个数开始每个数等于与它相邻的前两个数的和；②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，2)1(+n n 。
2.定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按基本运算过程、运算规律进行运算。
(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序； ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
第三节 找规律、定义新运算和程序运算(含答案)...七年级数学 学而思
第三节 找规律、定义新运算和程序运算高频核心考点1．找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系：(2)-列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号以之间的关系；(3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号挖之间的关系：(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数；(5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论． 2．常见的数列规律1n 2,,9,7,5,3,1)1(-Λ（n 为正整数）； n 2,,10,8,6,4,2)2(Λ （n 为正整数）；n 2,,32,16,8,4,2)3(Λ（n 为正整数）； 1,,26,17,10,5,2)4(2+n Λ（n 为正整数）； 1,,24,15,8,3,0)5(2-n Λ（n 为正整数）；)1(,,20,12,6,2)6(+n n Λ（n 为正整数）：x x x x x x x n ⋅-+-+-+-)1(,,,,,,,)7(Λ（n 为正整数）； x x x x x x x n ⋅--+-+-++1`)1(,,,,,,,)8(Λ（n 为正整数）；(9)特殊数列：①斐波那契数列：,,13,8,5,3,2,1,1Λ从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和：②三角形数：2)1(,,21,15,10,6,3,1+n n Λ（n 为正整数）． 3．定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算；(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序； ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 4．程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 5．数学能力探究、归纳、总结和知识迁移的能力，方法技巧提炼1．规律题观察，总结，猜想，验证． 2．新定义观察定义，对比代入，注意运算顺序以及符号． 3．程序运算精题精讲精练例1．（山东威海中考）一组按规律排列的数：,167,93,41Λ,3621,2513请你推断第9个数是检测1．(1)（福建福州中考）瑞士中学巴尔末成功地从光谱数据Λ,3236,2125,1216,59中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第七个数据日是(2)（吉林长春中考）按下列规律排列的一列数对,),8,7(),5,4(),2,1(Λ第5个数对是例2．（四川内江中考）?100321=++++Λ经过研究，这个问题的一般性结论是+++321),1(21+=+n n n Λ 其中n 是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：+⨯+⨯3221?)1(=++n n Λ 观察下面三个特殊的等式：),210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯),321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯).432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯将这三个等式的两边相加，可以得到.2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 读完这段材料，请你思考后回答：=⨯++⨯+⨯1011003221)1(Λ=++++⨯⨯+⨯⨯)2(1n 432321)2(n n ）（Λ检测2．(1)观察下面的几个算式：,4121=++ ,912321=++++ ,161234321=++++++Λ,25123454321=++++++++根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：=++++++++++1239910099321ΛΛ (2)已知：,3223222⨯=+,8338332⨯=+,154415442⨯=+,245524552⨯=+…，若a ba b ⨯=+21010符合前面式子的规律，则=+b a例3．如图2-3-1所示的运算流程中，若输出的数y=5，则输入的数x 。
初一数学.找规律、程序运算和定义新运算.学生版
（ 为正整数）
（5）一组按规律排列的式子： ， ， ， ，…（ ），其中第 个式子
是，第 个式子是.（ 为正整数）
【例2】⑴将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼
茨三角形，若用有序数对 表示第 行，从左到右第 个数，如 表示分数 .那么 表示的分数是.
定义新运算
⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算.
⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序.
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.
【例7】⑴现定义两种新运算 ，对于任意两个整数 ，都有： ，
.试求： 的值.
⑵用“ ”定义新运算：对于任意 ，都有 ．
如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 个图形需要黑色棋子的个数是．
【例4】观察下列等式：① ；② ；③ ；④ …；则根据此规律第6个等式为，第 个等式为．
一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系．
【例5】⑴如下图，输入 ，则输出值 是．
请你按图中箭头所指方向（即 的方式）从 开始数连续的正整数 当数到12时，对应的字母是_______；当字母 第201次出现时，恰好数到的数是；当字母 第 次出现时（ 为正整数），恰好数到的数是（用含 的代数式表示）．
（2）数 满足下列条件： ， , , , 则 的值为.
(3) 如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去：
定义新运算
小升初定义新运算按照新定义的运算计算算式的结果，一定要掌握解题的关键和注意点。
1、解题关键：要正确理解新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行运算。
2、注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。
第一种：直接计算型例1、对于任意数a、b，定义运算“★”，使a★b=2a×b求:(1)1★2 (2)2★1 例2、A、B表示两个数，定义A▼B=（A+B）÷2，求（45▼55）▼60。
例3、对于任意两个整数a、b，定义两种运算“☆”、“★”：a☆b=a+b-1，a★b=a×b-1。
计算（6☆8）★（3☆5）的值。
例4、规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
计算[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 的值。
举一反三：1、“★”表示一种新运算，规定A★B=5A+7B，求(1)4★5 (2)5★4。
2、定义一种运算“□”：a□b=3×a-2×b求（1）（17□6）□2; (2) 17□(6□2)3、两个整数a和b，a除以b的余数记为a△b。
例如：13△5=3，根据这样定义的运算，（26△9）△4等于几？4、定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。
例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12等于几？5、定义两种运算“#”和“&”如下：a#b表示a、b两数中较小的数的3倍，a&b表示a、b两数中较大的数的2.5倍.如4#5=4×3=12，4&5=5×2.5=12.5计算：【（0.6#0.5）+（0.3&0.8）】÷【（1.2#0.7）-（0.64&0.2）】第二种：找规律型例1、如果1※3=1+2+3=6，5※4=5+6+7+8=26,那么9※5=？例2、规定38=3+8=11，928=9+2+8=19，6281=6+2+8+1=17，照此计算：（1）98989；（2）475+121÷11例3、“☆”表示一种新运算，使下列等式成立：2☆3=7，4☆2=10，5☆3=13，7☆10=24。
找规律及定义新运算.学生版
内容 基本要求略高要求较高要求找规律 学会基本的找规律方法 能做常见的找规律题型，能根据题意找出相应的对应关系 能做综合试题 定义新运算 熟悉基本题型能根据题意进行运算板块一、找规律模块一、代数中的找规律【例1】 点1A 、2A 、3A 、…、 n A （n 为正整数）都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且11AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为（ ）．A ．2008、2009-B ．2008-、2009C ．1004、1005-D ．1004、1004-【例2】 如图，点A 、B 对应的数是a 、b ，点A 在3-、2-对应的两点（包括这两点）之间移动，点B 在1-、0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比2008大的是（ ）．A ．b a -B ．1b a - C ．11a b- D ．2()a b -【例3】 一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，114b a，…(0≠ab )，其中第7个式子 是 ，第n 个式子是 (n 为正整数)．【例4】 搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管.① ② ③【例5】 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，。
请你按图中箭头所指方向(即...A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4…，当中考要求找规律及定义新运算数到12时，对应的字母是；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C 第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(用含n的代数式表示)。
【例6】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90︒，然后在桌面上按逆时针方向旋转90︒，则完成一次变换．若骰子的）A．6 B．5 C．3 D．2【例7】观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算181624...8n+++++（n是正整数）的结果为（）A．2(21)n+B．2(21)n-C．2(2)n+D．2n【例8】观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……，则第6个图中，看不见的小立方体有个．图3图2图1【例9】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的13610...，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的14916...，，，，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）1+8=?1+8+16=?1+8+16+24=?……图1 图2A．15 B．25 C．55 D．1225【例10】如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．【例11】下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。
第三节 找规律、定义新运算和程序运算-学而思培优
第三节 找规律、定义新运算和程序运算一、课标导航二、核心纲要l.找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况人手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件，一般有下列几个类型：(1)-列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系．(2)-列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系．(3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系．(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．(5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．常见的数列规律：12,,9,7,5,3,1)1(-n (n 为正整数)．n 2,,10,8,6,4,2)2( (n 为正整数)．n 2,,32,16,8,4,2)3( (n 为正整数)．1,,26,17,10,5,2)4(2+n (n 为正整数)．1,,24,15,8,3,0)5(2-n (n 为正整数)．)1(,,20,12,6,2)6(+n n (n 为正整数)．x x x x x x x n )1(,,,,,,,)7(-+-+-+- (n 为正整数)．x x x x x x x n 1)1(,...,,,,,,8+--+-+-+）（(n 为正整数)．(9)特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和. ②三角形数：⋅+2)1(,,21,15,10,6,3,1n n 2.定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代人，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算．(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．3.程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．4.数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力.本节重点讲解：两大能力，三种题型(找规律、定义新运算和程序计算)．三、全能突破基 础 演 练1．根据图2-3-1中数字的规律，在图形中填空．2．观察下面一列整式：,,201,121,61,21161698442 y x y x y x y x --照此规律第6个整式是 ，第n 个（n≥1且为整数）整式是3．正整数按图2-3-2中的规律排列．请写出第45行，第46列的数字4．图2-3-3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此递推，第10层中含有正三角形个数是 个．5．如图2-3-4所示，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”，如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是 ；第2012次“移位”后，则他所处顶点的编号是 ．6．观察下列等式： ;531422⨯=-①;732522⨯=-②;933622⨯=-③;1134722⨯=-④…则第n （n 是正整数）个等式为 7．我们规定一种运算：,bc ad d c ba -=若,0124=-x x 则=x8．魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图2-3-5所示的步骤操作：魔术师立刻说出观众想的那个数．(1)如果小明想的数是-1，那么他告诉魔术师的结果应该是 ，(2)如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是(3)观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙．能 力 提 升9．已知：,,10244,2564,644,164,4454321 =====以上算式结果的个位数字分别为4，6，4，6，…，按照上面的研究方法确定2006200720072006+的个位数字为( ) 3.A 4.B 5.C 6.D10．如图2-3-6所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图2-3-7 (a)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2-3-7(b)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )15.A 25.B 55.C 1225.D12．(1)探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字立方再求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ，我们称它为数字“黑洞”，T 为何具有如此魔力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T 是 ． (2)任取一个自然数串，数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，用这3个数组成下一个数字串，重复上述程序，就能得到一个固定的数，我们称它为数字“黑洞”，则这个固定的数为 ．13.在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为j i a ,（其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数j i a ,规定如下：当j i ≥ 时，;1,=j i a 当j i <时，.0.i =j a 例如：当1,2==j i 时，.11,2,==a a j i 按此规定，=3,1a ．；表中的25个数中，共有 个1；计算.3,12,2,11,1,1a a a a a i i +⋅+⋅ 5,5,14,4,13,i i i a a a a a ⋅+⋅+的值为14.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文一密文（加密），接收方由密文一明文（解密），已知加密规则如图2-3-8所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ．15．已知,2,2≥≥n m 且m ，n 均为正整数，如果将nm 进行如图2-3-9所示方式的“分解”，那么下列三个叙述：①在52的“分解”中最大的数是11．②在34的“分解”中最小的数是13．③若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5．其中正确的是16．有一个运算程序，当n b a =Θ(n 为常数)时，则,2)1(,1)1(-=+Θ+=Θ+n b a n b a 若,211=Θ则=Θ2012201217.按图2-3-10所示的程序计算：若输入x = 100，输出结果是501，若输入x = 25，输出结果是631，若开始输入的x 值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x 的可能值为 ． 18．如图2-3-11所示，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．9 & # x -62 … …图2-3-11(1)可求得x= ．第2012个格子中的数为 ．(2)判断：前m 个格子中所填整数之和是否可能为20127若能，求出m 的值；若不能，请说明理由；19．阅读图2-3-12并回答下列问题：(1)若A 为785，则E= ；(2)按框图流程，取不同的三位数A ，所得E 的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E 的所有可能的值；(3)将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A ，它的百位数字减去个位数字所得的差大于2”，其余的步骤不变，请猜想E 的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明．中 考 链 接20．(2010．北京)图2-3-13所示为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D.请你按图中箭头所指方向（即 →→→→→→→→→C B A B C D C B A 的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）．21．（贵阳市中考题改编）符号“f"表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：,3)4(,2)3(,1)2(,0)1(====f f f f ①,5)51(,4)41(,3)31(,2)21(====f f f f ② 利用以上规律计算：=-)2012()20121(f f22．(1)（2009年·成宁）如图2-3-14所示的运算程序中，若开始输入的x 值为96，我们发现第1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，…，第2009次输出的结果为 ．(2)（山东临沂中考）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表所示：十六进制 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例如，用十六进制表示：,1,123,5B D E F F A =+=+=+则=⨯C A巅 峰 突 破23.图2-3-15所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果是24.对于两数a 和b ，给定一种运算,:ab b a b a -+=井“井”则在下列等式中： ;a b b a 井井①= ;0a a =井② ).()(c b a c b a 井井井井③=正确的是 (填序号）．25.正整数，n 小于100，并满足等式,]6[]3[]2[n n n n =++其中[x]表示不超过x 的最大整数，这样的正整数 n 有多少个？。
第三讲找规律,程序运算与定义新运算
【例 3】⑴【★☆】定义一种新的运算： a b 3a b ， a b a 3b ，试计算：
(2) 3 1 (4) __________．
⑵【★★】（2011 年人大附中期中练习）用 定义新运算：对于任意有理数 a ， b ， 当
a b 时，a b b2 ；当 a b 时，a b a ．当 x 3时，(2 x) (4 x)x 的值
都有 a b a 和 a b b ，例如 3 2 3 ， 3 2 2 ．则（ 2006 2005 ）
（ 2004 2003）
．
4. （2011 北京市课标卷）用“☆”定义新运算： 对于任意实数 a 、 b ， 都有 a ☆
b b2 1． 例如 7 ☆ 4 42 1 17 ，那么 5 ☆ 3
1126221312622xxxxxxxxx???????????????为自然数不能被整除为自然数能被整除将明文字母对应的数字x按以上公式计算得到密文字母对应的数字x?比如明文字母为g71742gd?????所以明文字母g对应的密文字母为d
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m
平方
-m
m
+2
A． m D． m 1
B ． m2
C ． m1
输入x
⑵【★】（2012 株洲中考）根据如图所
示的程序计算，若输入 x 的值为1，则输出 y
的值为
．
⑶【★☆】（2011 年浙江义乌中考题）按下面的 程序计
算，若开始输入的值 x 为正数，最后输出的 结果为 656 ，则满足条件的不同的值最多有（
②
原码 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
找规律、程序运算和新定义
在解数学题时，往往从特殊的，简单的，局部的事例出发，探求一般的规律；或者从现有的结论，信息，通过观察，类比，联想，进而猜想未知领域的奥秘，这种思想方法叫归纳猜想.归纳猜想是学习和研究数学的最基本而又十分重要的方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，是探索解题思路的有效方法，也是科学发展史上的一种重要的方法.注释：归纳猜想是建立在细致而深刻的观察基础上，解题中观察活动主要有三条途径； 从数与式的特征观察； 从几何图形的结构观察；通过对简单，特殊情况的观察，再推广到一般情况.规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在以往“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上，现在又推陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型.模块一：找规律 数字规律【例1】 按照规律填上所缺的单项式并回答问题：(1)a 、22a -、33a 、44a -，________，__________； (2)试写出第2007个和第2008个单项式 (3) 试写出第n 个单项式【例2】 一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59，1216，2125，3236，…中得到巴尔末公 式，找规律、程序运算和新定义同步练习知识讲解n n个数据是___________ 从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第(1)【变式练习】观察下列等式：第一行 3＝4-1第二行 5＝9-4第三行 7＝16-9第四行 9＝25-16第五行 11＝36-25……按照上述规律，第n行的等式为 .【变式练习】下面是一个三角形数阵：1------------------------第1行2 3 ------------------第2行4 5 6------------------第3行7 8 9 10------------第4行……根据该数阵的规律,第8行第2个数是【例3】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的13610...，，，，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）14916...A．15 B．25 C．55 D．1225【例4】右图是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图，根据图中所示规律，前n横行的数字和为．【例5】 研究下面的一列数：1，3-，5，7-，9，11-，13，…，照此规律，请你用表达式表示出第n 个数.【例6】 右图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1，回形线与射线OA 交于1A ，2A ，3A ，…．若从O 点到1A 点的回形线为第1圈(长为7)，从1A 点到2A 点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为_________．【例7】 一根拉直的绳子从中剪一刀被分成2段，要把一根拉直的绳子分成1n +段，需n 刀，这就是说线段上n 个点将线段分成1n +段，但是将一根绳子对折以后再从中剪一刀，绳子变成了3段；将一根绳子对折两次后再从中剪一刀，绳子变成5段，试问：（1）将一根绳子对折4次后，从中剪一刀，绳子变成几段？ （2）将一根绳子对折2003次后，从中剪一刀，绳子变成几段？（3）能否将一根绳子对折若干次后，从中剪一刀，绳子变成2003段，如果能，求出对折的次数，如果不能，请说明理由．11111111111010556443321【例8】 图1是棱长为a 的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n 层，第n 层的小正方体的个数为s ．解答下列问题：⑴ 按照要求填表：⑵ 写出当10n =时，s = ．【例9】 如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点（相邻两边公用一个点）；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n 层，试问第n 层有多少个点？这个点阵共有多少个点？图形数数规律【例10】 某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图（1）；第2次把第1次铺的完全围起来，如图（2）所示；第3次把第2次铺的完全围起来，如图（3）…… 依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数为______________第n 层………… …… n1234 … s 1 3 6 …图1 图2 图3【例11】 如图所示，下列每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上都有n ()2n ≥枚棋子，每个图案中棋子总数为s ，则s 与n 之间的关系可以表示为 .【变式练习】为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）A ．26n +B ．86n +C ．44n +D ．8n【变式练习】如图（1）所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图（2），再分别连接图（2）中间的小三角形三边的中点，得到图（3），按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成下列问题.（1）将下表填写完整；图形编号 （1） （2） （3）（4） （5）三角形个数1 5 9（2）在第n 个图形中有 个三角形【变式练习】图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则＝______ （用n 的代数式表示）【例12】 观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：共有1 个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……，则第6个图中，看不见的小立方体有_______个．【例13】 观察下列图形（每幅图中最小．．的三角形都是一样的），请写出第n 个图中最小．．的三角形的个数有个．【例14】 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）A ．25B ．66C ．91D ．120【例15】 用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第一组，在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，…，按这种方式铺下去，用现有的2005s s s图3图2图1图3图2图1第1个图 第2个图 第3个图 第4个图图（3）…… n =1n=2n =3块瓷砖最多能完整地铺满________组，此时还剩余_______块瓷砖．【例16】 一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1A 处，第二次从1A 点跳动到1OA 的中点2A 处，第三次从2A 点跳动到2OA 的中点3A 处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点跳过的总距离为_________．模块二：程序运算与新定义【例17】 定义一种新运算：12a b a b *=-，那么4*（-1）= _______【例18】 现定义一种新运算：★，对于任意整数a 、b ，有a ★b=a+b-1，求4★[（6★8）★（3★5）]的值 【例19】 用“”、“”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有ab=a 和a b=b ，例如32=3，32=2．则（20102009）（20072008）的值是 .【例20】 我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：32101202121211⨯+⨯+⨯+⨯=．按此方式，则将十进制数6换算成二进制数应为_______ ．PP P4321【例21】 读一读：式子“12345100++++++”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“12345100++++++”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号． 例如：1357999++++++，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为50121n n =-∑（）；又如333333333312345678910+++++++++可表示为1031n n =∑．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．⑴246810100++++++(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为 ．⑵计算5211n n =-=∑（） ．(填写最后的计算结果)【例22】 定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依次类推，则2009a =_______ ．【例23】 若用汉字的四角号码作为密码来传送“希望杯”这三个字，即是“402207104199”．现在改换成新的密码，规则是：原码千位、十位不变，将百位、个位分别变成关于9的补码，即0变成9；1变成8；2变成7；……．则“希望杯”这三个字的新密码是_______．【例24】 在密码学中,称直接可以看到的内容为明码, 对明码进行某种处理后得到的内容为密码．对于英文，人们将26个字母按顺序分别对应整数0至25．现有4 个字母构成的密码单词,记4个字母对应的数字分别为1x ，2x ，3x ，4x ，已知:整数122x x +，23x ，342x x +，43x 除以26的余数分别为9，16，23，12，则密码的单词是_________．【例25】 对于数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数．若关于x 的方程343x a ⎡+⎤=⎢⎥⎣⎦有正整数解，则a的取值范围为______．【例26】 对于数x ，符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如[3.14]=3，[7.59]8-=-，则满足关系式3747x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的x 的整数值有( ) A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【练习1】下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ）A.55B.42C.41D.49 【练习2】柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：第一层有23⨯听罐头， 第二层有34⨯听罐头，第三层有45⨯听罐头，……根据这堆罐头排列的规律，第n （n 为正整数）层有 听罐头（用含n 的式子表示）【练习3】观察下面几组数：1，3，5，7，9，11，13，15，… 2，5，8，11，14，17，20，23，… 7，13，19，25，31，37，43，49，…这三组数具有共同的特点．现在有上述特点的一组数，并知道第一个数是3，第三个数是11．则其第n 个数为（ ）A.85n -B.22n +C. 41n -D.225n +课后练习【练习4】一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，114ba，…(0≠ab )，其中第7个式子是_____，第n 个式子是______(n 为正整数)．【练习5】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管.① ② ③【练习6】用火柴棍像如图这样搭三角形：你能找出规律猜想出下列两个问题吗？我们可以发现搭1个图形需要3根火柴，搭2个图形需要5根火柴，……⑴ 搭7个需要 根火柴棍．⑵ 搭n 个三角形需要 根火柴棍．【练习7】如果1111n na a +=+ (1n =，2，3，…，2009)，那么，当11=a 时，1223++⋯a a a a a 20082009a a 的值是多少？【练习8】观察下列图形：根据图1、图2、图3的规律，图4中的三角形的个数为 ．【练习9】如图摆放在地上的正方体的大小均相等，现在把露在外面的表面涂成红色，从上向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为： 第一层：侧面个数+上面个数1415=⨯+=； 第二层：侧面个数+上面个数24311=⨯+=； 第三层：侧面个数+上面个数34517=⨯+=； 第四层：侧面个数+上面个数44723=⨯+=； …………图4图1图2图3第第二层第三层11 / 11找规律、程序运算和新定义根据上述的计算方法，总结规律，并完成下列问题：① 求第6层有多少个面被涂成了红色？② 求第n 层有多少个面被涂成了红色？（用含n 的式子表示）③ 若第m 层有89个面被涂成红色，请你判断这是第几层？并说明理由．【练习10】有一个运算程序，可以使：a b n ⊕=(n 为常数)时，得(1a +)1b n ⊕=-,(1)2a b n ⊕+=-．现在已知112⊕=，那么20082008⊕=________．。
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第五讲
找规律、程序运算、定义新运算
板块一 数列、数表找规律
一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。
数列规律：
【例1】观察下列一组数：12，34，56，7
8
，…，它们是按一定规律排列的。
那么这一组数的第k 个数是
_______。
（k 为正整数）
【例2】找规律，并按规律填上第五个数：3579
24816
--，，，， ，第n 个数为： 。
（n 为正整数）
【例3】有一列数12-，25，310-，4
17
，…，那么第7个数是 。
第n 个数为
（n 为正整数）。
【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正
整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 。
【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，11
4b a
，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个
式子是 （n 为正整数）。
【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。
【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612
，2521，36
32，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱
奥妙的大门。
请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 。
【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19
后面的数应为 。
【例9】探索规律：
观察下面算式，解答问题：
21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=L _________；
②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=L ____________； ③请你用上述规律计算：10310510720032005+++++L
数列规律：
【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当7a =时，
b = 。
【例11】观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的
一部分，则a = ，
2
a b
+= 。
0 1 2 3 …
1 3 5 7 …
例题精讲
1
2 2
3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5
· · · · · · · ·
a b · · · · · · ·
××表一 表二
表三
【例12】如下图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字。
电子跳蚤每跳一次，可以从一
个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 。
【例13】将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置
是第 行第板块二 程序运算
【例14】下图是一个简单的运算程序。
若输入x 的值为2-，则输出的数值 为 。
【例15】如右图是一个流程图，图中“结束”处的计算
结果是 。
【例16】下图所示是计算机程序计算，若开始输入1x =-，则最后输出的结果是__ _。
【例17】如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…，第2009次输出的结果为____ _____。
板块三 定义新运算
定义新运算:将新的运算法则转化为旧的运算法则进行计算
【例18】现规定一种运算：a *b ＝ab ＋a －b ，其中a ，b 为有理数，则3*5的值为( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14 【例19】用“×
”定义新运算：对于任a ，b ，都有a
×
2b a b =-。
例如，4
×
27479=-=，那么5
×
3= ；
当m 为有理数时，m （1- 2）= 。
【例20】①定义()5f x x =+，((2))f f = 。
【例21】若规定一种新运算为()()111a b ab a b A ⊗=+
-+，如果1
212
⊗=-，那么 20012002⊗=_______。
【例22】有一个运算程序，可以使a b n ⊕=(n 为常数)时，得()11a b n +⊕=+，()12a b n ⊕+=-。
现在
已知112⊕=，那么20092009⊕=_______。
【例23】有一列数，按一定规律排成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三个相邻数的和是3072，则这
三个数中最小的数是________。
测 试 题
1．在数列1，
12，22，13，23，3
3
，…，中，第100个数是___ 。
2．正整数按图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字 。
3．按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的不同的值分别是： 。
4．定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1
112
=--，1-的差倒数是
()11112=--。
已知11
3
a =-，
① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = 。
5．我国宋朝数学家杨辉在他的着作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()n a b + （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律。
例如：
0()1a b +=，它只有一项，系数为1；
1()a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1系数和为2；
222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； 33223()33a b a a b ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和
为8； ……
根据以上规律，解答下列问题：
⑴4()a b +展开式共有 项，系数分别为 ； ⑵()n a b +展开式共有 项，系数和为 。
答 案
1．
914 2．420
3．4
5
，5，26，131
4．① 3
4
；② 4
5．⑴5；1，4，6，4，1； ⑵ 1n +，2n
第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列
第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 11 ... 9 8 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)
24
23
22
21
…
……
..............................
1332
1
11111。