罗素的逻辑主义及其在数理逻辑史上的地位

罗素的逻辑主义及其在数理逻辑史上的地位(下)

2010-02-26 19:43

罗素的逻辑主义及其在数理逻辑史上的

地位

【张家龙】

三、逻辑主义在数理逻辑史上的地位

以罗素为代表的逻辑主义在数理逻辑发展史上具有重要的历史地位。怀特海和罗素的巨著《数学原理》是数理逻辑发展史上的一个里程碑, 也是经典著作, 起了承先启后、继往开来的伟大作用。

可是, 逻辑主义者要从纯逻辑推出全部数学的计划, 遇到了极大的困难: 首先, 必须引进两条非逻辑公理———无穷公理和乘法公理(选择公理) 。无穷公理承认宇宙间个体的数量是无穷的, 没有这条公理, 连最简单的自然数也无法构成。乘法公理是与无穷有关的断定, 是与数量有关的假定, 即保证选择类存在的假定; 它不是逻辑的规律。罗素深知这一点, 他把这两条公理写在需要它们的各数学定理的条件里面, 作为假定。但是这种解决办法并不能真正解决问题。在数学中必须承认有无穷多个自然数, 而不是只承认条件语句“如果有无穷多个个体, 那么自然数存在”。如果一个系统推不出无穷公理, 推不出自然数的存在, 那么它肯定推不出数学。

其次, 《数学原理》系统是以分支类型论为基础的, 而在从逻辑推导数学的过程中, 已暴露出恶性循环原则、分支类型论和可化归性公理的缺陷。实际上, 数学不是建立在逻辑的基础之上, 而是建立在罗素的分支类型论的基础之上; 没有可化归性公理的分支类型论就不能推出全部数学。

虽然从纯逻辑推不出全部数学, 但罗素的逻辑主义在数理逻辑发展史上仍具有重要意义。

首先, 我们认为, 罗素的逻辑主义是一种科学假说。在逻辑和数学中提出假说或猜想, 是一种极其重要的方法论思想, 是促进逻辑和数学发展的有力手段。恩格斯说: “只要自然科学运用思维, 它的发展形式就是假说。一个新的事实一旦被观察到, 对同一类事实的以往的说明方式便不能再用了。从这一刻起, 需要使用新的说明方式———最初仅仅以有限数量的事实和观察为基础。进一步的观察材料会使这些假说纯化, 排除一些, 修正一些, 直到最后以纯粹的形态形成定律。如果要等待材料去纯化到足以形成定律为止, 那就是要在此以前使运用思维的研究停顿下来, 而定律因此也就永远不会出现。” (《马克思恩格斯选集》第4卷, 第336 - 337页) 罗素的逻辑主义就是这样的一种假说。数理逻辑的发展使它得到纯化和修正, 直到最后构成了关于逻辑与数学关系的科学理论。罗素是一位科学家, 以实事求是的精神对这一假说进行了探索。他从纯逻辑演算出发, 增加了两条非逻辑公理, 以分支类型论为基础, 推导出一般算术和集合论, 推导出代数和分析的主要概念。罗素的实践向我们表明, 逻辑与数学有紧密的联系。虽然从纯逻辑推不出全部数学, 但是数学要依赖逻辑: 在构成形式数学系统

时, 逻辑具有优先性, 它可以决定一个特殊的数学系统的推理过程。从这一方面来说, 罗素的逻辑主义假说并没有完全失败, 而是得到了部分的成功: 它为弄清数学与逻辑的关系提供了资料。一方面, 逻辑主义表明逻辑与数学有重大区别: 从纯逻辑即一阶逻辑演算推不出数学, 还需要增加非逻辑的公理。伟大的数理逻辑学家哥德尔在1931年证明了像《数学原理》那样的包含自然数算术的形式系统是不完全的, 这就说明, 从逻辑推出全部数学的论题在形式算术系统内无法成立。当然对其它数学系统也无法成立。由此可见, 罗素的研究为哥德尔不完全性定理的建立创造了前提。另一方面,逻辑主义所取得的成果揭示了逻辑与数学的密切关系, 说明数学中的一些主要概念可以化归为纯逻辑的概念, 并说明一阶逻辑演算是各门数学形式化的基础。

其次, 在罗素的逻辑主义中, 包含着极其重要的逻辑理论。第一, 罗素发展了弗雷格的逻辑成果, 建立了一阶逻辑演算, 成为数理逻辑的奠基人之一; 1928年, 希尔伯特和阿克曼出版了《理论逻辑基础》, 纯化和修正了罗素的系统, 总结了自罗素以来的逻辑成果特别是元逻辑的成果, 从而使一阶逻辑成为一门成熟的、科学的、经典的逻辑理论。第二, 罗素提出的简单类型论与公理集合论一起, 为解决由集合论悖论所引起的第三次数学危机起了决定性的作用。简单类型论虽有一些缺点, 但经过纯化, 现在仍然被应用于逻辑与数学的研究之中。第三, 分支类型论虽不适用于数学, 但可用于解决语义悖论, 为后来解决语义悖论的新方案如塔尔斯基的语言层次理论提供了理论前提。

逻辑主义论题虽然没有实现，但它在数理逻辑发展史上具有重要意义。罗素关于数学与逻辑关系的逻辑主义论题并不是一种抽象的玄想，而是具体的数学假说或猜想。逻辑主义论题应当说成是关于数学的逻辑主义猜想。罗素是一位科学家，以实事求是的精神对这一猜想进行了探索。他从纯逻辑演算出发，增加了两条非逻辑公理，以分支类型论为基础，推导出一般算术和集合论，推导出代数和分析的主要概念。罗素的实践向我们表明，逻辑与数学有紧密的联系。虽然从纯逻辑推不出全部数学，但是数学要依赖逻辑，在构成形式数学系统时，逻辑具有优先性，它可以决定一个特殊的数学系统的推理过程。从这一方面来说，罗素的逻辑主义猜想并没有完全失败，它得到了部分的成功，为弄清数学与逻辑的关系提供了资料。这是逻辑主义的主要贡献。此外，分支类型论虽不适用于数学，但可用于解决语义悖论，为后来解决语义悖论的新方案提供了理论前提。简单类型论虽有一定的缺点，但仍不失为一种科学理论，现在仍然被应用于逻辑与数学的研究之中。

在逻辑和数学中提出猜想，是一种极其重要的方法论思想，是促进逻辑和数学发展的有力手段。例如，哥德巴赫猜想自提出以来取得了重大的进展，现在已在向“1＋1”冲刺，这对素数理论的发展具有不可估量的意义。罗素的逻辑主义论题可以同数学史上的各种著名猜想如哥德巴赫猜想相媲美。数理逻辑的发展使这一论题得到修正，直到最后构成了关于逻辑与数学关系的科学理论。一方面，逻辑主义表明逻辑与数学有重大区别，从纯逻辑即一阶逻辑演算推不出数学，还需要增加非逻辑的公理。伟大的数理逻辑学家哥德尔在1931年证明了像《数学原理》那样的包含自然数算术的形式系统是不完全的，这就说明，逻辑主义论题在形式算术系统内无法成立。当然对其他数学系统也无法成立。由此可见，罗素的研究为哥德尔不完全性定理的建立创造了前提。另一方面，逻辑主义所取得的成果揭示了逻辑与数学的密切关系，说明数学概念可以化归为纯逻辑的概念，并