高中数学必修四任意角ppt课件
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1.1.1《任意角》课件(人教A版必修4)
5.与1 991°终边相同的最小正角是_____. 【解析】∵与1 991°终边相同的角β=1 991°+ k²360°,（k∈Z）,∴0°＜1 991°+k²360°≤360°
191 ＜k≤ 191 又k∈Z, 即 -5 -4 , 360 360 ∴k=-5,∴与1 991°终边相同的最小正角是
)
(B)钝角是第二象限角
(C)终边相同的角一定相等 (D)不相等的角，它们的终边必不相同 【解析】选B.因为钝角α满足90°＜α＜180°，所以角α的 终边一定在第二象限.
3.若α 是第四象限角，则180°+α 一定是（ (A)第一象限角 (B)第二象限角
）
(C)第三象限角
(D)第四象限角
【解析】选B.方法一：∵α是第四象限角 ∴-90°+k²360°＜α＜k²360° ∴90°+k²360°＜180°+α＜180°+k²360°（k∈Z） 方法二：由角的运算知，角α与角180°+α关于原点对称，即
∴θ=120°或240°.
7.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并 判断它们是第几象限角： （1）918°;(2)-624°18′. 【解析】(1)∵918°=2〓360°+198°,
而198°∈(180°,270°），
∴918°与198°的终边相同，是第三象限角. (2)∵-624°18′=-2〓360°+95°42′, 又95°42′∈(90°,180°）， ∴-624°18′与95°42′的终边相同，是第二象限角.
n²360°,
∴ 是第三象限角. 3 答案：一、三、四
4.（15分）若集合A={α ｜k²180°+30°<α <k²180°+90°, k∈Z}，集合B={β ｜k²360°-45°<β <k²360°+45°， k∈Z}，求A∩B.
1.1 任意角和弧度制 课件(34张PPT) 高中数学必修4(人教版A版)
圆心角为30°时
圆心角为60° 时
结论：圆心角不变则比值不变
比值的大小只与角度大小有关， 我们可以利用这个比值来度量 角，这就是度量角的另外一种 单位制——弧度制。
弧度制的定义
定义：长度等于半径 长的圆弧所对的圆心 角叫做弧度的角，用 符号1 rad表示，读 作1弧度。这种以弧 度为单位来度量角的 制度叫做弧度制。
3、终边相同的角
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合
S { | k 360 , k Z}
0
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 整数个周角的和. 注意：1 、α是任意的角（可以是正的，可以 是负的，也可以是0o） 2、k取整数
例l、在0°～360°范围内，找出与下列各角终 边相同的角，并判定它们是第几象限角： ①480° ② -150° ③ 665° ④-950° 解：① 480°=120°+1×360° 与120°的角终边相同，是第二象限角 ② -150°=210°+(-1)×360° 与210°的角终边相同，是第三象限角 ③ 665°=305°+360° 与305°的角终边相同，是第四象限角 ④ -950° =130°+(-3)×360° 与130°的角终边相同，是第二象限角
B' R B O A r L A'
l
即时问答：下列四个图中的圆心角的弧度数 分别是多少？
问题：
（1）若弧是一个半圆，圆心角所对的 弧度数是多少？若是一个圆呢？
（2）正角的弧度数是什么数？负角呢？ 零角呢？角的正负由什么决定？
角度制与弧度制不同之处
1.定义方式不同：弧度制是以“弧度”为单 位的度量角的单位制，角度制是以“度”为 单位来度量角的单位制；1°≠1 弧度； 2. 进位制不同：弧度制是十进制，而角度 制是六十进制.
苏教版高中数学必修4《任意角》参考课件1
330 30 360 390 30 (1) • 360
30 --3245K24 • 360 K Z
| 30 k • 360 , k Z
象限角的表示
第一象限 | k 360 90 k 360, k Z
第二象限
| 90 k 360 180 k 360 , k Z
| 225 k • 360 , k Z
S＝S1 S2
| 90 n •180 , n Z
写出终边在直线Y=X上的角的集合
Y
X O
写出终边在直线Y=X上的角的集合
S＝S1 S2
| 45 k • 360 , k Z | 225 k • 360 , k Z
1.1.1 任意角
在初中阶段我们是如何定义 角这个平面图形的？
具有公共端点的两条射线所组成的 图形----角的静态定义
学习过哪些不同范围的角？
锐角
直角
钝角
平角
角与角度值
周角
从旋转的角度描述一下怎样可以得到一个角？
旋转游戏
1.初始时面朝的方向相同吗？
2.终止时面朝的方向怎样？
3.旋转的圈数不同有没有区别？
| 90 n •180 , n Z
终边在直线Y=X上的角的集合
| 45 n •180 , n Z
Y
O
X
Y X
O
写出终边在坐标轴上的角的集合
| 0 n • 90, n Z | n • 90, n Z
Y
X O
可以写出其它与-30 角的终边相同的角吗？
角图形
角的大小
实数
写出终边在Y轴上的角的集合
S1 | 90 k • 360 , k Z | 90 2k •180 , k Z
30 --3245K24 • 360 K Z
| 30 k • 360 , k Z
象限角的表示
第一象限 | k 360 90 k 360, k Z
第二象限
| 90 k 360 180 k 360 , k Z
| 225 k • 360 , k Z
S＝S1 S2
| 90 n •180 , n Z
写出终边在直线Y=X上的角的集合
Y
X O
写出终边在直线Y=X上的角的集合
S＝S1 S2
| 45 k • 360 , k Z | 225 k • 360 , k Z
1.1.1 任意角
在初中阶段我们是如何定义 角这个平面图形的？
具有公共端点的两条射线所组成的 图形----角的静态定义
学习过哪些不同范围的角？
锐角
直角
钝角
平角
角与角度值
周角
从旋转的角度描述一下怎样可以得到一个角？
旋转游戏
1.初始时面朝的方向相同吗？
2.终止时面朝的方向怎样？
3.旋转的圈数不同有没有区别？
| 90 n •180 , n Z
终边在直线Y=X上的角的集合
| 45 n •180 , n Z
Y
O
X
Y X
O
写出终边在坐标轴上的角的集合
| 0 n • 90, n Z | n • 90, n Z
Y
X O
可以写出其它与-30 角的终边相同的角吗？
角图形
角的大小
实数
写出终边在Y轴上的角的集合
S1 | 90 k • 360 , k Z | 90 2k •180 , k Z
高中数学必修四：1.1.1《任意角》 PPT课件 图文
精讲领学
例题1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 360~720范围的角写出来.
( 1 ) 6 0 ;( 2 ) 2 1 ;( 3 ) 3 6 3 1 4
解: ( 1 ) S {| k 3 6 0 6 0 , k Z }300,60,420
( 2 ) S {| k 3 6 0 2 1 , k Z }21,339,699
2、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A．30° B．-30° C．630° D．-630°
3、把－1485°转化为α＋k·360° （0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ） A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
反馈固学
1.1.1 任意角
第一课时
（1）推广角的概念；理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
思考：那么工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度 如何表示才比较合适？
逆时 针
4、下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
5：任意两个角的数量大小可以相加、相减.
例如50°＋80°=130°, 50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
130°是以50°角的终边为始边，逆时针旋转80°所成的角. －30°是以50°角的终边为始边，顺时针旋转80°所成的角.
注3：(1) 为任意角 (2) k Z这一条件必不可少；
(3) 终边相同的角不一定相等， 终边相等的角有无数多个，它们相差3600的整数倍.
人教A版高中数学必修四课件1.2.1任意角的三角函数.ppt
cos
2
3 2
6， 4
tan
3
15 3
.
(3) 当 y 5 时，P（ 3 ， 5），r 2 2 ，
cos 6 ，tan 15 .
4
3
综上所述：
(1) 当 y 0 时，cP（os 3，1， 0）ta，nr 03.
(2) 当 y 5 时 ，coP（s 3 ，6 ，5 ）tan，r2 125，.
sin 5 3 ,
3
2
cos 5 1 ,
32
tan 5 3.
3
例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：
(1) 5 ; (2) ; (3) 3 .
3
2
解：（2）∵ 当 时，在直角坐标系中， y 角 的终边与单位圆的交点坐标为 P(1, 0).
sin 0, cos 1, tan 0.
y
(1)正弦:sinα=y ;
P(x,y)
α
(2)余弦:cosα=x ;
0
A(1,0) x (3)正切:tanα= (yx≠0).
x
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位圆 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们 统称为三角函数。
三角函数的定义域、值域
|
OP0
|5
P0(-3,-4)
x cos 3
三角函数的坐标定义 ：(见教材13页)
一般地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原
点(顶点)的距离为r>0，则
sinα=y ;cosα= x ;tanα= .y
r
r
x
例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.
高中数学必修4《第一章三角函数》精品课件：1.1.1任意角
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
S={ －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°}
课堂小结
Office组件之word2007
1.角的概念推广 正角、负角、零角、象限角
2.终边相同的角
3.终边在x轴、y轴上的角的表示
4.终边在各个象限上的角的表示
Office组件之word2007
思考2：终边在x轴上的角的集合表示
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
新课教学
Office组件之word2007
思考3：终边在y轴非正半轴、非负半轴
上的角分别如何表示？
y轴非负半轴:α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴非正半轴:α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考4：终边在y轴上的角的集合表示
y
x o
知识探究（三）：终边相同的角 Office组件之word2007
思考1：－32°，328°，－392°是第几 象限的角？这些角有什么内在联系？
y
328° o
－392° x
－32°
新课教学
Office组件之word2007
思考2：与－32°角终边相同的角有多 少个？这些角与－32°角在数量上相 差多少？
Office组件之word2007
1.1.1 任意角
知识探究（一）：角的概念的推广
Office组件之word2007
复习：角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从
一个位置旋转到另一个位置所组成的 图形（如图）.
B
始边
终边
A O
顶点
新课教学
Office组件之word2007
思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋
人教高中数学必修四1.1.1-任意角课件
四、终边相同的角及其表示方法
注：所有与角 终边相同的角，连同角
在内，可以构成一个集合
{ | k 360 0, k Z}
即任一与角 终边相同的角，都可以表示
成角 与整数个周角的和。
说明:终边相同 的角不一定相 等,相等的角终
边一定相同
例题分析：
【例1】在 0 ～ 360 间，找出与下
2)始边重合于X轴的正半轴
Ⅲ Ⅳ
则角的终边落在第几象限就是第几象限角。
如果终边落在坐标轴上则它不属于任何象限， 这样的角叫做轴上角。
做一做：
1 .在直角坐标系中，作出下列各角
（1） 30 （2）-120 °（3）-30 °
（4）120 ° （5） 240°（6） 6指90出°它们是第几象限角
列各角终边相同的角，并判定它们是第 几象限角．
（1） 120 ；（2） 6600 ；
（1） 120 ； （2）6600 ；
解：∵ 120 240 (1) 360 ∴与 120 角终边相同的角是 240 角，
它是第三象限的角；
（2）∵ 660 300 1360
∴与660 角终边相同的角是300 角，
一、任意角的概念
角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋
转到另一个位置所成的图形。记作： , ,...
B
终边
α
O
顶点
A
始边
二、角的分类：
说明：零 角的终边 正角：按逆时针方向旋转形成的角； 与始边重 合
负角：按顺时针方向旋转形成的角；
零角：如果一条射线没有作任何旋转，称为零角。
做一做
30° 是第一象限角120° 是第二象限 -120 °是第三象限角2角40° 是第三象限 -30 °是第四象限角角690° 是第四象限
高中数学人教A版必修四1.1.1【教学课件】《任意角》
【例 1】在下列说法中： ①0°～90°的角是第一象限角； ②第二象限角大于第一象限角； ③钝角都是第二象限角； ④小于 90°的角都是锐角。 ①②④ 。 其中错误说法的序号为________Leabharlann 畅言教育人民教育出版社
|必修四
【解析】①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象 限，所以①不正确。 ②120° 是 第 二 象 限 角 ， 390° 是 第 一 象 限 角 ， 显 然 390°>120°，所以②不正确。 ③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③ 正确。 ④锐角的范围是(0°，90°)，小于 90°的角也可以是零角或 负角，所以④不正确。
畅言教育
人民教育出版社
|必修四
2．对终边相同的角的概念的理解 (1)角α 是任意角。 (2)k·360°与α 之间用“＋”号，k·360°－α 可理解为k·360°＋(－α )，k∈Z
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。
(4)终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 (5)终边相同的角的应用： ①利用与角α 终边相同的角的集合，可把任意与角α 终边相同的角β 转化成 β ＝α ＋k·360°，k∈Z ， 0°≤α <360°的形式；
畅言教育
人民教育出版社
|必修四
2．与 30°角终边相同的角的集合是( A ) A．{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α |α ＝－30°＋k·360°，k∈Z} C．{α |α ＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α |α ＝－30°＋k·180°，k∈Z}
解析： 由终边相同的角的定义可知与 30°角终边相同的角的集合 是{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} 答案：A
|必修四
【解析】①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象 限，所以①不正确。 ②120° 是 第 二 象 限 角 ， 390° 是 第 一 象 限 角 ， 显 然 390°>120°，所以②不正确。 ③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③ 正确。 ④锐角的范围是(0°，90°)，小于 90°的角也可以是零角或 负角，所以④不正确。
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|必修四
2．对终边相同的角的概念的理解 (1)角α 是任意角。 (2)k·360°与α 之间用“＋”号，k·360°－α 可理解为k·360°＋(－α )，k∈Z
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。
(4)终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 (5)终边相同的角的应用： ①利用与角α 终边相同的角的集合，可把任意与角α 终边相同的角β 转化成 β ＝α ＋k·360°，k∈Z ， 0°≤α <360°的形式；
畅言教育
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|必修四
2．与 30°角终边相同的角的集合是( A ) A．{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α |α ＝－30°＋k·360°，k∈Z} C．{α |α ＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α |α ＝－30°＋k·180°，k∈Z}
解析： 由终边相同的角的定义可知与 30°角终边相同的角的集合 是{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} 答案：A
高中数学人教版A版必修4《任意角的三角函数》优质PPT课件
第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
人教A版高中数学必修四任意角的三角函数教学PPT精品课件
概念拓展
课堂小结
类比
当r=1
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念再探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
单位圆：
r=1
直角坐标系中，以原点为圆
O
x
心，以单位长为半径的圆。
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念形成】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
O
x
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念复习】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
直角三角形中 线段比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念初探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
y
O
x
线段比--坐标比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
类比
？
演示，观察 相应的坐标比值。
人教A版必修四第一章
《任意角的三角函数》
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
O r=1 P
x
〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰 〰〰 〰〰〰
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
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5：任意两个角的数量大小可以相加、相减.
例如50°＋80°=130°, 50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
130°是以50°角的终边为始边，逆时针旋转80°所成的角. －30°是以50°角的终边为始边，顺时针旋转80°所成的角.
1.任意角的概念
(1)按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 叫 做 正 角; (2)按顺时针方向旋转形成 的角叫做负角;
③当角的始边相同时，角相等则终边相同，但终边相同的角 不一定相等.
④引入正、负角的概念后，角的加减运算类似于实数的加减运算.
2.象限角和轴线角
为进一步研究角的需要，常在直角坐标系内讨论角：
我们使角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合，
角α的终边落在第几象限，则称角α 为第几象限角； 角α的终边落在坐标轴上，则称角α 为轴线角；
注3：(1) 为任意角 (2) k Z这一条件必不可少；
(3) 终边相同的角不一定相等， 终边相等的角有无数多个，它们相差3600的整数倍.
问：终边与始边重合的角是零角吗？表示出符合条件的所 有角构成的集合.
终边和始边重合的角不一定是零角，又如360°, －720°等.
|k360,k Z
精讲领学
第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ y
o
“第一象限角”一定是“锐角”？
x
☆象限角只能反映角的终边所在象限， 不能反映角的大小.
即时练习
练习1：-50°，405°，210°, -200°， - 450°分别
是第几象限的角？
y
y
y
x o
－ 50°
x o
405°
210° x
o
y
y
x
o －200°ຫໍສະໝຸດ x o －450°合作研学
思考:在直角坐标系中，与135°角的终边相同的角有多 少个呢？这些角之间存在什么内在联系？
， 5 8 5 ， 2 2 5 ， 1 3 5 ， 4 9 5 ， 8 5 5 ，
这些角与135°在数量上相差多少度？ →终边相同的角，度数相差360°的整数倍
可用集合S={α|α=135°+ k·360°, k∈Z}来 表示所有与135°的角终边相同的角：
终边
B
“旋转”形成角
顶点 o
始边
A
在不引起混淆的情况下，角或∠ ，可简记成 ；
注1：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，角的 四个“要素”是：顶点、始边、终边和旋转方向.
思考2：一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方 向旋转，也可以按顺时针方向旋转.
你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形 成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角是否相等？
例题1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 360~720范围的角写出来.
( 1 ) 6 0 ;( 2 ) 2 1 ;( 3 ) 3 6 3 1 4
解: ( 1 ) S {| k 3 6 0 6 0 ,k Z }300,60,420
( 2 ) S {| k 3 6 0 2 1 ,k Z }21,339,699
…… 当k= -1时，α表示－225°的角； 当k=0时，α表示135°的角； 当k=1时，α表示495°的角； ……
y
x o
3.终边相同的角 一般地，所有与角 终边相同的角，连同角 在内所构
成的集合S可以表示为：S | k 3600 , k Z
即任一与 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和.
顺时 针
旋转方向也有顺时针与逆时针
自主学习
❖ 请同学们认真阅读教材P2-3页，思考并回答以下问题： ❖ 1.什么是正角，反角，零角? ❖ 2.什么是任意角，任意角的取值范围是多少? ❖ 3.什么是象限角，第一象限角取值为0-90度对么？
精讲领学
任意角：一条射线绕着它的端点在平 面内旋转形成的图形
( 3 ) S { | k 3 6 0 3 6 3 1 4 , k Z } 3 5 6 4 6 ,3 1 4 ,3 6 3 1 4
反馈固学
1．α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在 A．第一或第三象限 C．第二或第四象限
(A)
B．第一或第二象限 D．第三或第四象限
2、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A．30° B．-30° C．630° D．-630°
温故知新
初中角的定义： ①从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形(图1)
.在平面几何中，角的取值范围如何？ 角的范围: 00~3600
●
锐角
●
直角
●
钝角
╭●╮
平角
●
周角
②也可以说角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置 旋转到另一个位置所组成的图形（图2）.
图1
图2
情景导入 体操运动员，跳水运动员旋转的周数如何用角度计算 来表示？
1.1.1 任意角
第一课时
（1）推广角的概念；理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
思考：那么工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度 如何表示才比较合适？
逆时 针
练习2：作出角300 ， 390， 0-30 3 ， 0
提示：先画一条射线作为角的始边（在直角坐标系中，
以x轴正半轴为始边），再由角的正负确定角的旋转
方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，最后画
y 出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注. -3300
3900 o
300 x
“四要素”是：顶点、始边、终边和旋转方向.
60° －60°
如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？
1.任意角的定义：
正角：按逆时针方向旋转形成的角 任 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角
零角：一条射线没有作任何旋转形成的角 (零角的始边与终边重合)
注2：①角度的范围不再限于00~3600 ；
②确定任意角的度数要抓住旋转方向及旋转圈数；
3、把－1485°转化为α＋k·360° （0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ） A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
反馈固学
4、下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
例如50°＋80°=130°, 50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
130°是以50°角的终边为始边，逆时针旋转80°所成的角. －30°是以50°角的终边为始边，顺时针旋转80°所成的角.
1.任意角的概念
(1)按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 叫 做 正 角; (2)按顺时针方向旋转形成 的角叫做负角;
③当角的始边相同时，角相等则终边相同，但终边相同的角 不一定相等.
④引入正、负角的概念后，角的加减运算类似于实数的加减运算.
2.象限角和轴线角
为进一步研究角的需要，常在直角坐标系内讨论角：
我们使角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合，
角α的终边落在第几象限，则称角α 为第几象限角； 角α的终边落在坐标轴上，则称角α 为轴线角；
注3：(1) 为任意角 (2) k Z这一条件必不可少；
(3) 终边相同的角不一定相等， 终边相等的角有无数多个，它们相差3600的整数倍.
问：终边与始边重合的角是零角吗？表示出符合条件的所 有角构成的集合.
终边和始边重合的角不一定是零角，又如360°, －720°等.
|k360,k Z
精讲领学
第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ y
o
“第一象限角”一定是“锐角”？
x
☆象限角只能反映角的终边所在象限， 不能反映角的大小.
即时练习
练习1：-50°，405°，210°, -200°， - 450°分别
是第几象限的角？
y
y
y
x o
－ 50°
x o
405°
210° x
o
y
y
x
o －200°ຫໍສະໝຸດ x o －450°合作研学
思考:在直角坐标系中，与135°角的终边相同的角有多 少个呢？这些角之间存在什么内在联系？
， 5 8 5 ， 2 2 5 ， 1 3 5 ， 4 9 5 ， 8 5 5 ，
这些角与135°在数量上相差多少度？ →终边相同的角，度数相差360°的整数倍
可用集合S={α|α=135°+ k·360°, k∈Z}来 表示所有与135°的角终边相同的角：
终边
B
“旋转”形成角
顶点 o
始边
A
在不引起混淆的情况下，角或∠ ，可简记成 ；
注1：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，角的 四个“要素”是：顶点、始边、终边和旋转方向.
思考2：一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方 向旋转，也可以按顺时针方向旋转.
你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形 成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角是否相等？
例题1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 360~720范围的角写出来.
( 1 ) 6 0 ;( 2 ) 2 1 ;( 3 ) 3 6 3 1 4
解: ( 1 ) S {| k 3 6 0 6 0 ,k Z }300,60,420
( 2 ) S {| k 3 6 0 2 1 ,k Z }21,339,699
…… 当k= -1时，α表示－225°的角； 当k=0时，α表示135°的角； 当k=1时，α表示495°的角； ……
y
x o
3.终边相同的角 一般地，所有与角 终边相同的角，连同角 在内所构
成的集合S可以表示为：S | k 3600 , k Z
即任一与 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和.
顺时 针
旋转方向也有顺时针与逆时针
自主学习
❖ 请同学们认真阅读教材P2-3页，思考并回答以下问题： ❖ 1.什么是正角，反角，零角? ❖ 2.什么是任意角，任意角的取值范围是多少? ❖ 3.什么是象限角，第一象限角取值为0-90度对么？
精讲领学
任意角：一条射线绕着它的端点在平 面内旋转形成的图形
( 3 ) S { | k 3 6 0 3 6 3 1 4 , k Z } 3 5 6 4 6 ,3 1 4 ,3 6 3 1 4
反馈固学
1．α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在 A．第一或第三象限 C．第二或第四象限
(A)
B．第一或第二象限 D．第三或第四象限
2、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A．30° B．-30° C．630° D．-630°
温故知新
初中角的定义： ①从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形(图1)
.在平面几何中，角的取值范围如何？ 角的范围: 00~3600
●
锐角
●
直角
●
钝角
╭●╮
平角
●
周角
②也可以说角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置 旋转到另一个位置所组成的图形（图2）.
图1
图2
情景导入 体操运动员，跳水运动员旋转的周数如何用角度计算 来表示？
1.1.1 任意角
第一课时
（1）推广角的概念；理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
思考：那么工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度 如何表示才比较合适？
逆时 针
练习2：作出角300 ， 390， 0-30 3 ， 0
提示：先画一条射线作为角的始边（在直角坐标系中，
以x轴正半轴为始边），再由角的正负确定角的旋转
方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，最后画
y 出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注. -3300
3900 o
300 x
“四要素”是：顶点、始边、终边和旋转方向.
60° －60°
如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？
1.任意角的定义：
正角：按逆时针方向旋转形成的角 任 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角
零角：一条射线没有作任何旋转形成的角 (零角的始边与终边重合)
注2：①角度的范围不再限于00~3600 ；
②确定任意角的度数要抓住旋转方向及旋转圈数；
3、把－1485°转化为α＋k·360° （0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ） A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
反馈固学
4、下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等