高等数学提纲

高数笔记

一、函数

1.求定义域和值域

求定义域，注意函数自身性质，例如arcsinx (1x 1≤≤-)

求值域，注意函数自身性质如1sinx ≤，还可以运用均值定理求值域 2.反函数定义域值域求解

求定义域，尤其是分段函数，要根据原函数的值域更改定义域 求值域，要注意将利用原函数的定义域求反函数的值域 3.求抽象函数的解析式

主要是换元和赋值，例如，令 t = x - 1 、令y = -y 、令x = a

形如)()(f lim x g x a

n →=，求间断点极限时候可以变换不同的g(x)变式

4.映射

单射：当

x

2

1

x ≠时，

y

2

1

y ≠，例如单调或者间断单调

性质：单射才有逆映射

5.函数连续性

连续函数×连续函数=连续函数

二、极限

1.定义证明极限：任意0>ε，要使ε<-A x )(f ，即2

1x ε

<

-，可令2

ε

δ=

，当δ<-<10x 时，则有

ε<-A x f )(，即A x f a

=→)(lim x

2.利用公式求极限

特别注意：

x

2

、 -∞→x 、0

x -

→

一定不能少了负号

（1）等价无穷小公式，()[]

abx x b

~1a 1-+、x

x x 2

21~

1cos ~cos ln - （2）∞→x 时候，带有

x

1

，可以考虑换元成等价无穷小，若为多项式可以考虑抓大头 （3）当多项式相乘还带指数根号形式，可以考虑取对数 （4）幂指函数形式，首先考虑

e =∞

1

重要极限，再考虑取对数

（5）洛必达法则，注意数列不能求导，可以代数时候停止求导，如2

tan a π

=∞rc 是需要停止的

（6）分子有理化，平方差公式

（7）数列无穷项，夹逼或者拆分为减法

（8）带绝对值的求解，需要分情况求左右极限来确定 （9）三角函数求极限

①可以考虑加上πn ,再利用有理化 ②洛必达

③和积化差公式

2cos 2sin

2sin sin b a b a b a ++=+ 2cos

2-sin 2sin -sin b

a b a b a +=

2cos 2cos 2cos cos b a b a b a -+=+ 2

sin

2sin 2-cos -cos b

a b a b a +-= 3.函数连续性

（1）间断点，寻找间断点：①函数自身性质：定义域 值域 ②分母不能为零 ③等价无穷小要分开讨论

a

n →lim 注意其中的a 的值

（2）渐近线，判断间断点类型后后直接写 4.函数极限存在性

（1）证明极限不存在：找出两列子列

（2）证明极限存在：①有界性，常用数学归纳法，还可以用均值定理 ②单调性，利用定义x

x n

n 1+、

x

x n

n -+1

判断

5.由一个极限值求另一个极限值

利用等式α+=⇒=→A ))((())((g lim x f g A x f a

n 带入式子中解出f(x)

三、导数

1.复合函数求导

特别注意：不要漏了对复合函数中的x 1和x

21 2.参数方程求导

极坐标方程可以根据x y x sin ,cos x ρρ==换成参数方程后再求 3.高阶导

（1）对数函数，拆分为加减法

（2）尼布莱茨公式，不要掉了

c

、2

6

16

c

（3）相关变化率

写出关系式，对被除的自变量进行求导 （4）求函数的单调性

可以运用在求根的个数上

（5）二阶导，一阶导后可以代入原来关系式简化运算 4.导数定义式的利用：注意其中的x ∆前的符号要相对应

x x f x x f x f ∆-∆+=

→∆)()()(lim 0

x 时常等价于0)

0()(lim 0

x --→x f x f

涉及复合抽象函数的求导时候，可以根据定义式来拆分子得出多个导数

5.反函数求导

[]

()

y f x ''

1

1)(f

=

-

6.求导公式

x

x 2

'11)sin (arc +=

[]x

x 2

'11arcsin +-

=

7.极值问题

当在某一点函数的导数没有定义时，而它的左右导数分别大于零，小于零，那么这一点是极大值

8.求导问题

偶函数的导数必定是奇函数，奇函数的原函数必定是偶函数。 偶函数的原函数无法确定，奇函数的导数无法确定。 周期函数，单调函数都无法确定。

四、微分

1.对于dx x dy f

)('

=，不要掉了dx

五、微分中值定理

1.介值定理：若f(x)在[a,b]连续，且f(a)=A ，f(b)=B ，则()b ,a ∈∀ξ，使得C =)(f ξ,其中C 介于A 和B 之间

2.零点定理：求等式时，可以将式子移到一边，构造F(X),带入值x

1

、

x

2

，可以证明ξ的存在性，证明根的个

数：构造函数，配合零点定理，结合大头

3.证明含有ξ的等式

辅助函数：[]'

')(xf )()(f x x xf x =+ x

x f x xf x f )

()()('

- )()()(x f x f x f e

x

λλ=+

涉及()ξ'f 的，考虑拉格朗日定理

4.三个微分中值定理的规范使用方法

①罗尔定理：在[a,b]上连续，在（a,b ）上一阶可导，f(a)=f(b)，那么存在ξ∈（a,b ）使，f ’(ξ)=0

②拉格朗中值定理：在[a,b]上连续，在（a,b ）上一阶可导，那么存在ξ∈（a,b ）使，f ’(ξ）（a-b ）= f(a)-f(b) ③柯西中值定理：对于f(x)和F(x)均有：在[a,b]上连续，在（a,b ）上一阶可导，那么存在ξ∈（a,b ），使得

）

（’）

（’ξξF f )()()()(f =--b F a F b f a

六、洛必达法则

1.一般适用于零比零未定式