九年级下册《圆》知识点总结

圆

1．圆的认识

（1）以点O 为圆心的圆叫作“圆O ”，记为“⊙O ”。 （2）线段OA 、OB 、OC 都是圆的半径，线段AC 为直径。

（3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦。直径是圆中最长的弦。 （4）圆上任意两点间的部分叫做弧。

小于半圆周的圆叫做劣弧。大于半圆周的圆弧叫做优弧。

（5）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 就是圆心角。 2．圆的对称性

（1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知

道其中2

个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径②AB CD ⊥③CE DE =④弧BC =弧BD ⑤弧AC =弧

AD

中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 3.圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心

角

所对的弦

相等，所对的弧相等，弦心距相等。即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；

③

OC OF =；④弧BA =弧BD

上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

4．圆周角

（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。 （2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。90°的圆周角所对

的弦是圆的直径。

（3）同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。 （4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。 （5）若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直

角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB == ∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角

形中斜边

F

E D C

B

A

O

O E

D

C

B A

O

C

D

A

B

C

B

A O

D

C

B

A

O

C

B

A

O

C

B

A

O

r d

d C

B

A

O

上的中线等于斜边的一半的逆定理。

5．点与圆的位置关系

设⊙O 的半径为r ，点圆心O 的距离为d ，则 （1）点在圆外⇔d r > （2）点在圆上⇔d r = （3）点在圆内⇔d r < 6．（1）过一点可以画无数个圆；

过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上； 过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。

（2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 （3）一个三角形的外接圆是唯一的。 7．直线与圆的位置关系

（1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。

（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．

（3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．

如上图，设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，从图中可以看出： 若d r >⇔直线l 与⊙O 相离； 若d r =⇔直线l 与⊙O 相切； 若d r <⇔直线l 与⊙O 相交； 8．切线

（1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线 证明切线常用的方法：1.连半径，证垂直；2.作垂直，证半径。 （2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就

能推出最后一个。

（3）切线长：切线上某一点与切点之间的线段的长. 性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点与圆心的连

线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线∴PA PB =，PO 平分BPA ∠.

（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。这个三角形叫做这个圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。 9.圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补. 即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形

N

M

A

O

P

B

A O

∴180C BAD ∠+∠=︒180B D ∠+∠=︒

10．圆和圆的位置关系

1）两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含。（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。

2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如其中（4）又叫做外切，（5）又叫做内切。

3

）如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如（6）所示。

11.圆内正多边形的计算

（1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角

形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：

::1:3:2OD BD OB =；

（2）正四边形::1:1:2OE AE OA =： （3）正六边形::1:3:2AB OB OA =. 12．圆中的计算问题 （1）弧长的计算公式为：180

n r

l π=

（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

扇形面积的计算公式：21

3602n r S lr π==

n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积

（3）圆锥的母线：把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。

圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.

（4）圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。

圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，

即S=

πra

圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和.

即S S S =+侧表底=2

ra r ππ+

（1）两圆外离d R r ⇔>+； （2）两圆外切d R r ⇔=+； （3）两圆外离R r d R r ⇔-<<+； （4）两圆外离d R r ⇔=-； （5）两圆外离0d R r ⇔≤<-

D

C

B

A

O

E

C

B

A

D

O

B

A

O