土力学 第6章 土的抗剪强度
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f
莫尔把f=f（）的曲线，称为摩尔破坏包线。
f=f()可用直线（库仑定律 f c tg ）代替，
故称为莫尔—库仑强度理论。
摩尔——库仑强度判断土单元的状态
f
3、破坏 2、临界状态（极限平衡状态） 1、安全（弹性平衡状态）
§6.3 土的极限平衡条件
一、摩尔应力圆
某一单元土体上的作用力如下右图所示，将作用于△ABC的 各力分别在水平和垂直方向投影（合力为零），根据静力平衡 条件可得：
1
3
tan2 (450
2
)
2c
•
tan(450
2
)
3
1
tan2 (450
2
)
2c
•
tan(450
2
)
教材P114式 (6-15)更正
三、土的极限平衡条件
由图直角△ABO1外角与内角 的关系可知：
2 90 0
即：
f c tg A
450
2
c
B
O
2
O1
由此可见：剪切破裂 c cot 3
3
1
二、土的极限平衡应力状态
• ①τ＜τf时，弹性平衡状态 ，整个摩尔圆位于抗剪强度
线的下方，说明该点在任何
3
1
平面上的剪应力都小于土所
能发挥的抗剪强度，因此不
会发生剪切破坏。
• ②τ=τf时，极限平衡状态，摩尔圆与抗剪强度线相切于A点 ，表明通过A点的任意平面上的剪应力都等于抗剪强度，该
点就处于极限平衡状态。
第六章 土的抗剪强度
主要内容
§6.1 土体强度的工程应用 §6.2 摩尔—库仑强度理论 §6.3 土的极限平衡条件 §6.4 抗剪强度指标的确定 §6.5 孔隙压力系数 §6.6 砂性土的剪切性状 §6.7 黏性土的剪切性状
重点内容
§6.1 土体强度的工程应用
大量的工程实践和室内试验表明：建筑物地基和土工建 筑物的破坏，绝大多数是属于剪切破坏，即沿着某一滑动 面产生破坏。
而有效应力是由土颗粒之间的黏结作用和相互之间的咬合
作用组成。
黏结作用产生的力称为土的黏聚力（内聚力），
咬合作用产生的咬合与摩擦称为土的内摩擦角。
σ′
u ' u ' u 'u u ' u
a
a
σ′
土中一点的应力状态
土体内某一点的应力状态如下 ：
1—竖向应力(最大主应力) 3—侧向应力(最小主应力) 剪切面上为
四、土的极限平衡条件的应用 根据上述三式，分别计算出极限平衡所能承受
的σ3f与当时所施加的σ3来作比较，即可判断出土体 是处于何种状态：
（1）当σ3>σ3f，土体处于稳定平衡状态；
（2）当σ3=σ3f，土体处于极限平衡状态；
（3）当σ3<σ3f，土体处于破坏状态；
四、土的极限平衡条件的应用
根据上述三式，计算出达到极限平衡所需要的 φm与当前土体的φ来作比较，即可判断出土体是处 于何种状态：
（1）当φm<φ，土体处于稳定平衡状态；
（2）当φm=φ，土体处于极限平衡状态；
§6.1 土体强度的工程应用
坑壁支护
基坑坑壁滑动破坏
§6.1 土体强度的工程应用
滑裂面
边坡滑坡
因此，剪切破坏是土体破坏的主要形式。
土的抗剪强度：土体抵抗剪切破坏的极限能力。
土的重要力学性质指标
§6.2 摩尔——库仑强度理论
前面我们从太沙基的土有效应力原理已经知道：土体承受
的上覆荷载主要由土颗粒的有效应力承担。
—法向应力
1
—剪应力
3
3
1
3
1
一、库仑定律
库仑经过试验，得出以下关系式：
砂土： f tg 黏性土： f c tg
3
1
• 在一定载荷范围内，土的抗剪强度与法向应力之 间呈直线关系。
• 其中C、 被称为土的抗剪强度指标。
• 为剪切破裂面与大主应力的作用面成夹角，其
值等于（45°+φ/2）的。
面与大主应力的作用
面成（45°+φ/2）的夹
1
角。
四、土的极限平衡条件的应用 根据上述三式，分别计算出极限平衡所能承受
的σ1f与当时所施加的σ1来作比较，即可判断出土体 是处于何种状态：
（1）当σ1<σ1f，土体处于稳定平衡状态；
（2）当σ1=σ1f，土体处于极限平衡状态；
（3）当σ1>σ1f，土体处于破坏状态；
3
c cot
c
B
O
2
O1
wenku.baidu.com
2
c cot 3
1
1(1 sin) 3 (1 sin) 2c cos
三、土的极限平衡条件
整理下面公式：
1 3
s in
1
3
2
c cot
2
1(1 sin) 3 (1 sin) 2c cos
得出以下三式：
sin
1 3
2c • cot 1 3
此三式均可用于 判断土体是否处 于极限平衡状态
A
向应力和剪应力。
A
1
B
3
C
2
O
O1
3
1
§6.3 土的极限平衡条件 我们把库仑公式强度线绘制于同一坐标系
中，则该强度线为摩尔圆的切线。
f c tg
A
c
2
B
O
O1
c cot 3
1
摩尔——库仑强度判断土单元的状态
f
3、破坏 2、临界状态（极限平衡状态） 1、安全（弹性平衡状态）
摩尔——库仑强度判断土单元的状态
砂土
黏性土
f
f
c
C=0
f tg
f c tg
一、库仑定律
f c tg • 库仑定律的总应力表达式
f c' 'tg'
•库仑定律的有效应力表达式 •C′称为土的有效黏聚力
•′称为土的有效内摩擦角
饱和土有效应力： - u
二、摩尔——库仑强度理论
• 莫尔认为土中某点达到该点的抗剪强度时，土即发生破坏。
• ③τ＞τf时，剪切破坏状态，抗剪强度线是摩尔圆的一条割 线，该点的任意平面上的剪应力已超过了土的抗剪强度，实 际上这种情况是不可能存在的。
三、土的极限平衡条件
下图是土体处于极限平衡条件（即破坏临界状态） 的关系图。
由图直角 △ABO1可知：
f c tg
sin AO1
A
BO1
1 3
1
2
3 • dl sin dl • sin dl • cos 0 水平方向合力
1 • dl cos dl • cos dl • sin 0 垂直方向合力
dlsin
1
3
3
1
B
3
A
C
1
dlcos
§6.3 土的极限平衡条件
一、摩尔应力圆
由上述两式得：
3 sin sin cos 0
1 cos cos sin 0
解上述联立二元一次方程式得：
法向应力
1 2
1
3
1 2
1
3 cos2
剪应力
1 2
1
3 sin 2
§6.3 土的极限平衡条件
在τ-σ坐标中，以[1/2(1 +3 )，0]为圆心、
1/2(1－3 )为半径作圆
摩尔 应力圆
则A点的坐标（σa，τa）
即为△ABC斜面AB上的法
莫尔把f=f（）的曲线，称为摩尔破坏包线。
f=f()可用直线（库仑定律 f c tg ）代替，
故称为莫尔—库仑强度理论。
摩尔——库仑强度判断土单元的状态
f
3、破坏 2、临界状态（极限平衡状态） 1、安全（弹性平衡状态）
§6.3 土的极限平衡条件
一、摩尔应力圆
某一单元土体上的作用力如下右图所示，将作用于△ABC的 各力分别在水平和垂直方向投影（合力为零），根据静力平衡 条件可得：
1
3
tan2 (450
2
)
2c
•
tan(450
2
)
3
1
tan2 (450
2
)
2c
•
tan(450
2
)
教材P114式 (6-15)更正
三、土的极限平衡条件
由图直角△ABO1外角与内角 的关系可知：
2 90 0
即：
f c tg A
450
2
c
B
O
2
O1
由此可见：剪切破裂 c cot 3
3
1
二、土的极限平衡应力状态
• ①τ＜τf时，弹性平衡状态 ，整个摩尔圆位于抗剪强度
线的下方，说明该点在任何
3
1
平面上的剪应力都小于土所
能发挥的抗剪强度，因此不
会发生剪切破坏。
• ②τ=τf时，极限平衡状态，摩尔圆与抗剪强度线相切于A点 ，表明通过A点的任意平面上的剪应力都等于抗剪强度，该
点就处于极限平衡状态。
第六章 土的抗剪强度
主要内容
§6.1 土体强度的工程应用 §6.2 摩尔—库仑强度理论 §6.3 土的极限平衡条件 §6.4 抗剪强度指标的确定 §6.5 孔隙压力系数 §6.6 砂性土的剪切性状 §6.7 黏性土的剪切性状
重点内容
§6.1 土体强度的工程应用
大量的工程实践和室内试验表明：建筑物地基和土工建 筑物的破坏，绝大多数是属于剪切破坏，即沿着某一滑动 面产生破坏。
而有效应力是由土颗粒之间的黏结作用和相互之间的咬合
作用组成。
黏结作用产生的力称为土的黏聚力（内聚力），
咬合作用产生的咬合与摩擦称为土的内摩擦角。
σ′
u ' u ' u 'u u ' u
a
a
σ′
土中一点的应力状态
土体内某一点的应力状态如下 ：
1—竖向应力(最大主应力) 3—侧向应力(最小主应力) 剪切面上为
四、土的极限平衡条件的应用 根据上述三式，分别计算出极限平衡所能承受
的σ3f与当时所施加的σ3来作比较，即可判断出土体 是处于何种状态：
（1）当σ3>σ3f，土体处于稳定平衡状态；
（2）当σ3=σ3f，土体处于极限平衡状态；
（3）当σ3<σ3f，土体处于破坏状态；
四、土的极限平衡条件的应用
根据上述三式，计算出达到极限平衡所需要的 φm与当前土体的φ来作比较，即可判断出土体是处 于何种状态：
（1）当φm<φ，土体处于稳定平衡状态；
（2）当φm=φ，土体处于极限平衡状态；
§6.1 土体强度的工程应用
坑壁支护
基坑坑壁滑动破坏
§6.1 土体强度的工程应用
滑裂面
边坡滑坡
因此，剪切破坏是土体破坏的主要形式。
土的抗剪强度：土体抵抗剪切破坏的极限能力。
土的重要力学性质指标
§6.2 摩尔——库仑强度理论
前面我们从太沙基的土有效应力原理已经知道：土体承受
的上覆荷载主要由土颗粒的有效应力承担。
—法向应力
1
—剪应力
3
3
1
3
1
一、库仑定律
库仑经过试验，得出以下关系式：
砂土： f tg 黏性土： f c tg
3
1
• 在一定载荷范围内，土的抗剪强度与法向应力之 间呈直线关系。
• 其中C、 被称为土的抗剪强度指标。
• 为剪切破裂面与大主应力的作用面成夹角，其
值等于（45°+φ/2）的。
面与大主应力的作用
面成（45°+φ/2）的夹
1
角。
四、土的极限平衡条件的应用 根据上述三式，分别计算出极限平衡所能承受
的σ1f与当时所施加的σ1来作比较，即可判断出土体 是处于何种状态：
（1）当σ1<σ1f，土体处于稳定平衡状态；
（2）当σ1=σ1f，土体处于极限平衡状态；
（3）当σ1>σ1f，土体处于破坏状态；
3
c cot
c
B
O
2
O1
wenku.baidu.com
2
c cot 3
1
1(1 sin) 3 (1 sin) 2c cos
三、土的极限平衡条件
整理下面公式：
1 3
s in
1
3
2
c cot
2
1(1 sin) 3 (1 sin) 2c cos
得出以下三式：
sin
1 3
2c • cot 1 3
此三式均可用于 判断土体是否处 于极限平衡状态
A
向应力和剪应力。
A
1
B
3
C
2
O
O1
3
1
§6.3 土的极限平衡条件 我们把库仑公式强度线绘制于同一坐标系
中，则该强度线为摩尔圆的切线。
f c tg
A
c
2
B
O
O1
c cot 3
1
摩尔——库仑强度判断土单元的状态
f
3、破坏 2、临界状态（极限平衡状态） 1、安全（弹性平衡状态）
摩尔——库仑强度判断土单元的状态
砂土
黏性土
f
f
c
C=0
f tg
f c tg
一、库仑定律
f c tg • 库仑定律的总应力表达式
f c' 'tg'
•库仑定律的有效应力表达式 •C′称为土的有效黏聚力
•′称为土的有效内摩擦角
饱和土有效应力： - u
二、摩尔——库仑强度理论
• 莫尔认为土中某点达到该点的抗剪强度时，土即发生破坏。
• ③τ＞τf时，剪切破坏状态，抗剪强度线是摩尔圆的一条割 线，该点的任意平面上的剪应力已超过了土的抗剪强度，实 际上这种情况是不可能存在的。
三、土的极限平衡条件
下图是土体处于极限平衡条件（即破坏临界状态） 的关系图。
由图直角 △ABO1可知：
f c tg
sin AO1
A
BO1
1 3
1
2
3 • dl sin dl • sin dl • cos 0 水平方向合力
1 • dl cos dl • cos dl • sin 0 垂直方向合力
dlsin
1
3
3
1
B
3
A
C
1
dlcos
§6.3 土的极限平衡条件
一、摩尔应力圆
由上述两式得：
3 sin sin cos 0
1 cos cos sin 0
解上述联立二元一次方程式得：
法向应力
1 2
1
3
1 2
1
3 cos2
剪应力
1 2
1
3 sin 2
§6.3 土的极限平衡条件
在τ-σ坐标中，以[1/2(1 +3 )，0]为圆心、
1/2(1－3 )为半径作圆
摩尔 应力圆
则A点的坐标（σa，τa）
即为△ABC斜面AB上的法