第3章 静电场的边值问题 (2)
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第三章静电场及其边值问题的解法
路、选频等作用； • 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
如何求电容器的电容？
14
电磁场与波
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
界条件为
或
ED11tn
s
0
介质1
nˆ
E1
1
1
注：媒质1为介质，媒质2为导体
导体
22
电磁场与波
静电位的边界条件
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为ϕ1和ϕ 2
当两点间距离⊿l→0时,C与D趋于同一 点，取作电位参考点
1 2
媒质1 1
1 A
B 2
媒质2 2
D
l
C
由
和
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即 s 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件：
常数，
n
S
电磁场与波
例 3.5 无限长同轴线内外导体半径分别为a,b,外导体接地，内
导体电位为U，内外导体间部分填充介电常数为ɛ1的介质，其余部
分介电常数为ɛ2 ，(a)图中二介质层分界面半径为c；(b)图 0 1
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即
Cq
电位参考点为 无穷远处
例： 真空中半径a的孤立带电导体球，其表面电荷量为q,则电位？
q 4 0 a
C 40a
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
如何求电容器的电容？
14
电磁场与波
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
界条件为
或
ED11tn
s
0
介质1
nˆ
E1
1
1
注：媒质1为介质，媒质2为导体
导体
22
电磁场与波
静电位的边界条件
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为ϕ1和ϕ 2
当两点间距离⊿l→0时,C与D趋于同一 点，取作电位参考点
1 2
媒质1 1
1 A
B 2
媒质2 2
D
l
C
由
和
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即 s 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件：
常数，
n
S
电磁场与波
例 3.5 无限长同轴线内外导体半径分别为a,b,外导体接地，内
导体电位为U，内外导体间部分填充介电常数为ɛ1的介质，其余部
分介电常数为ɛ2 ，(a)图中二介质层分界面半径为c；(b)图 0 1
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即
Cq
电位参考点为 无穷远处
例： 真空中半径a的孤立带电导体球，其表面电荷量为q,则电位？
q 4 0 a
C 40a
第3章 边值问题及静电场的求解
r r
Q Q
const.
若镜像位置满足
OQ ~ P OPQ
r r
R0 a
const .
由三角形相似，
b R0 R0 a
2 R0 b a Q R0 Q a
导体球外部空间的电势为
Q R 0Q 4 0 r ar 1 4 0 1 Q R a 2 Ra cos
sin d
(sin
sin
0
该方程的解有两种情况
■
1 d
2
d
2
m
2
的解
0,
当电位与方位角无关时，
2 即： m 0
( ) A
■
1 d R dr
(r
2
2
dR dr
) n ( n 1) 的解
1
(1) n 0 时， R ( r ) A0 B 0 r
n
|S f 2 ( S )
称为第二类边界条件或“诺伊曼”条件。 这类问题称为第 二类边值问题。 （3）已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性 组合值， 即给定
( N ) |S f 3 ( S )
称为第三类边界条件或“混合边界条件”。 这类问题称为 第三类边值问题。
P
Q Q 4 0 r r 1
考察空间：导体球外部空间。 镜像电荷：用位于对称轴上的等效代
替导体球面上的感应电荷。
球面上任意点P 的电势
Q Q ( P) 0 4 0 r r 1
r r
Q Q
镜像电荷不应随P 变化，
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
第三章 静电场边值关系
电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系
中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电 位微分方程为
2 1 d d r 0 r dr dr
求得
C1 ln r C 2
利用边界条件：
V r a
C1 ln a C 2 V C1 ln b C 2 0
q q 4 π r 4 π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
r q q r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △OPq
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面 r
r a 与 △ OqP 相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为 r f
代入上述边界条ห้องสมุดไป่ตู้，求得镜像电荷如下：
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其
内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
解
V a b
O
对于这种边值问题，镜像法不适
用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱 坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，
以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
镜像法
设一镜像电荷q″位于区域1中，且位置与 q 重合，同时将整个空间视为均匀介质2。
p v R
则区域2中任一点的电位为：
2
q q
4π 2 R
q q
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位的边界条件：
1
1
设想用镜像电荷 代替界面上极化 电荷的作用，并 使镜像电荷和点 电荷共同作用， 满足界面上的边
界条件。
当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
介质1中任一点的电位为：
1
q q
4π1R 4π1R
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
当待求区域为介质2所在区域时，
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。
q q 4R 4R
故对z=0平面上任意点有R R R0 :
于是，
q 4
1 R
1 R
q 4
q q 0 4 R0
1
x2 y2 (z h)2
电位的法向导数
n
s
f2 s
一、二类边界条件的 线性组合，即
n
s2
f4 s
电磁场
一、静电场边值问题及其分类
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 边值问题的分类----根据场域边界条件的不同
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值 s f1s
（第一类）
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 （第二类）
U0
O
ax
第3章 静电场及其边值问题的解法
p v R
则区域2中任一点的电位为：
2
q q
4π 2 R
q q
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位的边界条件：
1
1
设想用镜像电荷 代替界面上极化 电荷的作用，并 使镜像电荷和点 电荷共同作用， 满足界面上的边
界条件。
当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
介质1中任一点的电位为：
1
q q
4π1R 4π1R
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
当待求区域为介质2所在区域时，
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。
q q 4R 4R
故对z=0平面上任意点有R R R0 :
于是，
q 4
1 R
1 R
q 4
q q 0 4 R0
1
x2 y2 (z h)2
电位的法向导数
n
s
f2 s
一、二类边界条件的 线性组合，即
n
s2
f4 s
电磁场
一、静电场边值问题及其分类
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 边值问题的分类----根据场域边界条件的不同
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值 s f1s
（第一类）
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 （第二类）
U0
O
ax
第3章 静电场及其边值问题的解法
电磁场及电磁波_第三章
从而电场为:
3.1.3 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性, 它是描 述导体系统储存电荷能力的物理量。 定义两导体系统的电容为任一导体上的总 电荷与两导体之间的电位差之比, 即
电容单位是F(法拉), 此比值为常数
1. 双导体的电容计算
在电子与电气工程中常用的传输线，例如 平行板线、平行双线、同轴线都属于双导 体系统。通常，这类传输线的纵向尺寸远 大于横向尺寸。因而可作为平行平面电场 （二维场来研究），只需要计算传输线单 位长度的电容。 其计算步骤如下:
√ 所有电位系数
, 且具有对称性, 即
（2）电容系数
对电位系数的矩阵方程求逆，可得:
或表示为:
式中, 称为电容系数或感应系数。下
标相同的系数
称为自电容系数或自
感应系数，下标不同的系数
称
为互电容系数或互感应系数。
电容系数具有以下特点:
√ 在数值上等于第j个导体的电位为一个 单位而其余导体接地时, 第i个导体上的电 量, 即
可见, 点P、Q之间电位差的物理意义是把 一个单位正电荷从点P沿任意路径移动到点 Q的过程中, 电场力所做的功, 根据静电场 的无旋性, 这个功是路径无关的。因而电 位差是唯一的。。
为了使电场中每一点电位具有确定的值， 必须选定场中某一固定点作为电位参考点， 即规定该固定点的电位为零。 例如，若选定Q点为零，则
电场强度为: • 内外导体间的电压为:
可得同轴线单位长度的绝缘电阻为:
方法之二:
已经知道同轴线单位长度的电容为: 因此，同轴线单位长度的漏电导为:
例二: 计算半球形接地器的接地电阻 解: 通常要求电子、电气设备与大地有良 好的连接，将金属物体埋入地内，并将需 接地的设备与该物体连接就构成接地器。
第三章作业答案
μ0
μ0
ˆx 10 + e ˆy 20 + e ˆz 20 V / m ，试问该电场能否表示匀强电场？为什么？电场 7、已知电场 A = e ˆx 20 − e ˆy 5 − e ˆz 5 V / m ， 大小是多小？方向余弦？如果有另一电场 B = e 试问这两个矢量是否
垂直？为什么？
G
G
ˆx 10 + e ˆy 20 + e ˆz 20 是匀强电场，电场的大小是 答：矢量 A = e G 1 2 2 E = 102 + 202 + 202 = 30 V / m ，方向余弦为 cos α = ， cos β = ， cos γ = ； 3 3 3 G G 两矢量垂直，因为 A ⋅ B = 0 。
μ0
2
c b
(
I 2 c2 − ρ 2 2 μ I2 ) ( 2 2 ) 2 πρ dρ = 0 2 πρ c − b 4π
单位长度内总的磁场能量为
Wm = Wm1 +Wm2 + Wm3
b μ0 I 2 ln + = + 16 Βιβλιοθήκη 4π a 4πμ0 I 2
μ0 I 2
15、 一个点电荷 q 与无限大接地导体平面距离为 d， 如果把它移至无穷远处， 需要做多少功？ 解：由镜像法，感应电荷可以用像电荷-q 替代。当电荷 q 移至 x 时，像电荷 q 应位于－x， 则像电荷产生的电场强度
G ˆx 2 + e ˆz 4 ，求电介质中的电场？ E =e
解：由在介质表面处 z = 0 ， E1t = E2t 即 E1x = E2x = 2 ， z = 0 时， D1n = D2 n 即 D1z = D2 z
静电场边值问题的唯一性定理
静电场边值问题的唯一性定理摘要：静电场边值问题及其唯一性定理是一重要知识点，定理的表述和证明都涉及较多的数学知识。
由于唯一性定理的概念对于许多问题（如静电屏蔽）的确切理解有很大帮助，所以我们将给此定理一个物理上的论证，期待大家能从中有所受益. 关键词：静电场；边值；唯一性；静电屏蔽1、问题的提出实际中提出的静电学问题，大多不是已知电荷分布求电场分布，而是通过一定的电极来控制或实现某种电场分布。
这里问题的出发点（已知的前提），除给定各带电体的几何形状、相互位置外，往往是在给定下列条件之一；（1） 每个导体的电势U K ； （2） 每个导体上的总能量Q K ；其中K=1，2，……为导体的编号。
寻求的答案则是在上述条件（称为边界条件）下电场的恒定分布。
这类问题称为静电场的边值问题。
这里不谈静电场边值问题如何解决，而我们要问：给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？唯一性定理对此的回答是否定的，换句话说，定理宣称：边界条件可将空间里电场的恒定分布唯一地确定下来。
2、几个引理在证明唯一性定理之前，先作些准备工作——证明几个引理。
为简单起见，我们暂把研究的问题限定为一组导体，除此之外的空间里没有电荷。
（1）引理一 在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值。
用反证法。
设电势U 在空间某点P 极大，则在P 点周围的所有邻近点上梯度U ∇ρ必都指向P 点，即场强U E ∇-=ρρ的方向都是背离P 点的（见图1-1a 。
）这时若我们作一个很小的闭合面S 把P 点包围起来，穿过S 的电通量为0)(>⋅=⎰S d E S E ρρϕ (1)根据高斯定理，S 面内必然包含正电荷。
然而这违背了我们的前提。
因此，U 不可能有极大值。
用同样的方法可以证明，U 不可能有极小值（参见图1-1b ）。
（2）引理二 若所有导体的电势为0，则导体以外空间的电势处处为0。
因为电势在无电荷空间里的分布是连续变化的，若空间有电势大于0（或小于0）的点，而边界上又处处等于0，在空间必然出现电势的极大（或极小）值，这违背引理一。
静电场的边值问题
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
第三章 静电场旳边值问题
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中旳分离变量法 4. 圆柱坐标系中旳分离变量法 5. 球坐标系中旳分离变量法
1
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.1 电位微分方程
已知电位 与电场强度 E 旳关系为
E 对上式两边取散度，得
E 2
r0作为参照点，则 及l 在l 圆柱面上P点共同产生
旳电位为
P
l 2π
ln r0 l r 2π
ln r0 r
l 2π
ln r r
已知导体圆柱是一种等位体，必须要求比值
r 常数 r
与前同理，可令 r a d
r fa
d a2 f
21
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
（4）点电荷与无限大旳介质平面
或者
X (x) C sinh x D cosh x
含变量 x 或 y 旳常微分方程旳解完全相同。
♣这些解旳线性组合依然是方程旳解。一般为了
满足给定旳边界条件，必须取其线性组合作为方
程旳解。
解旳形式旳选择决取于给定旳边界条件。
解中待定常数也取决于给定旳边界条件。
30
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
8
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.2 镜像法
实质: 以一种或几种等效电荷替代边界旳影响， 将原来具有边界旳非均匀空间变成无限大旳均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷一般处于原电荷旳镜像位置，所以 称为镜像电荷，而这种措施称为镜像法。
9
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
根据：惟一性定理。等效电荷旳引入不能变化原 来旳边界条件。
静电场的边值问题
第三章 静电场旳边值问题
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中旳分离变量法 4. 圆柱坐标系中旳分离变量法 5. 球坐标系中旳分离变量法
1
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.1 电位微分方程
已知电位 与电场强度 E 旳关系为
E 对上式两边取散度，得
E 2
r0作为参照点，则 及l 在l 圆柱面上P点共同产生
旳电位为
P
l 2π
ln r0 l r 2π
ln r0 r
l 2π
ln r r
已知导体圆柱是一种等位体，必须要求比值
r 常数 r
与前同理，可令 r a d
r fa
d a2 f
21
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
（4）点电荷与无限大旳介质平面
或者
X (x) C sinh x D cosh x
含变量 x 或 y 旳常微分方程旳解完全相同。
♣这些解旳线性组合依然是方程旳解。一般为了
满足给定旳边界条件，必须取其线性组合作为方
程旳解。
解旳形式旳选择决取于给定旳边界条件。
解中待定常数也取决于给定旳边界条件。
30
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
8
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.2 镜像法
实质: 以一种或几种等效电荷替代边界旳影响， 将原来具有边界旳非均匀空间变成无限大旳均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷一般处于原电荷旳镜像位置，所以 称为镜像电荷，而这种措施称为镜像法。
9
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
根据：惟一性定理。等效电荷旳引入不能变化原 来旳边界条件。
第三章 静电场的边值问题
oP adq′r′OP adq′r′为常数。
对于不接地的导体球，若引入镜像电荷 q' 后，为了满足电荷守 恒原理，必须再引入一个镜像电荷q"，且必须令q ′′ = − q ′P a O d q′ r′ r q f而且，为了保证球面边界是 一个等位面，镜像电荷 q′′ 必须位 于球心。
事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等于零。
由q 及 q‘在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷 q“ 以提供一定的电位。
（思考：等位线的形状是否和以前一样？）（3）线电荷与带电的导体圆柱。
P a O d f -ρl已知线电荷为rr′ρl，导体圆柱单位ρl长度的电荷量为-ρl 。
在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根 镜像线电荷 − ρ l 。
求d 的大小。
已知无限长线电荷产生的电场强度为E=ρl er 2πε r因此，离线电荷 r 处，以 r0 为参考点的电位为ϕ=∫r0rEdr =ρl ⎛ r0 ⎞ ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠若令镜像线电荷 − ρ l 产生的电位也取相同的 r0 作为参考点， 则 ρ l 及 − ρ l 在圆柱面上 P 点共同产生的电位为P a O d f -ρlr′rρlϕP =ρl ⎛ r0 ⎞ ρl ⎛ r0 ⎞ ln⎜ ⎟ − ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠ 2πε ⎝ r ′ ⎠ ρl ⎛ r ′ ⎞ = ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠已知导体圆柱是一个等位体,即 ϕ p 是一个常数，因此，为了 满足这个边界条件，必须要求比值r′ r为常数。
2a r′ a d 与前同理，可令 = = ，由此得 d = r f a f可以想象与实际导体圆柱对称位置的右侧，也存在一个圆柱等位 面，如上图，则可计算两根平行导线间的电容（P79）。
（4）点电荷与无限大的介质平面。
qq′ Enr0r0′E'E t′ Etq"ε1 ε2et en=ε1 ε1q'θ+ε2 ε2r0′′θ′ E n′E t′′EnEE"为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q' 等效边界上束缚电 荷的作用，将整个空间变为介电常数为ε1 的均匀空间。
第三章 边值问题的解法
解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，
R2
采用圆柱坐标系
R1
1 (r ) 0 积分 Aln r B
r r r
由边界条件 U A ln R1 B 0 Aln R2 B
A U ln R1 R2
B
U ln R1
ln
R2
第3章 边值问题的解 法
给定边界条件下求有界空间 的静电场和电源外恒定电场的问 题，称之为边界值问题。
3.1边值问题的提法(分类)
3.1.1边值问题的分类
1 狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的（函数）
值
f (s)
2 聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值
/ n f (s)
q
4π0
(r
2
2dr
1
cos
d
)2 1/ 2
(d
2r2
a
2dra2 cos
a4 )1/ 2
导体球不接地：
q a q d
b a2 d
q q a q d
a
—
a
导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代
数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜
球壳内：边界为r = a1的导体球面，
边界条件为 (a1, ,) 0
➢ 根据球面镜像原理，镜像电荷
的位置和大小分别为
a1 q1
q
1
b1
a12 d1
q1
q1
第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理
l 2π
ln
r0 r
l 2π
ln
1 r
C
1）长直线电荷与接地的长直圆柱导体平行，求圆柱外电位分布
在圆柱与线电荷之间，在圆柱内离轴线的距离b 处，平行放置一
根镜像线电荷 ， 代替圆柱导体上的感应电荷. l
第3 章
若令镜像线电荷 产 生的电位也取相同的 l
作r0为参考点，则
及l
在 圆柱面上 P 点共同产生的电位为
R
l
h
R′
x
-h
l ln x2 (z h)2 ， z 0
l′
2 x2 (z h)2
均匀带电直线的电位分布
z 0，R R z0 0
l ln R C l ln R0
2
2 R
显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的。
第3 章
例3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点
3、对于均匀分布在球面上的-q'电荷，可用另一个镜像电荷q"= q' 代替，但必须位于球心。
第3 章
结论：点电荷q对非接地导体球面的镜像电荷有两个：
镜像电荷1： 电量：q ' a q
位置： d ' a2
d
镜像电荷2： d
电量： q '' q ' a q
d
r r'
q O
'' d'
q' d
q
4 0 r
0
q q
即像电荷q'与原点电荷q电量相等，电性相反；用q'代替了
导体上的感应电荷。
在z>0区域内，P点的电位为
习题答案第3章 静电场及其边值问题的解法
d
x U
d o
ε (1) a 2
(a)
a
ε0 ( 2) 0
y
(b)
题图 3-1 二平行板电容器
[解] a)
介质交界面上 又
E1t = E2t
∴ E1 = E 2 =
U ˆ) (− x d
D = εE ,
ˆ ), D1 = εE1 (− x ˆ ), D2 = ε 0 E1 (− x
∴
下极板电荷密度：
ˆ⋅D Θ ρs = n ∴ ˆ ⋅ (− ρ s1 = x
εU εU ˆ) = − x , d d P = D −ε0E
ˆ ⋅ (− ρ s2 = x
ε 0U εU ˆ) = − 0 , x d d
介质下表面束缚电荷密度：
′ =n ˆ ⋅ P, Θ ρs
U ⎛ εU ε 0U ⎞ ˆ = − (ε − ε 0 )x ˆ, Θ P1 = D1 − ε 0 E1 = ⎜ + ⎟x d ⎠ d ⎝ d
ρ v (r ) = ε 0 ∇ ⋅ E = ε 0
ˆC E =r
1 d 2 r ⋅ Cr 2 = 4ε 0 Cr 2 dr r
(
)
(r<a)
b)
a4 r2
(r>a)
c) 取 r → ∞ 处为电位参考点，得
r < a : φ = ∫ Edr = ∫ Cr dr + ∫
r r
∞
a
2
∞
a
a4 Ca 3 Cr 3 C C 2 dr = − + Ca 3 = (4a 3 − r 3 ) 3 3 3 r
φ=
ρl ρ ln 1 2πε 0 ρ 2
27
双线间电位为
x U
d o
ε (1) a 2
(a)
a
ε0 ( 2) 0
y
(b)
题图 3-1 二平行板电容器
[解] a)
介质交界面上 又
E1t = E2t
∴ E1 = E 2 =
U ˆ) (− x d
D = εE ,
ˆ ), D1 = εE1 (− x ˆ ), D2 = ε 0 E1 (− x
∴
下极板电荷密度：
ˆ⋅D Θ ρs = n ∴ ˆ ⋅ (− ρ s1 = x
εU εU ˆ) = − x , d d P = D −ε0E
ˆ ⋅ (− ρ s2 = x
ε 0U εU ˆ) = − 0 , x d d
介质下表面束缚电荷密度：
′ =n ˆ ⋅ P, Θ ρs
U ⎛ εU ε 0U ⎞ ˆ = − (ε − ε 0 )x ˆ, Θ P1 = D1 − ε 0 E1 = ⎜ + ⎟x d ⎠ d ⎝ d
ρ v (r ) = ε 0 ∇ ⋅ E = ε 0
ˆC E =r
1 d 2 r ⋅ Cr 2 = 4ε 0 Cr 2 dr r
(
)
(r<a)
b)
a4 r2
(r>a)
c) 取 r → ∞ 处为电位参考点，得
r < a : φ = ∫ Edr = ∫ Cr dr + ∫
r r
∞
a
2
∞
a
a4 Ca 3 Cr 3 C C 2 dr = − + Ca 3 = (4a 3 − r 3 ) 3 3 3 r
φ=
ρl ρ ln 1 2πε 0 ρ 2
27
双线间电位为
第3章 边值问题的解法
第三章 边值问题 的 解法
第三章 边值问题 的 解 法
无界
场源( / J )
电场( E / )
分布型
电场( )
求解边值问题通常可以转化为归结在给定边界条件下， 求解拉普拉斯方程或泊松方程的问题。
求解边值问题的方法一般分为解析法和数值法。
1
第三章 边值问题 的 解法
3.1 边值问题的分类*
3.2
法求解，镜像电荷的个数为(3600/θ)-1，再加上原电荷总共 3600/θ个，镜像电荷位于与原电荷关于边界对称的位置上，且 大小相等、符号相反；若3600/θ不为偶数，则镜像电荷就会出 现在所求区域，这将改变该区域内电位所满足的方程，不能 用镜像法求解。
镜像电荷的要求：根据唯一性定理，只要镜像电荷和 实际电荷一起产生的电位能满足给定的边界条件，又在所 求的区域内满足拉普拉斯方程即可。
镜像法是求解静电边值问题的一种间接方法，它巧妙应 用唯一性定理，使某些看来难解的边值问题易于解决。主要 用来求解无限大导体附近的电荷（点电荷/线电荷）产生的 场。
11
第三章 边值问题 的 解法
在z >0的上半平面(除点电荷所在点)，▽2φ=0； 在z= 0的平面上，φ=0 ，▽2φ=0 。 当z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。
根据唯一性定理，式(3-1-1)必是所求问题的解。
14
第三章 边值问题 的 解法
用电位函数反求感应电荷量。
E 4 q0[ r x 2 3 r x 1 3 a x r y 2 3 r y 1 3 a y r z 2 3 r z 1 3 a z]
例1：地球对架空传输线所产生电场的影响。 例2：发射或接收天线的场分布会因支撑它们的金属 导电体的出现而显著改变。 结论：计算空间的电场，不仅要考虑原电荷的电场， 还要考虑感应电荷的电场，这就必须知道表面电荷的分布。 直接分析这些问题既复杂又困难。
第三章 边值问题 的 解 法
无界
场源( / J )
电场( E / )
分布型
电场( )
求解边值问题通常可以转化为归结在给定边界条件下， 求解拉普拉斯方程或泊松方程的问题。
求解边值问题的方法一般分为解析法和数值法。
1
第三章 边值问题 的 解法
3.1 边值问题的分类*
3.2
法求解，镜像电荷的个数为(3600/θ)-1，再加上原电荷总共 3600/θ个，镜像电荷位于与原电荷关于边界对称的位置上，且 大小相等、符号相反；若3600/θ不为偶数，则镜像电荷就会出 现在所求区域，这将改变该区域内电位所满足的方程，不能 用镜像法求解。
镜像电荷的要求：根据唯一性定理，只要镜像电荷和 实际电荷一起产生的电位能满足给定的边界条件，又在所 求的区域内满足拉普拉斯方程即可。
镜像法是求解静电边值问题的一种间接方法，它巧妙应 用唯一性定理，使某些看来难解的边值问题易于解决。主要 用来求解无限大导体附近的电荷（点电荷/线电荷）产生的 场。
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第三章 边值问题 的 解法
在z >0的上半平面(除点电荷所在点)，▽2φ=0； 在z= 0的平面上，φ=0 ，▽2φ=0 。 当z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。
根据唯一性定理，式(3-1-1)必是所求问题的解。
14
第三章 边值问题 的 解法
用电位函数反求感应电荷量。
E 4 q0[ r x 2 3 r x 1 3 a x r y 2 3 r y 1 3 a y r z 2 3 r z 1 3 a z]
例1：地球对架空传输线所产生电场的影响。 例2：发射或接收天线的场分布会因支撑它们的金属 导电体的出现而显著改变。 结论：计算空间的电场，不仅要考虑原电荷的电场， 还要考虑感应电荷的电场，这就必须知道表面电荷的分布。 直接分析这些问题既复杂又困难。
02-静电场的边值问题及求解PDF
静电场的边值问题
及求解
1.ϕ的微分方程
ϕ
∇=-E E D ε=0=⨯∇E ρ=⋅∇
D ρ
=⋅∇)(E ερϕ-=∇⋅∇)(ερ
ϕϕ-=∇⋅∇+∇⋅∇εερϕ-=∇⋅∇εερ
ϕ-
=∇202=∇ϕ⎯泊松方程⎯拉普拉斯方程
ρ=0的无源空间均匀介质0=∇ε
2.边界条件
(1)第一类边界条件：已知场域边界面上各点的电位值，即给定边界上的电位(2)第二类边界条件：已知场域边界面上各点的电位法向导数值，即给定边界上的电位法向导数
(3)第三类边界条件：一部分边界上给定每一点的电位，一部分边界上给定每一点的电位法向导数
3.唯一性定理
满足下述条件的电位函数的解，是给定场域静电场的唯一解：
(1)在给定场域电位满足泊松方程或拉普拉斯方程；
(2)在不同媒质分界面；
(3)在给定场域边界电位满足给定的边界条件。
4.静电场边值问题的求解
(1)直接法：直接求解电位的微分方程得到解析解，如直接积分法、分离变量法；(2)间接法：依据唯一性定理和物理概念间接求解，如镜象法；
(3)数值法：利用数值分析求近似解，如有限差分法、有限元法。
第3章 边值问题的解法
ρV = 0
，故有 拉普拉斯方程
∇ ϕ =0
2
(3-1-6)
第三章 边值问题 的 解法
边值问题 微分方程 边界条件
∇2ϕ = − ∇2ϕ = 0
ρ ε
场域 边界条件
分界面 衔接条件
自然 边界条件
第一类 边界条件
第二类 边界条件
第三类 边界条件
ϕ1 =ϕ2 参考点电位 ∂ϕ ∂ϕ ε1 1 −ε2 2 =σ limrϕ =有限值 r→∞
r1 = r2 = r = x 2 + y 2 + d 2 导电平面上， 导电平面上，有
2qd 导体表面的感应电荷密度为 ρ S = D . a z = (ε 0 E ) . a z = − 4πr 3
如果导电平面无限大，可以看作半径为无限大的圆， 如果导电平面无限大，可以看作半径为无限大的圆，则 无限大导电平面的感应电荷为 导体表面感应 2π 2qd ∞ ρdρ 的总电荷正是 Q = ∫ ρ S dS = − ∫0 2 2 3 ∫0 dϕ = −q 预期值－q。 S 预期值－ 。 4π 2 (ρ + d )
y
(3,4,0)
(-3,4,0)
1 1 1 1 φ= ( − + − ) 4πε 0 r1 r2 r3 r4 q = 735.2V
则
r1
r2
0 r 3
(-3,-4,0)
(3,5,0)
r4
(3,-4,0)
x
保证y=0的平 面电位为零
E = −∇φ ∂φ ∂φ ∂φ ax − ay − az =− ∂x ∂y ∂z = −19.8a x + 891.36a y (V / m)
第三章 边值问题 的 解法
2020年高中物理竞赛—电磁学B版：第三章 静电场分析(7静电场的边值效应)(共35张PPT) 课件
()2dV 0
V
3.7.3 静电场边界值问题的解法
求解边值问题的方法，都基于唯一性定理，一般可以分为解 析法和数值法两大类。解析法中的镜像法和分离变量法。
1. 镜像法
镜像法是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯 一性定理， 使某些看来难解的边值问题容易地得到解决。 使用镜像法时要注意以下三点： （1）镜像电荷是虚拟电荷; （2）镜像电荷置于所求区域之外的附近区域; （3）导电体是等位面。
3.7.2 唯一性定理
在静电场中，在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方 程的解必定是唯一的，即静电场的唯一性定理。
利用反证法来证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方程的解 是唯一的。考虑一个由表面边界S包围的体积V，由格林第 一定理
V
(2 )dV S
dS
n
令上式中ψ=φ=φ， 得
3.13 两无限大平行板电 极，距离为d，电位分别 为0和U0，板间充满电荷 密 度 为 ρ0x/d ， 如 图 所 示 。 求极板间的电位分布和 极板上的电荷密度。
x U0
d 0
0x / d
3.14 无限大空气平行板电容器的 电容量为C0，将相对介电常数为εr =4的一块平板平行地插入两极板 之间，如图所示。
z q
d
x
3.22 两无限大导体平板成6 0°角放置，在其内部x=1、y =1处有一点电荷q，如图所 示。求： (1) 所有镜像电荷的位置和 大小； (2) x=2、y=1处的电位。
q
(1 , 1) 60 °
3.23 一个沿z轴很长且中 y
空的金属管， 其横截面
为矩形， 管子的三边保
＝ 0
持零电位， 而第四边的
组合值， 即给定
电磁场与电磁波-第3章要点
镜像法
实质：是以一个或几个等效电荷代替边界的影响， 将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自 由空间，从而简化电位分布的计算。
依据：惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来 的边值条件不变，从而保证原来区域中静电场没有 改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。 这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电 荷，而这种方法称为镜像法。
自由空间——S 表面无限远，面积分为零。
若 V 为无源区——体积分为零。 推论：面积分可视为泊松方程在无源区中的解，或 者拉普拉斯方程以格林函数表示的积分解。
电位微分方程解的惟一性
存在——客观存在 稳定——数学方法已证明 惟一——反证法（惟一：只有一个，仅仅一个） 静电场惟一性定理：对于导体边界（并不仅限于此） 的静电场问题，当边界上的电位，或电位的法向导 数，或导体表面电荷分布给定时，空间的静电场即 被惟一地确定。 电位的法向导数与导体表面电荷密度的关系 S n
4 π r
r
q f
q
d
q 4 π r
为保证球面上任一点电位为零，必须有
q r q r
镜像法
为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要 r 求比值 r 对于球面上任一点为常数。可见，若要 r a 求三角形 △OPq 与 △OqP 相似，则 r f 常 数。由此获知镜像电荷应为 a
E t
E"
E
En
为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q' 等效边 界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数 为1 的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点 电荷处的q" 等效原来的点电荷q 与边界上束缚电 荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为2 的 均匀空间。
静电场及其边值问题的解法.pptx
2 L2 L
l 0
ln
2 L2 L
l 0
ln 2L
4π0 2 L2 L 2π0
2π0
L
当
时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点
选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有
(r ) l0 ln 2L C 2π0
并选择有限远处为电位参考点。例如，选择ρ= a 的点为电位参 考点，则有
静态场
➢静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。 ➢恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。 ➢恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。
第2页/共49页
第3章 静电场及其边值问题解法
The Electrostatic Field and Solution Techniques for
结论：静电场中电场力作的功与路径无关, 只取决于始点和终点的位置；
静电场是保守场, 也称位场；
第11页/共49页
利用斯托克斯公式, 可得其微分形式为
cA dl s A ds
l E (r ) dl 0
E (r) 0
上式说明任何静电荷产生的电场, 其电场强度矢量 E 的旋度恒
等于零, 静电场是无旋场。
(P) l 1n 2 0
x
d
2
y2
2
x
d
2
y2
2
l 4
0
1n
x x
d 2 d
2
2
y2 y2
(V )
2
第38页/共49页
✓ 一维电位方程的求解
电位的微分方程
在均匀介质中，有
D E
E
第三章静电场边值问题
导体B = 常数
∫ S D ⋅ dS = −τ ,
电荷分布不均匀
能否用高斯定理求解？ 能否用高斯定理求解？ 根据唯一性定理，寻找等效线电荷 电轴。 根据唯一性定理，寻找等效线电荷——电轴。 电轴
y p ρ1 +τ b o ρ2 b −τ x
2. 两根细导线产生的电场
h
图3.2.10
h
两根细导线的电场计算
q1 = − q q2 = − q q3 = q
d2 y
F = F1 + F 2+ F3
d1
q2
d2 d2
d1 o
q
d2 d2
q2 F1 = − y 4πε 0 (2d 2 ) 2 q2 F2 = − x 4πε 0 (2d1 ) 2 x
∧ ∧ F3 = 2d1 x + 2d 2 y 2 2 3/ 2 4πε 0 (2d1 ) + (2d 2 ) ∧
0≤r≤a a≤r≤∞
电场强度（球坐标梯度公式）：
∂ϕ 1 ρr E 1 ( r ) = −∇ ϕ 1 = − er = er ∂r 3ε 0
0≤r≤a
ρa 2 ∂ϕ 2 E 2 ( r ) = −∇ ϕ 2 = − er = e 2 r ∂r 3ε 0 r
a≤r≤∞
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分 方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解； 再由 E = −∇ϕ 得到电场强度E的分布。
∇ 2ϕ = 0
点外的导体球外空间） ( 除 q 点外的导体球外空间）
ϕ
p r2 +q' +q R
o
r→ ∞ 球面 s
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第三章 静电场的边值问题
主 要 内 容 电位微分方程、镜像法、分离变量法。
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法
1. 电位微分方程 已知电位
与电场强度E 的关系为
E
对上式两边取散度，得
E 2 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E的散度为
*
上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，
源及边界条件未变。
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是为 了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。
例如，夹角为
π 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。 3
/3
q
/3
q
（2）点电荷与导体球
若导体球接地，导体球的电位为 零。令镜像点电荷q 位于球心与点电
于常数。
2 2 令各项的常数分别为 k x , ky , k z2 ，求得
d2 X 2 k x X 0 2 dx
d 2Y 2 k yY 0 2 dy
d2Z 2 k zZ 0 2 dz
式中，kx ，ky ，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。三个分离 常数不是独立的，必须满足下列方程
对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满足泊松方程方
程
2
在无源区，电位满足拉普拉斯方程
2 0
静电场的边值问题 —— 根据给定的边界条件求解静电场的电位 分布。 利用格林函数，可以求解泊松方程。 利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。 求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。
式中的左边各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量 x 求导，第二 项及第三项均为零，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项等于常 数。
1 d 2 X 1 d 2Y 1 d 2 Z 0 2 2 2 X dx Y dy Z dz
同理，再分别对变量 y 及 z 求导，得知第二项及第三项也分别等
电位为 0 的导电平面封闭，且与半无限大接地导体平面绝缘，如图 所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。
y
=0
d
解
选取直角坐标系。槽中
电位分布与 z 无关，这是一
= 0
O
个二维场的问题。
=0
x
电位满足的拉普拉斯方程变为
2 2 2 0 2 x y
应用分离变量法，令 槽中电位满足的边界条件为
例如，含变量 x 的常微分方程的通解为
X ( x) Ae jkx x Be jkx x
或者
X ( x) C sin k x x D cosk x x
式中，A, B, C, D为待定常数。
当kx为虚数时，令 k x j ，则上述通解变为
X ( x) Aex Bex
q q 4 π r 4 π r
q q
无限大导体平面的电位为零
电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分完全相同。
z
电场线
等位线
r
P q h h q
r
P
q
介质
导体
r
介质 Байду номын сангаас质
*
根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等于导体表面上感
应电荷的总电荷量。
此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一章描述静电 场的边界上场量变化的边界条件。
边界条件有三种类型： 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为 狄里赫利问题。 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问
题又称为诺依曼问题。
第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上 物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。
为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q 必须位于球 心。
为了满足电荷守恒定律，第二
个镜像电荷q 必须为
q" q'
q
q q
以保证导体球表面上总电荷量为零值。
导体球的电位?
q q 4π a 4π f
（3）线电荷与带电的导体圆柱 在圆柱轴线与线电荷之间，
P a O d – l
y
为了满足 x = 0， = 0 ，由上式得
0 Cn sin
n 1
nπ y , 0 y d d
0 Cn sin
n 1
nπ y , 0 y d d
利用傅里叶级数的正交性，求出系数 Cn 为
40 Cn nπ 0
若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就是第一类边界。
已知
S n
可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，若给定导体 表面上的电荷量就是第二类边界。
因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位的法向导数给定 时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论 称为静电场惟一性定理。
与前同理，可令
r a d r f a
a2 d f
为了利用给定的边界条件，选择适当的坐标系是非常重要的。
对于上述一维微分方程，可以采用直接积分方法。 为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法。
分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独
立的常微分方程，从而简化求解过程。
( x, y) X ( x)Y ( y)
( x, 0) 0
( x, d ) 0
(0, y) 0
(, y) 0
为了满足 ( x, 0) 0 及 ( x, d ) 0 ，Y(y) 的解应为
Y ( y) A sin k y y B cosk y y
E
那么，电位满足的微分方程式为
2
泊松方程
2
对于无源区，
0 ，上式变为
拉普拉斯方程
2 0
位为
已知分布在 V 中的电荷 ( r 在无限大的自由空间产生的电 )
1 (r ) 4π
dV V | r r |
因为 y = 0 时，电位 = 0，因此上式中常数 B = 0。 为了满足 ( x, d ) 0 ，分离常数 ky 应为
ky
nπ , n 1, 2, 3, d
nπ Y ( y ) A sin y d 2 2 已知 k x k y 0 ，求得
因 x = 0 时，电位 = 0 ，得
0 C sin
nπ d
y
上式右端为变量，但左端为常量，因此不能成立。这就表明此式不能 满足给定的边界条件。因此，必须取上式的线性组合作为电位方程的 解。
nπ x d
即
( x, y) Cn e
n 1
nπ sin d
2. 镜像法 实质: 以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边 界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为 简化。
这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷， 而这种方法称为镜像法。
依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。
关键：确定镜像电荷的大小及其位置。
r
离轴线的距离d 处，平行放置一
l
f
根镜像线电荷 l 。
已知无限长线电荷产生的电场强度为
E
l er 2π r
，
因此，离线电荷 r 处，以 r0 为参考点的电位为
Edr
r0
r
l r0 ln 2π r
若令镜像线电荷 l 产生的电位也取相同的 r0
若 △OPq ~ △ OqP ，则
q
r a 常数 r f
求得镜像电荷为
q
镜像电荷离球心的距离d 应为
a q f
a2 d f
若导体球不接地，则其电位不为 零。
0
q
由q 及 q 在球面边界上形成的电位 为零，因此必须再引入一个镜像电荷q
以产生一定的电位。
q 的位置和量值应该如何?
求得 可见，分离常数 kx 为虚数，故 X(x) 的解应为
kx j
nπ d
X ( x) Ce
式中的常数 C 应为零？ 求得 那么
nπ x d
De
nπ x d
nπ x d
X ( x) De
( x, y) Ce
nπ x d
nπ sin d
y
式中的常数 C = AD 。
局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可 能确定其镜像电荷。
（1）点电荷与无限大的导体平面
r q P q h h q r P
介质
导体
r
介质 介质
以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常
数为 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
P
a r O q d
r q f
荷 q 的连线上，那么球面上任一点电 位为
q q 4 π r 4 π r
为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
q
r q r
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 r 面上任一点均具有同一数值。
对于球
P
a O d r q f r
2 2 kx ky k z2 0
d2 X 2 k X 0 x 2 dx
主 要 内 容 电位微分方程、镜像法、分离变量法。
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法
1. 电位微分方程 已知电位
与电场强度E 的关系为
E
对上式两边取散度，得
E 2 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E的散度为
*
上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，
源及边界条件未变。
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是为 了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。
例如，夹角为
π 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。 3
/3
q
/3
q
（2）点电荷与导体球
若导体球接地，导体球的电位为 零。令镜像点电荷q 位于球心与点电
于常数。
2 2 令各项的常数分别为 k x , ky , k z2 ，求得
d2 X 2 k x X 0 2 dx
d 2Y 2 k yY 0 2 dy
d2Z 2 k zZ 0 2 dz
式中，kx ，ky ，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。三个分离 常数不是独立的，必须满足下列方程
对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满足泊松方程方
程
2
在无源区，电位满足拉普拉斯方程
2 0
静电场的边值问题 —— 根据给定的边界条件求解静电场的电位 分布。 利用格林函数，可以求解泊松方程。 利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。 求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。
式中的左边各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量 x 求导，第二 项及第三项均为零，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项等于常 数。
1 d 2 X 1 d 2Y 1 d 2 Z 0 2 2 2 X dx Y dy Z dz
同理，再分别对变量 y 及 z 求导，得知第二项及第三项也分别等
电位为 0 的导电平面封闭，且与半无限大接地导体平面绝缘，如图 所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。
y
=0
d
解
选取直角坐标系。槽中
电位分布与 z 无关，这是一
= 0
O
个二维场的问题。
=0
x
电位满足的拉普拉斯方程变为
2 2 2 0 2 x y
应用分离变量法，令 槽中电位满足的边界条件为
例如，含变量 x 的常微分方程的通解为
X ( x) Ae jkx x Be jkx x
或者
X ( x) C sin k x x D cosk x x
式中，A, B, C, D为待定常数。
当kx为虚数时，令 k x j ，则上述通解变为
X ( x) Aex Bex
q q 4 π r 4 π r
q q
无限大导体平面的电位为零
电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分完全相同。
z
电场线
等位线
r
P q h h q
r
P
q
介质
导体
r
介质 Байду номын сангаас质
*
根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等于导体表面上感
应电荷的总电荷量。
此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一章描述静电 场的边界上场量变化的边界条件。
边界条件有三种类型： 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为 狄里赫利问题。 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问
题又称为诺依曼问题。
第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上 物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。
为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q 必须位于球 心。
为了满足电荷守恒定律，第二
个镜像电荷q 必须为
q" q'
q
q q
以保证导体球表面上总电荷量为零值。
导体球的电位?
q q 4π a 4π f
（3）线电荷与带电的导体圆柱 在圆柱轴线与线电荷之间，
P a O d – l
y
为了满足 x = 0， = 0 ，由上式得
0 Cn sin
n 1
nπ y , 0 y d d
0 Cn sin
n 1
nπ y , 0 y d d
利用傅里叶级数的正交性，求出系数 Cn 为
40 Cn nπ 0
若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就是第一类边界。
已知
S n
可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，若给定导体 表面上的电荷量就是第二类边界。
因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位的法向导数给定 时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论 称为静电场惟一性定理。
与前同理，可令
r a d r f a
a2 d f
为了利用给定的边界条件，选择适当的坐标系是非常重要的。
对于上述一维微分方程，可以采用直接积分方法。 为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法。
分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独
立的常微分方程，从而简化求解过程。
( x, y) X ( x)Y ( y)
( x, 0) 0
( x, d ) 0
(0, y) 0
(, y) 0
为了满足 ( x, 0) 0 及 ( x, d ) 0 ，Y(y) 的解应为
Y ( y) A sin k y y B cosk y y
E
那么，电位满足的微分方程式为
2
泊松方程
2
对于无源区，
0 ，上式变为
拉普拉斯方程
2 0
位为
已知分布在 V 中的电荷 ( r 在无限大的自由空间产生的电 )
1 (r ) 4π
dV V | r r |
因为 y = 0 时，电位 = 0，因此上式中常数 B = 0。 为了满足 ( x, d ) 0 ，分离常数 ky 应为
ky
nπ , n 1, 2, 3, d
nπ Y ( y ) A sin y d 2 2 已知 k x k y 0 ，求得
因 x = 0 时，电位 = 0 ，得
0 C sin
nπ d
y
上式右端为变量，但左端为常量，因此不能成立。这就表明此式不能 满足给定的边界条件。因此，必须取上式的线性组合作为电位方程的 解。
nπ x d
即
( x, y) Cn e
n 1
nπ sin d
2. 镜像法 实质: 以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边 界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为 简化。
这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷， 而这种方法称为镜像法。
依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。
关键：确定镜像电荷的大小及其位置。
r
离轴线的距离d 处，平行放置一
l
f
根镜像线电荷 l 。
已知无限长线电荷产生的电场强度为
E
l er 2π r
，
因此，离线电荷 r 处，以 r0 为参考点的电位为
Edr
r0
r
l r0 ln 2π r
若令镜像线电荷 l 产生的电位也取相同的 r0
若 △OPq ~ △ OqP ，则
q
r a 常数 r f
求得镜像电荷为
q
镜像电荷离球心的距离d 应为
a q f
a2 d f
若导体球不接地，则其电位不为 零。
0
q
由q 及 q 在球面边界上形成的电位 为零，因此必须再引入一个镜像电荷q
以产生一定的电位。
q 的位置和量值应该如何?
求得 可见，分离常数 kx 为虚数，故 X(x) 的解应为
kx j
nπ d
X ( x) Ce
式中的常数 C 应为零？ 求得 那么
nπ x d
De
nπ x d
nπ x d
X ( x) De
( x, y) Ce
nπ x d
nπ sin d
y
式中的常数 C = AD 。
局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可 能确定其镜像电荷。
（1）点电荷与无限大的导体平面
r q P q h h q r P
介质
导体
r
介质 介质
以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常
数为 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
P
a r O q d
r q f
荷 q 的连线上，那么球面上任一点电 位为
q q 4 π r 4 π r
为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
q
r q r
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 r 面上任一点均具有同一数值。
对于球
P
a O d r q f r
2 2 kx ky k z2 0
d2 X 2 k X 0 x 2 dx