南京理工大学硕士研究生矩阵分析与计算试题答案

20XX 年南京理工大学硕士研究生

《矩阵分析与计算》考试（A 卷）参考答案 注意：所有试题答案都写在答题纸上，写在试卷上无效

一、（12分）设矩阵0.60.50.10.3A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算21,,F A A A A ∞。

解：10.8, 1.1,F A A A ∞=== …………. 9 分

0.370.330.330.34T A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

m a x ()0.6853T A A λ≈， …………. 2 分

从而20.8278A == …………. 1 分

二、（15分）求矩阵141130001A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦

的初等因子及Jordan 标准形。 解：初等因子 21,(1)λλ-+ …………. 10 分

Jordan 矩阵1111J ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

…………. 5 分

三、（20分）已知1011011,11121A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

（1）求A 的满秩分解；（2）求A +；（3）用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax b =是否有解；（4）求Ax b =的极小范数解或极小范数最小二乘解，并指出所求的是哪种解．

解：（1）101010101111A FG ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦

…………. 6 分

(2) 54114519112A +-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

…………. 6 分 (3) []21123

T b A b A +=

≠,方程组无解； …………. 4 分 （4）极小范数最小二乘解为[]021129

T b x A +== …………. 4 分

四、（10分）利用盖尔圆隔离定理证明205141011210A i ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

有三互异特征值。 解：取(1,1,3)D diag =，则1B DAD -=的三个行盖尔园隔离，因此矩阵有3个互异特征值. ………….10 分

五、（10分）用LU 分解求解方程组 1234102040101312431301035x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ 解:

1020110200101011011243121210

10301012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

…………. 5 分 求解得到(2,2,1,1)T x = …………. 5分

六、（10分）利用幂法计算矩阵 1319⎡⎤⎢⎥-⎣⎦

的按模最大特征值及对应特征向量。（取初始向量(1,1)T ,结果保留4位有效数字）

解: max 8.6055λ≈, 特征向量(0.3945,1)T ………… 10分

七、（15分）已知308316,205A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（1）求At e ； （2）求()dx t Ax dt =满足1(0)11x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

的解。

解: (1) 3det()(1)I A λλ-=+, 设 2()r a b c λλλ=++,有

2222122212t t

t t t t t t t

a t e a

b

c e a b te b te t e

a t e c e te t e ---------⎧=⎪⎧-+=⎪⎪-+=⇒=+⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=++⎩ ………… 5分 214083162014At t t t e aA bA cI e t t t t -+⎡⎤⎢⎥=++=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

………… 5分 112()(0)1916At t x t e x t t +⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

………… 5分 八、（8分）对于,n n Ax b A R ⨯=∈为对称正定矩阵，试述求解该线性方程组的极小化方法的基本算法思想，并比较最俗下降法与共轭梯度法之间的联系与区别。 解: 要点:变分原理 ………… 4分 区别: 方向不同,一个是负梯度方向,一个是A-共轭方向; ………… 4分