第八节 二元函数的极值

第八节二元函数的极值教学目的与要求：理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题教学重难点：二元函数的极值的充分条件，拉格朗日乘数法教法：讲授课时：2 课时一、引例伴随着社会进步和生产力的不断发展，在工程技术，科学研究，经济活动分析诸多领域都提出了大量最优化问题。

这些问题的本质特征是：在一定的投入水平下，如何寻求最大的效益或与之等价的含义，在设定的效益水平下，如何降低投入。

刻划这类问题的数学语言是：对于变量之间的函数，当自变量取何值时，函数变量的值能达到相对的最大或最小。

这就是构成多元函数极值问题的实际背景。

实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价 1 元，外地牌子每瓶进价 1.2 元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.注：对于多元函数的极值问题，我们将重点研究二元函数。

二、二元函数极值的一般概念1 、二元函数极值定义设函数z= f( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义, 如果对于该邻域内任何异于( x0 , y0 ) 的点( x, y) , 都有f( x, y)< f( x0 , y0 ) ( 或f( x, y)> f( x0 , y0 )) , 则称函数在点( x0 , y0 ) 有极大值( 或极小值) f( x0 , y0 ) .极大值、极小值统称为极值。

使函数取得极值的点称为极值点。

例1 讨论函数在点的状态。

因为，而当x,y 不同时为零时，恒大于零，所以函数在（0,0 ）取得的函数值是函数的一个极小值。

这个结论由图一可看出其正确性。

由于的图形是顶点在(0,0,0) 的开口向上的旋转抛物面，(0,0,0) 恰为它的顶点。

例如，函数z= 3 x2 + 4 y2 在点(0 , 0) 处有极小值。

当( x, y) = (0 , 0) 时, z= 0 , 而当( x, y) 1 (0 , 0) 时, z> 0 . 因此z= 0 是函数的极小值。

例如，函数在点(0 , 0) 处有极大值。

当( x, y) = (0 , 0) 时, z= 0 , 而当( x, y) 1 (0 , 0) 时, z< 0 . 因此z= 0 是函数的极大值。

例如，函数z= xy在点(0 , 0) 处既不取得极大值也不取得极小值。

因为在点(0 , 0) 处的函数值为零, 而在点(0 , 0) 的任一邻域内, 总有使函数值为正的点, 也有使函数值为负的点。

以上关于二元函数的极值概念, 可推广到n元函数。

注：关于多元函数极值的概念应注意理解好两个要点：一是极值点指的是某个区域的内点而不能是边界点。

二是函数的极值指的是函数在某个自变量点的邻域内的局部概念而不是在函数定义域内的概念。

2 、二元函数极值存在的必要条件在前述例 1 中，我们知道函数点(0,0) 将取得极小值，由于是比较简单的二元函数，所以直接用极值定义就可得出结论。

若遇到函数关系复杂的问题，判断极值就比较困难了。

因为在极值定义中，函数是否在一点处取极值归结为函数值的比较，而在一点的邻域内有无穷多个自变量点, 那么仅仅依据定义来判断几乎无法实现。

因此，必须研究极值点寻求的方法。

定理1 ( 必要条件) 设函数z= f( x, y) 在点( x0 , y0 ) 具有偏导数, 且在点( x0 , y0 ) 处有极值, 则有, 。

证：不妨设在点处有极大值, 则对于的某邻域内任都有,故当，时，有,说明一元函数在处有极大值, 必有;类似地可证.仿照一元函数, 凡是能使f x( x, y) = 0 , f y( x, y) = 0 同时成立的点( x0 , y0 ) 称为函数z= f( x, y) 的驻点。

从定理1 可知, 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。

但函数的驻点不一定是极值点。

例如, 函数z= xy在点(0 , 0) 处的两个偏导数都是零, 函数在(0 , 0) 既不取得极大值也不取得极小值。

由此定理可得如下表述的逆否命题：设在点存在偏导数，但, 至少一个不等于零，则在点不取极值。

由此说明, 一个二元函数的极值的存在，首先应考虑两个偏导数为零的点（不妨仍称为驻点），因为在非驻点处，函数一定不取极值。

当然，接着我们就应该思考，函数在驻点是否就一定取极值？即上述定理的逆定理是否成立呢？为此讨论下面的例子。

例2 讨论函数在是否取极值解先讨论在是否满足必要条件从而，即是驻点且在有可能取极值若在点(0,0) 的邻域内任取x 、y 均为正数的点，这时；任取x 、y 为负数时，，也就是说既不是点邻域内自变量为任意( x, y) 时对应的函数值相对而言较大或较小的，所以并不是极值。

由此可知定理的逆定理并不成立，所以该定理只是必要性定理。

从几何上看, 这时如果曲面z= f( x, y) 在点( x0 , y0 , z0 ) 处有切平面, 则切平面z- z0 = f x( x0 , y0 )( x- x0 ) + f y( x0 , y0 )( y- y0 ) 成为平行于xOy坐标面的平面z= z0 .类似地可推得, 如果三元函数u= f( x, y, z) 在点( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数, 则它在点( x0 , y0 , z0 ) 具有极值的必要条件为f x( x0 , y0 , z0 ) = 0 , f y( x0 , y0 , z0 ) = 0 , f z( x0 , y0 , z0 ) = 0 .提问：那么如何判定一个驻点是否为极值点呢？3 、二元函数极值存在的充分条件定理2 ( 充分条件) 设函数z= f( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又 f x( x0 , y0 ) = 0 , f y( x0 , y0 ) = 0 , 令f xx( x0 , y0 ) = A, f xy( x0 , y0 ) = B, f yy( x0 , y0 ) = C,则f( x, y) 在( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下：(1) AC- B2 >0 时具有极值, 且当A<0 时有极大值, 当A>0 时有极小值;(2) AC- B2 <0 时没有极值;(3) AC- B2 = 0 时可能有极值, 也可能没有极值.（是否是极值需用其它方法，一般可结合图形判定）在函数f( x, y) 的驻点处如果 f xx×f yy- f xy2 >0 , 则函数具有极值, 且当 f xx<0 时有极大值,当f xx>0 时有极小值。

4 、极值的求法由极值存在的必要条件和充分条件可归纳出求极值的一般步骤如下：第一步求一阶偏导数，令其为零，解出定义域内的驻点即，解方程组f x( x, y) = 0 , f y( x, y) = 0 , 求得一切实数解, 可得一切驻点。

第二步对于每一个驻点( x0 , y0 ) , 求出二阶偏导数的值A、B和C.第三步定出AC- B2 的符号, 按定理2 的结论判定f( x0 , y0 ) 是否是极值、是极大值还是极小值。

例3 求函数f( x, y) = x3 - y3 + 3 x2 + 3 y2 - 9 x的极值。

解解方程组,求得x= 1 , - 3 ; y= 0 , 2 . 于是得驻点为(1 , 0) 、(1 , 2) 、( - 3 , 0) 、( - 3 , 2) .再求出二阶偏导数f xx( x, y) = 6 x+ 6 , f xy( x, y) = 0 , f yy( x, y) = - 6 y+ 6 .在点(1 , 0) 处, AC- B2 = 12 × 6>0 , 又A>0 , 所以函数在(1 , 0) 处有极小值f(1 , 0) = - 5 ;在点(1 , 2) 处, AC- B2 = 12 × ( - 6)<0 , 所以f(1 , 2) 不是极值;在点( - 3 , 0) 处, AC- B2 = - 12 × 6<0 , 所以f( - 3 , 0) 不是极值;在点( - 3 , 2) 处, AC- B2 = - 12 × ( - 6)>0 , 又A<0 , 所以函数的( - 3 , 2) 处有极大值f( - 3 , 2) = 31 .应注意的问题：不是驻点也可能是极值点例如, 函数在点(0 , 0) 处有极大值, 但(0 , 0) 不是函数的驻点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑。

三、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.最大值和最小值问题：如果f( x, y) 在有界闭区域D上连续, 则f( x, y) 在D上必定能取得最大值和最小值。

这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部, 也可能在D 的边界上. 我们假定, 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在D的内部取得最大值( 最小值) , 那么这个最大值( 最小值) 也是函数的极大值( 极小值) 。

因此, 求最大值和最小值的一般方法是：将函数在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.例4 某厂要用铁板做成一个体积为8 m 3 的有盖长方体水箱。

问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省。

解设水箱的长为x m , 宽为y m , 则其高应为m . 此水箱所用材料的面积为.令, , 得x= 2 , y= 2 .根据题意可知, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域D= {( x, y)| x>0 , y>0} 内取得. 因为函数A在D内只有一个驻点, 所以此驻点一定是A的最小值点, 即当水箱的长为2m 、宽为2m 、高为m 时, 水箱所用的材料最省。

因此A在D内的唯一驻点(2 , 2) 处取得最小值, 即长为2m 、宽为2m 、高为m 时, 所用材料最省.从这个例子还可看出, 在体积一定的长方体中, 以立方体的表面积为最小.例5 有一宽为24cm 的长方形铁板, 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽。

问怎样折法才能使断面的面积最大？解设折起来的边长为x cm , 倾角为a, 那末梯形断面的下底长为24 - 2 x, 上底长为24 - 2 x× cos a, 高为x× sin a, 所以断面面积,即A= 24 x× sin a- 2 x2 sin a+ x2 sin a cos a(0< x<12 , 0 < a￡90 ° ) .可见断面面积A是x和a的二元函数, 这就是目标函数, 面求使这函数取得最大值的点( x, a) .令A x= 24sin a- 4 x sin a+ 2 x sin a cos a= 0 ,Aa= 24 x cos a- 2 x2 cos a+ x2 (cos 2 a- sin 2 a) = 0 ,由于sin a1 0 , x1 0 , 上述方程组可化为.解这方程组, 得a= 60 ° , x= 8cm .根据题意可知断面面积的最大值一定存在, 并且在D= {( x, y)|0< x<12 , 0 < a￡90 ° } 内取得, 通过计算得知a= 90 °时的函数值比a= 60 ° , x= 8(cm) 时的函数值为小。