必修4 第三章 三角恒等变换测试题

第三章测试

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 C.34

解析 原式＝12sin210°答案 B

2．若sin2α＝14，π4<α<π

2，则

B ．－3

2 D ．－34

α＝1－14＝3

4. ∴cos α

2.

答案 B

3．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan α

2＝( ) A ．3 B ．2 C ．－2

D ．－3

4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22 C.32

D. 2

解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，

3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋1

2cos A )

＝2cos(60°－A )＝2cos45°答案 A

5．已知tan θ＝13，则cos 2

θB ．－45 D.65

＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝6

5.

A ＝sin

B cos B ，则△AB

C 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π

2.

7．设a＝

2

2(sin17°＋cos17°)，b＝2cos

213°－1，c＝

3

2，则()

A．c

解析a＝

2

2sin17°＋

2

2cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，

b＝2cos213°－1＝cos26°，

c＝

3

2＝cos30°，

∵y＝cos x在(0,90°)内是减函数，

∴cos26°>cos28°>cos30°，即b>a>c.

答案 A

8．三角形ABC中，若∠C>90°，则tan A·tan B与1的大小关系为()

A．tan A·tan B>1 B. tan A·tan B<1

C．tan A·tan B＝1 D．不能确定

解析在三角形ABC中，∵∠C>90°，∴∠A，∠B分别都为锐角．

则有tan A>0，tan B>0，tan C<0.

又∵∠C＝π－(∠A＋∠B)，

∴tan C＝－tan(A＋B)＝－tan A＋tan B

1－tan A·tan B

<0，易知1－tan A·tan B>0，

即tan A·tan B<1.

答案 B

9．函数f (x )＝sin 2⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2

⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －π4是( )

A ．周期为π的奇函数

B ．周期为π的偶函数

C ．周期为2π的奇函数

D ．周期为2π的偶函数

解析 f (x )＝sin 2

⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2＝cos 2⎝

⎛⎭⎪⎫π4－x －sin 2⎝

⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝

⎛⎭

⎪⎫x －π4－sin 2⎝

⎛

⎭

⎪⎫x －π4

＝cos ⎝

⎛

⎭

⎪⎫2x －π2

＝sin2x . ( ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤

1＋22，2 D.⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤－12，32 ＝1＋cos2x 2

＋1

2sin2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭

⎪⎫22sin2x ＋2

2cos2x

＝12＋22sin(2x ＋π

4)．∵x ∈R ，

∴当sin ⎝

⎛

⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22；

当sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22.

∴值域为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1－22，1＋22. 答案 C

11.2cos10°－sin20°sin70°的值是( )

＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝3

5，则cos α的B.1665

D ．以上都不对

解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝12

13>0， ∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝5

13. ∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝3

5>0，

∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝4

5. ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]

＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A

二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)

13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，

∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β. ∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．

∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.

4α＋cos 4α＝________. 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59. 答案 59

15.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α

＝________. 解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋