弹性力学第九章 柱形杆的扭转和弯曲
如何在理论力学中分析弯曲和扭转效应？
如何在理论力学中分析弯曲和扭转效应？在工程和物理学领域，理解和分析弯曲和扭转效应是至关重要的。
弯曲和扭转是物体在受力作用下常见的变形形式，它们对于结构的稳定性、机械部件的性能以及材料的强度评估都有着深远的影响。
接下来，让我们逐步深入探讨如何在理论力学中对这两种效应进行有效的分析。
首先，我们来了解一下弯曲效应。
当一个杆件或梁受到垂直于其轴线的力时，就会产生弯曲。
为了分析弯曲，我们需要引入一些关键的概念和理论。
弯矩是描述弯曲效应的重要物理量。
它是力乘以力臂的乘积，反映了杆件在某一截面上所承受的弯曲力矩的大小。
通过计算不同截面上的弯矩，我们可以了解杆件在不同位置的弯曲程度。
在弯曲分析中，还需要考虑梁的截面特性。
例如，惯性矩就是一个关键的参数。
惯性矩取决于截面的形状和尺寸，它反映了截面抵抗弯曲变形的能力。
不同形状的截面，如圆形、矩形、工字形等，具有不同的惯性矩计算公式。
对于简单的静定梁，我们可以使用静力平衡方程来求解弯矩和剪力。
例如，简支梁在均布载荷作用下，通过对梁进行受力分析，列出平衡方程，就能够得到弯矩和剪力的表达式。
而对于超静定梁，就需要结合变形协调条件和物理方程来求解。
这可能会涉及到使用力法或位移法等较为复杂的分析方法。
接下来，我们转向扭转效应的分析。
当杆件受到绕其轴线的扭矩作用时，就会产生扭转。
扭矩是描述扭转效应的物理量，类似于弯矩在弯曲分析中的作用。
为了分析扭转，我们同样需要关注杆件的截面特性，其中极惯性矩是一个重要的参数。
对于圆形截面的杆件，其极惯性矩可以通过特定的公式计算得出。
而对于非圆形截面，计算极惯性矩则相对复杂。
在扭转分析中，还有一个重要的概念是剪应力分布。
在圆形截面的扭转中，剪应力沿着半径方向呈线性分布，最大剪应力出现在圆周表面。
对于复杂的扭转问题，如变截面杆件的扭转或多根杆件组成的系统的扭转，可能需要使用能量法或有限元方法等数值分析手段来求解。
在实际应用中，弯曲和扭转效应往往是同时存在的。
机械运作原理的杆件弯曲与扭转分析
机械运作原理的杆件弯曲与扭转分析杆件弯曲与扭转分析是机械运作原理中的重要内容之一。
对于机械结构而言，杆件的弯曲与扭转是不可避免的力学现象，而准确地分析和计算杆件在弯曲与扭转力下的应力和变形是确保机械结构安全可靠运行的重要步骤。
下面将对杆件弯曲与扭转的原理进行详细分析。
首先，我们来讨论杆件的弯曲。
在杆件的弯曲分析中，我们通常采用梁理论（也称为Euler- Bernoulli梁理论）进行分析。
根据这一理论，当杆件受到作用力时，杆件会发生弯曲变形，即杆件上的任意一点都会产生弯曲位移。
杆件的弯曲会引起杆件上的各个截面产生弯矩，而弯矩又会导致杆件上的截面发生应力分布。
根据材料力学的知识，我们可以得到杆件截面上的应力与弯矩的关系：弯曲应力与弯矩成正比。
其次，我们来讨论杆件的扭转。
在杆件扭转分析中，我们通常采用圆柱体的扭转理论进行分析。
根据这一理论，当杆件受到扭矩时，杆件会发生扭转变形。
扭转时，杆件截面上的各个点会绕着杆件中心线产生相对位移。
根据材料力学的知识，我们可以得到杆件截面上的应力与扭矩的关系：扭转应力与扭矩成正比。
综上所述，对于杆件的弯曲与扭转分析，我们首先需要确定杆件所受的力或扭矩，并根据梁理论和扭转理论计算出杆件截面上的弯矩和扭矩。
然后，根据材料的力学性质，将弯矩和扭矩转换成截面上的应力值，并计算出截面上的应力分布情况。
最后，根据杆件所受力的大小和截面上的应力分布情况，判断杆件是否满足运行要求，如果杆件的应力超过了材料的强度极限，就需要进行结构优化或者选择更合适的材料。
需要注意的是，杆件的弯曲和扭转往往是同时存在的，因此在分析时需要将两者综合考虑。
当杆件同时受到弯曲力和扭矩时，会出现综合应力状态，即弯曲应力和扭转应力的叠加效应。
对于综合应力状态的杆件分析，我们可以使用叠加原理进行计算。
杆件弯曲与扭转分析在机械工程中是一项基础而重要的工作，它能够帮助我们理解和分析杆件在工作过程中的变形和应力状态，为设计和优化机械结构提供重要的理论依据。
工程力学-第9章 扭转
第9章扭转（6学时）教学目的：理解圆轴扭转的受力和变形特点，剪应力互等定理；掌握圆轴受扭时的内力、应力、变形的计算；熟练掌握圆轴受扭时的强度、刚度计算。
教学重点：外力偶矩的计算、扭矩图的画法；纯剪切的切应力；圆杆扭转时应力和变形；扭转的应变能。
教学难点：圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别；掌握扭转时的强度条件和刚度条件，能熟练运用强度和刚度计算。
教具：多媒体。
通过工程实例建立扭转概念，利用幻灯片演示和实物演示表示扭转时的变形。
教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
通过例题、练习和作业熟练掌握强度和刚度计算。
本章中给出了具体情形下具体量的计算公式，记住并会使用这些公式，强调单位的统一，要求学生在学习和作业中体会。
教学内容：扭转的概念；扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；扭转时的切应力和变形，圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法。
教学学时：6学时。
教学提纲：9.1 引言工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、搅拌机轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。
还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合变形。
例如，汽车方向盘下的转向轴，攻螺纹用丝锥的锥杆（图9-1）等，其受力特点是：在杆件两端作用大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶。
在这样一对力偶的作用下，杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。
扭转时杆件两个横截面相对转动的角度，称为扭转角，一般用φ表示（图9-2）。
以扭转变形为主的杆件通常称为轴。
截面形状为圆形的轴称为圆轴，圆轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。
图9-1图9-2本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度及刚度计算等问题，同时非圆截面杆进行简单介绍。
弯曲与扭转力学分析
弯曲与扭转力学分析弯曲与扭转是材料力学中非常重要的概念和研究方向。
弯曲通常是指材料的一个部分受到外力作用，导致该部分发生形变的过程。
而扭转是指材料整体在一个点处受到外力扭矩作用，导致整体发生旋转的过程。
本文将深入探讨弯曲与扭转的力学分析。
一、弯曲力学分析弯曲是在横截面内发生的，通常发生在杆件之类的结构中。
弯曲过程中，材料上的顶点处的应变是最大的，而中性轴附近的应变较小。
弯曲时，杆件上各点的应力呈现梯度状，越靠近顶点的应力越大，越靠近中性轴的应力越小。
为了分析弯曲问题，常用的方法是欧拉－伯努利理论和斯格米定理。
欧拉－伯努利理论是假设杆件在受到外力时，各截面处的纤维保持笔直，未发生剪切形变。
斯格米定理则是假设截面上所有的纤维在应力状态和平衡方面相同。
在弯曲力学分析中，常涉及到杆件的截面性质，如惯性矩和截面模量。
惯性矩是描述截面抵抗物体弯曲的能力，而截面模量则表示物体抵抗拉伸和压缩的能力。
这些参数对弯曲性能的分析和设计至关重要。
二、扭转力学分析扭转是材料整体或部分在某个轴上产生转动的过程，通常出现在轴类结构和圆形截面杆件中。
扭转产生的力矩和角度之间的关系由杨氏模量决定。
杨氏模量描述了材料在受到扭转作用时变形和应力之间的关系。
扭转力学分析中，将杆件视为薄壁的圆筒，应用薄壁圆筒的形变和应力理论进行分析。
扭转力矩和扭转角之间的关系可以通过圆筒壁的剪切应力和圆筒半径来计算。
在扭转过程中，圆筒壁上的剪切应力是非常重要的参数，也是设计和分析的关键指标。
结论弯曲与扭转力学分析是研究材料力学中的重要方向。
通过对弯曲和扭转过程中的力学特性进行分析和计算，可以为工程设计和材料选择提供有力的依据。
在实际应用中，需要结合材料的力学性能参数和实际的工程需求，进行适当的材料选择和设计。
弯曲和扭转力学分析在许多工程领域具有广泛的应用，如建筑结构、机械设计和航空航天等。
深入理解弯曲和扭转的原理和力学特性，对于工程师和研究人员来说是非常重要的。
弹性力学柱体的扭转
第九章柱体的扭转9.1 扭转问题的位移解法学习思路:本节讨论自由扭转问题的位移解法。
首先建立自由扭转的位移假设：一是刚截面假设；二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。
通过上述假设，将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示，因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数Φ (x，y)。
基本未知量翘曲函数Φ (x，y)。
确定后，通过基本方程，将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。
位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。
因此只要选取的翘曲函数是调和函数，自然满足自由扭转问题的基本方程。
自由扭转问题的边界条件，可以分为两个部分：侧面边界条件和端面边界条件。
对于自由扭转，侧面边界不受力。
根据这一条件，可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。
端面采用合力边界条件，就是端面应力的合力为扭矩T。
这一边界条件，采用翘曲函数表达相当复杂。
学习要点：1. 扭转位移假设；2. 扭转翘曲函数满足的基本方程；3. 扭转边界条件；4. 扭转端面边界条件；当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。
如果横截面翘曲变形不受限制，称为自由扭转；如果横截面翘曲变形受到限制，就是约束扭转。
本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。
对于柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素，使得柱体不产生刚体位移。
柱体右端面作用一力偶T，侧面不受力。
设柱体左端面形心为坐标原点，柱体轴线为z轴建立坐标系。
柱体扭转时发生变形，设坐标为z 的横截面的扭转角为α，则柱体单位长的相对扭转角为。
而横截面的扭转角α = ϕ z。
对于柱体的自由扭转，首先考察柱体的表面变形。
观察可以发现，柱体表面横向线虽然翘曲，但是各个横向线的翘曲是基本相同的，而且横向线的轮廓线形状基本不变。
根据上述观察结论，对柱体部位移作以下的假设：1．刚截面假设。
柱体扭转当横截面翘曲时，它在Oxy平面上的投影形状保持不变，横截面作为整体绕z 轴转动，如图所示。
工程力学第九章扭转PPT课件
.
29
第九章 扭转
§9-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
Ⅰ. 横截面上的应力
表面 变形 情况
横截面 推断 的变形
情况
(问题的几何方面)
横截面 上应变 的变化 规律
应力-应变关系
横截面上 内力与应力的关系 横截面上应力
应力变化
的计算公式
规律
(问题的静力学方面)
(27问.03题.202的1 物理方面)
.
45
3. 校核强度
第九章 扭转
2,max >1,max，但有 2,max<[ ] = 80MPa，故
该轴满足强度条件。
Mn图(kN m)
需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应 力集中现象，在以上计算中对此并未考核。
27.03.2021
.
46
第九章 扭转
§9-5 等直圆杆扭转时的变形·刚度条件
第九章 扭转
低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如 图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？
27.03.2021
.
42
第九章 扭转
Ⅲ. 强度条件
max[]
此处[]为材料的许用剪应力。对于等直圆轴亦即 M nmax [ ]
Wp 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因 拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上 的剪应力有固定关系，故仍可以剪应力和许用剪应力来表 达强度条件。
468
M n (N·m)
扭矩图应与原轴平行对齐画
27.03.2021
.
16
作内力图要求：
1 . 正确画出内力沿杆轴分 布规律
mB
mC
B
C
弹性力学-第九章 等截面直杆的扭转
z
M
L
o
M
y
u = −α yz , v = α xz
图9.1
第九章 等截面直杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法
∂ψ ∂ψ τ zx = α G ( ∂x − y ), τ zy = α G ( ∂y + x) σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∇ 2ψ = 2 + 2 = 0 ∂x ∂y
在A中， 在c上
∫
∂ψ τ zx dA = α G ( − y )dA ∂x A A
Hale Waihona Puke ∫∂ = αG∫ ∂x A
∂ψ ∂ ∂ψ x ∂x − y + ∂y x ∂y + x dA
∂ψ n + ∂ψ + x n ds = 0 = α G∫ x − y 1 2 ∂x ∂y c
第九章 等截面直杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法
第九章 等截面直杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法
第九章 等截面直杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法
第九章 等截面直杆的扭转 §9.2 扭转问题的应力解法
§9.2 扭转问题的应力解法
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
w = αψ ( x, y )
∂ψ ∂ψ ( − y )n1 + ( + x)n2 = 0 ∂x ∂y
∂ψ ∂ψ ∂ψ = n1 + n2 ∂n ∂x ∂y
第九章 等截面直杆的扭转 §9.1 扭转问题的位移解法
∂ψ = yn1 − xn2 ∂n
工程力学第九章圆柱扭转解读
呈线性分布，圆心附近处应力较小，材料未能充分发挥作用。改
为空心轴后，相当于把少量轴心处的材料移向边缘，从而保证了
轴的强度。但是，空心轴价格昂贵，要视具体情况采用。故AB
轴满足强度要求 。
第九章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的变形与刚度计算
一、圆轴扭转时的变形计算
扭转变形是用两个横截面绕轴线的扭角来表示的。对于
MB
9550 PB n
9550 20 N m 199N m 960
MC
9550 PC n
9550 7.5 N m 75N m 960
式中，MA为主动力偶矩，与ABC轴转向相同；MB、 MC为 阻力偶矩，其转向与MA相反。
MA
解 1)计算外力偶矩。MA=274Nm；
MB=199Nm； MC=75Nm 2)计算扭矩。将轴分为两段，
(1 0.9444 )mm 3
29500mm 3
max
Mn Wn
1.5103 103
29500
MPa
50.8MPa
[ ]
故AB轴满足强度要求 。
第九章 圆轴的扭转
已知：D＝90mm，t=2.5mm， [ ] =60MPa，Mn=1.5kN·m。
1)试校核AB轴的强度。 2)如将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径。 3)比较实心轴和空心轴的质量。 解 1)校核AB轴的强度。
反形、力。偶矩大小相等的外力使
圆轴扭2转）。由当上扭述转现变象形可很认小为时：，
圆周线 O
M A'
OA
可扭观转察变到形：后，轴的横截面仍保 持平面，其形状和大小不变， M
OM
半径仍为直线。这就是圆轴扭
转的平面假设。
材料的力学性能---扭转、弯曲、压缩
扭转、弯曲、压缩性能
主要内容
材料的扭转试验如何实现来自有何实际意义？ 材料的弯曲试验如何实现？有何实际意义？ 材料的压缩试验如何实现？有何实际意义？
材料的扭转
对试样施加扭矩，一般扭至断裂，测量扭 矩及其相应的扭角，以便测定材料扭转力 学性能的方法称为扭转试验，它是重要的 力学性能试验方法之一。扭转试验采用圆 柱形(实心或空心)试件，在扭转试验机上进 行。
3.
抗扭强度 根据试样在扭断前承受的最大扭矩(Tb)，利用 弹性扭转公式计算抗扭强度，即 b= Tb/W 式中：Tb为试件断裂前的最大扭矩。由于b是按 弹性变形状态下的公式计算的，它比真实的抗扭 强度大，故称为条件抗扭强度。只有陶瓷等很脆 的材料，在扭转时没有明显塑性变形时，上述计 算的b值才比较真实。为了求得塑性材料的真实 扭转强度极限，可运用塑性力学理论，按圆柱形 试样在大塑性变形下的扭转真应力计算。其计算 方法详见有关的参考文献。
扭 转 试 验 方 法
扭转试验的力学性能指标
在弹性变形范围内，由材料力学理论可知试样 表面的切应力： =T/W 式中，W为试样的截面系数。 实心圆杆，W=d03/16； 空心圆杆， W=d03(1-d14/d04)/16； 其中d0为外径，d1为内径。 因切应力作用而在圆杆表面产生的切应变 =tan=d0/2l0100% 式中：为圆杆表面任一平行于轴线的直线因切应 力的作用而转动的角度，为扭转角；L0为杆的长 度。
max= Mmax/W
式中：对于三点弯曲试验 Mmax=PL/4 对于四点弯曲试验 Mmax=PK/2 有
一般对脆性材料只测定断裂是的抗弯强度bb,
bb=Mb/W
2.弯曲模量Eb 对矩形试样，弯曲模量 Eb=mL3/4bh 式中m为弯曲图上P-f直线 段的斜率，L为试样的跨距。
《弹性力学》第九章 扭转
15
§9-3 薄膜比拟
由上节的例子可以看出，对于椭圆形这种简单等截面 直杆，我们给出了横截面上剪应力的计算表达式，但却没 有指出截面最大剪应力的位置及其方向；而对于矩形、薄 壁杆件这些截面并不复杂的柱体，要求出其精确解都是相 当困难的，更不用说较复杂截面的杆件了。为了解决较复 杂截面杆件的扭转问题，特提出薄膜比拟法。该方法是建 立在柱体扭转问题与受均匀侧压力而四周张紧的弹性薄膜 之间数学关系相似的基础上。 设有一块均匀薄膜，张在与扭转杆件截面相同或成比 例的边界上。当在侧面上受着微小的均匀压力时，在薄膜 内部将产生均匀的张力，薄膜的各点将发生图示 z方向微 小的垂度。
u 0 x v 0 y w 0 z
积分后得到
w v 1 y z G x u w 1 z x G y v u 0 x y
u u 0 y z z y Kyz v v 0 z x x z Kxz
2
T z 0 q s
a
而应力函数所满足的微分方程和边界条件为
2 2Gk ,
s 0
18
其中Gk也是常量，故也可改写为
1 0, 2Gk
2
0 2Gk s
b
T 将式 b与式 a对比，可见2Gk与 z 决定于同样的微 q
y
o
T q
x
y
T
z
x d Tdy dy b
Tdx
a
c
简化后得
dx
2z 2z T 2 2 q 0 x y
17
即
q z T
2
此外，薄膜在边界上的垂度显然等于零，即
弹性力学第九章柱形杆的扭转和弯曲
zx G 1
2ab2 x
x2
y2
2 y
zy
G x a
ab2 (x2 y2 )
x2 y2 2
• 最大剪应力在A点，A（b，0)，得
zx A 0
zy
A
m
ax
2Ga1
2ba
• B（2b，0）点的剪应力
zx B 0
zy
B
Ga1
b2 4a 2
A O
r
Bx
当b<<a
yb 2
max |
zx
yb 2
| 3T ab2
(5)
二 任意边长比的矩形截面杆的扭转 在狭长矩形截面扭杆应力函数(1)的基础上，加上修正项F1，即
F(x,y)b42 y2F1(x,y)
(6)
函数F应满足方程
，将2式F(6)代入2，得到F1满足方程
2 F1 x2
2 F1 y 2
0
(7)
另外，应力函数F在矩形截面的边界处满足如下边界条件
§9.1 扭转问题的位移解法----圣维南扭转函数
柱体扭转 横截面翘曲 自由扭转——横截面翘曲变形不受限制 约束扭转——横截面翘曲变形受到限制 弹性力学讨论自由扭转
柱体自由扭转位移解法 自由扭转的位移 1. 2.翘曲假设
位移解法基本方程
u yz v xz
w(x,y)
设单位长度相对扭转角为
将
(a2 b2)T
a3b3G
代入式(9-1a)，得
翘曲位移为
u
(a 2 b 2 )T
a 3b 3G
yz
v
(a 2 b 2 )T
a 3b 3G
xz
w(a2a3bb32G)T xy
专题二弹性力学内容提要1杆的拉伸弯曲和扭转杆的三种常见变形
专题二弹性力学Elasticity内容提要•1. 杆的拉伸、弯曲和扭转•2. 板（膜）的弯曲•3. 弹性力学基本方程§1. 杆的拉伸、弯曲和扭转Stretch, bend and twist of rods杆的三种常见变形模式拉伸应力(正应力)A为杆的截面积应变与泊松比纵向应变横向应变泊松比单位体积的应变能胡克定律•理想线弹性材料E称为材料的杨氏模量实际材料的应力应变曲线杆（梁）的弯曲•应力与力（偶）矩•中性面假设：中面的线元无伸长或压缩z截面惯性积对于矩形截面，•沿轴线单位长度的弯曲能•等截面杆的一般弯曲问题压杆的失稳问题•当力超过临界值后，杆突然弯曲假定弯成半径R的弧•临界力扭转杆中的剪切应变（力）•胡克定律G称为材料的剪切模量(各向同性材料)•剪应力互等定理•扭转杆的剪切应变与半径成线性关系•扭转杆的剪切应力与半径也成线性关系•圆截面杆扭矩与扭角成正比弹簧的劲度系数•习题：将弹簧每一小段看成扭转杆，利用扭转杆的公式证明弹簧劲度系数满足R扭转杆的截面半径; R0弹簧圈的半径N弹簧的圈数;G 剪切模量§2. 板（膜）的弯曲Bending of shells (membranes)将弯曲的板抽象成曲面•板的厚度<<板的横向尺度弯曲需要两个曲率半径表示各向同性板的弯曲能量§3. 弹性力学基本方程应力张量•应力张量坐标表示平衡方程x方向:应变张量（几何方程）正应变剪切应变本构关系•胡克定律•各向同性材料边界条件单位面积的力法矢量弹性力学问题封闭方程组•平衡方程（3个）•几何方程（3个）•本构关系（6个）•边界条件（3个）共计15个方程。
弹性力学(9)讲义版
( )
r r curlA = ∇ × A = 0
r 对于无旋场 ，有：A = grad Φ = ∇Φ
∂ ∂ ∂ ∇ = , , ∂x ∂y ∂z
r A的标量势 , r 为 R 的标量 函数。
inΩ
r 不失一般性，令： ∇g Ψ = 0
r r divA = ∇g A = 0 inΩ r r r r 对于无源场 ，有： A = curl Ψ = ∇ × Ψ A的矢
r r E = ∇Φ + ∇ × Ψ
r ∇ ×U = 0
r r r E = U +V
r ∇g V = 0
r 将赫姆霍兹定理 用于位移场 u ：
二、位移矢量的 Stokes分解
r r r u = u1 + u2
r r E = ∇Φ + ∇ × Ψ
没有转动 的位移 （无旋 没有体积变r 化的位移 （等体 r r r r 的）∇ × u1 = 0 , u 1 = ∇ Φ 的）θ = ∇ g u 2 = 0 , u 2 = ∇ × Ψ
司 老多媒体教学系列 师
弹性力学
华中科技大学力学系
2014年2月28日
1
司继文
老 司 师
多媒体教学系列
弹性力学 第九章 习题： 10-1 10-2 10-5 10-6 10-8 10-9
2
第九章 空间问题
§9-1 基本方程的柱坐标和球坐标形式 §9-2 位移的势函数分解 §9-3 弹性力学的位移通解 §9-4 弹性力学的应力通解
uR = uR ( R ) ,uθ = 0,uϕ = 0
γ Rθ = γ ϕθ = γ Rϕ = 0 ε R = ε R ( R ) ,ε θ = ε ϕ = ε T ( R )
柱的力学分析轴向压力弯曲与屈曲分析
柱的力学分析轴向压力弯曲与屈曲分析柱的力学分析：轴向压力、弯曲与屈曲分析柱是结构力学中常见的一种构件，它承受着轴向压力、弯曲和屈曲等力学作用。
在工程设计和施工过程中，对柱的力学性能进行准确的分析和计算是至关重要的。
本文将对柱的轴向压力、弯曲和屈曲进行详细的力学分析。
一、柱的轴向压力分析柱的轴向压力是指作用在柱上的沿着柱轴线方向的压缩力。
当柱受到轴向压力作用时，其内部会产生各种反力和内力分布情况。
根据力学原理，可以通过受力分析和平衡条件来确定柱顶部和底部的轴力大小。
为了进一步分析柱的轴向压力分布情况，需要考虑到柱材料的特性和几何形状等因素。
通常，通过应变理论和材料力学分析等方法可以得到柱内部应力和轴力的公式表示。
在工程实践中，常常采用欧拉公式或者变截面法来计算柱的轴向压力承载能力。
二、柱的弯曲分析除了轴向压力，柱在承受载荷时还可能会受到弯曲力的作用。
即使是纯轴向压力作用下的柱，在实际应用中也很难避免发生轻微的侧向偏转和弯曲变形。
因此，对柱的弯曲分析是非常重要的。
柱的弯曲分析可以通过应力和应变分析来实现。
根据梁理论和材料力学知识，可以得到柱弯曲的基本方程。
在计算过程中，需要考虑柱的截面形状、材料特性和受力情况等因素。
为了使得柱具有足够的强度和刚度抵抗弯曲力，工程实践中常常采用加固措施，如在柱的截面处设置钢筋、加大截面尺寸等。
三、柱的屈曲分析当柱所承受的轴向压力超过其极限承载能力时，柱将发生屈曲失稳现象。
屈曲是柱在轴向压力作用下由稳定状态向不稳定状态转变的过程。
柱的屈曲分析是基于弹性和稳定性理论的。
根据欧拉屈曲理论，可以得到柱屈曲的计算公式。
在屈曲分析过程中，需要考虑到柱的几何形状、材料特性、端部条件和作用力等因素。
柱的屈曲分析是工程设计中的重要内容，它对于确定柱的极限承载能力和采取适当的设计措施具有重要意义。
常见的柱的屈曲控制措施包括增加柱的有效长度和采用适当的支撑方式。
结语柱作为结构力学中的重要构件，其力学分析涉及轴向压力、弯曲和屈曲等多个方面。
材料力学-第9章 扭转
其中， 为该轴的角速度 (rad s) ， 2 则 M e 9549
Pk n
n 。若 Pk 的单位为千瓦 (kw ) ， 60
(9 1)
( N m)
若 Pk 的单位为马力 (1hp 735.5 W) ，则
M e 7024 Pk n
( N m)
(9 2 )
r l
(a)
利用上述薄壁圆筒的扭转，可以实现纯切实验。实验结果表明，当切应力不
超过材料的剪切比例极限 p 时， 扭转角 与扭转力偶矩 M e 成正比。 由式 (9 3) 和 式 (a ) 可以看出, 与 只相差一个比例常数，而 M e 与 也只差一个比例常数。 所以上述实验结果表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限 p 时，切应变 与 切应力 成正比（图 9-9） 。这就是材料的剪切虎克定律，可以写成
图 9-8 在纯剪切情况下，单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动，图 9-7 (e) ， 原来相互垂直的两个棱边的夹角， 改变了一个微量 ， 这就是切应变。 由图 9-7 (b) 可以看出，若 为薄壁圆筒两端截面的相对转角， l 为圆筒的长度，则切应变应 为
式中 r 为薄壁圆筒的平均半径。
动轮 A 输入功率 PA 50hp ，从动轮
B 、 C 、 D 输出功率分别为 PB PC 15hp ， PD 20hp ，轴的转
速为 n 300 r min ，试画出轴的扭矩 图。 解 按公式 (9 2) 计算出作用于
各轮上的外力偶矩。
M eA 7024 M eB M eD
T2 M eC M eB 0
T2 M eC M eB 702 N m
《柱体的弹塑性扭转》课件
# 柱体的弹塑性扭转 ## 简介 介绍弹塑性扭转的概念和应用场景。
稳定性分析
1
线弹性方法
采用线弹性方法进行柱体扭转稳定性分析。
转稳定性分析的步骤。
3
数值方法
使用数值方法进行柱体扭转稳定性分析的优势和应用。
弹塑性扭转的基本理论
航空航天领域
介绍柱体弹塑性扭转在航空航天领域中的关键 应用和研究进展。
桥梁工程设计
探究柱体弹塑性扭转在桥梁工程设计中的实际 应用。
汽车工程
讲解柱体弹塑性扭转在汽车工程中的重要性和 应用示例。
解析计算
探讨使用解析方法进行弹塑性扭 转计算的理论和应用。
实验研究
1
材料试验
介绍柱体弹塑性材料试验的设计和实施。
2
试验结果分析
分析柱体弹塑性扭转试验中的结果，并与理论进行对比。
3
参数敏感性分析
讨论柱体弹塑性扭转模型中参数的敏感性和误差分析。
应用案例
高层建筑结构设计
展示柱体弹塑性扭转在高层建筑结构设计中的 应用案例。
材料的应力-应变关系
介绍弹塑性材料在扭转过程中的应力-应变关系。
截面形状对扭转刚度的影响
讲解不同截面形状对柱体扭转刚度的影响。
弹塑性扭转方程
推导弹塑性扭转方程，解释其物理意义。
弹塑性扭转的计算方法
试验数据的获取
介绍获取弹塑性扭转试验数据的 方法和注意事项。
有限元分析
讲解使用有限元分析进行弹塑性 扭转计算的步骤和技巧。
工程力学第九章扭转ppt课件
T2-M C-上述分析，画扭矩图，扭矩的最大绝对值为
TmaxT2 141.6m N
T
76.4N·m
x
114.6N·m
例题 一传动轴如图，转速 n300rmin ； 主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的
功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传 动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？
4.78
6.37
15.9
4.78
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
薄壁圆管的扭转应力
从圆管上切取一微体abcd，微体既无轴向正 应变，也无横向正应变，只是相邻横截面ab与cd 之间发生相对错动，即仅产生剪切变形；而且， 沿圆周方向所有微体的剪切变形均一样。
例2 以下图所示阶梯形圆截面轴，在横截面A、B与C处承受 扭力偶作用，试校核轴的强度。MA=150N.m，MB=50N.m， MC=100N.m，许用切应力［τ］＝90MPa。
解：〔1〕问题分析 绘制扭矩图，由图知AB与BC 段的扭矩分别为
T1=150N.m T2=100N.m
〔2〕强度校核
m1a xD ,1 3 1 1 T 1 D 6 d 1 1 4 0 .0 1(3 2 1 6 1 N 4 5 0 0 m ..0 0 0 ) 2 1 4 4 8 8 .0 8 17 8 P 0 a 8.8 0 M 8 P m2 a x,D 2 3 1 1 T 2 6 D d 2 2 4 0 .0 1(3 2 1 6 1 2 0 N 0 0 m ..0 0 0 )1 2 4 8 2 8 .6 7 17P 0 a 8.7 6 MPa
那么其内径为: di=0.9do=0.9 0.0763=0.0687m 取 do=76mm，di=68mm〔注意〕
弹性力学 第九章等截面直杆的扭转
llxxyzzzmmyx yyz
fx（n其zy它自f然y 满足） fy n z fz
在杆端 fx , fy 必须合成力偶，要求：
fxdxdy 0
oM
x
(a)
xy
fx
fydxdy 0
(b)
yfx xfy dxdy M (c)
y
fy
（a）式积分：
fxdxdy zxdxdy
y
l( xz )s m( yz )s 0
yz
GK ( y
x)
, zx
GK ( x
y)
l m yl xm x y
杆端的边界条件: (以上端为例)
l m 0, n 1
oM x
l x m yx n zx fx
y
l xy m y n zy f y
M
l xz m yz n z fz
o
y
dx
ds
dy
x N
N
即： d 0 在杆外侧是常量
ds
令： s 0 （应力函数在杆外侧面为零）
xz
y
,
yz
x
增加或减少一个常
数对应力没有影响
多连域： e 0 i const
s
s
②杆端: (以上端为例)
oM x
l m 0, n 1
y
M
力边界条件：
z
l x m yx n zx fx
s= 0
= Ñ (xl ym)ds 2dxdy
= 2dxdy
(c)
2 dxdy M
❖ 多连体：
fx
zx
y
fy
zy
x
A
M yfx xfy dxdy
弹性力学课件09第九章 柱体扭转
材料力学解决了圆截面直杆的扭转问题，这里 处理的是一般等截面直杆的扭转问题，这本来 是一个空间问题，根据问题的特点进行了简化， 得到了扭转问题的基本方程。对于椭圆截面杆 这样边界简单的问题，容易得到扭转函数和解 答。对于矩形截面杆可以通过级数形式的扭转 函数求解。 第一节 基本方程 椭圆截面杆的扭转 第二节 差分方法
最后得到
2 ∫∫ ϕ d x d y = M
扭转的位移公式 根据应力、应变、位移的关系可以得到
∂u =0 ∂x ∂v =0 ∂y ∂w =0 ∂z
∂w ∂v 1 ∂ϕ + =− G ∂x ∂y ∂z ∂u ∂w 1 ∂ϕ + = ∂z ∂x G ∂y ∂v ∂u + =0 ∂x ∂y
积分后得到
u = u 0 + ω y z − ω z y − Kyz v = v 0 + ω z x − ω x z + Kxz
2
的C=-2GK.
椭圆截面杆的扭转 椭圆的半轴分别为a和b，其边界方程为
x2 y2 + 2 −1 = 0 2 a b
应力函数在边界上应等于零，故取
x2 y2 ϕ = m 2 + 2 − 1 b a
代入 得 求得
∇2ϕ = C
2m 2m + 2 = C a2 b a 2b m = C 2 2 2(a + b )
前三式及最后一式得到满足，其余二式要求
∂ 2 ∇ϕ =0 ∂x ∂ 2 ∇ϕ =0 ∂y
这就要求
∇2ϕ = C
边界条件：在侧面n=0，外力分量为零 在边界上有 即
l1 (τ x z ) s + l2 (τ y z ) s = 0 ∂ϕ ∂ϕ l1 ∂ y − l2 ∂ x = 0 s s
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(d)
因为 得
x
2dxdy
a3b
4
,
y
2dxdy
ab3
4
,
(a2 b2 )T a3b3G
dxdy ab
），
得
zx
2T
ab3
y,
zy
2T
a3b
x
截面上任一点的合剪应力为
1
2 zx
2 zy
2T
ab
x2 a2
y2 b2
2
最大剪应力发生在短半轴的两端
yz
2T πa 3b
x
2 xz
yz2
2T πab
x2 y2 a4 b4
最大切应力
max
2T πab2
,
横截面翘曲
w
(x,
y)
T
a2 b2 πGa 3b3
xy
min
2T πa 2b
§９-５ 带半圆槽的圆截面杆的扭转
半径为a的圆截面杆，具有半径为b的半圆键槽，求扭转 应力。
半径为b的半圆键槽方程为 (r 2 b2) 0
B为待定常数，将式（b）代入式（9-8）得
2B 2B a2 b2 2
则
B
a2b2 (a2 b2 )
a2b2 (a2 b2
)
x a
2 2
y2 b2
1
(c)
将式(c)代入式（9-12）得
T 2G dxdy
2a2b2G
a2 b2
1 a2
x
2dxdy
1 b2
y2dxdy dxdy
半径为a的大圆方程（除原点O）
1 2a cos 0 r
整个边界方程可表示为
OA
Bx
(r
2
b2 )1
2a
cos r
0
r
r 2 x2 y2 , r cos x y
设
m( x 2
y2
b2 )1
2ax x2 y2
由
m(r 2
b2 )1
2a cos r
2 2 1 1 2 2
r 2 r r r 2 2
b 2a
B（2b，0）点的剪应力
zx B 0
zy
B
Ga1
b2 4a 2
薄膜比拟
设有一均匀薄膜，张在一个水平边界上（边界形状和扭转 柱体截面形状相同或成比例）。
在微小均匀压力作用下， 薄膜产生垂度z（x,y），
薄膜不承受弯矩、扭矩、 剪力和面内压力，只能 承受均匀拉力T,
在薄膜中取微单元abcd， 其投影为矩形，边长为dx， dy；其上作用有侧向压力q 和张力T。
q
x
(x, y) ——普朗特（Prandtl）扭转应力函
数
2 C
xz
G
y
,
yz
G
x
由：
( y) , ( x)
y x
x y
可得： C=-2
侧面
边界条件
端面
k
单连域取为0
T 2G dxdy
S
§9.3 扭转问题的薄膜比拟法
德国力学家普朗特（Prandtl） 基本思想：
作用均匀压力的薄膜与柱体扭转有着相似的 微分方程和边界条件。 通过研究薄膜所张成的曲面的等高线，分析 柱体扭转时横截面的应力分布 。
d
c
薄膜平衡方程：
T
2z x2
2z y 2
q
0
即
2z q
T
或
2
T q
z
1
0
在边界上，薄膜垂度为零
zs 0
扭转应力函数： 2 2
或
2 1 0
2
边界条件
s 0
在薄膜曲面上，形象地表示出横截面上应力的分布情 况。想象用一系列和 Oxy平行的平面与薄膜曲线相截， 可得到一系列的曲线。显然，这些曲线是薄膜的等高 线图。
§9.1 扭转问题的位移解法----圣维南扭转 函数
柱体扭转
横截面翘曲
自由扭转——横截面翘曲变形不受限制
约束扭转——横截面翘曲变形受到限制 弹性力学讨论自由扭转
柱体自由扭转位移解法
自由扭转的位移
1. 2.翘曲假设
u yz v xz w (x, y)
位移解法基本方程
设单位长度相对
扭转角为 z
z dx
O dy
y
x T
a
b
dx
dy
d
c
微单元在Oz轴方向的平衡：
各边的拉力及其在Oz轴上的投影：
边 拉力
投影
ad Tdy bc Tdy ab Tdx dc Tdx
Tdy z x
Tdy
z x
2z x2
dx
Tdx z y
Tdx
z y
2z y 2
dy
压力在Oz轴上的投影为 qdxdy
T
a
b dx
dy
m1 2
直角坐标系下的应力函数为 :
1 2
(x2
y2
b2 )1
2ax x2 y2
zx G 1
2ab2 x x2 y2
2
y
zy
G x a
ab2 (x2 y2 )
x2 y2 2
最大剪应力在A点，A（b，0)，得
zx A 0
zy
A
max
2Ga1
max
2T
ab2
最小剪应力发生在长半轴的两端
min
2T
a 2b
O
x
y
3. 求位移分量
将
(a2 b2 )T
a3b3G
代入式(9-1a)，得
u
(a2 b2 )T
a3b3G
yz
v
(a2 b2 )T
a3b3G
xz
翘曲位移为
w
(a2 b2 )T
a3b3G
xy
扭转应力
xz
2T πab3
y,
Z 0 G 0
s
s
n
G
s
0,
s
G
n
薄膜的等高线，对应于扭转 杆横截面上这样的曲线，其 上各点的应力与曲线向切。 这种曲线称为切应力线。
通过比拟，可以定性地勾画出截面上应力 分布的大致情况。要知道哪一点的切应力 最大，就看看薄膜上哪一点的斜率最大。 也就是说，薄膜上斜率最大点，就是对应 的横截面上最大切应力的作用点。
2 2 2 0
x2 y2
(9 2) Laplace方程 调和函数
柱体扭转边界条件
侧面边界条件
d yl xm
dn
(9 4)
y
端面边界条件
T GD (9 5)
x
柱体的自由扭转的位移解法，归结为在边界 条件（9-4）下求解方程（9-2）。
§9.2 扭转问题的应力解法----普朗特应力函数
应力环量
研究图中某一条等高线所围成的薄膜的平衡， 设这一部分薄膜的面积为A ，则
s
FT
Z ds v
qA
sds 2GA
s
Z v
G
v
s
§9.4 椭圆截面杆件扭转
椭圆截面杆件
1.求应力函数
椭圆截面边界方程为：
x2 a2
y2 b2
1
0
(a)
用逆解法，设应力函数为
B
x2 a2
y2 b2
1
(b)
第九章 柱形杆的扭转 和弯曲
本章主要讨论任意截面柱形杆的自由扭转。 材料力学中研究了圆截面杆的扭转，采用了平面
假设。 对非圆截面杆的扭转，一般横截面不再保持平面，
即截面产生翘曲。
目录
§9.1 扭转问题的位移解法(圣维南扭转函数） §9.2 扭转问题的应力解法(普朗特应力函数） §9.3 扭转问题的薄膜比拟法 §9.4 椭圆截面杆件的扭转 §9.5 带半圆形槽的圆轴的扭转 §9.6 厚壁圆筒的扭转 §9.7 矩形截面杆的扭转 §9.8 薄壁杆的扭转