数字图像处理 第七章
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对 f (x) L2 R
f (x) g k (x) g 1 (x) g 0 (x) g1 (x) kZ
12
小波变换的性质
2．平移不变性
如果 f (x) (W f )(a, b) 则 f (x x0 ) (W f )(a, b x0 )
13
小波变换的性质
3．伸缩共变性
如果 f (x) (W f )(a, b)
则
f(x)
(W
f
)(a
,
b ),
0
14
小波变换的性质
4．自相似性
对应不同尺度参数和不同平移参数的连续小波变换之间是自相似的。
16
离散小波
定义
尺度离散化：取一个合理的值a0，使尺度因子只取a0的
整数幂，即
a
0 0
1,
a
1 0
,
a
2 0
,
,
a
j 0
,
位移离散化：当尺度取a0时，取位移b=b0，各位移为k·b0。
当
a
a
j 0
时，取 b ka0jb0
， 其中 a0 1, b0 0 固定的。
离散小波函数:
a0j ,kb0 (x) a0 j / 2 a0 j x kb0
数字图像处理
Digital Image Processing
1
第七章 小波图像编码
2
7.1 概述
3
主要内容
小波变换 离散小波变换 多分辨率分析和Mallat算法 Matlab中常用小波基介绍 小波变换在图像编码中的应用
4
7.2 小波变换
5
一维连续小波
定义
给定
(x) L2 (R)
2．能量比例性
令 (x)是允许小波，对所有 f (x) L2 (R)有：
R f (x) 2 dx f , f C1
1
2
R2 a 2 (W f )(a, b) dadb
上式为能量公式，在允许性条件下，小波变换幅度的平方 的积分与信号能量成正比。
10
允许小波的性质
3．正则性
令 (x) 是允许小波，要求其前 n 阶原点矩为零，且 n
(4)尺度性: f (x) Vj f (2 j x) V0
(5)Riesz基存在性:
V0 且 x k , k z 构成V0的Riesz基
则空间集合称为依尺度函数 的多分辨率分析
25
小波分解和重建
分解
{Vk}一个多分辨分析, {Wk} 是{Vk}关于{Vk+1}的补空间
则：
L2 (R) Wk W1 W0 W1 kz
a,b (x)
a
1/ 2
(
xb a
)
a,b R, a 0
称为连续小波或分析小波(Analyzing Wavelet)
叫基本小波或母小波（Mother Wavelet）。
其中a是伸缩因子，b为平移因子。
6
一维连续小波变换CWT
定义
设 a,b 是连续小波
则函数 f (x) L2 R的连续小波变换：
8
允许小波的性质
1．小波逆变换存在性
令 (x)是允许小波，对所有 f (x), g(x) L2 (R) 有：
da
R2 [(W f )(a,b)(W g)(a,b)] a2 db C f , g
且有
f (x) 1
C
R2
1 | a |2
[(W
f
)(a, b)] a,b (x)dadb
9
允许小波的性质
即：尺度为2 j ，而位移为2 j k
则：二进离散小波：
j,k (x) 2 j / 2 2 j x k
相应的小波变换记：
(W f )( j, k) f , j,k
定义
19
框架理论
定义
设 { j } jJ H 存在 0 A B ，对 f (x) H 有：
A f 2
f , j
越大越好，即
x p (x)dx 0
R
p 1,2,, n
p=1可直接由允许性条件验证，至于其他情况，能使上式
成立的n越大越好.
11
小波变换的性质
1．线性性
如果 f (x) (W f )(a, b), g(x) (W g)(a, b) 则 k1 f (x) k 2 g(x) k1 (W f )(a, b) k2 (W f )(a, b)
f , j ~j f f ,~j j
jJ
jJ
23
7.4 多分辨率分析和Mallat算法
24
多分辨率分析
定义
L2 (R) 中一系列嵌套函数子空间序列 V j , j 2,1,0,1,2
若下列条件成立：
(1)嵌套性： V j V j1
(2)稠密性：
U
jz
V
j
L2 R
(3)分立性: V j 0 jz
2
B
f
2
jJ
则 { j } jJ 称为一个框架
如果A=B，则框架为紧框架有：
f , j 2 A f 2
jJ
20
框架理论
如果 { j } jJ 是框架
框架算子定义
有线性算子：
T : f (Tf ) j j , f
称 T 为框架算子
I恒等算子
AI T *T BI
21
框架理论
设{ j } jJ 是框架
5．冗余性
（1）由连续小波变换恢复信号的重构公式不是唯一的。也就是说， 信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而Fourier变换与反 Fourier变换是一一对应的。
（2）小波变换的核函数即函数存在许多可能的选择（例如，非正交 小波、正交小波、双正交小波,甚至允许是彼此线性相关的）。
15
7.3 离散小波变换
k, j Z
17
离散小波变换
定义 离散小波变换：
(W f )(a0j , kb0 ) f , a0j ,kb0 R f (x) a0j ,kb0 (x)dx
k, j Z
改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。
18
离散小波变换
令：a0=2，b0=1时，尺度为2 j ，而位移为2 j k
(W
f )a,b
a
1 2
R
f (x) x b dx
a
|a|-1/2规范化因子，可使 || a,b ||2 || ||2
记 (W f )a,b f , a,b
7
基小波或允许小波
定义
设 (x) L2 (R) 是连续小波且满足容许性条件：
ˆ () 2
C R d
则 (x) 为一个基小波或允许小波。
令： ~j (T *T )1 j , j J
对偶框架定义
则பைடு நூலகம்
{~
j
}
也是框架，且其框架界为B-1和A-1
jJ
称
{~ j
}
是
jJ
{
j } jJ
的对偶框架
22
框架理论
对偶框架算子
设 T~ T (T *T ) 1 对偶框架 {~ j } jJ 的框架算子
则： T~ *T I T *T~
可以得到：
f (x) g k (x) g 1 (x) g 0 (x) g1 (x) kZ
12
小波变换的性质
2．平移不变性
如果 f (x) (W f )(a, b) 则 f (x x0 ) (W f )(a, b x0 )
13
小波变换的性质
3．伸缩共变性
如果 f (x) (W f )(a, b)
则
f(x)
(W
f
)(a
,
b ),
0
14
小波变换的性质
4．自相似性
对应不同尺度参数和不同平移参数的连续小波变换之间是自相似的。
16
离散小波
定义
尺度离散化：取一个合理的值a0，使尺度因子只取a0的
整数幂，即
a
0 0
1,
a
1 0
,
a
2 0
,
,
a
j 0
,
位移离散化：当尺度取a0时，取位移b=b0，各位移为k·b0。
当
a
a
j 0
时，取 b ka0jb0
， 其中 a0 1, b0 0 固定的。
离散小波函数:
a0j ,kb0 (x) a0 j / 2 a0 j x kb0
数字图像处理
Digital Image Processing
1
第七章 小波图像编码
2
7.1 概述
3
主要内容
小波变换 离散小波变换 多分辨率分析和Mallat算法 Matlab中常用小波基介绍 小波变换在图像编码中的应用
4
7.2 小波变换
5
一维连续小波
定义
给定
(x) L2 (R)
2．能量比例性
令 (x)是允许小波，对所有 f (x) L2 (R)有：
R f (x) 2 dx f , f C1
1
2
R2 a 2 (W f )(a, b) dadb
上式为能量公式，在允许性条件下，小波变换幅度的平方 的积分与信号能量成正比。
10
允许小波的性质
3．正则性
令 (x) 是允许小波，要求其前 n 阶原点矩为零，且 n
(4)尺度性: f (x) Vj f (2 j x) V0
(5)Riesz基存在性:
V0 且 x k , k z 构成V0的Riesz基
则空间集合称为依尺度函数 的多分辨率分析
25
小波分解和重建
分解
{Vk}一个多分辨分析, {Wk} 是{Vk}关于{Vk+1}的补空间
则：
L2 (R) Wk W1 W0 W1 kz
a,b (x)
a
1/ 2
(
xb a
)
a,b R, a 0
称为连续小波或分析小波(Analyzing Wavelet)
叫基本小波或母小波（Mother Wavelet）。
其中a是伸缩因子，b为平移因子。
6
一维连续小波变换CWT
定义
设 a,b 是连续小波
则函数 f (x) L2 R的连续小波变换：
8
允许小波的性质
1．小波逆变换存在性
令 (x)是允许小波，对所有 f (x), g(x) L2 (R) 有：
da
R2 [(W f )(a,b)(W g)(a,b)] a2 db C f , g
且有
f (x) 1
C
R2
1 | a |2
[(W
f
)(a, b)] a,b (x)dadb
9
允许小波的性质
即：尺度为2 j ，而位移为2 j k
则：二进离散小波：
j,k (x) 2 j / 2 2 j x k
相应的小波变换记：
(W f )( j, k) f , j,k
定义
19
框架理论
定义
设 { j } jJ H 存在 0 A B ，对 f (x) H 有：
A f 2
f , j
越大越好，即
x p (x)dx 0
R
p 1,2,, n
p=1可直接由允许性条件验证，至于其他情况，能使上式
成立的n越大越好.
11
小波变换的性质
1．线性性
如果 f (x) (W f )(a, b), g(x) (W g)(a, b) 则 k1 f (x) k 2 g(x) k1 (W f )(a, b) k2 (W f )(a, b)
f , j ~j f f ,~j j
jJ
jJ
23
7.4 多分辨率分析和Mallat算法
24
多分辨率分析
定义
L2 (R) 中一系列嵌套函数子空间序列 V j , j 2,1,0,1,2
若下列条件成立：
(1)嵌套性： V j V j1
(2)稠密性：
U
jz
V
j
L2 R
(3)分立性: V j 0 jz
2
B
f
2
jJ
则 { j } jJ 称为一个框架
如果A=B，则框架为紧框架有：
f , j 2 A f 2
jJ
20
框架理论
如果 { j } jJ 是框架
框架算子定义
有线性算子：
T : f (Tf ) j j , f
称 T 为框架算子
I恒等算子
AI T *T BI
21
框架理论
设{ j } jJ 是框架
5．冗余性
（1）由连续小波变换恢复信号的重构公式不是唯一的。也就是说， 信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而Fourier变换与反 Fourier变换是一一对应的。
（2）小波变换的核函数即函数存在许多可能的选择（例如，非正交 小波、正交小波、双正交小波,甚至允许是彼此线性相关的）。
15
7.3 离散小波变换
k, j Z
17
离散小波变换
定义 离散小波变换：
(W f )(a0j , kb0 ) f , a0j ,kb0 R f (x) a0j ,kb0 (x)dx
k, j Z
改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。
18
离散小波变换
令：a0=2，b0=1时，尺度为2 j ，而位移为2 j k
(W
f )a,b
a
1 2
R
f (x) x b dx
a
|a|-1/2规范化因子，可使 || a,b ||2 || ||2
记 (W f )a,b f , a,b
7
基小波或允许小波
定义
设 (x) L2 (R) 是连续小波且满足容许性条件：
ˆ () 2
C R d
则 (x) 为一个基小波或允许小波。
令： ~j (T *T )1 j , j J
对偶框架定义
则பைடு நூலகம்
{~
j
}
也是框架，且其框架界为B-1和A-1
jJ
称
{~ j
}
是
jJ
{
j } jJ
的对偶框架
22
框架理论
对偶框架算子
设 T~ T (T *T ) 1 对偶框架 {~ j } jJ 的框架算子
则： T~ *T I T *T~
可以得到：