全息技术第七辑体光栅的衍射效率和选择性

3.4 体全息基本原理
3.4.1 体光栅与布拉格衍射
• 两束在x-z面内传播的平面光波入射到厚度 为d的感光介质上,在介质内部干涉形成如图 1所示的三维光栅。假设介质内所有光波矢 量的模均为k，参考光和物光束在介质内的 光波矢量分别为k1 和 k2, 它们与z轴的夹角 分别为1和2，在介质中形成的干涉条纹面 将平分两光束之间的夹角, 即 = (1-2)/2， 而条纹面间的距离为
,
0
2
( 0 / 0 r 0 )
1/ 2
n1 1 j 2
sin r k rx 0 , kr 0 cos r k rz K sin sin r k sx ks 0 0 cos r K cos k sz
nd (cos r cos s )
1 2
1 2
(3.4.23)
(3.4.24)

d
2 cos s
(3.4.25)
• 当读出光满足布拉格条件入射时,由式 (3.4.18)和(3.4.25)知 = 0, 此时衍射效率为 • 0 = sin2 (3.4.26) • 结合(3.4.24)可见,在布拉格角入射时,衍射效 率将随介质的厚度d及其折射率的空间调制 幅度n的增加而增加,当调制参量 = /2时, 0=100%。
• 的脚标1和2分别对应平方根号前取正号和 负号。 Er1、Er2和Es1、Es2均为常数, 由边界 条件决定。
3.4.3体光栅的衍射效率和选择性
一、衍射效率 • 假设照明光波的振幅为1, • 透射全息图的边界条件: Er(0)=1, Es(0)=0 • 反射全息图的边界条件 Er(0)=1, Es(d)=0 (其中d为两光波相互作用区间的长度)
E E 0
2 2
(3.4.9)
• 式中γ2 = -jω μ 0σ + ω 2 μ 0ε0 ε r 将(3.4.5)和 (3.4.6)代入(3.4.9),可得: • γ2 = β2 -2jα β + 4κ β cosK.r (3.4.10)
( 0 0 r 0 )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1/ 2
3.4.2 耦合波理论
• 这里仅给出一维耦合波理论的主要描述。为 此，先作如下假设： • 1.光栅被恒定振幅的平面光波形成和再现 • 2.介质的介电常数和电导率的空间调制按余 弦规律变化 • 3.照明光波以布拉格角或在其附近入射,因此 介质内仅出现照明光波和一级衍射光波,而忽 略其他所有的衍射级 • 4.在一个光波长范围内光波振幅的变化很小, 因此光波振幅的二阶微分也可以忽略。
dEr Er j Es dz cosr cosr
(3.4.16)
dEs j Es j Er dz coss coss
• 从耦合波方程(3.4.16)我们可以看出衍射过程的物理本质。 光波振幅沿着z的改变是由于介质的吸收(Er和Es)或者一 个光波对另一个光波的耦合(Es和Er)而引起的, 耦合常数 描述了照明光波和衍射光波之间耦合的强弱,其值越大,耦 合越强烈。 当 = 0时,没有耦合,也就没有衍射。对于偏离 布拉格条件的情况,照明光波和衍射光波不再同步,耦合强 度减弱,相位失配因子增大,使衍射光波的振幅逐渐减小,以 致为零
• 当r =-s时,即两写入光束对称入射,形成非 倾斜光栅,则式(3.4.30)可表示为
( 2 2 )1 / 2 a nd sin r
(3.4.31)
对于反射光栅, 在衍射效率的零点位置附近,这 样,式(3.4.27)可写成
sin ( ) 2 ( 2 ) 2 sin 2 ( 2 2 )
σ1 << σ 0 (3.4.6)
n n0 n1 cos(K r ), 其中 n0 r 0 ,
r1 n1 2 r0
(3.4.7)
E E E 0 0 0 r 2 0 t t
2 2
(3.4.8)
• 式中μ0和ε0分别是自由空间的磁导率和介电 常数。对于频率为ω的单色平面光波, 可由 上式进一步导出电场复振幅E满足的亥姆霍 兹方程
1
透射: = (coss/cosr)Es(d)Es*(d)
反射: = (coss/cosr)Es(0)Es*(0)
(3.4.22a)
(3.4.22b)
• 无吸收的透射型位相光栅
– 衍射光波的改变仅由折射率的空间变化而 产生。这时光栅的衍射效率为
sin 2 ( 2 2 ) 1 ( / ) 2
E Er ( z) exp( jk r r ) Es ( z) exp( jk s r ) (3.4.14)
• 代入亥姆霍兹方程(3.4.9), 得
d 2 Er dEr exp( jk r r ) 2 2 j cos r 2 jE r 2E s dz dz d 2 Es dEs 2 2 exp( jk s r ) 2 2 jk sz ( k s 2 j ) E s 2E r dz dz 2 E s exp[ j (2k s k r ) r ] E r exp[ j (2k r k s ) r ] 0
• 根据 (3.4.23)式,可以给出无吸收透射位相全 息图归一化的衍射效率/0 (0为满足布拉 格条件时的衍射效率) 随布拉格失配参量 的变化曲线。 如图7, 三条曲线分别对应三 个不同的调制参量 = /4, = /2和 =3/4 。当 = /2时, 0=100%, = /4或 = 3/4时, 0=50%。
• 不论是透射光栅还是反射光栅,其衍射效率 对布拉格失配量十分敏感。 由于参量的 改变量与角度的偏移量以及波长的偏移 量成正比[见式(3.4.18)和(3.4.25)],因此,入 射光的角度或波长偏离布拉格条件会导致 衍射效率迅速下降。体积全息图的这一特 性称之为角度和波长的灵敏性,或者说选择 性。图7和8的特性曲线又称为选择性曲线, 被广泛用来评价体光栅的角度和波长的选 择性。
• 透射光栅的选择角可由下面的公式求出 (3.4.30) • 式中a为空气中的波长。 计算时可认为衍 射光波的角s等于记录时物光波的角度,2 =r - s是记录时参物光之间的夹角。式中各 角度均为介质中的值。由折射定律即可求 出空气中的选择角。
2( 2 2 )1 / 2 a cos s nd sin(2 )
• 取x-z平面为入射面, 体光栅占据从x=0到x=d 的区域, 光栅矢量K在x-z平面内, 倾斜角为 。根据假设2, 介质的相对介电常数ε r和电导 率σ可以表示为 • r r 0 r1 cos K r εr1 << ε r0 (3.4.5)
•
0 1 cos K r
• 光栅矢量与两个写入光波矢量构成等腰三 角形。 读出时,入射光波矢量若与两写入光 束之一平行，则布拉格条件将自动满足， 再现出另一个写入光波。入射光和衍射光 的波矢量再次与光栅矢量形成等腰三角形 。介质内所有光波矢量的大小均为 k=2/ (3.4.4) • 以该值为半径做矢量圆，得到如图4和5的 体光栅的k矢量图。图中是光栅矢量K与z轴 的夹角, 称为倾斜角。
• 同样可作出归一化的衍射效率/0与布拉格 失配量的变化曲线，见图8。图中给出了 对应调制参量分别为=/4, /2和3/4的三 条曲线。相应的0 = 43%, 84% 和96%。 注意 当> 时, (3.4.27)中的双曲函数将变成正 弦函数。 由图知, 曲线随值的增大而变宽, 这与透射光栅的情形正好相反。
• 当用光波kr在满足布拉格条件(r=1)再现全 息图时，s=2，衍射光波即为原物光波， 此时衍射效率最大。当再现光波偏离布拉 格角入射(r=1+)，偏角为，（见图 4(b)、5(b)），这时衍射效率将随的增大 迅速下降。
• 当再现光的波长偏离布拉格入射的正确波 长，即kr2/时，衍射效率也将明显下降 。因此，布拉格定律（式（3）(3.4-1)）表 明,如果再现光的波长和光栅间距已被确定 ，则再现光的入射角便唯一确定；或者， 如果再现光的入射角和光栅间距已被确定 ，则再现光的波长便唯一确定。 • 任何违反布拉格条件的角度或波长改变都 将导致衍射效率的明显下降。所以体全息 具有高的角度和波长选择性。
无吸收反射型位相光栅
• 衍射效率为
sh 2 ( 2 2 )1/ 2 2 2 2 1/ 2 sh ( ) [1 ( / ) 2 ] (3.4.27)
• 参量 和 仍由式(3.4.24)和(3.4.25)给出。布 拉格入射时, = 0, 此时衍射效率为 = th2 (3.4.28) •
2 2 2 2
(3.4.32)
当22 2, 即 (2 2)1/2 时,=0，于是可得到反射光栅的选择 角为 2 2 1/ 2
2( ) nd
a cos s sin(2 )
(3.4.33)
• 这里2=r-s仍为参物光之间的夹角，对于 非倾斜光栅选择角为 ( 2 2 )1 / 2 a nd sin r (3.4.34) • 式中所有角度均为介质中的值,根据折射定 律,同样可计算出该选择角在空气中的值。
• 耦合波方程(3.4.16)的通解为
Er(z)=Er1exp(1z)+Er2exp(2z) Es(z)=Es1exp(1z)+Es2exp(2z)
1,2
(3.4.19a) (3.4.19b)
1
1 j 1 j 2 4 2 ( ) [( ) ]2 2 cos r cos s cos s 2 cos r cos s cos s cos r cos s
二、角度选择性
• 如果再现光的波长与记录时的波长相同,即 式(3.4-18)中的=0,于是,结合式(3.4.18)和 (3.4.25)有 Kdsin(-0)/(2coss) (3.4.29) • 其中K由式(3.4.3)表示。通常我们将对应着 -曲线(见图7和8)的主瓣全宽度定义为选 择角,用 表示。又由(3.4.23)知,当2+2=2 时,=0。
sins = ksx/ = sinr-Ksin/, coss = ksz/ = cosr-Kcos/.
(3.4.13)
x
kr
x
kr
s
r
K ks
z
s
r

K
z
ks (b)
(a)
图6 体全息再现的几何关系 (a)布拉格入射 (b) 偏离布拉格入射
• 体全息图中的总光场
分别代入方程(3.4.19),得到透射全息图和反射全息图 的衍射光振幅为:
[exp( 2 d ) exp( 1d )] 透射： E s (d ) j cos s ( 1 2 )
反射：
1 exp( 2 d ) 2 exp( 1 d ) E s (0) j j cos s exp( d ) exp( d ) 2 1
Λ

2 sin
• 定义光栅矢量K, 其方向沿条纹面法线方向, 即 K =k1 - k2 (3.4.2) • 其大小为 K=2/ (3.4.3) • 按照三维光栅的衍射理论,为了使连续散射 波同位相相加, 使总的衍射波振幅到达极大 值，则介质内照明光束的波长、照明光束 与峰值条纹面之间的夹角、以及条纹面的 间距三者之间必须满足式(3.4.1)，即布拉 格定律(式（3）)。