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逻辑代数

逻辑代数是一种描述客观事物逻辑关系的数学方法，是英国数学家乔治.布尔（George Boole）于1847年首先提出来的，所以又称布尔代数。

由于逻辑代数中的变量和常量都只有“0”和“1”两个取值，又可以称为二值代数。

逻辑代数是研究数字电路的数学工具，是分析和设计逻辑电路的理论基础。

逻辑代数研究的内容是逻辑函数与逻辑变量之间的关系。

1.3.1逻辑代数中的三种基本逻辑关系

1．逻辑代数中的几个问题

（1）逻辑代数中的变量和常量

逻辑代数与普通代数相似，有变量也有常量。

逻辑代数中的变量用大写英文字母A、B、C…表示，称为逻辑变量。每个逻辑变量的取值只有“0”和“1”两种。

逻辑代数中的常量，只有两个“0”和“1”。

与普通代数不同的是这里的“0”和“1”不再表示数值的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。

例如可以用“1”和“0”表示开关的“闭合”与“断开”；信号的“有”和“无”；“高电平”与“低电平”；“是”与“非”等。究竟代表什么意义，要视具体情况而定。

（2）正逻辑和负逻辑的规定

脉冲信号的高、低电平可以用“1”和“0”来表示。

规定：如果高电平用“1”表示，低电平用“0”表示，则称这种表示方法为正逻辑。如果高电平用“0”表示，低电平用“1”表示，则称这种表示方法为负逻辑。以后如果无特殊声明，均采用正逻辑2．基本逻辑关系

逻辑代数中有与、或、非三种基本逻辑关系，分别对应着与、或、非三种基本逻辑运算。

（1）“与”逻辑

如图1-5（a）所示的串联开关电路中，把“开关闭合”作为条件，把“灯亮”这件事情作为结果，那么图1-5（a）说明：只有决定某件事情的所有条件都具备时，结果才会发生。这种结果与条件之间的关系称为“与”逻辑关系，简称“与”逻辑。图1-5（b）是“与”逻辑的逻辑符号。

图1-5 “与”逻辑

与运算符号为“?”，与逻辑用表达式可以表示为Y = A·B或写成 Y＝AB（省略运算符号）。与运算又称逻辑乘。

（2）“或”逻辑

当决定事物结果的几个条件中，有一个或一个以上的条件得到满足时，结果就会发生，这种逻辑关系称为或逻辑。或逻辑电路模型如图1-6（a）所示，图1-6（b）是“或”逻辑的逻辑符号。

图1-6 “或”逻辑

或逻辑运算符号为“＋”。或逻辑用表达式可以表示为：Y＝A＋B，“或”运算，又称为逻辑加。

（3）“非”逻辑

非逻辑也称为逻辑求“反”。

非逻辑电路模型如图1-7（a）所示。图1-7（b）为“非”逻辑的逻辑符号

图1-7 “非”逻辑

在图1-7（a）所示的电路中，开关断开时，灯亮；开关闭合时，灯不亮。同样把“开关闭合”作为条件，把“灯亮” 这件事情作为结果。

图1-7（a）说明：条件具备时结果不发生，条件不具备时结果才发生。这种结果与条件之间的关系称为“非”逻辑关系，简称非逻辑。

“非”逻辑用变量上的“—”表示。非逻辑用表达式可以表示为：

在上面的三种基本逻辑关系中，如果用逻辑变量A、B表示两个开关，并且用“1”表示开关“闭合”，用“0”表示开关“断开”；用Y表示灯的状态，并且用“1”表示灯“亮”，用“0”表示灯“不亮”，则可以列出如表1-2所示的三个表格，这些表格称为真值表。

表1-2 三种基本逻辑关系真值表可以分别得出：

“与”逻辑输出变量与输入变量的关系为：有“0”出“0”，全“1”出“1”；

“或”逻辑输出变量与输入变量的关系为：有“1”出“1”，全“0”出“0”；

“非”逻辑输出变量与输入变量的关系为：见“1”出“0”，见“0”出“1”；

3．几种常用的逻辑运算

三种基本逻辑关系都可以由具体电路来实现。通常把实现“与”逻辑运算的单元电路称为“与门”；把实现“或”逻辑运算的单元电路称为“或门”；把实现“非”逻辑运算的单元电路称为“非门”（或称为反相器）。

三种基本逻辑运算简单，容易实现。但是实际的逻辑问题要比基本逻辑运算复杂得多。有时实现基本逻辑运算的门电路（如二极管与门电路）也不是太理想。所以常把与、或、非三种基本逻辑运算合理的组合起来使用，这就是复合逻辑运算。与之对应的门电路称为复合逻辑门电路。常用的复合逻辑运算有与非运算、或非运算、与或非运算、异或运算、同或运算等。

（1）“与非”逻辑

“与非”逻辑是把与逻辑和非逻辑组合起来实现的。先进行“与”运算，把“与”运算的结果再进行“非”运算。

“与非”逻辑的真值表（以二变量为例）如表1-3所示，

表1-3 二变量“与非”逻辑真值表

图1-8 “与非”逻辑的逻辑符号，“与非”逻辑的逻辑符号如图1-8所示。

图1-9 “与非”逻辑的逻辑符号，“与非”逻辑的表达式可以写成：

表1-4 三变量“或非”逻辑真值表

图1-9 “或非”逻辑的逻辑符号

“或非”逻辑的逻辑符号如图1-9所示。

“或非”逻辑的表达式可以写成：

（3）“与或非”逻辑

“与或非”逻辑是把“与”逻辑、“或”逻辑和“非”逻辑组合起来实现的。先进行“与”运算，把“与”运算的结果进行“或”运算，最后进行“非”运算。“与或非”逻辑符号如图1-10所示。

表1-5 四变量“与或非”逻辑真值表

图1-10 “与或非”逻辑的逻辑符号

“与或非”逻辑的表达式可以写成：与或非”逻辑的真值表（以四变量为例）如表1-5所示

（4）“异或”逻辑

“异或”逻辑的逻辑关系是：当A、B两个变量取值不相同时，输出Y为1；而A、B两个变量取值相同时，输出Y为0。

“异或”逻辑的真值表如表1-6所示。“异或”逻辑的逻辑符号如图1-11所示。

表1-6“异或”逻辑真值表

图1-11 “异或”逻辑的逻辑符号

“异或”逻辑的表达式可以写成：

异或”逻辑表达式也可以用与、或的形式表示，即写成：

在化简逻辑函数时，必须把“异或”逻辑表达式写成，才能进行化简。

（5）“同或”逻辑

“同或”逻辑的逻辑关系是：当A、B两个变量取值相同时，输出Y为1；而A、B两个变量取值不相同时，输出Y为0。“同或”逻辑的真值表如表1-7所示。

“同或”逻辑的逻辑符号如图1-12所示。