正余弦定理及解三角形整理

正余弦定理考点梳理：

1. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2

＋b 2

＝c 2

。（勾股定理） A

（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝

c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b

a

。 C B 2. 2．斜三角形中各元素间的关系： a

如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===。

（R 为外接圆半径） 3. 正弦定理：a

sin A ＝b

sin B ＝c

sin C

＝2R 的常见变形：

(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；

(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C

＝2R ；

(3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；

(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R .

4. 三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1

2

ca sin B .

5. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦

的积的两倍。

余弦定理的公式： 222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩

或

222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪

=

⎨⎪

⎪+-=

⎪⎩

.

6. （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 7. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

8. 解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的

运算，

如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin

cos ,cos sin ,tan cot 222222

A B C A B C A B C

+++===. 9. 解斜三角形的主要依据是：

设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。 （1）角与角关系：A +B +C = π；

（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a >

b ；

（3）边与角关系：大角对大边，小角对小边。 习题整理： 一．

直接应用，解三角形：

1. 在ABC ∆中，已知 45,2,3===

B b a ，解三角形。A=60/120°

2.在ABC ∆中，已知,2,32,30===AC AB B

求ABC ∆的周长。a=2/4

3.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知B=2A,a=1,b=3,则c=

4.在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c

sin A ＋sin B ＋sin C

＝________. 2

4

*

*.在△ABC 中，若A ＝60°,b=1,3=

∆ABC S ,则

a ＋

b ＋c

sin A ＋sin B ＋sin C

＝________.

（

3

39

2） 5.(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π

3

，则a ＝

6.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.36

7.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π

3，a ＝2b ，则b

的值为________.3

8. （2012年高考（重庆文））设△的内角 的对边分别为,且,则____

9.在中,若,则的形状是

（ ）c

A ．钝角三角形.

B ．直角三角形.

C ．锐角三角形.

D ．不能确定.

10.在△ABC 中,AC= ,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11.在中,若,,,则

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

12.在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=,c=2,则b=______ 13.在中,已知,则_______.

14. 【2015高考广东，文5】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，

c =，cos A =

b c <，则b =（ ）

A ．

B ．2

C ．

D ．3 【答案】B

15. 【2015高考福建，文14】若ABC ∆中，AC =，045A =，075C =，

则BC =_______．

16. 【2015高考重庆，文13】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且

1

2,cos ,4

a C

3sin 2sin A B ,则c=________. 【答案】4

17. （2016年全国I 卷高考）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =

2c =，2

cos 3

A =，则b=