典型信号的傅里叶变换
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§附： 典型信号的傅里叶变换 A 非周期信号
•矩形脉冲 •单边指数信号 •直流信号 •符号函数 •升余弦脉冲信号
一．矩形脉冲信号
第
2
页
f t
F
2
Eejt
dt
2
E
j
ej t
2
2
E t
2O 2
j
j
E
.e
2 e 2j
2
sin
E
2
2
2
E Sa
幅度频谱： F ESa
2
2
相位频谱： 0 π4n π 22 n 1 π2 2n 1π 22n2π n0,1,2,
频谱图
幅度频谱
F
E 2π
O 2π 4π
F
E
相位频谱
2π O 2π 4π
π
2π
0
2π 4π
π
第
3
页
F ESa
2
频宽： B 2π或Bf 1
二．单边指数信号
ft Eet t0 0
2πE
四．符号函数 不满足绝对
第
8
f(t)sgtn 1 1,,
t0 可积条件 t0
sgn( t ) 1
页
e t
处理方法：做一个双边函数
f1tsgntet ， 求 F1，
e t O 1
t
求 极 限F得 。 到
F 1 0 e te jtd t0 e te jtd t
1 1 j2 jj22
强 : 2 π F 度 n 1 与 F ( n 1 ) 成 ,离 正散 比
2谱线的幅度 ,因不 F 为 表 是示 有的 限是 值
周期 F 只 信 存 号 n 1 处 在 ,的于
频 率 范 围 无,幅限度小为。
三．如何由F0求Fn1
第
23
页
即 单 F 0 与 个 f 周 T t 脉 的 期 F 冲 谱 n 1 的 信 的 系
f0t
fTt
T o T t T
o
2
2
Tt
T
设 f0t F 0 F02Tf0tejtdt (1)
2
fTt
F n1 ejn1t
n
F n1
1 T1
T
2 T
fT
t
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2
(2)
第
24
页
T
F02Tf0tejtdt
( 1)
2
fTt
F n1 ejn1t
n
F n1
由傅里叶级数的指数形式出发：
fTt Fn 1 ejn1t
n
其傅氏变换(用定义)
F TF fTt
F Fn1ejn1t Fn1Fejn1t
Fn12πn1
2πFn1n1
几点认识
第
22
页
F T2π Fn1n1
1 fTt的频谱由冲激; 序列组成
位: 置 n 1 谐波 频率
2
1
2
t
O 1
2
1sgnt 1
2
j
第
16
页
u t
1
O
t
u(t)π 1
j
F
π
O
O
π
O
C 周期信号的傅里叶变换
第
18
页
周期信号：
ft 傅里 F n 叶 1 离 级散 数谱
非周期信号：
ft 傅里 F 叶 连 变续 换谱
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
ft非 周 周 期 期 统 一 的 分 析 方 法 叶： 变傅 换里
f(t)E , t
E 2πE
f t
E
第
6
页
不满足绝对可积 条件，不能直接
用定义求 F
O
t
f1 t
E
O
t
推导
第
7
lim F
Eejtdt
页
F
limejt
E j
ej ej
Elim
j
2π E
O
E 2πE
Байду номын сангаас
El i m2sin
时域无限宽，频带无限窄
2πEl im π sin
l im πSa()
1 T1
T
2 T
fT
t
ejn1t
dt
2
(2)
比较式(1),(2)
f0t
n1
fTt
在T 2,T 2内f0t与fTt相同 所F 以 n1T 11F0n1
可 F 0 由 求周 fT t的 期谱 F 函 n1 系 数数
四．周期单位冲激序列的傅里叶变换
第
25
页
Tt tnT1 n
O 2
t 2
E 21c
oπstejt dt
E 2 e j td t E 4 e j te j td t E 4 e j te j td t
E S a E 2 S a π E 2 S a π
频谱图
第
11
页
FE 1 sin π 21ESπa2
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
B 冲激函数和阶跃函数
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
一．冲激函数
第
13
页
F()tejtdt 1
f t
1
O
t
F
1
O
t看作 1的矩形 脉 0时 ,B 冲 ，
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不 满足绝对可积条件，不能用定义求。
F l i0F m 1l i0 m 2j 2 2j2
频谱图
sgtnj2j22ej2
F
22
2
F是偶函数
2
arctan
0
π2π,2 ,
0 0
是奇函数
F ( )
2
O
π 2 O π 2
第
9
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五．升余弦脉冲信号
第
10
页
ftE 21co π st 0t
f t
E
E
2
Fftejtdt
0 t0
FFf(t)
Eetut ejtdt
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E
O
第
4
页
t
频谱图
幅度频谱：F E
2 2
0,
,
F E
F 0
相位频谱：arctan
0,
0
,
π
2
,
π
2
第
5
页
F
E
O
π2
O π 2
三．直流信号
一．正弦信号的傅里叶变换
第
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页
由欧拉公式
cos0t
1 2
ej0t
ej0t
sin0t
1 2j
ej0t
ej0t
已知
1 2π
由频移性质
1ej0t 20
1ej0t 20
c0 o t 1 2 s 2 π 0 2 π 0 π 0 π 0 同理 s0 t i n j π 0 j π 0
频谱图
第
20
c0 t o π s ( 0 ) ( 0 )
页
cos 0t
频
谱
图 :
F
π
π
0 O 0
s0 t i n j π 0 j π 0
sin0t 频谱图 :
F
π
π
0 o
0
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0
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2
二．一般周期信号的傅里叶变换
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页
设 信 号:周 T1 期 2π1
比较
(t)1
() 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
第
14
页
F
1
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2π
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二．冲激偶的傅里叶变换
第
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页
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t0
j j
三．单位阶跃函数
ut11sgnt
22
1 2
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1 π
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•矩形脉冲 •单边指数信号 •直流信号 •符号函数 •升余弦脉冲信号
一．矩形脉冲信号
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f t
F
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Eejt
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E
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2
2
E t
2O 2
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幅度频谱： F ESa
2
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相位频谱： 0 π4n π 22 n 1 π2 2n 1π 22n2π n0,1,2,
频谱图
幅度频谱
F
E 2π
O 2π 4π
F
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相位频谱
2π O 2π 4π
π
2π
0
2π 4π
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F ESa
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频宽： B 2π或Bf 1
二．单边指数信号
ft Eet t0 0
2πE
四．符号函数 不满足绝对
第
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f(t)sgtn 1 1,,
t0 可积条件 t0
sgn( t ) 1
页
e t
处理方法：做一个双边函数
f1tsgntet ， 求 F1，
e t O 1
t
求 极 限F得 。 到
F 1 0 e te jtd t0 e te jtd t
1 1 j2 jj22
强 : 2 π F 度 n 1 与 F ( n 1 ) 成 ,离 正散 比
2谱线的幅度 ,因不 F 为 表 是示 有的 限是 值
周期 F 只 信 存 号 n 1 处 在 ,的于
频 率 范 围 无,幅限度小为。
三．如何由F0求Fn1
第
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即 单 F 0 与 个 f 周 T t 脉 的 期 F 冲 谱 n 1 的 信 的 系
f0t
fTt
T o T t T
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2
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Tt
T
设 f0t F 0 F02Tf0tejtdt (1)
2
fTt
F n1 ejn1t
n
F n1
1 T1
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(2)
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F02Tf0tejtdt
( 1)
2
fTt
F n1 ejn1t
n
F n1
由傅里叶级数的指数形式出发：
fTt Fn 1 ejn1t
n
其傅氏变换(用定义)
F TF fTt
F Fn1ejn1t Fn1Fejn1t
Fn12πn1
2πFn1n1
几点认识
第
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页
F T2π Fn1n1
1 fTt的频谱由冲激; 序列组成
位: 置 n 1 谐波 频率
2
1
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O 1
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1
O
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O
O
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C 周期信号的傅里叶变换
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周期信号：
ft 傅里 F n 叶 1 离 级散 数谱
非周期信号：
ft 傅里 F 叶 连 变续 换谱
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
ft非 周 周 期 期 统 一 的 分 析 方 法 叶： 变傅 换里
f(t)E , t
E 2πE
f t
E
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不满足绝对可积 条件，不能直接
用定义求 F
O
t
f1 t
E
O
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推导
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lim F
Eejtdt
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F
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E j
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Elim
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O
E 2πE
Байду номын сангаас
El i m2sin
时域无限宽，频带无限窄
2πEl im π sin
l im πSa()
1 T1
T
2 T
fT
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dt
2
(2)
比较式(1),(2)
f0t
n1
fTt
在T 2,T 2内f0t与fTt相同 所F 以 n1T 11F0n1
可 F 0 由 求周 fT t的 期谱 F 函 n1 系 数数
四．周期单位冲激序列的傅里叶变换
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Tt tnT1 n
O 2
t 2
E 21c
oπstejt dt
E 2 e j td t E 4 e j te j td t E 4 e j te j td t
E S a E 2 S a π E 2 S a π
频谱图
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FE 1 sin π 21ESπa2
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
B 冲激函数和阶跃函数
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
一．冲激函数
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F()tejtdt 1
f t
1
O
t
F
1
O
t看作 1的矩形 脉 0时 ,B 冲 ，
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不 满足绝对可积条件，不能用定义求。
F l i0F m 1l i0 m 2j 2 2j2
频谱图
sgtnj2j22ej2
F
22
2
F是偶函数
2
arctan
0
π2π,2 ,
0 0
是奇函数
F ( )
2
O
π 2 O π 2
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五．升余弦脉冲信号
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ftE 21co π st 0t
f t
E
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0 t0
FFf(t)
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频谱图
幅度频谱：F E
2 2
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,
F E
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相位频谱：arctan
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,
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,
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F
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O π 2
三．直流信号
一．正弦信号的傅里叶变换
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由欧拉公式
cos0t
1 2
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已知
1 2π
由频移性质
1ej0t 20
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c0 o t 1 2 s 2 π 0 2 π 0 π 0 π 0 同理 s0 t i n j π 0 j π 0
频谱图
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频
谱
图 :
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二．一般周期信号的傅里叶变换
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设 信 号:周 T1 期 2π1
比较
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二．冲激偶的傅里叶变换
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三．单位阶跃函数
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