高中立体几何常用定理

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立体几何基本定理与公式

立几基本公式空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线—共面有且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[)οο180,0∈θ）（直线与直线所成角(]οο90,0∈θ）（斜线与平面成角()οο90,0∈θ）（直线与平面所成角[]οο90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 一、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面12方向相同12方向不相同POAa垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若PA⊥α，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），得不出α⊥PO. 因为a⊥PO，但PO不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上一、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.五、棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长） ⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. （直棱柱定义）：棱柱有一条侧棱和底面垂直. ⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==.正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）PαβθM AB Oii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. 正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=.②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高）③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）六. 空间向量.1（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. （2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α. （4）①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使y x +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是PABC 四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）注：是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z使 z y x ++=(这里隐含x +y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=即证.3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a ∥)(,,332211Rb a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(a a =⇒⋅=) 232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<ρρρρρρ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，DCBAB则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.。

立体几何所有的定理大总结（绝对全）

⽴体⼏何所有的定理⼤总结（绝对全）（⼆）异⾯直线所成⾓1.定义：不同在任何⼀个平⾯内的两条直线或既不平⾏也不相交的两条直线叫异⾯直线。

2.画法：借助辅助平⾯。

1.定义：对于异⾯直线a 和b ，在空间任取⼀点P ，过P 分别作a 和b 的平⾏线1a 和1b ，我们把1a 和1b 所成的锐⾓或者叫做异⾯直线a 和b 所成的⾓。

2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成⾓范围：【0°，90°】)（三）线⾯⾓1.定义：当直线l 与平⾯α相交且不垂直时，叫做直线l 与平⾯α斜交，直线l 叫做平⾯α的斜线。

设直线l 与平⾯α斜交与点M ，过l 上任意点A ，做平⾯α的垂线，垂⾜为O ，把点O 叫做点A 在平⾯α上的射影，直线OM 叫做直线l 在平⾯α上的射影。

1.定义：把直线l 与其在平⾯α上的射影所成的锐⾓叫做直线l 和平⾯α所成的⾓。

2.范围【0°，90°】（★斜线与平⾯所成⾓范围：【0°，90°】）（三）⼆⾯⾓1.定义：（1）半平⾯：平⾯内的⼀条直线把这个平⾯分成两个部分，其中每⼀个部分叫做半平⾯。

（3）⼆⾯⾓的棱：这⼀条直线叫做⼆⾯⾓的棱。

（4）⼆⾯⾓的⾯：这两个半平⾯叫做⼆⾯⾓的⾯。

（5）⼆⾯⾓的平⾯⾓：以⼆⾯⾓的棱上任意⼀点为端点，在两个⾯内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的⾓叫做⼆⾯⾓的平⾯⾓。

（6）直⼆⾯⾓：平⾯⾓是直⾓的⼆⾯⾓叫做直⼆⾯⾓。

1.定义：从⼀条直线出发的两个半平⾯所组成的图形叫做⼆⾯⾓。

2.表⽰：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。

2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。

3.点到⾯的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。

立体几何判定定理与性质定理汇总

文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：α⊄a ,α⊂b ，且b a //α//a ⇒．图形语言:定理二（平面与平面平行的判定定理）文字语言:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 符号语言:β⊂a ，β⊂b ，P b a = ,α//a ,α//b αβ//⇒.定理三(直线与平面平行的性质定理）文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号语言:α//a ,β⊂a ，且b =βα b a //⇒.图形语言：证明:因为b =βα ,所以α⊂b .又因为α//a ，所以a 与b 无公共点．又因为β⊂a ，β⊂b ，所以b a //．定理四（平面与平面平行的性质定理）文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言：βα//,a =γα ,b =γβ b a //⇒．图形语言：αb a αa αβa bαγa b αβ文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 符号语言：a c ⊥,b c ⊥，P b a = ,α⊂a ,α⊂b α//c ⇒.图形语言:定理六（平面与平面垂直的判定定理）文字语言：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号语言:α⊥a ，β⊂a ,αβ⊥⇒．图形语言：定理七（直线与平面垂直的性质定理）文字语言:垂直于同一平面的两条直线平行.符号语言：α⊥a ,α⊥b b a //⇒．图形语言:定理八(平面与平面垂直的性质定理)文字语言:对于两个相互垂直的平面,在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面．符号语言:βα⊥，m =βα ,β⊂a ,m a ⊥α⊥⇒a ．图形语言:αβa αb a βa m α。

高考数学立体几何中与角有关的四大定理及其证明

则 cosθ = cos2β + cos2γ - 2cosαcosβcosγ sinα
证明：设 ∠HAC = θ1,∠HAB = θ2 ⇒ α = θ1 + θ2,
由三余弦定理得：
cos β cosγ
= =
cosθ cosθ
cosθ1 cosθ2
① ②
由①和②得 cosθ = cosβ = cosγ ③ cosθ1 cosθ2
α
Aβ
γ
P α : 线面角 β : 斜线角 γ : 射影角则 cosβ = cosαcosγ ⇒ β > α,β > γ
Q
B
证明：cosβ =
AB PA
,cosα =
QA PA
,cosγ =
AB QA
⇒ cosβ = cosαcosγ
·1·
3. 三夹角公式
P
θ
Aβ
γ
α
C H
B
若 θ 为 PA 与平面 ABC 的夹角
⋅
HO BO
AH AO
⋅
BH BO
= cosθ - cosθ1cosθ2 sinθ1sinθ2
注：若 φ =
π 2
,
则该定理退化为三余弦定理
·3·
立体几何中与角有关的四大定理及其证明
1. 三正弦定理
β α
A
γ
B
P
α : 线面角 β : 线棱角 γ : 二面角则 sinα = sinβsinγ Q ⇒ α ≤ β,α ≤ γ
证明：sinα =
PQ PA
,sinβ =
PB PA
,sinγ =
PQ PB
⇒ sinα = sinβsinγ

高中数学立体几何判定定理与性质.docx

高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言符号语言图像语言公理 1A l ,B l , A, B如果一条直线上的两l点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理 2作用①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）公理 3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论 2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面公理 4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行Pl 且 P lA, B, C 不共线A, B,C 确定一个平面A有且只有一个平面，使 A, aa b P有且只有一个平面，使 a,ba ∥ b有且只有一个平面，使 a,ba ∥ ba ∥ cb ∥c ①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。

用来证明多点共面，多线共面用来证明线线平行二、平行关系文字语言（1）公理 4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行（2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 .符号语言图像语言作用a ∥ ba ∥ cb ∥ ca ∥ ba a ∥bb∥b a ∥ baa ∥b ∥a b O∥ab（5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

OOOO∥（6）面面平行的性质定理如果两个∥a a ∥ b平行平面同时和第三b个平面相交 ,那么它们的交线平行。

（ 7）面面平行的性∥质如果两个平面平行 , a ∥那么其中一个平面内a的直线平行于另一个平面。

高中数学立体几何判定定理及性质

高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言符号语言图像语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,,①用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）ll P ∈=⋂⇒⋂∈P 且βαβα① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。

公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面确定一个平面不共线C B A C B A ,,,,⇒用来证明多点共面，多线共面推论1经过一条直线和这αααα⊂∈⇒∉a A A ,使，有且只有一个平面条直线外的一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒=⋂baPba,使，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒baba,使，有且只有一个平面∥公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫用来证明线线平行二、平行关系文字语言符号语言图像语言作用（1）公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫（2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那ααα∥∥ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄么这条直线和这个平面平行。

（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

baabb∥∥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂=⋂ββαβ（4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.βαααββ∥∥∥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊂=⋂baObaba（5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

高中数学立体几何定理总结

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.2、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.ba b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα3、平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.4、平面与平面平行的性质定理：①如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.βαβα//,//a a ⇒⊂②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行. b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα γba βαβαββαα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂b a P b a b aααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄βαm l如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.ααα⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂⊥⊥l P b a b a b l a l6、直线与平面垂直的性质定理：①如果一条直线与一个平面垂直，那么它就与平面内的任何一条直线垂直.b a b a ⊥⇒⊂⊥αα,②如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.ba b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα7、平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.8、平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.ββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=b b b a βαβαβα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⊥a b a a b1、直线与平面平行的判定定理：2、直线与平面平行的性质定理：3、平面与平面平行的判定定理：4、平面与平面平行的性质定理：①②6、直线与平面垂直的性质定理：①②7、平面与平面垂直的判定定理：8、平面与平面垂直的性质定理：。

立体几何定理大全

立体几何公式大全基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

立体几何所有的定理大总结绝对全

（二）异面直线所成角1.定义：不一样在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不订交的两条直线叫异面直线。

2.画法：借助协助平面。

1.定义：关于异面直线 a 和 b，在空间任取一点 P，过 P 分别作 a 和 b 的平行线a1和b1，我们把 a1和b1所成的锐角或许叫做异面直线 a 和 b 所成的角。

2.范围： (0 °， 90°】( ★空间两条直线所成角范围：【0°， 90°】 )（三）线面角1. 定义：当直线 l 与平面α订交且不垂直时，叫做直线 l 与平面α斜交，直线 l 叫做平面α的斜线。

设直线 l 与平面α斜交与点 M，过 l 上随意点 A，做平面α的垂线，垂足为O，把点 O叫做点 A 在平面α上的射影，直线 OM叫做直线 l 在平面α上的射影。

1.定义：把直线 l 与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线 l 和平面α所成的角。

2.范围【 0°， 90°】（★斜线与平面所成角范围：【0°， 90°】）（三）二面角1.定义：（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分红两个部分，此中每一个部分叫做半平面。

（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

（5）二面角的平面角：以二面角的棱上随意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

1.定义：从一条直线出发的两个半平面所构成的图形叫做二面角。

2. 表示：以下列图，可记作 α-AB- β或 P-AB-Q3. 范围为【 0°， 180°】（五）六种距离1. 点到点的距离：两点之间的线段 PQ 的长。

2. 点到线的距离：过 P 点作 PPl ，交 l 于 P ，线段 PP 的长。

1 1 13. 点到面的距离：过 P 点作 PP 1，交于 P 1 ，线段 PP 1 的长。

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平行判定总结一、线线平行的判定1.定义 :在同一平面内 ,没有公共点的两条直线 .ab a // ba b2.平行于同一条直线的两条直线互相平行.a // ba // cb // c3.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．l //l l // mm lm4.如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．//a a // bb5.垂直于同一平面的两条直线平行.aa // bb a b二、线面平行的判定1.定义：直线与平面无公共点.a a //2.如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．lm l //l // m三、面面平行的判定1.定义：两个平面没有公共点.//2.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．aba b A//a//b//3.一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行.a //a ////a b A垂直判定总结一、线线垂直1.定义：两直线所成角为90o.2.线面垂直的性质：若直线垂直平面，则直线垂直平面内的任何直线.ll aa3.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 .PA APBa PAaa AB4.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 .PA APBa ABaa PA二、线面垂直1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.2.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 .l ml nm lnm n B3. 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.baaa b三、面面垂直1.定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角平面角是直角，就说两个平面互相垂直 .2. 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.ab bb。

高中数学的归纳立体几何中的常见定理

高中数学的归纳立体几何中的常见定理在高中数学的学习中，归纳法是非常重要的思考方式。

而在立体几何中，也存在着一些常见的定理，它们帮助我们理解和解决空间中的问题。

本文将介绍一些高中数学归纳立体几何中的常见定理，帮助同学们更好地掌握这一领域的知识。

1. 体积定理体积定理是立体几何中最基本的定理之一，它描述了不同几何体的体积计算方法。

常见的体积定理有：1.1 直方体体积定理：直方体的体积等于底面积乘以高度。

1.2 正方体体积定理：正方体的体积等于边长的立方。

1.3 柱体体积定理：柱体的体积等于底面积乘以高度。

1.4 圆锥体积定理：圆锥的体积等于底面积乘以高度再除以3。

1.5 球体体积定理：球体的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方。

这些体积定理是计算几何体体积的基础，同学们在解题时可以根据不同几何体的类型运用相应的定理进行计算。

2. 相似立体的比例定理在立体几何中，相似的几何体之间存在着特定的比例关系。

常见的相似立体比例定理有：2.1 体积比例定理：如果两个立体体积相等，且它们的形状相似，则它们的边长比等于1的立方根。

2.2 表面积比例定理：如果两个立体表面积相等，且它们的形状相似，则它们的边长比等于1的平方根。

这些比例定理在解决相似立体之间的比较问题时非常有用，同学们可以利用其中的比例关系进行计算。

3. 正多面体定理正多面体是指所有面都是正多边形且每个顶点都是相等的多面体，它们有一些独特的性质和定理。

3.1 正多面体的顶点、棱和面定理：对于正多面体，顶点数、棱数和面数之间存在着特定的关系，即顶点数+面数=棱数+2。

3.2 正四面体定理：正四面体的体积等于底面积乘以高度再除以3。

3.3 正六面体定理：正六面体的体积等于边长的立方。

3.4 正八面体定理：正八面体的体积等于2乘以底面积乘以高度的三分之一。

3.5 正十二面体定理：正十二面体的体积等于边长的立方乘以(2+根号5)/12。

正多面体的定理帮助我们研究和理解不同形状的多面体之间的关系，同时也提供了计算体积和其他性质的方法。

立体几何点线面定理30条

立体几何点线面定理1.公理一：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

2.公理二：如果两个平面有两个公共点,它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。

3.公理三：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。

4.推论一：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。

5.推论二：经过两条相交直线有且只有一个平面。

6.推论三：经过两条平行直线有且只有一个平面。

7.异面直线判定定理：平面内一点与平面外一点的确定的直线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线。

8.公理四：平行于同一条直线的两条直线平行。

9.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

10.等角定理推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

11.直线与平面垂直的判定定理一：过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直。

12.直线与平面垂直的判定定理二：过直线上一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

13.直线与平面垂直的判定定理三：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

14. 直线与平面垂直的性质定理四：如果一条直线垂直于已知平面，另一条直线平行于这条直线，那么另一条直线也垂直于已知平面。

15.直线与平面垂直的性质定理五：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

16.射影长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，斜线段相等的射影相等，射影相等的斜线段相等，斜线段较长的射影也较长，射影较长的斜线段也较长，垂线段最短。

17.最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与平面内任意一条直线中所成的角中最小的。

18.三垂线定理：平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

19.三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

立体几何的计算定理

立体几何的计算定理立体几何是研究空间物体的形状、大小、位置和运动等性质的一门数学学科。

在立体几何中，存在着一些重要的计算定理，它们能够帮助我们准确计算立体图形的各种参数和性质。

本文将介绍一些常用的立体几何计算定理。

一、体积计算定理体积是描述立体图形容积大小的量。

在立体几何中，我们常用以下定理来计算体积。

1. 平行四边形棱柱的体积计算定理：平行四边形棱柱的体积等于底面积与高的乘积。

2. 直方体的体积计算定理：直方体的体积等于底面积与高的乘积。

3. 圆柱体的体积计算定理：圆柱体的体积等于底面积与高的乘积。

4. 锥体的体积计算定理：锥体的体积等于底面积与高的乘积的三分之一。

5. 球体的体积计算定理：球体的体积等于四分之三乘以半径的立方。

二、表面积计算定理表面积是描述立体图形外部覆盖的面积的量。

在立体几何中，我们常用以下定理来计算表面积。

1. 正方体的表面积计算定理：正方体的表面积等于底面积的六倍。

2. 矩形长方体的表面积计算定理：矩形长方体的表面积等于底面积的两倍加上底面积形成的四个侧面的面积。

3. 圆柱体的表面积计算定理：圆柱体的表面积等于底面积的两倍加上底面积与高的乘积的两倍。

4. 球体的表面积计算定理：球体的表面积等于四乘以半径的平方。

三、欧拉定理欧拉定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了一个立体图形的顶点、棱边和面的关系。

欧拉定理可以表述为：一个立体图形的顶点数加上面的数目，再减去边的数目等于2。

欧拉定理在立体几何的计算中具有重要的作用，可以用来检验计算结果的准确性，或者通过已知的参数来计算未知的参数。

四、平行四边形定理平行四边形定理是立体几何中关于平行四边形的性质和关系的定理。

其中一条重要的定理是平行四边形的对角线等分的定理，即平行四边形的对角线相交于一个点，且该点把对角线分成两段，两段长度相等。

平行四边形定理可以用来证明或计算平行四边形的各种性质，例如四边形的面积、周长、对角线长等。

五、球面上的计算定理在球面上，也存在一些与计算相关的定理。

立体几何定理大全

立体几何公式大全基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3: 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1）共面：平行、相交（2）异面:异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线.两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90°） esp。

空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点-—相交直线;（2）没有公共点-—平行或异面直线和平面的位置关系: 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内-—有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为［0°，90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp。

立体几何中的公理、定理和常用结论汇总

立体几何中的公理、定理和常用结论汇总1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．平行与垂直的八大定理（1）．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b（2）．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b（3）．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b（4）．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α5．(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(4)如果两个平面平行，那么一个平面的任意一条直线与另一个平面平行．6．垂直关系中的三个重要结论(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直．(3)若果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面中的任意直线垂直．。

立体几何定理大全

立体几何公式大全基本概念公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理２:如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

ﻫ公理3: 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。

推论１：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。

推论２:经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。

ﻫ公理４：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

ﻫ等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。

ﻫ空间两直线的位置关系:空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面: 平行、相交ﻫ(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

ﻫ异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角:范围为（０°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条) ｅsp.空间向量法ﻫ2、若从有无公共点的角度看可分为两类:(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面ﻫ直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点ﻫ直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

ﻫesp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时,所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[０°,9０°］ﻫ最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直ﻫeｓp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义:如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线ａ叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

立体几何常考定理总结(八大定理)

南京大学附属中学立体几何主要定理复习立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行.a ab符号语言：a//a// bb 关．键．点．：．在．平．面．内．找．一．条．与．平．面．外．的．直．线．平．行．的．线．二、线面平行的性质定理：线面平行线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经．过．这条直线的平面和这个平面相．交．，那么这条直线就和交．线．平行.ll //l符号语言：l // mmm 关．键．点．：．需．要．借．助．一．个．经．过．已．知．直．线．的．平．面．，．接．着．找．交．线．。

．三、面面平行的判定定理：线面平行面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相．交．直线都平．行．于另一个平．面．，那么这两个平面平行．ab符号语言：a b A //a∥b∥关．键．点．：．在．要．证．明．面．面．平．行．的．其．中．一．个．面．内．找．两．条．相．交．直．线．和．另．一．面．线．面．平．行．。

．四、面面平行的性质定理: 面面平行线线平行、面面平行线面平行文字语言：如果两个平行平面同．时．和第．三．个．平面相．交．, 那么所得的两条交．线．平行. 文字语言：如果两个平面平行，那么其中符号语言: 一个平面内的任．意．一条直线平行于另一个//平面.a a // bb符号语言: / / , a a / /关．键．点．：．找．第．三．个．平．面．与．已．知．平．面．都．相．关．键．：．只．要．是．其．中．一．个．平．面．内．的．直．线．就．行．交．，．则．交．线．平．行．1南京大学附属中学立体几何主要定理复习五、线面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相．交．直线垂．直．，那么这条直线垂直于这个平面.a ma符号语言：a nm n AaAm ,nn m 关．键．点．：．在．平．面．内．找．两．条．相．交．直．线．与．所．要．证．的．直．线．垂．直．六、线面垂直的性质定理：线面垂直线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任．意．一条直线.符号语言：lal a关．键．点．：．往．往．线．面．垂．直．中．的．线．线．垂．直．需．要．用．这．个．定．理．推．出．七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直面面垂直文字语言：如果一个平面经．过．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：aaa关．键．点．：．在．需．要．证．明．的．两．个．平．面．中．找．线．面．垂．直．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂．直．于它们的交．线．的直线垂直于另一个平面.l符号语言：ABAABAB ll 关．键．点．：．先．找．交．线．，．再．在．其．中．一．个．面．内．找．与．交．线．垂．直．的．线．。