圆的切线的判定和性质

证明直线和圆相切：
不知直线与圆是否有公
共点，先作垂直，证
垂线段等于半径.
例1与例2的证法有何不同? (1)例1已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则
过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于 半径长。简记为：作垂直,证半径。 (2)例2已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心, 得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。
4、掌握常见的关于切线辅助线作法： A、知直线经过圆上一点，连接圆心和切点，
证垂直。 B、不知直线与圆是否有公共点，作垂线段, 证半径
作业：《金牌学案》P69“课 时达标”5、6题
（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.
2、用圆心到直线的距离和圆半径的大小关系， 来揭示 圆和直线的位置关系。
r ●O ┐d
相交
直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
r ●O d ┐
相切
d < r; d = r;
d> r;
r ●O d
┐ 相离
总结：
判定直线与圆的位置关系的方法有__两__种：
1
Baidu Nhomakorabea
A
C
课堂练习
（3）PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、 B，C是⊙O上一点(不与点A 、B 重合)，若 ∠APB=40°， 求∠ACB的度数.
A
P
40°
140° O 70 ° C
B
例题2 例2 如图，△AB C为等腰三角形，0是底边BC
的中点，腰AB与⊙O相切于点D。
求证：AC是⊙O的切线。
简记为：连半径,证垂直。
习题
（4）如图，AB为⊙O的直径， CD 是⊙O的切线，C为切点，AD ⊥CD 于D点. 求证：AC平分∠DAB.
D C
4
3
2 1
A
O
B
课堂练习
切线的性质
（5）如图，在⊙O中，AB为直径， AD为弦， 过B点的切线与AD的延长 线交于点C，且AD=DC.求∠ABD的度 数.
2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什 么方向？
生 活 中 的 数 学
下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打 磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
O l
上一点，先连半径，证垂直
以连接OC，只要 A证B⊥明O＿C＿＿ 即可。
猜想
观察下图：
反过来，如果直线L是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么 L和半径OA是不是一定 垂直？
O
A
L
已知： 直线L 是⊙O 的切线，A为切 点。求证：OA ⊥L
证明：假设L与OA不垂直
则过点O作OM⊥L,垂足为M
O
根据垂线段最短，得OM＜OA 即圆心O到直线AT的距离d＜R
（1）根据定义，由___直___线___与___圆__的__ 公共点 的个数来判断；
（2）根据性质，由__圆__心__到__直__线___的__距__离d与半径r 的关系来判断。 在实际应用中，常采用第二种方法判定。
思考:
在⊙O中,经过半径OA的 外端点A作直线L⊥OA, 则圆心O到直线L的距离 是多少?__O__A__,直线L和 ⊙O有什么位置关系? ___相__切____.为什么？
B
O
T
A
例题1
已知：直线AB经过⊙O上的点C，且
OA=OB,CA=CB求证：直线AB是⊙O的切线。
证明：连结OC(如图)。
O
∵ 在△OAB中 OA＝OB,CA＝
CB, ∴ AB⊥OC。
A
CB
分析：由于AB过
∵直线AB经过OC的外端点C⊙O上的点C，所
∴ AB是⊙O的切线。
证明直线和圆相切：知直线经过圆
AM T
∴直线L 与⊙O 相交
这与已知 “L是 ⊙O 的切线” 矛盾
∴假设不成立，即L⊥OA
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径 几何符号语言：
∵AT是 ⊙O 的切线，A 为切点
∴AT⊥OA
O
A
T
课堂练习
(1)、已知：AB是⊙O的弦，AC切⊙于点A， 且∠1=50°，则∠2= 40°
B
O2
证明：过O作OE⊥AC ，垂足为E，连结OD，OA。 A
∵ AB与⊙O相切于点D,
D
∴ OD⊥AB 。 B
又∵ △AB C为等腰三角形，O是底边BC的中点。
∴ AO是∠BAC平分线
E C
O
∴ OE=OD，即OE是 ⊙O的半径。
这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并 且垂直于⊙O半径OE，所以AC与⊙O相切
A
D
O
C
B
课堂练习
（2）如图，两个圆是以O为圆心的同心圆， 大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点。
求证：C是AB的中点。
证明：连接OC ∵AB是小圆的切线， C为切点
∴OC⊥AB 在大圆⊙O中,由垂径定理得
∴ C是AABC的=中B点C .
A
O
C
B
课堂小结
1、切线的判定定理
2、切线的性质定理 3、运用切线判定定理、性质定理进行计 算与证明。
.O
d
L
A 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线.
圆的切线判定定理：
经过半径的外端且垂于这条半径的直线是 圆的切线。
条件： (1)经过半径的外端；(2)垂直于过该点半径；
符 号
∵
l 经过⊙O上 的A点
语 言
且l⊥OA，
表
达 ∴直线l是⊙O的切线
●
O
┐
A
l
1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞 出的方向是什么方向？
r
A
O r
l A
●
O
┐
A
O l
r A
l
现在判定一条直线是圆的切线有几种方法？
1、直线与圆有且只有一个公共点
2、直线到圆心的距离等 于该圆的半径，即d=r
3、切线的判定定理:经 过半径的外端并且垂直 这条半径的直线是圆的 切线
O
A
T
课本98页 练习
（1）已知：AB是圆O 的直径，∠ABT=45 °， AT=AB。在△ABC中，求证：AT是⊙O的切线。
切线的判定和性质
汕尾中学
复习：直线和圆的位置关系
O
O
l l
O l
1、直线与圆相离、相切、相交的定义。
相离
切点
切线
割线
交点
交点
相切
相交
（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交； 这时直线叫做圆的割线.
(2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切； 这时直线叫做圆的切线. 唯一的公共点叫做切点.