考研数学高等数学强化习题-常数项级数
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故
即 而
所以
二．抽象级数收敛性的判别
8．
【解析】：由于
又 收敛,故 也收敛,也即 绝对收敛
故正确选项是（A）
9．
【解析】: ,两边再对 微分,得
把 代入上面两个微分方程可得到 由 可知,
存在 ,使得在 上, ,此时 单调递增
所以有 ,由莱布尼茨定理知 收敛.
故有
又 , 发散,
所以 也发散,即有 条件收敛.
(B)若正项级数 收敛，则必有
(C)若正项级数 发散，则必有
(D)正项级数 的敛散性与 有关
16、下列四个有关级数的论断
①若级数 发散，则
②若 ，则 必收敛
③若正项级数 收敛，则级数 必收敛
④若 且交错级数 条件收敛，则级数 必发散
正确的是( )
(A)①与②(B)②与③(C)③与④(D)①与④
17、若级数 收敛，则级数
10．【解析】：(1)
由于 收敛，所以由比较判别法知， 收敛，即 绝对收敛．
（2）由级数 收敛，则它的前 项部分和
当 时极限存在.
所以 存在，即 存在，证毕．
11．绝对收敛
【解析】因为 .由 得 ．
根据泰勒公式，得
所以， ．而级数 收敛，故由正项级数的比较审敛法知，级数 收敛，故原级数绝对收敛.
12.略
（A） （B）
（C） ，其中 收敛.（D）
5、对于常数 ，级数 ( )
(A)发散(B)绝对收敛
(C)条件收敛(D)收敛性与k的取值有关
6、设 为常数，则级数
（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 的取值有关
7、判别级数 的敛散性，并证明
二．抽象级数收敛性的判别
8、 ( 为常数)（）
（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性有 有关
18、设有两个数列 若 则
19、若级数 均收敛，则级数
20、 符合下列哪一个条件，可由 发散推出 发散
21、若级数 收敛， 发散，则级数
22、设 收敛，则
23、正项级数 收敛是级数 收敛的
24、如果级数 收敛，则级数
25、Байду номын сангаас果级数 都发散，则
26、已知级数 收敛，则下列级数中必收敛的是
27、下列命题成立的是
22．
23．
24．
25．
26．
27．
28．
模块十三常数项级数
Ⅰ经典习题
一．具体级数收敛性的判别
1、判断下列级数的收敛性
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
2、判断下列级数的收敛性（包括绝对收敛与条件收敛）
（1） （2）
（3） （4） ，（ ）
3、下列级数中不一定收敛的是（）
（A） （B）
（C） （D）
4、下列级数条件收敛的是（）
13.略
三．收敛性的讨论
14．
【解析】：由交错级数 条件收敛及 知
， ，其中 个常数.级数 的部分和
，
所以， ，即 发散.故应选(C)
15．
【解析】：比较判别法仅适合正项级数，故排除选项(A), 收敛，但 ，排除选项(B), 发散，但有 ，故排除选项(C).选项(D)中，当 时，收敛性取决于 ， 时，收敛性取决于 ，故选(D).
9、设 是微分方程 满足初始条件 的特解，
则无穷级数 ( )
（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不定
10、设函数 在区间 内可导，且导函数 有界： ，证明
（1）级数 绝对收敛；
（2） 存在．
11、设函数 是微分方程 当 时的一个特解，试讨论级数 的收敛性.
12、设 在 上单调增加，且
（1）证明级数 收敛，并求其和；
16．
【解析】：调和级数 发散，但 ，故论断①未必成立；交错级数 发散，但 ，故论断②的结论未必成立；由正项级数 收敛知 ，从而存在自然数 ，当 时， 成立 成立，由正项级数的比较判别法知论断③的结论总成立；由 及交错级数 条件收敛知 发散，即论断④的结论总成立.应选(C)
17．
18．
19．
20．
21．
28、设有命题
（1）若正项级数 满足 ，则级数 必收敛；
（2）若正项级数 收敛，则 ；
（3）若 ，则级数 同敛散；
（4）若数列 收敛，则级数 收敛。
以上四个命题中正确的个数为（）
Ⅱ参考答案
一．具体级数收敛性的判别
1.(1)收敛;(2)发散; (3)发散; (4)收敛; (5)收敛; (6收敛); (7)收敛; (8);收敛
2.(1)条件收敛;(2条件收敛; (3)条件收敛; (4)绝对收敛;
3．
4．
5．
【解析】：因为数列 单调减少，且 ，故交错级数 收敛.对于级数 .由于 ，而级数 发散，故级数 发散，因此对任何常数 级数 条件收敛.
6．
【解析】：因为 收敛， 发散，所以级数 发散.
7．收敛
【解析】：因为
因为 收敛，所以 收敛，设其和为 ．
（2）进一步设 在 上二阶可导，且 证明级数 收敛。
13、设正项数列 单调下降，且 发散，证明 收敛.
三．收敛性的讨论
14、已知 ，且 条件收敛，若设 ，则级数 ( ).
(A)条件收敛(B)绝对收敛
(C)发散(D)收敛或发散取决于 的具体形式
15、下列选项中正确的是( )
(A)若 ，则 与 有相同敛散性
即 而
所以
二．抽象级数收敛性的判别
8．
【解析】：由于
又 收敛,故 也收敛,也即 绝对收敛
故正确选项是（A）
9．
【解析】: ,两边再对 微分,得
把 代入上面两个微分方程可得到 由 可知,
存在 ,使得在 上, ,此时 单调递增
所以有 ,由莱布尼茨定理知 收敛.
故有
又 , 发散,
所以 也发散,即有 条件收敛.
(B)若正项级数 收敛，则必有
(C)若正项级数 发散，则必有
(D)正项级数 的敛散性与 有关
16、下列四个有关级数的论断
①若级数 发散，则
②若 ，则 必收敛
③若正项级数 收敛，则级数 必收敛
④若 且交错级数 条件收敛，则级数 必发散
正确的是( )
(A)①与②(B)②与③(C)③与④(D)①与④
17、若级数 收敛，则级数
10．【解析】：(1)
由于 收敛，所以由比较判别法知， 收敛，即 绝对收敛．
（2）由级数 收敛，则它的前 项部分和
当 时极限存在.
所以 存在，即 存在，证毕．
11．绝对收敛
【解析】因为 .由 得 ．
根据泰勒公式，得
所以， ．而级数 收敛，故由正项级数的比较审敛法知，级数 收敛，故原级数绝对收敛.
12.略
（A） （B）
（C） ，其中 收敛.（D）
5、对于常数 ，级数 ( )
(A)发散(B)绝对收敛
(C)条件收敛(D)收敛性与k的取值有关
6、设 为常数，则级数
（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 的取值有关
7、判别级数 的敛散性，并证明
二．抽象级数收敛性的判别
8、 ( 为常数)（）
（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性有 有关
18、设有两个数列 若 则
19、若级数 均收敛，则级数
20、 符合下列哪一个条件，可由 发散推出 发散
21、若级数 收敛， 发散，则级数
22、设 收敛，则
23、正项级数 收敛是级数 收敛的
24、如果级数 收敛，则级数
25、Байду номын сангаас果级数 都发散，则
26、已知级数 收敛，则下列级数中必收敛的是
27、下列命题成立的是
22．
23．
24．
25．
26．
27．
28．
模块十三常数项级数
Ⅰ经典习题
一．具体级数收敛性的判别
1、判断下列级数的收敛性
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
2、判断下列级数的收敛性（包括绝对收敛与条件收敛）
（1） （2）
（3） （4） ，（ ）
3、下列级数中不一定收敛的是（）
（A） （B）
（C） （D）
4、下列级数条件收敛的是（）
13.略
三．收敛性的讨论
14．
【解析】：由交错级数 条件收敛及 知
， ，其中 个常数.级数 的部分和
，
所以， ，即 发散.故应选(C)
15．
【解析】：比较判别法仅适合正项级数，故排除选项(A), 收敛，但 ，排除选项(B), 发散，但有 ，故排除选项(C).选项(D)中，当 时，收敛性取决于 ， 时，收敛性取决于 ，故选(D).
9、设 是微分方程 满足初始条件 的特解，
则无穷级数 ( )
（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不定
10、设函数 在区间 内可导，且导函数 有界： ，证明
（1）级数 绝对收敛；
（2） 存在．
11、设函数 是微分方程 当 时的一个特解，试讨论级数 的收敛性.
12、设 在 上单调增加，且
（1）证明级数 收敛，并求其和；
16．
【解析】：调和级数 发散，但 ，故论断①未必成立；交错级数 发散，但 ，故论断②的结论未必成立；由正项级数 收敛知 ，从而存在自然数 ，当 时， 成立 成立，由正项级数的比较判别法知论断③的结论总成立；由 及交错级数 条件收敛知 发散，即论断④的结论总成立.应选(C)
17．
18．
19．
20．
21．
28、设有命题
（1）若正项级数 满足 ，则级数 必收敛；
（2）若正项级数 收敛，则 ；
（3）若 ，则级数 同敛散；
（4）若数列 收敛，则级数 收敛。
以上四个命题中正确的个数为（）
Ⅱ参考答案
一．具体级数收敛性的判别
1.(1)收敛;(2)发散; (3)发散; (4)收敛; (5)收敛; (6收敛); (7)收敛; (8);收敛
2.(1)条件收敛;(2条件收敛; (3)条件收敛; (4)绝对收敛;
3．
4．
5．
【解析】：因为数列 单调减少，且 ，故交错级数 收敛.对于级数 .由于 ，而级数 发散，故级数 发散，因此对任何常数 级数 条件收敛.
6．
【解析】：因为 收敛， 发散，所以级数 发散.
7．收敛
【解析】：因为
因为 收敛，所以 收敛，设其和为 ．
（2）进一步设 在 上二阶可导，且 证明级数 收敛。
13、设正项数列 单调下降，且 发散，证明 收敛.
三．收敛性的讨论
14、已知 ，且 条件收敛，若设 ，则级数 ( ).
(A)条件收敛(B)绝对收敛
(C)发散(D)收敛或发散取决于 的具体形式
15、下列选项中正确的是( )
(A)若 ，则 与 有相同敛散性