两个相互垂直的简谐运动的合成
谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成
o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
4
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
谐运动分析(三)
(k 0，1， ) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
5
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t
( 0)
21
物理学
第五版
三种阻尼的比较
谐运动分析(三)
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
22
物理学
第五版
谐运动分析(三)
例 有一单摆在空气（室温为 20C）中来 回摆动. 摆线长l 1.0 m，摆锤是半径r 5.0103 m 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小 10％所需的时间；（3）能量减小10％所需 的时间；（4）从以上所得结果说明空气的 粘性对单摆周期、振幅和能量的影响.
简谐运动的合成
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章 机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2
x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2
x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章 机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章 机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
当 与 都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以 为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2
简谐运动的合成
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
简谐运动应用
1．能量表达式
（1）推导
以弹性振子为例。假设在t时刻质点的位移为x，速度为v，则
则系统动能为：
系统势能为：
因而系统的总能量为
考虑到 ，则
（2）结论
弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。
（3）解释
由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与势能相互转化，总能量保持不变。
因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为
因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为
结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半。
三、应用
1．应用1——记忆振幅公式
由能量守恒关系可得：kA2/2=mv02/2+kx02/2
解之即得：
2．应用2——推导简谐运动相关方程
在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重力势能），且二者之和保持不变，因而有
合振动
由于相位差 随时间变化，故合振动的振幅也随时间而变化，不是简谐运动。这里只讨论 ， 的情形，即两个频率相差很小，此时
由于 随时间变化比 要缓慢得多，因此可以近似地将合振动看成是振幅按 缓慢变化得角频率为 的“准周期运动”。这种两个频率都较大但两者频差很小的同方向简谐运动合成时，所产生的合振幅时而加强时而减弱的现象称为拍频（beat）。
振子恰好从准周期运动变为非周期运动。与弱阻尼和过阻尼比较，在临界阻尼情况下振子回到平衡位置而静止下来所需时间最短。
此时，β可以理解为衰减常量（attenuation constant），它的倒数称为弛豫时间（relaxation time），τ=1/β，β越大，弛豫时间越短，则振动衰减越快。
4．应用
2．运动方程
92简谐运动的叠加
第七章 振动与波动
24
物理学
利用旋转矢量合成
/2
y
7
8
6
y
7
6
8
5
5
1
4
4
2 3
1x
2 3
4
3 2
5
1x
6
8
7
第七章 振动与波动
25
物理学
用旋转矢量描绘振动合成图
第七章 振动与波动
26
物理学 （3） π
4y
8
1
7
6 2
5
3 4
y
8
7
1
6 5
2
x
3 4
4
3 2
5
1x
6
8
合振动轨迹方程
x A1
2
y A2
2
2xy
cos(2
A1 A2
1
)
sin
2 (2
1
)
物理学
作 业: 9-17
第七章 振动与波动
35
x x1 x2
x A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
采用旋转矢量图解法合成合振动
第七章 振动与波动
3
物理学
设一质点同步参加 两独立旳同方向、同频 率旳简谐振动：
x1
A1
cos(t
1
)
x A cos(t )
2
2
2
A2
2 1
O x2
A1
x1 x
两振动旳位相差
2
且方向相同步为t = 0，将该方向定为x轴正
向）：
A2
A w1
ω2t
Ch6-2 简谐运动的合成
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 tan ϕ = A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
两个同方向同 两个同方向同频 率简谐运动合成 率简谐运动合成 后仍为简谐 简谐运动 后仍为简谐运动
大学物理电子教案
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) ± ± 1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0 ， 1， 2,L)
大学物理电子教案
x1 = A1 cos ω1t = A1 cos 2π ν 1t x2 = A2 cos ω 2t = A2 cos 2π ν 2t
讨论
x = x1 + x2
A1 = A2 , ν 2 − ν 1 << ν 1 + ν 2 的情况
方法一
x = x1 + x 2 = A1 cos 2π ν 1t + A2 cos 2π ν 2 t
π y = A2 cos(ωt + ) 2
A2 y
x = A1 cos ωt
o
A1
x
大学物理电子教案
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
大学物理电子教案
两 相 互 垂 直 同 频 率 不 同 相 位 差
简 谐 运 动 的 合 成 图
大学物理电子教案
五
两相互垂直不同频率的简谐运动的合成 李 萨 如 图
讨论
2 1 2 2
x
o ϕ A
x
o
T
A = A1 + A2 x = ( A1 + A2 ) cos( ω t + ϕ ) ϕ = ϕ 2 = ϕ1 + 2 k π
振动、波动部分答案(新)
大学物理学——振动和波振 动班级 学号 姓名 成绩内容提要1、简谐振动的三个判据（1）；（2）；（3）2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T1=γ，πγπω22==T3、简谐振动的描述：（1）公式法 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法4、简谐振动的速度和加速度：)2cos()sin(v00πϕωϕωω++=+-==t v t A dt dx m ； a=）（）（πϕωϕωω±+=+=0m 0222t a t cos -dtxd A 5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例弹簧振子：，单摆小角度振动：，复摆：0mgh dt d 22=+θθJ ,T=2mghJπ 7、简谐振动的能量：222m 21k 21A A Eω==系统的动能为：）（ϕωω+==t sin m 21mv 212222A E K ；系统的势能为：）ϕω+==t (cos k 21kx 21222A E P8、两个简谐振动的合成（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成合振动方程为：）（ϕω+=t cos x A其中，其中；。
＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ=＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成合振动方程：）（1221221222212-sin )(cos xy 2y x ϕϕϕϕ=--+A A A A ，为椭圆方程。
练习一一、 填空题1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。
若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于 。
2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A ＝ ；=ω ;=ϕ 。
3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。
已知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2ml ，此摆作微小振动的周期为 。
17.9两个相互垂直的简谐运动的合成
③ ϕ2 ④ ϕ sin sin 1 消第2项 消第 项 − A1 A2 x sin ϕ2 ysin ϕ 1 得 − = cosω sin( ϕ2 −ϕ ) ⑥ t 1 A1 A2
⑤ +⑥
2 2
有
2
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
2 2
第17章 17章
振动
x y 2xy 2 + 2− cos(ϕ2 −ϕ1) =sin (ϕ2 −ϕ1) 2 A A AA 1 2 1 2
消第1项 消第 项
③ ϕ2 ④ ϕ cos cos 1 − A1 A2
1
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
x = A1(cosω cosϕ1 −sin ω sin ϕ1 ) t t
第17章 17章
振动
③
y = A2(cosω cosϕ2 −sin ω sin ϕ2 ) ④ t t x cosϕ2 ycosϕ 1 得 − = sin ω sin( ϕ2 −ϕ ) ⑤ t 1
第17章 17章
振动
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
9
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章 17章
振动
ϕ2 −ϕ = 1
π
4
y
x
10
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章 17章
振动
3 π ϕ2 −ϕ = 1 4
y
x
11
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章 17章
简 谐 运 动 的 合 成 图
15
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章 17章
振动
二 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成
4《振动》选择题解答与分析
4振动4.1旋转矢量1. 一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为A 21，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为答案：(B)参考解答：简谐振动可以用一个旋转矢量的投影来表示。
这一描述简谐振动的几何方法称为旋转矢量法。
以坐标原点o 为始端作一矢量A，该矢量以角速度ω绕o 点逆时针匀速转动。
0=t 时，旋转矢量与x 轴正向的夹角等于ϕ，则在转动过程中的任意时刻t ，矢量A与x 轴正向的夹角为)(ϕω+t ，其端点M 在坐标轴上的投影P 的坐标为)cos(ϕω+=t A x ,P 所代表的运动正是简谐振动。
本题(B)图中，旋转矢量端点在坐标轴上投影点的坐标与运动方向符合题设的要求，即为答案。
对所有选择，均给出参考解答，直接进入下一题。
2. 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4． 答案：(C) 参考解答：根据旋转矢量法，以坐标原点o 为始端作一矢量A ，该矢量以角速度ω绕o 点逆时针匀速转动。
0=t 时，旋转矢量与x 轴正向的夹角等于ϕ，则在转动过程中的任意时刻t ，矢量A与x 轴正向的夹角为)(ϕω+t ，其端点在坐标轴上的投影的坐标为)cos(ϕω+=t A x 所代表的运动正是简谐振动。
本题按题意画旋转矢量图，由,3πωθ==t πω2=T 两式联立，解出.6Tt =对所有选择，均给出参考解答，直接进入下一题。
4.2振动曲线、初相1. 一质点作简谐振动．其运动速度与时间的曲线如图所示．若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为(A) π/6． (B) 5π/6． (C) -5π/6．(D) -π/6． (E) -2π/3．答案：(C)参考解答：令简谐振动的表达式：)cos(ϕω+=t A x ，)(ϕω+t 称为振动系统在t 时刻的位相。
简明大学物理重点知识总结
五 机械振动知识点： 1、 简谐运动微分方程：0222=+x dtx d ω ,弹簧振子F=-kx,m k=ω, 单摆lg =ω 振动方程：()φω+=t A x cos振幅A,相位（φω+t ）,初相位φ,角频率ω。
πγπω22==T。
周期T, 频率γ。
ω由振动系统本身参数所确定；A 、φ可由初始条件确定：A=22020ωv x +,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00arctan x v ωφ； 2由旋转矢量法确定初相：初始条件：t=0 1） 由得 2）由得 3）由0=x 00<v 0cos =ϕ2/3 , 2/ππϕ=,0sin 0<-=ϕωA v 0sin >ϕAx =000=v ϕcos A A =1cos =ϕAx -=000=v ϕcos A A =-1cos -=ϕ0=ϕ2/πϕ=πϕ=得 4）由得3简谐振动的相位：ωt+φ:1）t+φ→（x,v ）存在一一对应关系;2）相位在0→2π内变化，质点无相同的运动状态； 相位差2n π（n 为整数）质点运动状态全同； 3）初相位φ（t=0）描述质点初始时刻的运动状态； （φ取[-π→π]或[0→2π]）4）对于两个同频率简谐运动相位差：△φ=φ2-φ1. 简谐振动的速度：V=-A ωsin(ωt+φ)加速度：a=)cos(2ϕωω+-t A简谐振动的能量：E=E K +E P = 221kA ,作简谐运动的系统机械能守恒4）两个简谐振动的合成（向同频的合成后仍为谐振动）：1）两个同向同频率的简谐振动的合成：X 1=A 1cos （1φω+t ） ,X 2=A 2cos （2φω+t ） 合振动X=X 1+X 2=Acos （φω+t ）其中 A=()12212221cos 2φφ-++A A A A ,tan 22112211cos cos sin sin φφφφφA A A A ++=。
相位差：12φφφ-=∆=2k π时, A=A 1 + A 2, 极大12φφφ-=∆=(2k+1)π时,A=A 1 + A2极小若0=x 00>v ϕcos 0A =0cos =ϕ2/3 , 2/ππϕ=,0sin 0>-=ϕωA v 0sin <ϕ)(sin 21212222k ϕωω+==t A m m E v )(cos 2121222p ϕω+==t kA kx E 2/3πϕ=121,ϕϕ=>A A2） 两个相互垂直同频率的简谐振动的合成：x=A 1cos （1φω+t ） ,y=A 2cos （2φω+t ）其轨迹方程为： 如果) 其合振动的轨迹为顺时针的椭圆πϕϕπ2)212<-<其合振动的轨迹为逆时针的椭圆相互垂直的谐振动的合成：若频率相同，则合成运动轨迹为椭园；若两分振动的频率成简单整数比，合成运动的轨迹为李萨如图形。
简谐运动合成的讨论
为 了计算方便 ，建立两个直角三 角形 ，如图 ２ ，有 ｅ。ｓ 。＝ （１７）
根据 三角形 的和差关 系 ，整 理 （１）和（２） ｃ。ｓ∞ 。ｃ。ｓ １＋ｓｉｎｍｔ‘ｓｉｎ ｌ （４）
上Ａ ｃ。ｓ ￡。ｃ。ｓ ２＋ｓｉｎ∞ｚ’ｓ ｉｎ ２ （５）
＝ ＡｌＣＯＳ（ｏ）ｔ＋ １） （１） Ｙ＝Ａ２ＣＯＳ（ｔｏｔ＋ ２） （２） 消去时 间 ｔ，可得合运动 的轨迹方程 为 ：
＋ ＋ 告一 ｃｏｓ（ ｚ一 。－）＿＝ ｓｉｎ（ ： 一 。ｌ）Ｊ （【３ ｊ）
合运动轨迹 方程 是 一个 椭 圆方 程 ，它 的形 状 由两个
收 稿 日期 ：２０１８—０２—２０ 作者简介 ：金 锋（１９８２．５一），男 ，辽 宁省沈 阳人 ，硕士研 究生 ，讲 师，从 事普通物理和 普通物理 实验教 学． 基金项 目：本论文是校级 大学物理精 品课程 建设 项 目（编号 ：ＪＰ２０１４０００９）阶段 性建设成果．
ｃ。ｓ 一上 Ａ 。。ｓ ： ｓｉｎ 。
２
ｃｏｓ
Ａｚ ｏｓ
ｃｏｓ ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ２￣ｔ‘
ｓｉｎ （ ｌ一 ２） （９） （４）乘 以 ｓｉｎ ：，（５）乘 以 ｓｉｎ 。后得 ：
ｓｉＩ ２＝ｃｏｓ ‘ｃｏｓ ｌ‘ｓｉｎ ２＋ｓｉｎ ‘８ｉｎ １。ｓｉｎ ２ （ ０）
ｃ。ｓ ＝ 上Ａ２ （１８）
根据 （１７）和 （１８）的关 系 ，（１５）与 （１６）两边 做差 ，整
理 后 得 ：
０２—０ｌ： ２一 １ （１９）
对 （１９）两 沩 取 正 弦 ，得 ：
ｓｉｎ（０２—０１）＝ｓｉｎ（ ２一 １） （２Ｏ）
简谐运动的合成与分解
五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处 理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列 不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复 杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动， 这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅 立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶 分析。
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频 地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动， 其频 率等于倍频。按规律： x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就 可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周 期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分 解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动 频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为 基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基 频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。 这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之 和的方法，称为谐振分析。
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情 况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐 标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的振幅， 就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同 的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分 的频率都是基频的整数倍， 所以它的频谱是分立谱。
2
A
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变；
大学物理(9.3.2)--简谐运动的合成
A2
2
o
1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐
运动
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
* 四、两个同方向不同频率简谐运动的合成
x1
拍
t
x2 t
x t
拍 合振动振幅 随时间周期性加强与减弱的现
两 个 频 率 较 大 且 相 差 极 小 的象同 方 向 谐 振 动 合 成 形 成
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
3. 两种特殊情况
A
A2 1
A2 2
2 A1 A2
cos( 2
1 )
(1) 若两分振动同相
2 1=2k
(k=0,1,2,…)
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强
(2) 若两分振动反相
2 1=(2k+1)
第三讲 简谐运动的合成
* 三、多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
xn An cos(t n )
x x1 x2 xn
x A cos(t )
A
A3
3
A1 sin1 A2 sin2 Asin
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
tan
A1 sin1 A1 cos1
A2 A2
sin 2 cos2
x Acos cost Asin sint Acos( t )
大学物理A2公式
磁学一、已知电流分布（或运动的电荷），求解磁感应强度B的分布1、毕奥-萨伐尔定律——方法一24r Idl e dB r μπ⨯=0，大小02sin 4Idl dB r μθπ=，方向为B l Id ⨯的方向。
72010N A 4μπ--=⋅ B dB =⎰ ：将dB分解为分量后再积分，x x B dB =⎰，y y B dB =⎰，z z B dB =⎰●电流在其延长线上各点产生的磁感应强度为零。
2、安培环路定理（求解高对称性的磁场分布）——方法二0L d LB l I μ⋅=∑⎰内，注意安培环路L 的选取。
无限长载流圆柱体：选取过场点半径为r 的圆环为L ，0L 2B r I πμ⋅=∑内；螺绕环：选取过场点半径为r 的圆环为L ，()02B r NI πμ=；长直密绕螺线管：选取过场点的矩形回路为L ，设在管内部分的长度为MN ，0B MN nMNI μ⋅=3、【几种形状载流导线所产生的磁场】重要！①有限长载流直导线： 021(cos cos )4IB r μθθπ=- 无限长载流直导线：02IB rμπ=②载流圆线圈：圆心O 处 02IB Rμ=轴线上P 点 23003sin 22IIR B Rr μμθ==一段圆弧（圆心角为θ，弧长为l ）在圆心处：002222I I l B R R R μμθππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③无限长载流直螺线管：0B nI μ=，n — 单位长度的匝数。
④螺绕环：02NIB rμπ=；细螺绕环：0B nI μ≈ ⑤无限大平面电流：012B i μ=，i 表示单位宽度电流强度。
⑥无限长载流圆柱面：00 2r R B I r R rμπ<⎧⎪=⎨>⎪⎩无限长载流圆柱体（或者称为“圆柱形”）：020 2 2Irr R R B I r R r μπμπ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩4、单个运动电荷的磁感应强度：2v 4rq e B r μπ⨯= 0电量为q 的点电荷或环形电荷作匀速圆周运动，可以等效为圆电流：2q I q T ωπ== 5、磁场的高斯定理：d 0SB S ⋅=⎰⎰磁通量的计算：d cos SSΦB dS B S θ=⋅=⎰⎰⎰⎰， 单位为Wb 6、安培环路定理：0L d LB l I μ⋅=∑⎰ 内，注意电流有正负。
相互垂直简谐运动合成
A1A 2
2
1
2 2 1
2 1 4
斜椭圆方程
x2 A2
1
y2 m A22
xy 2
AA 12
1 2
2 1 4
2
1
74
4
顺时针 逆时针
相互垂直的简谐运动的合成
2
1
3
4
x2 y2 A12 A22
2 xy 1 斜椭圆方程 A1A 2 2
2 1 3 4
顺时针
2
1
5434
逆时针
一般情况21====任意值任意值任意值任
意值,,都为椭圆方程都为椭圆方程都为椭 圆方程都为椭圆 方程..
相互垂直的简谐运动的合成
二、两个不同频率相互垂直简谐运动的合成 李萨如图形（Lissajou figure）
一般情况下, 合振动的轨迹是不稳定的. 当两个分振动 的频率成简单整数比时, 将形成稳定闭合曲线.
相互垂直的简谐运动的合成
不同频率相互垂直的简谐运动的合成
x A1 cost1 1 y A2 cost2 2
任意时刻 t::由坐标由坐标(x，y)确定质点的
位 置.确定质点的位置确定质点的位置确
定质点Ax22的 1
Ay位222 置 )y，A2，1xA，yx(由2 c坐os标由2 坐1标消si去n 2
t得2 (1
推导从略)
——轨迹方程（椭圆方程）
相互垂直的简谐运动的合成
大学物理
振动学基础
第8讲 相互垂直的简谐运动的合成
相互垂直的简谐运动的合成
相互垂直的简谐运动的合成
激光李萨如图形演示 两个相互垂直简谐运动的合运动仍是简谐运动吗?
相互垂直的简谐运动的合成
5-3 、 5-4 简谐振动的合成
ϕ
A2
x
O C A1
N −1 ∆ϕ ϕ = 合振动表达式 2 x ( t ) = A cos( ω t + ϕ ) sin(N∆ϕ / 2) N −1 = A0 cos(ω t + ∆ϕ ) sin(∆ϕ / 2) 2
讨论1： 讨论 ： 当 δ
= ±2kπ k = 0,1,2,L sin(N∆ϕ / 2) A = lim A0 = NA0 sin(∆ϕ / 2)
四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动
x = A1 cos(ω t + ϕ 1 ) y = A2 cos(ω t + ϕ 2 )
合振动的轨迹方程为
x y 2 xy 2 cos(ϕ 2 − ϕ 1 ) = sin (ϕ 2 − ϕ 1 ) + 2− 2 A1 A2 A1 A2
'
各分振动矢量依次相接， 各分振动矢量依次相接，构 成闭合的正多边形， 成闭合的正多边形，合振动 的振幅为零。 的振幅为零。
三、同方向不同频率的简谐振动的合成
某质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动
x1 = A1 cos(ω 1 t + ϕ 1 )
x 2 = A2 cos(ω 2 t + ϕ 2 )
A2 y=− x A1
y
x2 y2 2 xy + 2+ =0 2 A1 A2 A1 A2
x
合振动的轨迹是一条通过原点的直线
讨论3 讨论
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 = π / 2 x2 y2 合振动的轨迹是的椭圆 合振动的轨迹是的椭圆 + 2 =1 2 A1 A2 方程， 方程，且顺时针旋转
振动的合成与分解
合振动的轨迹为通过原点且 在第一、第三象限内的直线
A2 斜率 A1
y
x
质点离开平衡位置的位移
S x y
2 2
A1 A2 cos( t )
2 2
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2 A2 x y 2 x ) 0 y (2) 2 1 ( A1 A1 A2
x2 A2 cos(2t 2 )
设 1 2 但： 1 2 1
为简单： 令A1 A2 A 先用函数曲线叠加：
1 2
分振动
x1 A cos( 1t ) x2 A cos( 2 t )
合振动
x x1 x2
y
x
y
x
= 0
= /4
P
·Q
.
= /2
= 3/4
=
= 5/4
= 3/2
= 7/4
0 时，逆时针方向转动。 0 时，顺时针方向转动。
四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成
两振动的频率成整数比 轨迹称为李萨如图形
合振动
r ( t ) x ( t )i y ( t ) j
合振动质点的轨迹方程
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 讨论 A1 A2 A2 x y 2 x ) 0 y (1) 2 1 0 ( A1 A1 A2
物理-相互垂直的简谐运动的合成
y A2 x A1
质点离开 平衡位置 的位移
r(t) A12 A22 cos(t 1 )
y
A2
o A1 x
合振动是与分振动同频率的简谐振动
一、两个相互垂直的谐振动的合成
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2 A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
(3)
若
2
1
2
x2 A12
y2 A22
合运动的 轨道方程
( x )2 ( y )2 2xycos sin2
A1
A2
A1 A2
其中： (2 1 )t (2 1 ) ——随时间变化
一般情况下，合运动的轨迹是不稳定的。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
分振动： x A1 cos(ω1t φ1 ) y A2 cos(ω2t φ2 )
二、振动频谱分析
数学上已经证明：
任意周期函数（周期为T）：x(ωt) 其中 ω 2π /T
均可展开为三角级数
基频
x(ωt ) a0 (ak cos kωt bk sin kωt )
k 1
k次谐频
1 T/2
a0 T
f (ωt )dt
T / 2
2
ak T
T /2
f (ωt)cos kωtdt (k 0)
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2
A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
合运动一般是在 x A1, y A2 范围内的一个椭圆。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
2
2
x A1
y A2
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y A2(cos t cos 2 sin t sin 2 ) ④
消第1项 ③ cos 2 ④ cos 1
A1
A2
1
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章 振动
x A1(cos t cos 1 sin t sin 1 ) ③
y A2(cos t cos 2 sin t sin 2 ) ④
9
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
2
1
4
y
x
第17章 振动
10
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
2
1
3
4
y
x
第17章 振动
11
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
2
1
5
4
y
x
第17章 振动
12
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
2
1
3
2
y
x
第17章 振动
13
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
1 )
sin 2 (2
1 )
3）2 1 π 2
x2 A12
y2 A22
1
x
y
A1
A2
cost
cos(t
π 2
)
A2 y
o A1 x
7
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
2
1
2
y
x
第17章 振动
8
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
第17章 振动
2
1
7
4
y
x
第17章 振动
14
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
两
相
互 垂 直 同 频 率 不 同 相
简 谐 运 动 的 合 成 图
位
差
第17章 振动
15
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章 振动
二 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成
x A1 cos(1t 1)
y A2 cos(2t 2 )
2
0, π 8
,π 4
, 3π 8
,π 2
第17章 振动
1 m 整数 2 n
应用：测量振动频率 和相位的方法本节 Nhomakorabea结束
17
cos(2
1 )
sin
2 (2
1 )
质点运动轨迹 （椭圆方程）
2） 2 1 π
y A2 x A1
A2 y
x
o A1
5
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
2 1 π
y
x
第17章 振动
6
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章 振动
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
2xy A1 A2
cos(2
1 )
（椭圆方程）
sin 2
A2
(2 y
1 )
讨论
1）2 1 0 或 2π
y A2 x A1
ox
A1
3
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
2 1 0
y
x
第17章 振动
4
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章 振动
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
得
x cos 2 y cos 1
A1
A2
sin t sin( 2 1 )
⑤
消第2项 ③ sin 2 ④ sin 1
A1
A2
得
x
sin 2
A1
y sin 1
A2
cos t sin(
2
1 )
⑥
⑤2 ⑥2 有
2
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章 振动
x2 A12
y2 A22
质点运动轨迹
合成的结果比较复杂，但如果二者的频率具有整数比 时，即
1 m 整数 2 n
合成的质点运动将具有封闭的稳定的运动轨迹－李萨 如图。
此外，二者的相位不同，图形也不一样。
16
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
李萨如图
x A1 cos(1t 1)
y A2 cos(2t 2 )
设： 1 0
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章 振动
一 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
x A1 cos(t 1) ①
y A2 cos(t 2 ) ②
cos( ) cos cos sin sin
①、②式消 t 。
x A1(cos t cos 1 sin t sin 1 ) ③