向量的坐标表示及其运算

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（2）向量的坐标表示及其运算（2）

一、教学内容分析

向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础.

二、教学目标设计

1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式；

2．会用平行的充要条件解决点共线问题；

3、定比分点坐标公式.

三、教学重点及难点

课本例5的演绎证明；

分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用；

特殊——一般——特殊的探究问题意识.

五、教学过程设计：

复习向量平行的概念：

提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向量。

（2）实数与向量相乘有何几何意义

（3）由此对任意两个向量,a b，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b，若存在一个常数 ，使得

a b λ=⋅成立，则两向量a 与向量b 平行

（4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为)

,(),,(2211y x b y x a ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12

12

x x y y λλ=⎧⎨=⎩

思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x b y x a ==，则

2

121y y

x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出

课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==，

则//a b 的充要条件是1221x y x y =.

分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明，

（Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ⇒=

非零向量//a b ⇔存在非零实数λ，使得a b λ=，即

1122(,)(,)x y x y λ=，化简整理可得：1212

x x y y λλ=⎧⎨

=⎩，消去λ即得1221x y x y = （Ⅱ）再证充分性：1221x y x y =//a b ⇒

（1）若12210x y x y =≠,则1x 、2x 、1y 、2y 全不为零，显然有

11

22

0x y x y λ==≠，即1122(,)(,)x y x y λ=a b λ⇒=//a b ⇒

（2）若12210x y x y ==，则1x 、2x 、1y 、2y 中至少有两个为零. ①如果10x =，则由a 是非零向量得出一定有10y ≠，⇒20x =， 又由b 是非零向量得出20y ≠，从而，此时存在1

2

0y y λ=

≠使12(0,)(0,)y y λ=，即a b λ=//a b ⇒

②如果10x ≠，则有20y =，同理可证//a b 综上，当1221x y x y =时，总有//a b 所以，命题得证.

[说明] 本题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能力的良好范例. 练习2：

1．已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且//a b ，则x 为_________； 2．设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ）

① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ②2

121y y

x x =；③(a +b )a

b 0a a 0a a a =⋅a 0a 0a a a =⋅a 0a 1a =0

a a =述命题中，其

中假命题的序号为 ；

[说明] 安排此组练习快速巩固所学基础知识，当堂消化，及时反馈.

知识拓展应用

问题一：已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=____ （学生讨论与分析）

[说明] 三点共线的证明方法总结： 法一：利用向量的模的等量关系

法二：若A 、B 、C 三点满足AB AC λ=，则A 、B 、C 三点共线. *法三：若A 、B 、C 三点满足OC mOA nOB =+，当1m n +=时，A 、B 、C 三点共线.

问题二：定比分点公式：

设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.

解：由12PP PP λ= ，可知

{

)

()(2121x x x x y y y y -=--=-λλ，因为λ≠-1， 所以⎩⎨⎧++

=++=λ

λλ

λ112

121x x x y y y ，这就是点P 的坐标.

[说明]此例题的结论可作为公式掌握，此公式叫线段21P P 的定

比分点公式.

2．小组交流

（1）定比分点公式中反映了那几个量之间的关系当λ=1时，

点P 的坐标是什么 （2）满足式子12PP PP λ=的点P 称为向量 12PP 的分点.

思考：上式中正确反映 P 1，P ，2P 三点位置关系的是（ ）

A 、 始→分，分→终.

B 、始→分，终→分.

C 、终→分，分→

始

（3）关于定比λ和分点P 叙述正确的序号是 1）点P 在线段21P P 中点时，λ=1;2）点P 在线段21P P 上时，λ≥0 3）点P 在线段21P P 外时，λ﹤0; 4）定比λR ∈

[说明]由定比分点公式可知λ=1 时有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2

2

2

121x x x y y y ，此公式叫

做线段21P P 的中点公式. 此公式应用很广泛.

3．例题辨析

例1、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （),11y x ， ),(22y x B ， ),(33y x C ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标. 解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB

的中点，于是点D 的坐标是（

2

,22

121y y x x ++）. 设点G 的坐标为),(y x ，且2CG GD =

则由定比分点公式得 ⎪⎩

⎪⎨⎧+++=+++=

212

221222

13213x x x x y y y y ，整理得

⎪⎩

⎪⎨⎧++=++=333

2121x x x x y y y y 这就是△ABC 的重心G 的坐标.

[说明]本题难度不大，但综合性却比较强.不仅涉及到定比的概