三角函数解三角形第六节解三角形课件
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答案 400 13
三角函数解三角形第六节解三角形
8
考点二 正、余弦定理在平面几何中的应用
【典例 2】 (2018·成都诊断)如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 A＝π2，
B＝23π，AB＝6。在 AB 边上取点 E，使得 BE＝1，连接 EC，ED。若∠CED
＝23π，(2)E求C＝CD
的长。 7。
答案 10
三角函数解三角形第六节解三角形
5
利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤 1．分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图。 2．建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在 相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型。 3．求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型 的解。 4．检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题 的解。
三角函数解三角形第六节解三角形
7
解析 在△ABD 中，BD＝400 米，∠ABD＝120°。因为∠ADC＝150°， 所以∠ADB＝30°。所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°。由正弦定理，可 得sin∠BDDAB＝sin∠ADABD，所以si4n0300°＝sinA1D20°，得 AD＝400 3(米)。在△ ADC 中，DC＝800 米，∠ADC＝150°，由余弦定理得 AC2＝AD2＋CD2－ 2·AD·CD·cos ∠ ADC ＝ (400 3 )2 ＋ 8002 － 2×400 3 ×800×cos150°＝ 4002×13，解得 AC＝400 13(米)。故索道 AC 的长为 400 13米。
(1)求 sin∠BCE 的值。
解 (1)在△BEC 中，由正弦定理，知sin∠BEBCE＝sCinEB。
3
因为 B＝23π，BE＝1，CE＝
7，所以
sin∠BCE＝BEC·sEinB＝
2＝ 7
1241。
(2)
因
为
∠
CED
＝
B
＝
2π 3
，
所
以
∠
DEA
＝
∠
BCE
，
所
以
cos∠ DEA＝
1－sin2∠DEA＝ 1－sin2∠BCE＝ 1－238＝5147。 因为 A＝π2，所以△AED 为直角三角形，又 AE＝5，所以 ED＝cos∠AEDEA
第三章 三角函数、解三角形 第六节 解三角形
三角函数解三角形第六节解三角形
1
第2课时 解三角形的综合应用(提升课)
微考点·大课堂
三角函数解三角形第六节解三角形
2
微考点 ·大课堂
三角函数解三角形第六节解三角形
3
考点一 三角形的实际应用 【典例 1】 如图，为了测量河对岸 A，B 两点之间的距离，观察者找 到一个点 C，从 C 点可以观察到点 A，B；找到一个点 D，从 D 点可以观察 到点 A，C；找到一个点 E，从 E 点可以观察到点 B，C；并测量得到：CD ＝2，CE＝2 3，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°， ∠E＝60°，则 A，B 两点之间的距离为________。cos48.19°取23
＝－cos∠ABC＝－14。因为 0<∠DBC<π，所以 sin∠DBC＝ 1－cos2∠DBC
＝
1－－142＝ 415。
三角函数解三角形第六节解三角形
12
所以△BDC 的面积 S＝12BC·BD·sin∠DBC＝12×2×2× 415＝ 215。在△BDC
中，因为 BD＝BC，所以∠BDC＝∠BCD，所以∠BDC＝π－∠2DBC，则 cos ∠BDC＝cosπ－∠2DBC＝sin12∠DBC。又因为 cos∠DBC＝1－2sin12∠DBC2
＝－14，而 0<∠DBC<π，所以 sin12∠Leabharlann BaiduBC>0，所以 sin12∠DBC＝ 410，因此 cos
∠BDC＝ 410。
答案
15 2
10 4
三角函数解三角形第六节解三角形
13
解析：求△BDC 的面积同上述解法。先在△BDC 中，由余弦定理，得 CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠DBC＝22＋22－2×2×2×－14＝10，所以 CD＝ 10。取 CD 的中点 E，连接 BE。因为 BD＝BC，所以 BE⊥CD。在 Rt△BDE 中，因为 BD＝2，DE＝12CD＝ 210，所以 cos∠BDC＝DBDE＝ 410。
＝ 5
5
7＝2
7。
14
在△CED 中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2× 7×
2 7×－12＝49。所以 CD＝7。
三角函数解三角形第六节解三角形
10
利用正、余弦定理解决平面几何问题的一般思路 1．把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利 用正弦、余弦定理求解。 2．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角 关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合， 才能顺利解决问题。
三角函数解三角形第六节解三角形
4
解析 依题意知，在△ACD 中，∠CAD＝30°，由正弦定理得 AC＝ CDsinsi3n04°5°＝2 2，在△BCE 中，∠CBE＝45°，由正弦定理得 BC＝CsEisni4n56°0° ＝3 2。因为在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB ＝10，所以 AB＝ 10。
三角函数解三角形第六节解三角形
11
【变式训练】 (2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2。点 D 为 AB 延长线上一点，BD＝2，连接 CD，则△BDC 的面积是________， cos∠BDC＝________。
解析 在△ABC 中，由余弦定理，得 cos∠ABC＝BA2＋2BBAC·B2－C AC2＝ 422＋×242×－242＝14。因为∠ABC＋∠DBC＝π，所以 cos∠DBC＝cos(π－∠ABC)
三角函数解三角形第六节解三角形
6
【变式训练】 如图，嵩山上原有一条笔直的山路 BC，现在又新架设 了一条索道 AC，小李在山脚 B 处看索道 AC，发现张角∠ABC＝120°；从 B 处攀登 400 米到达 D 处，回头看索道 AC，发现张角∠ADC＝150°；从 D 处 再攀登 800 米可到达 C 处，则索道 AC 的长为________米。
三角函数解三角形第六节解三角形
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考点二 正、余弦定理在平面几何中的应用
【典例 2】 (2018·成都诊断)如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 A＝π2，
B＝23π，AB＝6。在 AB 边上取点 E，使得 BE＝1，连接 EC，ED。若∠CED
＝23π，(2)E求C＝CD
的长。 7。
答案 10
三角函数解三角形第六节解三角形
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利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤 1．分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图。 2．建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在 相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型。 3．求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型 的解。 4．检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题 的解。
三角函数解三角形第六节解三角形
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解析 在△ABD 中，BD＝400 米，∠ABD＝120°。因为∠ADC＝150°， 所以∠ADB＝30°。所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°。由正弦定理，可 得sin∠BDDAB＝sin∠ADABD，所以si4n0300°＝sinA1D20°，得 AD＝400 3(米)。在△ ADC 中，DC＝800 米，∠ADC＝150°，由余弦定理得 AC2＝AD2＋CD2－ 2·AD·CD·cos ∠ ADC ＝ (400 3 )2 ＋ 8002 － 2×400 3 ×800×cos150°＝ 4002×13，解得 AC＝400 13(米)。故索道 AC 的长为 400 13米。
(1)求 sin∠BCE 的值。
解 (1)在△BEC 中，由正弦定理，知sin∠BEBCE＝sCinEB。
3
因为 B＝23π，BE＝1，CE＝
7，所以
sin∠BCE＝BEC·sEinB＝
2＝ 7
1241。
(2)
因
为
∠
CED
＝
B
＝
2π 3
，
所
以
∠
DEA
＝
∠
BCE
，
所
以
cos∠ DEA＝
1－sin2∠DEA＝ 1－sin2∠BCE＝ 1－238＝5147。 因为 A＝π2，所以△AED 为直角三角形，又 AE＝5，所以 ED＝cos∠AEDEA
第三章 三角函数、解三角形 第六节 解三角形
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1
第2课时 解三角形的综合应用(提升课)
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3
考点一 三角形的实际应用 【典例 1】 如图，为了测量河对岸 A，B 两点之间的距离，观察者找 到一个点 C，从 C 点可以观察到点 A，B；找到一个点 D，从 D 点可以观察 到点 A，C；找到一个点 E，从 E 点可以观察到点 B，C；并测量得到：CD ＝2，CE＝2 3，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°， ∠E＝60°，则 A，B 两点之间的距离为________。cos48.19°取23
＝－cos∠ABC＝－14。因为 0<∠DBC<π，所以 sin∠DBC＝ 1－cos2∠DBC
＝
1－－142＝ 415。
三角函数解三角形第六节解三角形
12
所以△BDC 的面积 S＝12BC·BD·sin∠DBC＝12×2×2× 415＝ 215。在△BDC
中，因为 BD＝BC，所以∠BDC＝∠BCD，所以∠BDC＝π－∠2DBC，则 cos ∠BDC＝cosπ－∠2DBC＝sin12∠DBC。又因为 cos∠DBC＝1－2sin12∠DBC2
＝－14，而 0<∠DBC<π，所以 sin12∠Leabharlann BaiduBC>0，所以 sin12∠DBC＝ 410，因此 cos
∠BDC＝ 410。
答案
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解析：求△BDC 的面积同上述解法。先在△BDC 中，由余弦定理，得 CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠DBC＝22＋22－2×2×2×－14＝10，所以 CD＝ 10。取 CD 的中点 E，连接 BE。因为 BD＝BC，所以 BE⊥CD。在 Rt△BDE 中，因为 BD＝2，DE＝12CD＝ 210，所以 cos∠BDC＝DBDE＝ 410。
＝ 5
5
7＝2
7。
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在△CED 中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2× 7×
2 7×－12＝49。所以 CD＝7。
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10
利用正、余弦定理解决平面几何问题的一般思路 1．把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利 用正弦、余弦定理求解。 2．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角 关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合， 才能顺利解决问题。
三角函数解三角形第六节解三角形
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解析 依题意知，在△ACD 中，∠CAD＝30°，由正弦定理得 AC＝ CDsinsi3n04°5°＝2 2，在△BCE 中，∠CBE＝45°，由正弦定理得 BC＝CsEisni4n56°0° ＝3 2。因为在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB ＝10，所以 AB＝ 10。
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【变式训练】 (2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2。点 D 为 AB 延长线上一点，BD＝2，连接 CD，则△BDC 的面积是________， cos∠BDC＝________。
解析 在△ABC 中，由余弦定理，得 cos∠ABC＝BA2＋2BBAC·B2－C AC2＝ 422＋×242×－242＝14。因为∠ABC＋∠DBC＝π，所以 cos∠DBC＝cos(π－∠ABC)
三角函数解三角形第六节解三角形
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【变式训练】 如图，嵩山上原有一条笔直的山路 BC，现在又新架设 了一条索道 AC，小李在山脚 B 处看索道 AC，发现张角∠ABC＝120°；从 B 处攀登 400 米到达 D 处，回头看索道 AC，发现张角∠ADC＝150°；从 D 处 再攀登 800 米可到达 C 处，则索道 AC 的长为________米。