选修4-4第2节参数方程

第二节 参数方程

[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．

1．曲线的参数方程

一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧

x ＝f (t )，

y ＝g (t )并且对于t 取的每一个允许值，由这个方程组所确定的点

P (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．

2．直线、圆、椭圆的参数方程

(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α(t

为参数)．

(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝x 0＋r cos θ，

y ＝y 0＋r sin θ(θ为

参数)．

(3)椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝a cos φ，y ＝b sin φ

(φ为参数)．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)参数方程⎩⎨⎧

x ＝f (t )，

y ＝g (t )

中的x ，y 都是参数t 的函数．( )

(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α(t 为

参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为

终点的有向线段M 0M →

的数量．( )

(3)方程⎩⎨⎧

x ＝2cos θ，

y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )

(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧

x ＝2cos t ，

y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参

数t ＝π

3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×

2．(教材改编)曲线⎩⎨⎧

x ＝－1＋cos θ，

y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )

A ．在直线y ＝2x 上

B ．在直线y ＝－2x 上

C ．在直线y ＝x －1上

D ．在直线y ＝x ＋1上

B [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧

cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，

所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.

曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．]

3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线

C ：⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝2＋2

2t ，y ＝1＋2

2t

(t 为参数)

的普通方程为________．

x －y －1＝0 [由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋2

2t ， 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.]

4．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝t 2，y ＝22t

(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．

(2，－4) [由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2.① 由⎩⎨⎧

x ＝t 2，y ＝22t ，

消去t 得y 2＝8x .② 联立①②得⎩⎨⎧

x ＝2，

y ＝－4，

即交点坐标为(2，－4)．]

5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋12t ，y ＝32t

(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝cos θ，

y ＝2sin θ

(θ为参数)．设直

线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．

[解] 椭圆C 的普通方程为x 2

＋y 2

4＝1. 2分

将直线

l 的参数方程⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝1＋12t ，y ＝32t

代入x 2＋y 2

4＝1，得⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫32t 2

4＝

1，即7t 2＋16t ＝0，8分

解得t 1＝0，t 2＝－167，所以AB ＝|t 1－t 2|＝16

7. 10分

参数方程与普通方程的互化

已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝a －2t ，

y ＝－4t

(t 为参数)，圆C 的参数方程

为⎩⎨⎧

x ＝4cos θ，y ＝4sin θ

(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；

(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [解] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，2分 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 4分 (2)因为直线l 与圆C 有公共点， 故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5

≤4，8分

解得－25≤a ≤2 5. 10分

[规律方法] 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．

2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形．

[变式训练1] 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧

x ＝t ，

y ＝t －a (t 为参数)过

椭圆C ：⎩⎨⎧

x ＝3cos φ，

y ＝2sin φ

(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．

[解] 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 2

4＝1，4分 所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)， 若直线l 过椭圆的右顶点(3,0)， 则3－0－a ＝0，所以a ＝3. 10分

参数方程的应用