分子对称性和点群
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分子的对称性与群论基础群与分子点群
群与分子点群
3、分子点群
立方群
3）、 Ih 点群
对称元素: 6个 C5 轴(相对顶点)、 10个 C3 轴(相对面心)、 15个 C2 轴(相对棱心)、 对称中心.
120个对称操作,分为10个共轭类:
Eˆ , 6 Cˆ5 ,Cˆ54 , 6 Cˆ52,Cˆ53 , 10 Cˆ3 , Cˆ32 , iˆ , 6 Sˆ10 , Sˆ190 , 6 Sˆ130 , Sˆ170 , 10 Sˆ6 , Sˆ65 ,
24
群与分子点群
4、子群与类
如果群的某个元素与其他元素的乘积都可交换，则该元素
自成一类（不与其他元素共轭）。
若：
PA = AP ,
PB =
BP , … ...
必有：
A-1PA = P , B-1PB =
P , …… 即:对元于素分子P 点不群与：其他元素共轭。 恒等操作自成一类； 反演操作自成一类。
O2 , CO2 , C2 H 2
13
群与分子点群
3、分子点群
立方群
具有多于一个高次轴(Cn，n>2)的群，对应于凸正 多面体
4个 C3 轴 3个 C2 轴
T
Th (i)
Td (6d)
正四面体
3个 C4 轴 4个 C3 轴 6个 C2 轴
O Oh (i)
正八面体 正六面体
6个 C5 轴 10个 C3 轴
27
群与分子点群
5、同构与同态
2)、同态 定义：考虑群G与群H，若G的一组元素对应与H的一个元 素，且群G的元素的乘积对应于群H的相应元素的乘积， 则称群H 是群G的一个同态映像。
群G： …., {Aik} , …, {Aj l }, …., {AikAjl} , ….
第三章：分子对称性和点群
σv2 σv2 σd1 σv1 σd2 C42 E
C41 C43
σd1 σd1 σv1 σd2 σv2 C41 C43 E
C42
σd2 σd2 σv2 σd1 σv1 C43 C41 C42 E
第三章：分子对称性和点群
1
群元素 群
乘法
对称操作 点群
操作动作的连续
2
本章目录
3.1对称元素和对称操作 3.2 对称操作的乘积 3.3分子点群
3.3.1 构成群 3.3.2 点群乘法表 3.3.3 类和子群 3.3.4 分子点群的类型 ****
3
3.1对称元素和对称操作
• 对称元素的定义（Symmetry Elements） 几何实体，如一个点，一条直线，一个平面；
(x,y,z) -C-2-(-x-)-> (x,-y,-z)-C--2(-y-)> (-x,-y,z) (x,y,z) -C--2(-z-)-> (-x,-y,z)
so, C2(y)C2(x)= C2(z)
34
例3：C4（z）和σ (xz）的存在，自动地要求σ d的存在 普通点[x1,y1,z1]通过xz平面的反映效果可以表为
分子点群满足数学群四准则。
点群中点的含义：(1)这些对称操作都是点操作，操作时 分子中至少有一点不动；(2) 分子的全部对称元素至少通 过一个公共点。
37
满足群的四点要求：
• （1）群中任意两个元素的乘积必为群中的 一个元素。
以NH3为例，逐一求出所有的对称操作的二元乘 积，发现两个操作的乘积仍为集合中的一个操作。
Snm = hmCnm （1）若独立地存在一个Cn轴和一个垂直于它 的平面h，那么就存在Sn。 （2）当分别地既不存在Cn也不存在垂直的h 时，Sn也可以存在。
群论第3章
NH3
CO，NO，HCN
C3v
C∞v
③ Cnh 群 属于Cnh点群的分子中具有一个Cn轴和一个垂直于Cn轴的σh 对称元素：Cn和σh 因σhCn=Sn，故（n-1）个旋转必产生（n-1）个象转 实际上 Cnh群是Cn群和Cs群的直积，阶次为2n 。
Cnh Cn Cs E, Cn1 , Cn 2 ,..., Cn n1 E, h = E, Cn1 , Cn 2 ,..., Cn n1 , h , hCn1 Sn , hCn 2 ,..., hCn n1
第三章. 分子对称性与分子点群
3.1 分子对称性
利用对称性原理和概念探讨分子的结构和性质，是人们认 识分子的重要途径，是了解分子结构和性质的重要方法。 ① 能简明地表达分子的构型 Ni(CN)42-离子具有D4h点群的对称性，用D4h这个符号就可以 准确地表达 9 个原子在同一平面上， Ni 原子在中心位置， 周围4个-CN完全等同，Ni-C-N都是直线型，互为90°角。 ② 简化分子构型的测定工作
3.分子的对称操作和对称元素：
分子是有限物体，在进行对称操作时，分子中至少有一 点不动------点操作 只有四种类型的对称操作和对称元素 a. 旋转操作------旋转轴（Cn）
b. 反映操作------镜面（ σ ）
c. 反演操作------ 对称心（i） d. 象轴（旋转反映）操作------象转轴（反轴）Sn 右手坐标系：讨论对称操作时，常将分子定位在右手坐 标轴系上，分子的重心处在坐标原点，主轴与Z轴重合。 主轴：分子中轴次最高的轴。
Cnh 待 定 分 子 是 否 直 线 型 N Y i Td
例：有两个分子群 D2 { E，C2(x)，C2(y)，C2(z) }
第三章分子对称性和点群
A(c) A(a) A( f ) 0 1
0
0
001
cos 4
3
sin 4
3 0
sin 4
3
cos 4
3 0
0 0Βιβλιοθήκη cos 43sin 4
3
1 0
sin 4
3
cos 4
3 0
0
0
1
A (a) 1
A (b) 1
A (c) 1
表示的分类:
(1)等价表示 若A(g)是群G的一个表示, X是一正交变换矩阵, 则 B(g)=X-1A(g)X
规则二. 点群中所有不可约表示的维数的平方和等于群的阶 n. l12 l22 lk 2 n
在 D3中, l12 l22 l32 6
从而 l1 l2 1, l3 2
规则三. 点群中不可约表示特征标间的正交关系:
k
h j r (R j ) * s (R j ) n rs
j 1
对不可约表示: (R) 2 n
3
y2 a21 a22 a23 x2 , yi aij x j
y3 a31 a32 a33 x3
j 1
（i＝1,2,3)
矩阵的迹 (trace) 或特征标 (character):
( A) TrA aii
i
相似变换:
A S1AS
TrA TrA
(S为正交矩阵) St S SSt E
3.1 对称元素
对称性是指分子具有两个或更多的在空间不可区分的图象. 把等价原子进行交换的操作叫做对称操作. 对称操作依赖的几何集合(点,线,面)叫做对称元素.
3.1.1 n重对称轴, Cn (转动)
转角 2 / n
第六节分子对称性
ˆi n
Eˆ ˆi
( n为偶数） （n为奇数）
二氟二氯乙烷 C2H2F2Cl2
i
： i、
E
2个操作。
一个分子若有 i 时，除 i 上的原子，其他原 子必定成对出现。
平面正方形PtCl42－
具有对称中心
四面体SiF4
不具有对称中心
5.象转轴（Sn)和旋转反映操作（ S n ）
第二类是反演、反映等，属虚操作（非 真操作），在想象中实现。
二、分子点群
1.群
按一定的运算规则，相互联系的一些元素的集合。
其中的元素可以是操作、矩阵、算符或数字等。
构成群的条件：
(1)封 闭 性 A ˆ ： G,B ˆ若 G,则 A ˆB ˆC ˆG; (2)结 合A ˆ律 (B ˆC ˆ： )(A ˆB ˆ)C ˆ; (3)有 单 位 E： 元 A ˆE ˆ 素 E ˆA ˆA ˆ; (4)逆 操A ˆ作 A ˆ： A ˆA ˆ E ˆ
旋转与反映的乘积是n个反映
(4) 偶次旋转轴和与它垂直的镜面的组合
一个偶次轴与一个垂直于它的镜面组合，必定在 交点上出现一个对称中心；一个偶次轴与对称中心 组合，必有一垂直于该轴的镜面；对称中心与一镜 面组合，必有一垂直于该镜面的偶次轴。
小结
第一类是简单旋转操作，为实操作，其 特点是能具体，可直接实现。
a v
ˆ
b v
Cˆ
1 3
Cˆ
2 3
Eˆ
3. 分子的点群
分子点群有二层解释含义：
（1）对称操作都是点操作，操作时分子中 至少有一点不动。
（2）分子中全部对称元素至少通过一个公 共点，若不交于一点，分子就不能维持有限性 质。
分子点群知识点总结
分子点群知识点总结一、分子点群的概念分子点群是指具有一组对称操作的一组点，这组对称操作将物体的分子对称元素转移到其他的等价位置，同时保持分子结构不变。
分子点群是对称性理论的一部分，对于研究分子和晶体的结构有着重要的意义。
在分子的对称性分析中，分子点群可以用来描述分子的对称性。
分子点群中的所有点都是等价的，点到点之间的距离称为距离（r），如果将分子点群中的一个点和其对应点之间的直线或轴称为对称轴或对称平面，对称操作称为对称操作元素。
每种分子点群都能够被描述为一组对称操作的集合，这些对称操作可以是旋转，镜面反射，或者各种组合。
二、分子点群的分类根据对称性理论的描述和发展，分子点群可以根据对称操作的种类和数量被分为32种，它们分为10个普通点群和22个符号点群。
普通点群是最简单的，它们是由5种对称轴或镜面来构成的。
这5种对称轴或镜面包括：以Cn和Sn表示的旋转轴和反射面，其中n 表示对称轴或者平面的阶数。
在普通点群中，不存在反射面，其对称操作由旋转轴进行旋转得到。
符号点群相对较复杂，它们是由旋转轴和反射面组成的，符号点群中存在反射面，可以通过反射面和旋转轴的组合得到对称操作。
在实际的分子对称性分析中，符号点群较为常见，根据分子的特性和结构，可以通过符号点群来描述其对称性。
三、分子点群的应用1. 预测分子结构分子点群的应用很广泛，其中之一就是用来预测分子结构。
分子的对称性是分子结构的一个重要特征，通过分析分子点群可以得到分子的对称元素和等价位置，从而可以推测出分子的整体结构。
在化学合成和材料研究中，对分子结构的预测是十分重要的，它可以帮助科学家合成具有特定性质的物质，并且有助于了解分子在空间中的排列方式和相互作用。
2. 分子的光学性质分子的对称性决定了分子在光学性质上的表现。
根据分子的点群可以预测分子是否具有光学活性，以及分子的对称元素和等价位置。
光学活性指的是分子能够对圆偏振光发生旋光作用，从而表现出左旋或右旋的性质。
第4章分子对称性和点群
56
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
10. I, Ih
Ih — 6C5 , 10C3, i ; g =120
C60
2016/8/10 复旦大学化学系
C180
57
物理化学 I Th, T, O, I
第四章 分子对称性和点群
Th
h =24
2016/8/10
T
h =12
复旦大学化学系
O
h =24
58
C
O
2016/8/10
复旦大学化学系
52
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
8. T, Th, Td
Td — 4C3 , 3C2, 6d ;
g =24
H H C H H
2016/8/10 复旦大学化学系 53
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
C3
Cl
C3
Cl Cl
C3
Cl
C3
CCl4
C10H16 (adamantance)
47
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
7. Dnd
d Cn n d
Dn + d d C2 S2n
g=4n
2016/8/10
复旦大学化学系
48
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
D2d (E, 2S4, C2, 2C2’, 2d)
C2'
H C H
2016/8/10
C2'
C
F
C1
B r I Cl
CFClBrI
2016/8/10
复旦大学化学系
27
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
10. I, Ih
Ih — 6C5 , 10C3, i ; g =120
C60
2016/8/10 复旦大学化学系
C180
57
物理化学 I Th, T, O, I
第四章 分子对称性和点群
Th
h =24
2016/8/10
T
h =12
复旦大学化学系
O
h =24
58
C
O
2016/8/10
复旦大学化学系
52
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
8. T, Th, Td
Td — 4C3 , 3C2, 6d ;
g =24
H H C H H
2016/8/10 复旦大学化学系 53
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
C3
Cl
C3
Cl Cl
C3
Cl
C3
CCl4
C10H16 (adamantance)
47
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
7. Dnd
d Cn n d
Dn + d d C2 S2n
g=4n
2016/8/10
复旦大学化学系
48
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
D2d (E, 2S4, C2, 2C2’, 2d)
C2'
H C H
2016/8/10
C2'
C
F
C1
B r I Cl
CFClBrI
2016/8/10
复旦大学化学系
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物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
第二章 对称性与分子点群
22
O+ h (垂直C4)
C8H8
(12) O, Oh点群 Oh点群{3C4, 4C3, 6C2（对边中点）,3h（赤道面）, 6d（对顶 角）, i} C3 阶次为48
O+ h (垂直C4)
Oh点群 SF6 (13) I, Ih点群 Ih点群 {6C5, 10C3, 15C2,15 , i} 阶次为120 I点群 {6C5,10C3, 15C2} 阶次为60
边的对称面（六条边）
C2 C3
T+ d (过C2，平分C3夹角) Td{4C3,3C2, 3S4 , 6d } 阶次为24
Td点群
21
(12) O, Oh点群 O点群 {3C4, 4C3, 6C2}
阶次为24
Oh点群{3C4, 4C3, 6C2（对边中点）,3h（赤道面）, 6d（对顶 角）, i} 阶次为48 C3 C4 Oh点群
1、对称操作
换言之：能不改变物体内部任何两点间距离而使物体复原的操作。
简单对称操作：旋转、反映、反演 2、对称元素
对称操作所依据以进行的旋转轴、镜面和对称中心等几何元素 称为对称元素。
常见对称元素：旋转轴、镜面、对称中心
3
n重对称轴 旋转2π/n Cn
2 NH3 的三重旋转轴 C 3 C 3
8
反轴和旋转反演操作 In (非独立操作) 先旋转2π/n , 再按轴上的中心点进行反演
In 轴： （1）当n为奇数时， Cn +i （2）当n为偶数（非4整数倍） 时， Cn/2+ σh （3）当n为4的整数倍时，为独 立对称元素，且In与Cn/2 同时存在
不含C4和i 含 C2
9
对称操作与对称元素
y
O+ h (垂直C4)
C8H8
(12) O, Oh点群 Oh点群{3C4, 4C3, 6C2（对边中点）,3h（赤道面）, 6d（对顶 角）, i} C3 阶次为48
O+ h (垂直C4)
Oh点群 SF6 (13) I, Ih点群 Ih点群 {6C5, 10C3, 15C2,15 , i} 阶次为120 I点群 {6C5,10C3, 15C2} 阶次为60
边的对称面（六条边）
C2 C3
T+ d (过C2，平分C3夹角) Td{4C3,3C2, 3S4 , 6d } 阶次为24
Td点群
21
(12) O, Oh点群 O点群 {3C4, 4C3, 6C2}
阶次为24
Oh点群{3C4, 4C3, 6C2（对边中点）,3h（赤道面）, 6d（对顶 角）, i} 阶次为48 C3 C4 Oh点群
1、对称操作
换言之：能不改变物体内部任何两点间距离而使物体复原的操作。
简单对称操作：旋转、反映、反演 2、对称元素
对称操作所依据以进行的旋转轴、镜面和对称中心等几何元素 称为对称元素。
常见对称元素：旋转轴、镜面、对称中心
3
n重对称轴 旋转2π/n Cn
2 NH3 的三重旋转轴 C 3 C 3
8
反轴和旋转反演操作 In (非独立操作) 先旋转2π/n , 再按轴上的中心点进行反演
In 轴： （1）当n为奇数时， Cn +i （2）当n为偶数（非4整数倍） 时， Cn/2+ σh （3）当n为4的整数倍时，为独 立对称元素，且In与Cn/2 同时存在
不含C4和i 含 C2
9
对称操作与对称元素
y
第三章分子的对称性与点群
III. 1,3,5-三甲基苯
1,3,5-三甲基苯 （图III）是C3点 群的例子，若不考 虑甲基上H原子， 分子的对称性可以 很高，但整体考虑， C6H3(CH3)3只有C3 对称元素。C3轴位 于苯环中心，垂直 于苯环平面，分子 绕C3轴转动120°， 240°都能复原。
IV. CH3CCl3
垂直于轴的平面反映
六、对称点群
1. 群的定义 一组元素若满足以下四个条件，构成一个群 1）封闭性
若A G, B G,则必有AB C ,C G
2）恒等元素E 若AG, E G,则EA AE A
3）逆元素
若AG,则必存在B G, 且AB BA E B为A的逆元素，记作A1 B
0
y
1 z
三、对称面与反映
存在对称面的分子，除位于对称面上的原子外， 其他原子成对地排在对称面两侧，它们通过反映操作 可以复原。
反映操作是使分子中的每一点都反映到该点到镜 面垂线的延长线上，在镜面另一侧等距离处。
连续进行反映操作可得 : σn ={ E ,n为偶数，σ , n 为奇数} 和主轴垂直的镜面以σh表示；通过主轴的镜面 以σv表示；通过主轴，平分副轴夹角的镜面以σd 表 示。
①. S1=Cs群： S1=σ C11=σ 即S1为对称面反映操作，故S1群相当
于Cs群。即对称元素仅有一个对称面。：{E，σ }。 如TiCl2(C5H5)2，Ti形成四配位化合物，2个Cl原
子和环戊烯基成对角。
Br
.TiCl2(C5H5)2
Cl
O H Cl
没有其它对称元素的平面分子
②.Ci群:
从分子中任一原子至对称中心连一直线，将此 线延长，必可在和对称中心等距离的另一侧找到另 一相同原子。
chap3b第三章 分子的对称性和点群
C1 , Ci , Cs
有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体 有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体…) 只有镜面或对称中心, 或无对称性的分子: 只有镜面或对称中心 或无对称性的分子 只有S 为正整数） 只有 2n(n为正整数）分子 为正整数 分子:
S 4 , S 6 , S8 ,...
C n , C nh , C nv
Z
对称操作，共有 个对称操作 但每条S 必然也是C 个对称操作. 对称操作，共有9个对称操作 但每条 4必然也是 2， S42与C2对称操作等价，所以将 个S42划归 2， 对称操作等价，所以将3个 划归C ，
穿过正四面体每条棱 并将四面体分为两半 的是一个σd , 共有 个 共有6个 的是一个 σd 。
旋转反映
(具有 n的)分子 具有S 分子 具有 镜象 反映 旋转
分子
橙色虚线框表明，分子与其镜象能够通过实操作旋转完 橙色虚线框表明， 全迭合，而前提是“分子具有 全迭合，而前提是“分子具有Sn”. 根据n的不同可以写出 根据 的不同可以写出: S1=σ，S2=i，S4=S4。 的不同可以写出 结论： 的分子, 结论 ： 具有 σ、 或 i、 或 S4 的分子 , 可通过实际操作与其 镜象完全迭合，称为非手性分子。 镜象完全迭合，称为非手性分子。
夹角的镜面σ 夹角的镜面 d.
D2d : 丙二烯
D2d : B2Cl4
立方群：包括T 立方群：包括 d 、Th 、Oh 、Ih 等.
这类点群的共同特点是有多条高次(大于二次 旋转轴相交 这类点群的共同特点是有多条高次 大于二次)旋转轴相交 大于二次 旋转轴相交.
Td 群：属于该群的分子，对称性与正四面体完全相同。 属于该群的分子，对称性与正四面体完全相同。 正四面体完全相同
有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体 有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体…) 只有镜面或对称中心, 或无对称性的分子: 只有镜面或对称中心 或无对称性的分子 只有S 为正整数） 只有 2n(n为正整数）分子 为正整数 分子:
S 4 , S 6 , S8 ,...
C n , C nh , C nv
Z
对称操作，共有 个对称操作 但每条S 必然也是C 个对称操作. 对称操作，共有9个对称操作 但每条 4必然也是 2， S42与C2对称操作等价，所以将 个S42划归 2， 对称操作等价，所以将3个 划归C ，
穿过正四面体每条棱 并将四面体分为两半 的是一个σd , 共有 个 共有6个 的是一个 σd 。
旋转反映
(具有 n的)分子 具有S 分子 具有 镜象 反映 旋转
分子
橙色虚线框表明，分子与其镜象能够通过实操作旋转完 橙色虚线框表明， 全迭合，而前提是“分子具有 全迭合，而前提是“分子具有Sn”. 根据n的不同可以写出 根据 的不同可以写出: S1=σ，S2=i，S4=S4。 的不同可以写出 结论： 的分子, 结论 ： 具有 σ、 或 i、 或 S4 的分子 , 可通过实际操作与其 镜象完全迭合，称为非手性分子。 镜象完全迭合，称为非手性分子。
夹角的镜面σ 夹角的镜面 d.
D2d : 丙二烯
D2d : B2Cl4
立方群：包括T 立方群：包括 d 、Th 、Oh 、Ih 等.
这类点群的共同特点是有多条高次(大于二次 旋转轴相交 这类点群的共同特点是有多条高次 大于二次)旋转轴相交 大于二次 旋转轴相交.
Td 群：属于该群的分子，对称性与正四面体完全相同。 属于该群的分子，对称性与正四面体完全相同。 正四面体完全相同
分子对称性和分子点群课件
分子对称性对反应选择性具有重要影响，某些对称性较高的分子在特定化学反应中表现出更高的选择性。
以烷烃为例，烷烃的对称性越高，其化学反应选择性越低，因为它们具有更稳定的分子结构。
以烯烃为例，烯烃的对称性较低，因此它们在加成反应中表现出较高的反应活性。
以芳香族化合物为例，由于芳香族化合物具有较低的对称性，它们在取代反应中表现出较高的反应活性。
确定分子的点群
分子的点群是根据分子的对称性进行分类的，通过确定分子的点群可以更好地理解分子的结构和性质。
指导药物设计和材料科学
分子对称性在药物设计和材料科学中具有重要意义，例如在药物设计中，可以利用分子对称性来设计具有特定性质的化合物。
分子点群的基本概念
CATALOGUE
02
第一类点群
第二类点群
总结与展望
CATALOGUE
06
分子对称性和分子点群是化学和物理领域中非常重要的概念，它们在化学反应动力学、光谱学、晶体工程和材料科学等领域有着广泛的应用。
通过了解分子的对称性和点群，我们可以更好地理解分子的结构和性质，预测其物理和化学行为，并设计具有特定功能的材料和分子。
对称性在化学反应中起着关键作用，可以影响反应的速率和选择性。了解分子的对称性可以有助于预测反应的产物和途径，从而优化反应条件和设计更有效的合成方法。
分子对称性分类
分子对称性与分子点群的关系
CATALOGUE
03
分子对称性是指分子在三维空间中的对称性质，包括对称轴、对称面和对称中心等。
分子点群是指分子的空间排列方式，不同的点群对应不同的空间结构。
分子对称性与分子点群之间存在一一对应的关系，即每个点群都有其独特的对称性。
以水分子为例，其具有对称中心和两个对称轴，属于点群$C_{2v}$。通过分析其对称性，可以了解水分子的稳定性、极性等性质。
以烷烃为例，烷烃的对称性越高，其化学反应选择性越低，因为它们具有更稳定的分子结构。
以烯烃为例，烯烃的对称性较低，因此它们在加成反应中表现出较高的反应活性。
以芳香族化合物为例，由于芳香族化合物具有较低的对称性，它们在取代反应中表现出较高的反应活性。
确定分子的点群
分子的点群是根据分子的对称性进行分类的，通过确定分子的点群可以更好地理解分子的结构和性质。
指导药物设计和材料科学
分子对称性在药物设计和材料科学中具有重要意义，例如在药物设计中，可以利用分子对称性来设计具有特定性质的化合物。
分子点群的基本概念
CATALOGUE
02
第一类点群
第二类点群
总结与展望
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06
分子对称性和分子点群是化学和物理领域中非常重要的概念，它们在化学反应动力学、光谱学、晶体工程和材料科学等领域有着广泛的应用。
通过了解分子的对称性和点群，我们可以更好地理解分子的结构和性质，预测其物理和化学行为，并设计具有特定功能的材料和分子。
对称性在化学反应中起着关键作用，可以影响反应的速率和选择性。了解分子的对称性可以有助于预测反应的产物和途径，从而优化反应条件和设计更有效的合成方法。
分子对称性分类
分子对称性与分子点群的关系
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03
分子对称性是指分子在三维空间中的对称性质，包括对称轴、对称面和对称中心等。
分子点群是指分子的空间排列方式，不同的点群对应不同的空间结构。
分子对称性与分子点群之间存在一一对应的关系，即每个点群都有其独特的对称性。
以水分子为例，其具有对称中心和两个对称轴，属于点群$C_{2v}$。通过分析其对称性，可以了解水分子的稳定性、极性等性质。
结构化学第三章
第一种情况: 分子与其镜象（对应体）完全相同, 可通 过实际操作将完全迭合，这种分子是非手性分子. 分子 实操作 镜象
从对称性看, 分子若有虚轴Sn , 就能用实操作将分子 与其镜象迭合, 是非手性分子.
va， vb , vc
a b c ˆ 1, C ˆ 2 , ˆ,C ˆ ˆ ˆ E , , 3 3 v v v
C ˆ C 3 3 ˆ2 ˆ2 C C
3
ˆ E ˆ E
ˆ1 C 3 ˆ1 C
vc
va
ˆ va ˆ ˆ vb ˆ ˆ vc ˆ
(2) 甲烷具有S4，所以, 只有 C2与S4共轴，但C4和与之垂 直的σ并不独立存在.
CH4中的映轴S4与旋转反映操作
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
环辛四烯衍生物中的 S4
分子中心是S4的图形符号
对称操作与对称元素
§3.2 点 群
一、群的定义 一个集合G含有A、B、C、D……元素，在这些元素之 间定义一种运算（通常称为“乘法”），如果满足下面4 个条件，则称集合G为群。 ▲封闭性：集合G={A、B、C、D…}，其中任二个元素 的乘积 AB=C，AA=D也是群中元素。 ▲ 缔合性：G中各元素之间的运算满足乘法结合律， （AB）C=A（BC）。 ▲ 有单位元素：G中必存一单位元素E，它使群中任一元 素R满足于ER=RE=R。 ▲ 有逆元素：G中任一元素R都存在逆元素 R 1，R 1 亦属 于G，且 RR 1 R 1 R E
第三章 分子的对称性和点群
判天地之美,析万物之理。 —— 庄 子 在所有智慧的追求中，很难找到其他例子能 够在深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称性原 理相比. —— 李政道
生 物 界 的 对 称 性
第三节分子的对称性与点群
1
6
5
6
2 Revolve 5
1 Revolve 4
6
5
3
60º
4
4
2
3
60º 3
1
2
图形不变
图形不变
空间旋转对称操作是分子对称性讨论中的重要操作之 一。任何一种分子至少可找出一种空间旋转操作。
Revolve
2π
图形不变（复原）
……
Revolve 240º
1
6
2
5
3
4
图形复原
精品资料
⑵镜像反映
当一个体系对空间平面进行反映操作时，若其图形不变，该操作称为镜 像反映对称操作。
例如： CO2 分子（直线型）
1
OC
2
i
2
O 中心反演 O C
图形不变
又如：苯分子（正六边形）
1i
O 中心反演
1
2
OC O
图形复原
1
4
CH
CH
6 CH
CH 2
i
3 CH
CH 5
中心反演
图形不变
5 CH
CH 3
2 CH
CH 6
CH
CH
4
1
精品资料
⑷像转轴 — Sn
所谓“像转”对称操作，实际上是旋转与镜面反映的复合操作。像转
轴可表示为对称轴与对称面的组合。即：
Sn = Cn +σh =σh + Cn
例如：甲烷分子中的四次像转轴 S4 = Ch +σh
C4
2
1
1
C41操作
2 反映操作
图形不变
3 4
3
结构化学第三章教案
S4群
23
返回
总结 线性分子 线性分子 分 子 点 群 正四面体 正八面体
左右对称 反之
D∞h C∞v
Td Oh Dnd Cnv Dn Cn
有 轴 群
D群 C群
其它
Dnh Cnh
Cs Ci Sn C1
24
确定点群一定要按着上述顺序 确定点群一定要按着上述顺序 例1 ：苯
σd
C6 C2
σh
D6d C6 ＋ 6C2 ﹢σh D类群 D6h群
5
例 ： H2 O C2 O H
σv
H
σv’
6
(4) 对称中心（i）和反演操作（ 和反演操作（
ɵ） i
例：
i
∧ (5) 象转轴（Sn）和旋转反映操作（ S ） 和旋转反映操作（ n
旋转2 旋转 π/n, 并作垂直 反映操作 此轴的反映 此轴的反映操作
复合操作 顺序无关
7
例：CH4 本身并不存在C 本身并不存在 4 和σh 但存在 S4 H
32
· i
H C
S4
H H
通常， 通常，有Cn和σh，必有Sn 。
可有可无。 无Cn和σh， Sn可有可无。
8
5种对称元素
(1)恒等元素 恒等元素 (2)旋转轴 旋转轴 (3)对称面 对称面 每个分子都有 主轴 次轴 垂直主轴的对称面 ① σh : 垂直主轴的对称面
② σv : 包含主轴的对称面 包含主轴的对称面
例2：交叉式乙烷
C3， 3个C2 个 σ , D3d群
d
C3
C2 C2 C2
中点 过C－C中点，垂直于C3 － 中点
σd
C2
C2
14
返回
第八节 分子对称性和分子点群
G中各元素之间的运算满足乘法结合率，即三个元 素相乘其结果和乘的顺序无关，即 ( AB)C A( BC )
G中具有单位元素，它使集合G 中的任一元素足于 ER RE R
1 1
G中任一元素R均有其逆元素 R ， R 有逆元素 且有 RR 1 R 1 R E
亦属于G，
B、群的阶和子群
群中元素的数目为群的阶，群中所包含的小群称为子群。群阶和 子群的关系为： 大群阶（h）/子群阶（g）=正整数（k）
C、共轭元素和群的分类 若X和A是群G中的两个元素，有 X 1 AX B ，这时，称A 和 B为共轭元素。群中相互共轭的元素的完整集合构成群的类。 Example 在 H 2O的 C2v群中的任意两个元素之积是可以交换
10vcconvc群群中含有一个群中含有一个cn轴还有一个垂直于轴还有一个垂直于cn轴面轴面h当当n为奇数时此群相当于为奇数时此群相当于cn和和h的乘积当的乘积当n为偶数时为偶数时cnh相当相当于于cn和和i的乘积因此群阶为的乘积因此群阶为2nnhc群nc1hchclo64chnnhnhnhnnnnhnnhcccccceccsssss1212点群示例点群示例点群定义点群定义2hchc群nd点群示例点群示例2221212nnnnnncccccced在群的基础上加上n个垂直于主轴的二重轴且分子中不存在任何对称面则有
C
2 E , C n , C n , C n3 , … , C n 1 n n E ) (C n
n
C1
CHFClBr
Cn 群
点群示例
C2
C3
H 2O2
部分交错
CCl3CH3
Cnv 群
点群定义 点群表示 点群示例
群中有Cn 轴，还有通过 Cn轴的n个对称面.
G中具有单位元素，它使集合G 中的任一元素足于 ER RE R
1 1
G中任一元素R均有其逆元素 R ， R 有逆元素 且有 RR 1 R 1 R E
亦属于G，
B、群的阶和子群
群中元素的数目为群的阶，群中所包含的小群称为子群。群阶和 子群的关系为： 大群阶（h）/子群阶（g）=正整数（k）
C、共轭元素和群的分类 若X和A是群G中的两个元素，有 X 1 AX B ，这时，称A 和 B为共轭元素。群中相互共轭的元素的完整集合构成群的类。 Example 在 H 2O的 C2v群中的任意两个元素之积是可以交换
10vcconvc群群中含有一个群中含有一个cn轴还有一个垂直于轴还有一个垂直于cn轴面轴面h当当n为奇数时此群相当于为奇数时此群相当于cn和和h的乘积当的乘积当n为偶数时为偶数时cnh相当相当于于cn和和i的乘积因此群阶为的乘积因此群阶为2nnhc群nc1hchclo64chnnhnhnhnnnnhnnhcccccceccsssss1212点群示例点群示例点群定义点群定义2hchc群nd点群示例点群示例2221212nnnnnncccccced在群的基础上加上n个垂直于主轴的二重轴且分子中不存在任何对称面则有
C
2 E , C n , C n , C n3 , … , C n 1 n n E ) (C n
n
C1
CHFClBr
Cn 群
点群示例
C2
C3
H 2O2
部分交错
CCl3CH3
Cnv 群
点群定义 点群表示 点群示例
群中有Cn 轴，还有通过 Cn轴的n个对称面.
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2018/8/24
复旦大学化学系
17
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第四章 分子对称性和点群
(4) 若有两个二重旋转轴相交夹角为 2/2n ，本则必存在与这两个二重 轴垂直的n重原装轴。
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恒等操作和反演操作与其它任何操作 两个绕同一旋转轴的旋转操作 两个相互垂直的镜面反映操作 两个相互垂直的 C2 旋转操作 旋转操作与垂直于旋转轴的反映操作
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(4) 每个群元素在乘法表中每行或每列 中总出现一次而且也只出现一次
2018/8/24
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镜面垂直于主轴：h
C
N N
h
一个分子只可能有一个 h镜面
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第四章 分子对称性和点群
包含主轴同时平分相邻两条C2 轴：d
C2'
H C H
2018/8/24
C2'
C
C
H H
C2, S4
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§4-1-1. 对称元素和对称操作的种类
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第四章 分子对称性和点群
1. 恒等操作
E
Ê
所有分子均包含恒等元素
2. 旋转操作和旋转轴
Cn
C
m n
分子可能包含多个旋转轴，轴次最高的称为主轴
先绕旋转轴旋转2/n ，然后再 对垂直与此轴的平面取镜像
2018/8/24
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i = S2 = C2h=hC2 (x, y, z) (-x, -y, -z)
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第四章 分子对称性和点群
第四章 分子对称性和点群
研究背景
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2018/8/24
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第四章 分子对称性和点群
§4-1. 对称元素和对称操作
对称操作: 在保持对象中任何两点的相对位 置不变的前提下,能使对象完全复原的动作. 对称元素: 对称操作赖以进行的点、线、面 等几何元素。
2018/8/24 复旦大学化学系 8
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第四章 分子对称性和点群
3. 反映操作和镜面
水平镜面： h
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等分镜面： d
2018/8/24
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镜面包含主轴：v
2018/8/24
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3. 群的若干概念
阶----群中元素的个数
有限群，无限群
子群--某一群中部分元素的集合也构成群
2018/8/24 复旦大学化学系 24
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
相似变换
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则称 B和A共轭
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2018/8/24
复旦大学化学系
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
物理化学
2018/8/24
复旦大学化学系
1
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
第四章 分子对称性和点群
参考书: (1) F. Albert, Cotton, Chemical Application of Group Theory, Wiley Press, New York, 1971. (中译本:群论在化学中的应用,科学出版社,1984) (2) David M. Bishop, Group Theory and Chemistry, Clarendon Press, Oxford, 1973. (中译本:群论与化学,高等教育出版社,1984)
2018/8/24
复旦大学化学系
2
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
2018/8/24
复旦大学化学系
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物理化学 I
C3 H3 H2 [A] C 31 H1 H3 N H1
第四章 分子对称性和点群
C31
H2 H1
N H3 C31 [B]
N H2 [C]
2018/8/24
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物理化学 I
(1)封闭性:
AB=C
(2) 恒等元素: EX=XE=X
(3) 逆元素:
AA-1= A-1A= E
(4) 结合律: A(BC)=(AB)C
2018/8/24
复旦大学化学系
21
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
2. 群的若干推论 (1) 每个元素有且只有一个逆元素 (2) 每个群中只有一个恒等元素
§4-1-2. 乘法表
C2v
E C2 xz yz
E
E C2 xz yz
C2
C2 E yz xz
xz
xz yz E C2
yz
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复旦大学化学系
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物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
§4-1-3. 对称操作组合的若干规则
1.对称操作的组合规则