平面弯曲2-梁的应力
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梁的弯曲应力
校核强度: 截面设计:
max
M max WZ
[ ]
Wz
M max [ ]
确定许用荷载: Mmax Wz [ ]
23
3、梁的切应力强度校核
（1）切应力计算公式
max
F S* Qmax Z max Izb
FQmax— 梁内最大剪力
Sz*— 面积A对中性轴静矩
Iz — 截面惯性矩
6
dθ ρ
1
2
1
2
o1
o2
y
ab
1 dx 2
o'1
z
（中性轴）
a'
dx
o'2 b'
y
1
2
y
（对称轴）
纵向纤a)维线应变变化b)规律:
c)
变形前： ab o1o2 dx
变形后: ab ( y)d o1o2 dx d
ab的伸长量： S ab dx ( y)d d yd
Pa=14.4MPa
B
FQ S zB Izb
(
200103 120000109 2.29107 1012 100103
)
Pa=10.4MPa
21
(3) 求圆形截面最大的切应力
max
4 3
FQ A
(4 3
2001003 ) Pa=19.1MPa
1 π 133.52 106
1
8.4 平面弯曲杆件的应力和变形
8.4.1 基本概念 8.4.2 梁横截面上的正应力公式 8.4.3 梁的切应力 8.4.4 梁的挠度和转角
2
梁的弯曲(应力、变形)
2
回顾与比较
内力
应力
F
A
FAy
编辑ppt
T
IP
M
?
?
FS
3
§9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算
一、弯曲正应力 Normal stress in bending beam
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲Pure bending
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－剪力弯曲Bending by
transverse force
编辑ppt
4
研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假定
编辑ppt5Leabharlann 实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交
纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直
x
61.7106Pa61.7MPa
编辑ppt
13
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql /867.5kNm 2
x
2. C 截面最大正应力
120
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
IZ5.83120 5m 4
x 90kN
C max
M C y max IZ
于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
编辑ppt
6
编辑ppt
7
总之 ，由外部去 想象内部 —— 得到
梁的弯曲应力
Iz=πD4/64 Iz=π(D4-d4)/64 若设圆环的直径比d/D=α，则相
应的截面抗弯系数为
Wz
=
π D3 32
Wz
=
π D3 32
(1−α 4 )
y 第10章 梁的弯曲应力 C Dz
y
O
z
d D
工程力学
q=60kN/m
A
1m
C
l = 3m
FS 90kN
(+ ) (− )
M ql2 / 8 = 67.5kN⋅ m
T形截面外伸梁尺寸及受载如图，截面对形心轴z的惯性矩
Iz=86.8cm4，yl=3.8cm。求梁横截面上的最大拉应力和最大压应力。
解 1)由静力平衡
2kN
0.8kN
y1 y2 6cm
方程求出梁的支反力
FA=0.6kN，FB=2.2kN A
C
BD
zC
作弯矩图。 得最大正弯矩在截面
1m 1m 1m
FA
FB
=
−
E ρ
I
z
1 ρ
=
Mz EIz
重要公式 σ = − Mz y Iz
工程力学
σ = − My Iz
第10章 梁的弯曲应力
M AZ y
x
y 横截面上正应力分布规律: (1)中性轴是过横截面形心的一条直线。中性轴上，正应力为零。 (2)以中性轴为界，横截面上的一侧受拉，一侧受压。 (3)离中性轴越远，正应力的绝对值越大。在横截面上离中性轴 最远的边或点上有最大的拉应力和最大的压应力。
几何关系 ( 平截面假定 )
正应变与中性层曲率间的关系
物理关系 ( Hooke 定律 )
正应力与中性层曲率间的关系
大学工程力学第7章平面弯曲2
主轴平面：如果梁的横截面没有对称轴，但是都有通过 横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，
称 为 梁 的 主 轴 平 面 (plane including principal axes)。 由于对称轴一定是主轴， 所以对称面也一定是主轴 平面。
3
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ y
1 d dx
其中为中性面弯曲后的曲率半
径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率
半径。因为与y坐标无关，所以在 上述二式中，为常数。
16
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
应用弹性范围内的应力－应变关 系的虎克定律:
7
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
中 性 层 与 中 性 轴
8
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各 点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。可 以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。
E
得到正应力沿横截面高度分布的数学 表达式
－ E y Cy
式中 C E / 为待定的比例常数，E为 材料的弹性模量。
17
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第7章 平面弯曲
§7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ E y Cy
这表明，横截面上的弯曲正应 力，沿横截面的高度方向从中性 轴为零开始呈线性分布。
称 为 梁 的 主 轴 平 面 (plane including principal axes)。 由于对称轴一定是主轴， 所以对称面也一定是主轴 平面。
3
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ y
1 d dx
其中为中性面弯曲后的曲率半
径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率
半径。因为与y坐标无关，所以在 上述二式中，为常数。
16
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
应用弹性范围内的应力－应变关 系的虎克定律:
7
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
中 性 层 与 中 性 轴
8
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各 点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。可 以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。
E
得到正应力沿横截面高度分布的数学 表达式
－ E y Cy
式中 C E / 为待定的比例常数，E为 材料的弹性模量。
17
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第7章 平面弯曲
§7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ E y Cy
这表明，横截面上的弯曲正应 力，沿横截面的高度方向从中性 轴为零开始呈线性分布。
第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)
m
V
( Stresses in Beams)
m
m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为
V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
梁的应力
Q
s
t
t
第9章梁的应力
8.5梁的正应力和剪应力强度条件 带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上 述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面 腹、翼相交处。
M
s
Q
t
s t
1.2 正应力和剪应力强度条件：
s max
M max Wz
s
t max
Qmax
S
z max
b Iz
t
Q A
4t
3
③ 薄壁圆环：
t
max
2
Q A
2t
第9章梁的应力
8.5梁的正应力和剪应力强度条件
8.5 梁的正应力和剪应力强度条件
1 梁的正应力和剪应力强度条件 1.1 危险面与危险点分析
一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大截面的上下 边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大截面的中性轴 处。
M
ss
8.2 梁横截面上的正应力
8.2 梁横截面上的正应力
1 弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力Q 弯矩M
剪应力t 正应力s
第9章梁的应力
8.2 梁横截面上的正应力
2 两个概念
中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
第9章梁的应力
M图
(KN.m)
281
375
281
解：1、求支座反力；
FAy=FBy=112.5KN(↑);
作弯矩图，确定最大弯矩；
Mmax=375KN.m
第9章梁的应力
8.5梁的正应力和剪应力强度条件
2、求满足强度要求时梁的抗弯截面系数Wz.
梁的应力
ac
M
⑵、纵向线：由直线变为曲
线，且靠近上部的纤维缩短，
靠近下部的纤维伸长。
b
d
3、假设：
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线。
第九章 梁的应力
梁是由许多纵向纤维组成的
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区，中间 必有一层纵向无长度改变
z
A2 20120mm2 y2 80mm
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
52mm
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
Hale Waihona Puke 80 203 1280 20 422
y
201203 20120 282
12
7.64106 m4
第九章 梁的应力
横截面上应力分布
b
d2
c,m ax
h yt,max yc,max d1
oz y
Oz
y b
t,m ax
中性轴 z 不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉
应力值和最大压应力值为
t,m ax
My t ,m a x Iz
c,m ax
Myc ,m a x Iz
第九章 梁的应力
例 对于图示 T形截面梁,求横截面上的最大拉应力和最大压 应力.已知: I z 290 .6 10 8 m4
d
在弹性范围内， E E Ey ...... (2)
Ｏ
Ｏ１
A１
Ｂ１ x
y
第九章 梁的应力
应力的分布图：
梁的弯曲应力和强度计算
88
7.5 106 7.6 106
88 86.8MPa
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力. 解：（1） 作剪力图、弯矩图
（2）求最大正应力
Mmax 6kN m
横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度 纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短
（2）假设 平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍
垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。 单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压，
只受轴向拉伸与压缩。
中性层
3、正应力计算公式 〖1〗几何变形关系
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广
〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料
〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关
抗弯截面模量
对剪切（横力）弯曲： 矩形：
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
材料力学梁的弯曲应力
52 y
解：（1）求截面形心
z1
8 0 2 0 1 0 12 20 0 80
z
yc
5m 2 m 8 0 2 0 12 200
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
80 20 3 12
80 20 42 2
20 120 3 20 120 28 2 12
7.64 10 6 m4
28
2.5kN.m 4kN.m
与实验结果相符。
9
（2）应力分布规律
在线弹性范围内，应用胡克定律
sE E y
(b)
对一定材料， E=C； 对一定截面，
1
C.
sy
——横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。
当 y0时,s0；
应力为零的点的连线。
s s yyma 时 x, ma.x
M
与实验结果相符。
10
（3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式
Iz
即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。 y
c
y2
z
y1
压边
39
（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低
M
值。
max
1、载荷尽量靠近支座：
F
F
A
A
B
B
0.8L
0.5L
L
L
0.25FL (+)
M 图
0.16FL (+)
M 图
40
F
F
A
BA
B
0.9L
L
L
0.09FL
(+)
M 图
M 图
41
2、将集中力分解为分力或均布力。
梁应力强度计算
纵向对称面仍为平面在同一截面上变形公式共同作用横截面翘曲纵向截面间有挤压
第五章 平面弯曲梁的强度
内容： 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10－9
=150
MPa
（－）
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度
Δl=27×10－3mm，材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解：
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10－3 50
=5.4×10－4
σ=Eε=200×109×5.4×10－4=108MPa
BC段： d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
试选工字钢梁的型号。
解： Fsmax=6kN
1.σ计算：
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
第五章 平面弯曲梁的强度
内容： 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10－9
=150
MPa
（－）
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度
Δl=27×10－3mm，材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解：
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10－3 50
=5.4×10－4
σ=Eε=200×109×5.4×10－4=108MPa
BC段： d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
试选工字钢梁的型号。
解： Fsmax=6kN
1.σ计算：
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
梁的弯曲应力和变形
2. 距中性轴最远的上下边缘伸长或缩短最大，其余各点 的在伸弹长性或受缩力短范与围该内点，到正中应性力轴与的纵距向离应成变正成比正。比。
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
工程力学弯曲强度2(应力分析与强度计算
max
y
2
当中性轴是横截面的对称轴时：
IZ
max
IZ
y
y1 y2 y max
1
即对称截 面梁
max max max
y
Iz 简单截面的抗弯截面系数 Wz＝ ymax y
h z
y z
bh Iz bh 2 Wz＝ 12 h h 6 2 2
3
max - max -
i max
M z max max i = Wz i
一般非等直梁
M z x y x max = max x = I z x max
可利用函数求导的方法得到最大正应力数值
固定端处梁截面上的弯矩: M＝Me 。 且这一梁的所有横截面上的弯矩都 等于外加力偶的力偶矩Me
中性轴通过 截面形心，因此z 轴就是中性轴。 据弯矩方向可知中性 轴以上均受压应力，以下 均受拉应力。 根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度（y） 按直线分布，在上、下边缘正应力最大。可画出固定 端截面上的正应力分布图。
M max y 2 0.253N m 10 3 15 10 3 m 2 0.842 10 3 Pa 84.2MPa Iz 4.5 10 -8 m 4
例题
C
FRA FRB
T形截面简支梁在中点承受集中力 FP ＝32kN， l=2m。 T形截面的形心坐标yC=96.4mm，横截面对于z 轴的惯性矩Iz =1.02108 mm4。求：弯矩最大截面上的 最大拉应力和最大压应力。 解： 根据静力学平衡可求得支座A和B处的约束力分别 为FRA＝FRB＝16 kN。据内力分析，知梁中点截面 上弯矩最大
第六章：梁弯曲时的内力和应力
FS FS (x) M M (x)
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。
梁平面弯曲时横截面上的正应力,材料力学
Iz M
1 / 为梁轴线变形后的曲率 EI越大 1 / 越小 EI 梁的抗弯刚度
3、纯弯曲时正应力公式的推导
( y) E
y
M 该点的弯矩 Iz 截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩
4、纯弯曲时正应力分布关系 对某一截面而言，M和Iz 若都是确定的，当 横截面的弯矩为正时，则 ( y )沿截面高度 的分布规律:
实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截 面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公 式对于横力弯曲近似成立。
弯曲正应力公式
可推广应用于横力弯曲和小曲率梁但公式中的M应为所研 究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。
1、梁横力弯曲时横截面上的正应力 对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大 的横截面上，其大小应为:
2.9 107 mm 4
y2 200 53.2 146.8 mm
4、应力计算 考察C截面，弯矩为正
C截面下边受拉上边受压
M C y1 12 106 53.2 22MPa 7 Iz 2.9 10
C
M C y2 12 106 146.8 60.74MPa 7 Iz 2.9 10
⑴
截面关于中性轴对称
z
t max
c max
M Wz
t
Wz ——截面的抗弯截面系数
⑵ 截面关于中性轴不对称
max
z
t
My max Iz
max
c
My max Iz
c
几种常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
建筑力学 材料力学 梁的应力
M y1 y2
2.5kNm A1
A3
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
M C 2.5kNm(下拉、上压 )
M B 4kNm（上拉、下压）
G
A2
A4
画危面应力分布图，找危险点
-4kNm ○ ⊕ M 2.5kNm A1 A3 x
sA L
2
M C y2 2.5 88 28.2MPa 8 Iz 76310
[例4] 工字钢简支梁受力 如图a)所示，已知l＝6 mm， FPl＝12 kN，FP2＝21 kN， 试选择工字钢的型号。 解 (1) 作弯矩图 作出的弯矩图 如图b)所示。由图中可知Mmax＝36kN· m。 (2) 选择截面
Wz ≥
M max
钢的许用应力 s ＝160 MPa。
s
q=60kN/m B 2m 180 30 1 2 z 120 y + qL2 8 Mmax x
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
求应力
bh3 1201803 Iz 1012 5.832105 m 4 12 12
h Wz I z / 6.48 10 4 m 3 2
120 x
求曲率半径
EI z 200 5.832 1 10 194.4m M1 60
M M1
+ qL2 8 Mmax
§6－2 梁的正应力强度及其应用
一、危险面与危险点分析： 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的 上下边缘上。
s
M
s
s
二、正应力和剪应力强度条件：
M max s max s Wz
由此可见，全梁的最大拉应力为 s t max 39.3MPa ≤ s t ，
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Wz A3n 2
梁的合理设计
二 合理设计梁的外形——变截面梁
圆形、方形、矩形、工字形截面的比较 截面优化 一般做法：
Wz M max
→等截面梁
q
B
存在问题：
A l
M图
轴向优化
Mmax=ql2/8
梁的合理设计
改进方法： 思路：“按需分配”
W Wz xz
q
A
l
M图
B
M max x
30 300 2 180 120 30 300 12 90 303 2 240 15 90 30 12
3
360
30 z C
O1
Ⅰ
y2 z y1 360
z0
z
Ⅱ
30 30
Ⅲ
315.46106 mm4
(4) 求抗弯截面系数
I 315.46106 W1 1.315103 m3 y1 240
中性层
dA
z z
横截面
确定中性轴的位置
y
E
y
A
A
E
y
dA 0
ydA 0
即: S z 0
结论：z轴(中性轴)通过截面的形心
●推导正应力的计算公式
E
y
M z y d A M
A
M
y
dA z z y
A
yE
y
dA M
M
E
1
A
y dA M
2
dA
x
EIz
M EI z
这表明：梁在外力作用下，横截面上的弯矩愈 大，梁的弯曲程度就愈大；EIz愈大，梁的弯曲程 度就愈小。 EIz：梁的抗弯刚度(Flexural rigidity)，其意 义是梁抵抗弯曲变形的能力
M y Iz
M : 所求截面上的弯矩
I z : 截面惯性矩
y:
?
梁的合理设计
3 根据材料特性选择截面形状 如果[t] <[c] 思路：“劫富济贫”
y1 c ? y2 t
cmax
z
cmax
y1
z y2
tmax M max c y1 cmax Iz M max t y2 Iz
F A B l/ 3 l
360
q
30
，
O1
Ⅰ
C
z
C
Ⅱ
y2 z y1 360
z0 z
30 30
Ⅲ
90 y
分析： max (1) 如果横截面上、下对称
M y Iz
h
b
z
+max
max M max min Wz
y
-max
最大拉应力和最大压应力在同一个截面上,且 有max= -min
●实验分析
(1)平面假设(Hypothesis of plane section) 横截面在变形后仍为平面，并和弯曲后的纵向层正交 (2)单向受力假设 假设梁由纵向线组成，各纵向 线之间互不挤压，即每一纵向线受单向拉伸或压缩
a
b
a'
b'
M
c
M
d'
d
c'
(3)梁变形后，同一层纵向纤维的长度相同，即同 层各条纤维的伸长（或缩短）相同 (4)中性层(Neutral layer)： 既不伸长也不缩短的纵向层 中性轴(Neutral axis)： 中性层与横截面的交线
梁的应力
1 梁的正应力
2 梁的合理截面形状及变截面梁
3 矩形截面梁的切应力
4 *工字形及其它形状截面梁的切应力
5 梁的强度条件
平面弯曲
1 概述及弯曲内力 2 弯曲正应力 3 弯曲切应力
4 梁的强度条件
5 弯曲中心
1 梁的正应力 (Normal Stress of The Beam)
●内力在横截面上的分布形式
2 物理方面
E
E
y
此式表明：横截面 上离中性轴愈远的地 方，其正应力愈大； 梁弯曲后曲率愈大时， 同一位置的正应力也 愈大
O
z yA
A
y
y?
?
3 静力学方面
dA 0 FN A
M y Az d A 0
Mz
中性轴
M y dA x
A
y d A M
Young’s Modulus
托马斯.杨（Thomas. Young,1773～ 1829）英国物理学家。1807年，提出弹 性模量的定义，为此后人称弹性模量为 杨氏模量。
梁的合理设计
cmax
z O
y
M y Iz
tmax
t max cmax
如果[t][c]，如何设计截面
i 1
n
A
i 1
n
30
Ⅲ
90
i
y
360 30 15 300 30 180 30 90 345 120mm 360 30 300 30 30 90
(3)求截面对中性轴的惯性矩
360 303 2 120 15 360 30 Iz 12
所求点的y坐标
●正应力在横截面上的分布规律
M
中性轴
max
M ymax Iz
I z ymax Wz
max
z
Maximum normal stress
M Wz
y
弯曲截面系数(section Wz : modulus of bending)
●在使用正应力计算公式时，要注意以下几点：
(1)公式中的M与y是代数量，应将其数值与正负号 一并代入公式，如果得到的为正，则表明是拉应力； 反之为压应力。实际应用时，也可以绝对值代入，得 的数值，再根据变形(Me正负)来判断其正负。
式中：Mmax为绝对值最大 如果[t][c]
?
如果[t][c] →不对称截面
-max max max
-
+max
+max +max
宽翼边缘受拉，窄翼边缘受压
(2) 如果横截面上、下不对称
ⅰ)梁上只有正弯矩或负弯矩; 最大拉应力和最大压应力在同一个截面上 ⅱ)全梁最大正弯矩为M1，最大负弯矩为M2(绝对值) 最大拉应力和最大压应力不一定在同一个截面上 z C z y1 y2
5 x 4
3m 50kN FS图
+
1m 30kN
y
x
-
70kN
30kN.m
5 5 5 125 50 40 M max 4 4 8 4
M图
+
-
M max 31.25kN.m
(2)求横截面的形心C的位置
360
30 z C
O1
Ⅰ
y2 z y1 360
z0
z
Ⅱ
30
y2 Ai yi
l l0 l1
y d d yd
l l
y
y
Ky
y
Ky
上式表明：梁在纯弯曲时，其纵向纤维的线应变 与纤维所在的位置有关，离中性层愈远，纤维的线应 变愈大；线应变与梁变形后的弯曲层度有关，曲率K 愈大时，同一位置的线应变也愈大。
Mmax=ql2/8
→变截面梁(beam with non-constant section)
梁的合理设计
F
A
x
具体做法:
B 写出弯矩方程M(x)
b h (x) y z
l
hmin
a b a' b'
M
c d
中性轴
M
d'
中性层
c'
O
dx y
z
z
y
Oy：竖向对称轴 Oz： 中性轴
？
y, z
E y, z
y
O'
曲率中心O'
中性层曲率半径
d K dx
曲率K
a y O1 K1 c
d
1
b dx O2 x K2 d
剪力FQ 弯矩 M 正应力 切应力
？
M
纵向平面
横截面
FQ
●纯弯曲(Pure bending) ： 梁受力弯曲后，横截面上只产生弯矩而无剪力 的弯曲( AB段) 剪切弯曲(Transverse bending )：AC、BD段
F
C l F a a
F
D
A
B
FQ图
F Fa M图
★纯弯曲梁的正应力公式 思路： 实验观察得应变 的变化规律
b d z O y A=42cm2 z O h O
截面 形状
a
y
A=42cm2
O y A=42cm2
z
z
y A=42cm2
弯曲截面 系数Wz （cm3）
38.4
45.4
55.6
309.0
z——中性轴
梁的合理设计
结论：（截面面积相同情况下）工字形最好、矩形 次之、方形再次、圆形最差 物理解释（应力分布）
例：已知1-1 截面上的弯矩 M<0，试判断其上A点正应力 的正负号。
M y Iz
1-1 O
z A
y
M
M
(2)公式中不含弹性模量E，说明正应力的大小
与材料无关。但在推导公式的过程中应用了胡克
梁的合理设计
二 合理设计梁的外形——变截面梁
圆形、方形、矩形、工字形截面的比较 截面优化 一般做法：
Wz M max
→等截面梁
q
B
存在问题：
A l
M图
轴向优化
Mmax=ql2/8
梁的合理设计
改进方法： 思路：“按需分配”
W Wz xz
q
A
l
M图
B
M max x
30 300 2 180 120 30 300 12 90 303 2 240 15 90 30 12
3
360
30 z C
O1
Ⅰ
y2 z y1 360
z0
z
Ⅱ
30 30
Ⅲ
315.46106 mm4
(4) 求抗弯截面系数
I 315.46106 W1 1.315103 m3 y1 240
中性层
dA
z z
横截面
确定中性轴的位置
y
E
y
A
A
E
y
dA 0
ydA 0
即: S z 0
结论：z轴(中性轴)通过截面的形心
●推导正应力的计算公式
E
y
M z y d A M
A
M
y
dA z z y
A
yE
y
dA M
M
E
1
A
y dA M
2
dA
x
EIz
M EI z
这表明：梁在外力作用下，横截面上的弯矩愈 大，梁的弯曲程度就愈大；EIz愈大，梁的弯曲程 度就愈小。 EIz：梁的抗弯刚度(Flexural rigidity)，其意 义是梁抵抗弯曲变形的能力
M y Iz
M : 所求截面上的弯矩
I z : 截面惯性矩
y:
?
梁的合理设计
3 根据材料特性选择截面形状 如果[t] <[c] 思路：“劫富济贫”
y1 c ? y2 t
cmax
z
cmax
y1
z y2
tmax M max c y1 cmax Iz M max t y2 Iz
F A B l/ 3 l
360
q
30
，
O1
Ⅰ
C
z
C
Ⅱ
y2 z y1 360
z0 z
30 30
Ⅲ
90 y
分析： max (1) 如果横截面上、下对称
M y Iz
h
b
z
+max
max M max min Wz
y
-max
最大拉应力和最大压应力在同一个截面上,且 有max= -min
●实验分析
(1)平面假设(Hypothesis of plane section) 横截面在变形后仍为平面，并和弯曲后的纵向层正交 (2)单向受力假设 假设梁由纵向线组成，各纵向 线之间互不挤压，即每一纵向线受单向拉伸或压缩
a
b
a'
b'
M
c
M
d'
d
c'
(3)梁变形后，同一层纵向纤维的长度相同，即同 层各条纤维的伸长（或缩短）相同 (4)中性层(Neutral layer)： 既不伸长也不缩短的纵向层 中性轴(Neutral axis)： 中性层与横截面的交线
梁的应力
1 梁的正应力
2 梁的合理截面形状及变截面梁
3 矩形截面梁的切应力
4 *工字形及其它形状截面梁的切应力
5 梁的强度条件
平面弯曲
1 概述及弯曲内力 2 弯曲正应力 3 弯曲切应力
4 梁的强度条件
5 弯曲中心
1 梁的正应力 (Normal Stress of The Beam)
●内力在横截面上的分布形式
2 物理方面
E
E
y
此式表明：横截面 上离中性轴愈远的地 方，其正应力愈大； 梁弯曲后曲率愈大时， 同一位置的正应力也 愈大
O
z yA
A
y
y?
?
3 静力学方面
dA 0 FN A
M y Az d A 0
Mz
中性轴
M y dA x
A
y d A M
Young’s Modulus
托马斯.杨（Thomas. Young,1773～ 1829）英国物理学家。1807年，提出弹 性模量的定义，为此后人称弹性模量为 杨氏模量。
梁的合理设计
cmax
z O
y
M y Iz
tmax
t max cmax
如果[t][c]，如何设计截面
i 1
n
A
i 1
n
30
Ⅲ
90
i
y
360 30 15 300 30 180 30 90 345 120mm 360 30 300 30 30 90
(3)求截面对中性轴的惯性矩
360 303 2 120 15 360 30 Iz 12
所求点的y坐标
●正应力在横截面上的分布规律
M
中性轴
max
M ymax Iz
I z ymax Wz
max
z
Maximum normal stress
M Wz
y
弯曲截面系数(section Wz : modulus of bending)
●在使用正应力计算公式时，要注意以下几点：
(1)公式中的M与y是代数量，应将其数值与正负号 一并代入公式，如果得到的为正，则表明是拉应力； 反之为压应力。实际应用时，也可以绝对值代入，得 的数值，再根据变形(Me正负)来判断其正负。
式中：Mmax为绝对值最大 如果[t][c]
?
如果[t][c] →不对称截面
-max max max
-
+max
+max +max
宽翼边缘受拉，窄翼边缘受压
(2) 如果横截面上、下不对称
ⅰ)梁上只有正弯矩或负弯矩; 最大拉应力和最大压应力在同一个截面上 ⅱ)全梁最大正弯矩为M1，最大负弯矩为M2(绝对值) 最大拉应力和最大压应力不一定在同一个截面上 z C z y1 y2
5 x 4
3m 50kN FS图
+
1m 30kN
y
x
-
70kN
30kN.m
5 5 5 125 50 40 M max 4 4 8 4
M图
+
-
M max 31.25kN.m
(2)求横截面的形心C的位置
360
30 z C
O1
Ⅰ
y2 z y1 360
z0
z
Ⅱ
30
y2 Ai yi
l l0 l1
y d d yd
l l
y
y
Ky
y
Ky
上式表明：梁在纯弯曲时，其纵向纤维的线应变 与纤维所在的位置有关，离中性层愈远，纤维的线应 变愈大；线应变与梁变形后的弯曲层度有关，曲率K 愈大时，同一位置的线应变也愈大。
Mmax=ql2/8
→变截面梁(beam with non-constant section)
梁的合理设计
F
A
x
具体做法:
B 写出弯矩方程M(x)
b h (x) y z
l
hmin
a b a' b'
M
c d
中性轴
M
d'
中性层
c'
O
dx y
z
z
y
Oy：竖向对称轴 Oz： 中性轴
？
y, z
E y, z
y
O'
曲率中心O'
中性层曲率半径
d K dx
曲率K
a y O1 K1 c
d
1
b dx O2 x K2 d
剪力FQ 弯矩 M 正应力 切应力
？
M
纵向平面
横截面
FQ
●纯弯曲(Pure bending) ： 梁受力弯曲后，横截面上只产生弯矩而无剪力 的弯曲( AB段) 剪切弯曲(Transverse bending )：AC、BD段
F
C l F a a
F
D
A
B
FQ图
F Fa M图
★纯弯曲梁的正应力公式 思路： 实验观察得应变 的变化规律
b d z O y A=42cm2 z O h O
截面 形状
a
y
A=42cm2
O y A=42cm2
z
z
y A=42cm2
弯曲截面 系数Wz （cm3）
38.4
45.4
55.6
309.0
z——中性轴
梁的合理设计
结论：（截面面积相同情况下）工字形最好、矩形 次之、方形再次、圆形最差 物理解释（应力分布）
例：已知1-1 截面上的弯矩 M<0，试判断其上A点正应力 的正负号。
M y Iz
1-1 O
z A
y
M
M
(2)公式中不含弹性模量E，说明正应力的大小
与材料无关。但在推导公式的过程中应用了胡克