平面弯曲2-梁的应力

例：已知1-1 截面上的弯矩 M<0，试判断其上A点正应力 的正负号。
M y Iz
1-1 O
z A
y
M
M
(2)公式中不含弹性模量E，说明正应力的大小
与材料无关。但在推导公式的过程中应用了胡克
定律，因此，公式只适用于线弹性材料。
(3) 公式是从矩形截面梁导出的，但对截它截面
形状(如工字形、圆形、T字形等)同样适用。
2 物理方面
E
E
y

此式表明：横截面 上离中性轴愈远的地 方，其正应力愈大； 梁弯曲后曲率愈大时， 同一位置的正应力也 愈大
O
z yA
A
y
y?
?
3 静力学方面
dA 0 FN A
M y Az d A 0
Mz
中性轴
M y dA x

A
y d A M
1 为什么要把截面设计成工字形? 2 为什么要把梁设计成变截面?
扬州大学讲课比赛
3 为什么要将支座布置梁的中间?
扬州大学讲课比赛 梁的合理设计
Reasonable Design of the Beam
max
M max Wz
★ 合理选取截面形状 ★ 合理设计梁的外形
★ 合理配置梁的荷载与支座
90
y
I 315.46106 W2 2.63103 m3 y2 120
(5)求最大拉应力和最大切应力
max
M max M min max ， W2 W1
31.25 103 30 103 23.76MPa max ， 3 3 1.315 10 2.63 10
tmax
tmax
上下不对称截面
梁的合理设计
延伸阅读----梁截面形状经济合理性的评价
1 薛福林.梁截面形状经济合理性的合理衡量法. 力 学与实践，1996， 18(5) W
z
A
2 郭长青.用Wz/A衡量截面形状合理性的不合理性. 力学与实践，2002，24(1) Wz
A3 2
3 薛福林.再说梁截面形状经济合理性的合理衡量 法.力学与实践，2002， 24(6) n
5 x 4
3m 50kN FS图
+
1m 30kN
y
x
-
70kN
30kN.m
5 5 5 125 50 40 M max 4 4 8 4
M图
+
-
M max 31.25kN.m
(2)求横截面的形心C的位置
360
30 z C
O1
Ⅰ
y2 z y1 360
z0
z
Ⅱ
30
y2 Ai yi
中性层
dA
z z
横截面
确定中性轴的位置
y
E
y



A
A
E
y

dA 0
ydA 0
即: S z 0
结论：z轴(中性轴)通过截面的形心
●推导正应力的计算公式
E
y

M z y d A M
A
M
y
dA z z y

A
yE
y

dA M
M
E

1
A
y dA M
剪力FQ 弯矩 M 正应力 切应力
？
M
纵向平面

横截面

FQ
●纯弯曲(Pure bending) ： 梁受力弯曲后，横截面上只产生弯矩而无剪力 的弯曲( AB段) 剪切弯曲(Transverse bending )：AC、BD段
F
C l F a a
F
D
A
B
FQ图
F Fa M图
★纯弯曲梁的正应力公式 思路： 实验观察得应变 的变化规律
●实验分析
(1)平面假设(Hypothesis of plane section) 横截面在变形后仍为平面，并和弯曲后的纵向层正交 (2)单向受力假设 假设梁由纵向线组成，各纵向 线之间互不挤压，即每一纵向线受单向拉伸或压缩
a
b
a'
b'
M
c
M
d'
d
c'
(3)梁变形后，同一层纵向纤维的长度相同，即同 层各条纤维的伸长（或缩短）相同 (4)中性层(Neutral layer)： 既不伸长也不缩短的纵向层 中性轴(Neutral axis)： 中性层与横截面的交线
?
梁的合理设计
3 根据材料特性选择截面形状 如果[t] <[c] 思路：“劫富济贫”
y1 c ? y2 t
cmax
z
cmax
y1
z y2
tmax M max c y1 cmax Iz M max t y2 Iz
30 300 2 180 120 30 300 12 90 303 2 240 15 90 30 12
3
360
30 z C
O1
Ⅰ
y2 z y1 360
z0
z
Ⅱ
30 30
Ⅲ
315.46106 mm4
(4) 求抗弯截面系数
I 315.46106 W1 1.315103 m3 y1 240
F A B l/ 3 l
360
q
30
，
O1
Ⅰ
C
z
C
Ⅱ
y2 z y1 360
z0 z
30 30
Ⅲ
90 y
分析： max (1) 如果横截面上、下对称
M y Iz
h
b
z
+max
max M max min Wz
y
-max
最大拉应力和最大压应力在同一个截面上,且 有max= -min
a b a' b'
M
c d
中性轴
M
d'
中性层
c'
O
dx y
z
z
y
Oy：竖向对称轴 Oz： 中性轴
？
y, z
E y, z
y
O'
曲率中心O'
中性层曲率半径
d K dx
曲率K

a y O1 K1 c
d
1
b dx O2 x K2 d
b d z O y A=42cm2 z O h O
截面 形状
a
y
A=42cm2
O y A=42cm2
z
z
y A=42cm2
弯曲截面 系数Wz （cm3）
38.4
45.4
55.6
309.0
z——中性轴
梁的合理设计
结论：（截面面积相同情况下）工字形最好、矩形 次之、方形再次、圆形最差 物理解释（应力分布）

静力平衡条件
E
应力 的变化规律

横截面上任一点的应力计算式
1、变形几何关系 ●实验观察：
(1)变形前互相平行的纵向直线，变形后均变为圆弧， 且凸边伸长，凹边缩短；
(2)变形前垂直于纵向线的横向线，变形后仍为直线， 且仍与纵向曲线正交。
a b M
a'
b'
M
c
d
c'
d'
式中：Mmax为绝对值最大 如果[t][c]
?
如果[t][c] →不对称截面
-max max max
-
+max
+max +max
宽翼边缘受拉，窄翼边缘受压
(2) 如果横截面上、下不对称
ⅰ)梁上只有正弯矩或负弯矩; 最大拉应力和最大压应力在同一个截面上 ⅱ)全梁最大正弯矩为M1，最大负弯矩为M2(绝对值) 最大拉应力和最大压应力不一定在同一个截面上 z C z y1 y2
min
M max M min max ， W1 W2
31.25 103 30 103 22.81MPa max ， 3 3 2.63 10 1.315 10
扬州大学讲课比赛
梁
梁
The member of which the deformation is mainly bending is generally called beam(梁).
梁的应力
1 梁的正应力
2 梁的合理截面形状及变截面梁
3 矩形截面梁的切应力
4 *工字形及其它形状截面梁的切应力
5 梁的强度条件
平面弯曲
1 概述及弯曲内力 2 弯曲正应力 3 弯曲切应力
4 梁的强度条件
5 弯曲中心
1 梁的正应力 (Normal Stress of The Beam)
●内力在横截面上的分布形式
Wz A3n 2
梁的合理设计
二 合理设计梁的外形——变截面梁
圆形、方形、矩形、工字形截面的比较 截面优化 一般做法：
Wz M max

→等截面梁
q
B
存在问题：
A l
M图
轴向优化
Mmax=ql2/8
梁的合理设计
改进方法： 思路：“按需分配”
W Wz xz
q
A
l
M图
B
M max x
Young’s Modulus
托马斯.杨（Thomas. Young,1773～ 1829）英国物理学家。1807年，提出弹 性模量的定义，为此后人称弹性模量为 杨氏模量。
梁的合理设计
cmax
z O
y
M y Iz
tmax
t max cmax
如果[t][c]，如何设计截面
i 1
n
A
i 1
n
30
Ⅲ
90
i
y
360 30 15 300 30 180 30 90 345 120mm 360 30 300 30 30 90
(3)求截面对中性轴的惯性矩
360 303 2 120 15 360 30 Iz 12

max
M1 M 2 max W ， W 1 2 M1 M 2 max W ， W 2 1

I W1 y1 I W2 y2
y
max
讨论
解：(1)作剪力图和弯矩图
A
q
F B C
M
F
A
0
0
FRA 50kN FRB 100kN
(4)公式是在纯弯曲的情况下导出的，但实践证 明，由于剪力对正应力的分布规律影响很小，因 此，对于有剪力作用的弯曲（即非纯弯曲）此式 同样适用。-----正应力公式的推广
例1：一T形截面铸铁梁，梁上荷载如图所示，已 知L=3m，F=30 kN，q=40kN/m。试确定此梁上的最 大拉应力和最大压应力。
2
dA
x
EIz

M EI z
这表明：梁在外力作用下，横截面上的弯矩愈 大，梁的弯曲程度就愈大；EIz愈大，梁的弯曲程 度就愈小。 EIz：梁的抗弯刚度(Flexural rigidity)，其意 义是梁抵抗弯曲变形的能力
M y Iz
M : 所求截面上的弯矩
I z : 截面惯性矩
y:
所求点的y坐标
●正应力在横截面上的分布规律
M源自文库
中性轴
max
M ymax Iz
I z ymax Wz
max
z
Maximum normal stress
M Wz
y
弯曲截面系数(section Wz : modulus of bending)
●在使用正应力计算公式时，要注意以下几点：
(1)公式中的M与y是代数量，应将其数值与正负号 一并代入公式，如果得到的为正，则表明是拉应力； 反之为压应力。实际应用时，也可以绝对值代入，得 的数值，再根据变形(Me正负)来判断其正负。
梁的合理设计
一 合理选取截面形状 一个有趣的实验
F F
(a)矩形钢板弯曲
(b)槽形钢板弯曲
max
M max Wz
优化目标： 同样多的材料（相同的截面面积）， Wz值尽可能大。
梁的合理设计
1 矩形、正方形、圆形、工字形截面的合理性比较
设横截面面积相等，以22a工字形截面为基准，圆的直径为d， 正方形的边长为a，矩形的高和宽分别为h和b（ h /b=1.5）。
l l0 l1
y d d yd
l l
y

y

Ky

y

Ky
上式表明：梁在纯弯曲时，其纵向纤维的线应变 与纤维所在的位置有关，离中性层愈远，纤维的线应 变愈大；线应变与梁变形后的弯曲层度有关，曲率K 愈大时，同一位置的线应变也愈大。

Mmax=ql2/8
→变截面梁(beam with non-constant section)
梁的合理设计
F
A
x
具体做法:
B 写出弯矩方程M(x)
b h (x) y z
l
hmin
cmax
z
d
z
O
y
tmax
y
原则
梁的合理设计
2 关于矩形截面的进一步讨论 (1) h/b↑(A不变)→Wz ? ↑
Wz bh2 6 Ah 6
h O z b
y
梁的合理设计
(2) 矩形木梁的合理高宽比问题
从圆木中锯出一矩形截面梁，试分别求出使得强度 最高（ Wz ） 、刚度最大（ Iz ）的高宽比（h/b）？
d b
h
梁的合理设计
“凡梁之大小，各随 其广为三分，以二分为 厚”（北宋 李诫 《营 造法式》1100年）
梁的合理设计
Thomas.Young（英）于1807年著《 自然哲学与机械技术讲义》一书中指出 ，矩形木梁的合理高宽比：
h b 2 时，强度最高 h b 3 时，刚度最好
E