(拿高分 选好题)(新课程)高中数学二轮复习专题 第一部分《1-2-3 平面向量与复数》课时演练 新

第一部分 专题二 第3课时

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

A 级

1．(2012·河南省三市调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i ，则|z |＋1

z ＝( )

A ．i

B ．1－i

C ．1＋i

D ．－i

解析： 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2

＋i 1－2i ＝i 1－2i 1－2i ＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1

i ＝1－i ，选B.

答案： B

2．已知单位向量α，β，，满足(α＋2β)·(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为( )

A ．－13 B.13 C.12 D.1

5

解析： 记α与β的夹角为θ，则依题意得2α2

－2β2

＋3α·β＝2×12

－2×12

＋3×1×1×cos θ＝1，cos θ＝13，即α与β的夹角的余弦值是1

3

，选B.

答案： B

3．(2012·新课标全国卷)下面是关于复数z ＝2

－1＋i

的四个命题：

p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，

p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1，

其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4

D ．p 3，p 4

解析： 复数z ＝2－1＋i ＝－1－i ，故|z |＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2

＝2i ，z 的共轭

复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题．

答案： C

4．设a ·b ＝4，若a 在b 方向上的投影为2，且b 在a 方向上的投影为1，则a 与b 的夹角等于( )

A.π6

B.π3

C.

2π3 D.π3或2π3

解析： 由题意知|a |＝4，|b |＝2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝4

4×2

＝

12，∴θ＝π3

. 答案： B

5．(2012·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →

＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →

＝－2，则λ＝( )

A.13

B.23

C.43

D ．2

解析： 由题意可知BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，且AB →·AC →

＝0，故BQ →·CP →＝－(1－λ)AC →2－λAB →2

＝－2.又AB ＝1，AC ＝2，代入上式解得λ＝23

.

答案： B 6.

(2012·杭州二检)如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →

，则m ＋n 的取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(－1,0)

解析： 根据题意知，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线的交点为D ，则OD →＝tOC →

. ∵D 在圆外，∴t ＜－1，

又D 、A 、B 共线，∴存在λ，μ，使得OD →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，又由已知，OC →

＝

mOA →＋nOB →

，

∴tmOA →＋tnOB →＝λOA →＋μOB →， ∴m ＋n ＝1

t

，故m ＋n ∈(－1,0)，选D.

答案： D

7．(2011·江苏卷)复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________． 解析： 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋1＋b i)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，所以a ＝1，b ＝3，复数z 的实部是1.

答案： 1

8．(2012·新课标全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.

解析： ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝2

2

|b |， |2a －b |2

＝4－4×22

|b |＋|b |2

＝10，∴|b |＝3 2. 答案： 3 2

9．(2012·北京卷)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →

的值为________；DE →·DC →

的最大值为________．

解析：

如图所示，以AB 、AD 所在的直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)．又E 在AB 边上，故设E (t,0)(0≤t ≤1)，则DE →

＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)．故DE →·CB →

＝1.

又DC →

＝(1,0)，

∴DE →·DC →

＝(t ，－1)·(1,0)＝t . 又0≤t ≤1，∴DE →·DC →

的最大值为1. 答案： 1 1

10．(1)已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)， ①当x 、y 为何值时，a 与b 共线？

②是否存在实数x 、y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，说明理由．

(2)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，试求向量a ＝2m ＋n 和b ＝－3m ＋2n 的夹