(完整word版)全等三角形之手拉手模型专题

全等三角形之手拉手模型专题

基本图形1、图（1）中，C 点为线段AB 上一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN 与BM 相等吗？说明理由；

如图（2） C 点为线段AB 上一点，等边三角形ACM 和等边三角形CBN 在

AB 的异侧，此时AN 与BM 相等吗？说明理由；

如图（3）C 点为线段AB 外一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN 与BM

相等吗？

说明理由．

分析：题中三问均是对等边三角形性质的考查以及全等三角形的证明，由

已知条件，利用等边三角形的性质可找出对应边及夹角相等，证明全等，

即可得到线段相等．

解：（1）相等．

证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形，

∴AC=CM，CN=BC，

又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，

∴∠ACN=∠MCB，

∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM．

（2）相等．

证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形，

∴AC=CM，CN=BC

又∠ACN=∠MCB，

∴△ACN≌△MCB，

∴AN=BM．

（3）相等．

证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形，

∴AC=CM，CN=BC，

又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，

∴∠ACN=∠MCB，

∴△ACN≌△MCB，

∴AN=BM．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围

绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三

角形全等是正确解答本题的关键．

变形2、（1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN 的中点E，F，连接

CE，CF，EF．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由．

（2）若将（1）中的“以AC，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN，”如图2，其他条件不变，

那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理

由．

点评：（1 ）先求证△ACN≌△MCB ，得出AN=BM ，∠ANC=∠MBA ，再证△NFC≌△BEC，得出CE=CF，∠BCE=∠NCF，利用等边三角形的角度60，

得出∠ECF=60°，证得结论成立；

（2）证明过程如上（1）中的结论只有CE=CF，而∠ECF 只等于等腰三角

形的顶角≠60°，得出结论不成立．

解：（1）如图1，△CEF 是等边三角形，

理由：∵等边△ACM 和△CBN，

∴AC=MC，BC=NC，∠ACN=∠MCB，

在△ACN 和△MCB 中

NC＝BC

∠ACN＝∠MCB

AC＝MC

∴△ACN≌△MCB（SAS），

∴AN=MB，∠ANC=∠MBA，

在△NFC 和△BEC 中，

NC＝BC

∠FNC＝∠EBC

NF＝BE

∴△NFC≌△BEC（SAS），

∴EC=CF，

∵∠BCE+∠ECN=60°，∠BCE=∠NCF，

∴∠ECF=60°，

∴△CEF 是等边三角形；

（2）如图2，不成立，首先∠ACN≠∠MCB，

∴△ACN 与△MCB 不全等．

如果有两个等腰三角形的顶角相等，那么结论也不成立，

证明方法与上面类似，只能得到CE=CF，而∠ECF 只等于等腰三角形的顶角≠60°．点评：此题综合考查等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性

质，等腰三角形的性质等知识点．

变形3、如图，在△ABC 中，已知∠DBC=60°，AC＞BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，

且BC=DC

（1）证明：△C′BD≌△B′DC；

（2）证明：△AC′D≌△DB′A；

证明：（1）△C′BD 与△ABC 中，

BC=DC，AB=BC′，∠C′BD=60°+∠ABD=∠ABC，

∴△C′BD≌△ABC，∴C′D=AC

又在△BCA 与△DCB′中，

BC=DC，AC=B′C，∠ACB=∠B′CD=60°，

∴△BCA≌△DCB′．∴DB′=BA．

∴△C′BD≌△B′DC

（2）由（1）的结论知：

C′D=B′C=AB′，

B′D=BC′=AC′，

又∵AD=AD，

∴△AC′D≌△DB′A．