剪力弯矩图习题课
剪力图和弯矩图(史上最全面)解析
三、 叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单
独作用于结构而引起的内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M(P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
M (P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
27
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 ——叠加方法
步骤： ①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； ②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单
四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
M 的驻点： Q 0 ; M 3 qa2 2
x
右端点： Q 0; M 3 qa2 2
22
[例5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。AB=BC=CD=a
q AB
RA qa Q qa/2
+ – qa/2
qa2 CD
RD
– qa/2
M
qa2/2
+
–
3qa2/8 qa2/2
qa2/2
RB
Pa l
Y
0,
YA
P(l a) l
XA A YA
P B
P B
RB
11
②求内力——截面法
Y
0,
Q YA
P(l a) l
mC 0 , M YA x
m XA A
剪力弯矩图
§2.6 剪力图和弯矩图
例1
q
A
B
RA
l
RB
ql 2
Fs
ql
l/2
2
M
ql 2 8
例2
l/3 F
A C
RA
2F 3
2l / 3
Fs
M
2 Fl 9
§2.6 剪力图和弯矩图
例3
BA
m
C
B
a
b
RB
l
RA
RB
1 3
F
Fs
am
m l
l
M
bm l
§2.8 利用微分关系作剪力、 弯矩图
作图要点： (1)计算支反力，并在梁上标出其实际方向
q(x)
M(x)
M(x) dM(x)
x
Fs (x) y Fs (x) dFs (x)
§2.7 剪力、弯矩与载荷集
度之间的微分关系
Mc 0
M
(
x
)
Fs
(
x
)dx
1 2
q(
x
)dx
2
=M
(
x
)
dM
(
x
)
忽略高阶小量 1 q( x )dx2
q(x)
2
M(x)
M(x) dM(x)
dM ( x dx
小结(基本规律)
1.求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离 体，也可取右段为脱离体。一般取外力比较简单 的一段进行分析。
2.在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（Fs 、 M）假设为正号。
3.集中力作用的截面上剪力有突变，其突变的值就 是这个集中力的大小；集中力偶作用的截面上弯 矩有突变，其突变的值就是这个集中力偶的大 小．
范钦珊版材料力学习题全解 第5章 梁的弯曲问题(1)-剪力图与弯矩图
M A = ql 2
| FQ | max = 5 ql 4
| M | max = ql 2
题（c）
∑ F y = 0 ， FRA = ql （↑）
9
∑ M A = 0 ， M A = ql 2
∑ M D = 0 ， ql 2 + ql ⋅ l − ql ⋅ − M D = 0
3 2 ql 2 | FQ | max = ql MD =
C
4000 4000
B
FB
习题 5－8 载荷图之二
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定 FQ
max
、 M
max
12
习题 5－9 图
解：题（a） ：
∑M A = 0
FRB ⋅ 2l − FP ⋅ l − FP ⋅ l = 0
FRB = FP （↑）
∑ F y = 0 ， F Ay = FP （↓）
∑ Fx = 0 ， FAx = FP （←）
C
2
1
B
C
－
B
1
D
M(FPl)
1 +
D
FQ(FP)
A
A
习题 5－9a 的弯矩图
剪力图和弯矩图如图所示，其中 | M | max = 2 FP l ， 位于刚节点 C 截面；
| FQ |max = FP
题（b） ： ∑ F y = 0 ， F Ay = ql （↑）
8
习题 5－6c、e 解图
习题 5－6d、f 解图
题（b）
∑ M A = 0 − ql 2 − ql ⋅ l + ql ⋅ l + FRB ⋅ 2l = 0
2
FRB
剪力图和弯矩图3(课件)
28
[例7]按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。 7] P Pa qa 2 q + 2 2 M A B P A x
qa 2 2
+
+
A
q B
M2
+ x
29
x
=
B M1
= +
Pa 2
+
三、对称性与反对称性的应用： 对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下， 图反对称 图反对称， 图对称 图对称； 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称 结构在反对称载荷作用下， 图对称 图对称， 图反对称 图反对称。 结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
解： q — 均布力
θ
10
§4–2
一、弯曲内力： 弯曲内力：
梁的剪力和弯矩
a A l P B
[举例 举例]已知：如图，P，a，l。 举例 求：距A端x处截面上内力。 解：①求外力
P
∑ X = 0, ∴ XA = 0 Pa ∑ mA = 0 , ∴ RB = l P(l − a) ∑ Y = 0 , ∴ YA = l
– qa/2 M
1、练习直接画内力图 P129 4、4－d、j（对称载荷）、m(反对称载荷) 同时可以提前讲内力图的对称关系 2、改错 PPT 见下页PPT 3、由Q图作M图和载荷图P135 4.16(b) 由M图作Q图和载荷图P135 4.17(a)
4、讲解组合梁的内力图P130 4.6(a)
24
1
第四章
弯曲内力
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 §4–2 梁的剪力和弯矩 §4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图 剪力、 §4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用 §4–5 按叠加原理作弯矩图 §4–6 平面刚架和曲杆的内力图 弯曲内力习题课
剪力图和弯矩图4(例题)-PPT
Me l
x
(0≤x≤a)
CB段：
M (x)
FAY x Me
Me l
x Me
(a<x≤l)
3.绘出剪力图和弯矩图
•
力偶荷载作用点：剪力图无变化；弯矩图有突变（荷载逆时针转向，向上突变，突变量等于荷载的大小）。
•
口诀表述：剪力图 力偶荷载无影响。
弯矩图 力偶荷载有突变。
大家应该也有点累了，稍作休息
各控制点处的FQ值如下：
FQA右=FQC左=15kN
FQC右=FQD=15 kN －10kN=5kN
FQD=5kN
F QB左=－15kN
3. 画M图
MA = 0, MC =15kN×2m=30 kN.m MD = 15kN×4m－
10kN×2m=40kN.m
MD右= 15kN×4m－ 5kN×4m×2m=20 kN.m
AC段：
FQ (x)
FAy
Fb l
（0<x<a）
M (x)
FAy x
Fb l
(0≤x≤a)
CB段：
FQ (x)FAyF NhomakorabeaFb l
F
Fa l
(a<x<l)
M (x)
FAy x
F(x
a)
Fa l
(l
x)
(0≤x≤l)
3.作剪力图和弯矩图
经分析可得出：剪力、弯矩 随荷载变化的规律 无 荷 载 区 段：剪力图水平 线；弯矩图斜直线（剪力为 正斜向下，倾斜量等于此段 剪力图面积）。 集中荷载作用点：剪力图有 突变（突变方向与荷载方向 相同，突变量等于荷载的大 小）；弯矩图有尖点（尖点 方向与荷载方向相同）。
《材料力学》课件4-2梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
实例1
实例2
实例3
03
剪力图和弯矩图的解读
剪力图和弯矩图的解读方法
截面法
通过在梁上选择若干个截面，分别计算出每个截面的剪力 和弯矩值，然后以这些值为纵坐标，以截面位置为横坐标， 绘制出剪力图和弯矩图。
微分关系法
利用剪力和弯矩的微分关系，通过积分求解出剪力图和弯 矩图。
叠加法
对于分段常数的情况，将每一段的剪力和弯矩分别叠加， 得到整体的剪力图和弯矩图。
在机械工程中，梁的剪力和弯矩分析用于设计和优化各种机 械设备，如起重机、输送机和机床等，以提高设备的性能和 可靠性。
梁的剪力和弯矩在科研中的应用
在科研领域，梁的剪力和弯矩分析也是重要的研究内容之 一。通过深入研究梁的剪力和弯矩的分布规律和影响因素 ，可以揭示材料的力学性能和结构行为的本质。
科研人员利用先进的实验技术和数值模拟方法，对梁的剪 力和弯矩进行深入探索，为材料科学、固体力学和结构工 程等领域的发展提供理论支持和实践指导。
选择截面位置
在梁上选择若干个具有代表性的截面，用于 计算剪力和弯矩。
计算剪力和弯矩
对每个截面进行受力分析，计算出剪力和弯 矩的大小。
绘制剪力图和弯矩图
根据计算结果，绘制出相应的剪力图和弯矩 图。
剪力图和弯矩图的绘制实例
悬臂梁在集中力作用下的 剪力和弯矩图
简支梁在均布载荷作用下 的剪力和弯矩图
简支梁在集中力作用下的 剪力和弯矩图
感谢您的观看
THANKS
截面法
通过在梁上选择若干个截面，计算每个截面的剪 力和弯矩，然后绘制相应的图形。
微元法
将梁分成若干个微元段，对每个微元段进行受力 分析，计算剪力和弯矩，然后绘制图形。
解析法
《弯、剪、压构件习题》课件
作用在构件上的轴心力应按静力 平衡条件计算。
偏心距
当轴心力存在偏心距时，应考虑其 影响。
内力计算方法
根据不同的受力情况，可采用不同 的内力计算方法，如不考虑剪切变 形、考虑剪切变形等。
轴心受压构件的承载力计算
承载力公式
根据不同材料和受力情况，可采 用不同的承载力计算公式。
承载力影响因素
承载力受到多种因素的影响，如 截面尺寸、材料强度、长细比等
。
承载力计算步骤
根据具体情况，可采用不同的计 算步骤，如先求出临界力和临界 力矩，再根据具体受力情况计算
承载力。
THANK YOU
计算方法
采用截面法、弯矩分配法 等计算方法，根据不同受 力特点和剪切位置选择合 适的计算方法。
注意事项
考虑剪切力的偏心影响， 注意剪切力的传递路径和 传递方式。
受剪构件的承载力计算
计算原则
注意事项
根据构件的承载能力极限状态和正常 使用极限状态，分别进行承载力计算 。
考虑剪切承载力的影响因素，如截面 尺寸、材料强度、连接方式等，确保 计算的准确性。
简支梁在集中力作用下的弯矩和剪力计算
总结词
集中力作用下，简支梁的弯矩和剪力计算需要考虑力的作用点位置，计算过程相对复杂。
详细描述
在集中力作用下，简支梁的弯矩和剪力计算需要考虑力的作用点位置。弯矩计算公式为 $M = FL$，其中 $F$ 为 集中力，$L$ 为力作用点至支点的距离。剪力计算公式为 $Q = F$。通过这两个公式，可以计算出简支梁在集中 力作用下的弯矩和剪力。
《弯、剪、压构件习题》ppt课件
• 弯构件习题 • 剪构件习题 • 压构件习题
01
弯构件习题
简支梁在均布荷载作用下的弯矩和剪力计算
简支梁的剪力图和弯矩图例题
简支梁的剪力图和弯矩图例题
简支梁是一种受拉拔及弯矩影响的梁，它可以用来支撑荷载，改变楼层的结构形式，也可以用来支撑桥梁。
简支梁由梁顶、支点及梁端组成，其中梁顶受到拉拔和弯矩的双重作用，支点只受拉拔作用，梁端只受弯矩作用。
简支梁的剪力图和弯矩图是用来分析梁顶的剪力和弯矩的，它们是构成简支梁的基本工程图象。
简支梁的剪力图是用来分析梁顶的剪力的，它是由梁顶的剪力构成的图象，从而求出梁顶的剪力状态。
一般来说，简支梁剪力图是由梁顶上拉拔力的大小及其方向构成的，它以梁顶为枢纽，把力划分为两部分，一部分是向上的拉力，另一部分是向下的拉力，这样就可以求出梁顶的剪力状态。
简支梁的弯矩图是用来分析梁顶的弯矩的，它是由梁顶的弯矩构成的图象，从而求出梁顶的弯矩状态。
一般来说，简支梁弯矩图也是由梁顶上弯矩的大小及其方向构成的，它以梁顶为枢纽，把弯矩划分为两部分，一部分是向上的弯矩，另一部分是向下的弯矩，这样就可以求出梁顶的弯矩状态。
简支梁的剪力图和弯矩图是用来分析梁顶的剪力和弯矩的，它们是确定梁的设计参数的基础。
根据剪力图和弯矩图，可以确定梁顶的荷载状态，从而确定梁顶的设计参数，使梁能够满足设计要求。
因此，简支梁的剪力图和弯矩图非常重要，必须正确地计算和分析，以确保梁的安全性和结构稳定性。
总之，简支梁的剪力图和弯矩图是用来分析梁顶的剪力和弯矩的，它们是构成简支梁的基本工程图象，是确定梁的设计参数的基础，是确保梁的安全性和结构稳定性的重要工具和手段。
正确的分析简支梁的剪力图和弯矩图，是确保梁的安全性和结构稳定性的关键，也是工程师们必须掌握的重要技能。
【全套】剪力图和弯矩图课件
3
3. 工程实例
4
4. 对称弯曲：
横截面对称的杆件发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。
P
q
P
1
2
M 纵向对 称面
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。
3. 支座简化
6
3. 支座简化 ①固定铰支座
2个约束，1个自由度。如：桥梁 下的固定支座，止推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
③固定端
3个约束，0个自由度。如：游泳池 XA
MA
的跳水板支座，木桩下端的支座等。 7
YA
4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
Q2 q(x2 a L)
y
mB(Fi) 0 ,
qL
qLx2
M2
1 2
q(x2
a)2
0
M2
1 2
q(x2
a)2
qLx2
2q 1
1a
2b
x
图（a）
B M2
x2
Q2
图（c）
15
§4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q(x) M M (x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
Q Q(x) 的图线表示
弯矩图
M M (x) 的图线表示
16
剪力图弯矩图例题
第6章典型习题解析1.简支梁受力如图a 所示。
试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支座反力由平衡方程∑=0Bm和∑=0A m 分别求得ql R A 83=，ql R B 81=利用平衡方程∑=0y 对所求反力进行校核。
（2）建立剪力方程和弯矩方程以梁的左端为坐标原点，建立x 坐标，如图a 所示。
因在C 处分布载荷的集度发生变化，故分二段建立剪力方程和弯矩方程。
AC 段：qx ql x Q -=83)(1 )20(lx ≤<212183)(qx qlx x M -= )20(lx ≤≤CB 段： ql x Q 81)(2-= )2(l x l<≤)(81)(2x l ql x M -= )2(l x l≤≤3．求控制截面内力，绘Q 、M 图Q 图：AC 段内，剪力方程)(1x Q 是x 的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值，ql Q A 83=右，ql Q C 81-=左，分别以a 、c 标在x Q -坐标中，连接a 、c 的直线即为该段的剪力图。
CB 段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，例如ql Q B 81-=左，连一水平线即为该段剪力图。
梁AB 的剪力图如图b 所示。
M 图：AC 段内，弯矩方程)(1x M 是x 的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩，0=A M ，2161ql M C =，分别以a 、c 标在x M -坐标中。
由剪力图知在d 点处0=Q ，该处弯矩取得极值。
令剪力方程0)(1=x Q ，解得l x 83=，求得211289)83(ql l M =，以d 点标在x M -坐标中。
据a 、d 、c 三点绘出该段的弯矩图。
CB 段内，弯矩方程)(2x M 是x 的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，以c 、b 标在x M -坐标中，并连成直线。
AB 梁的M 图如图c 所示。
2.梁的受力如图a 示，利用微分关系作梁的Q 、M 图。
剪力图和弯矩图(史上最全面)
RB
Pa l
YA
Y
0,
YA
P(l a) l
a
P B
P B
RB
11
②求内力——截面法
Y0, QYAP(lla) mC0, MYAx
m XA A
YA
x
m
∴ 弯曲构件内力
剪力 弯矩
Q A
C
1. 弯矩：M
YA
Q
构件受弯时，横截面上其作
MC
用面垂直于截面的内力偶矩。
P B
RB
M P
RB
a
12
2. 剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
M — 集中力偶
②悬臂梁 ③外伸梁
q(x)— 分布力
q — 均布力
P — 集中力
a
8
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
a
9
[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t =10mm，
钢的密度为： 7.8g/cm³，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。
解：
q — 均布力
a
10
§4–2 梁的剪力和弯矩
一、弯曲内力：
a
[举例]已知：如图，P，a，l。 A
求：距A端x处截面上内力。 l
解：①求外力
X 0, XA 0
XA A
mA 0 ,
1a
2b
如图（b）示。
y x
qL A
图（a）
Y qLQ1 0 Q1 qL
梁的剪力弯矩图习题解答共18页
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
剪力图和弯矩图(史上最全面)
极轴，q表示截面m–m的位置。
R
P
A
q
B
O
x
M(q) Px P(R Rcosq) PR(1 cosq) (0 q )
Q(q ) P1 Psinq (0 q )
N(q ) P2 Pcosq (0 q )
35
R
P
A
q
B
A
O
x
2PR
O
+ Q图
M图
B N图
–
+
O
P
O
P
M(q) Px P(R Rcosq) PR(1 cosq) (0 q )
起的内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M(P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作
用下，Q图对称，M图反对称。
39
五、剪力、弯矩与外力间的关系
解：
q — 均布力
10
一、弯曲内力：
§4–2
[举例]已知：如图，P，a，l。 求：距A端x处截面上内力。
解：①求外力
梁的剪力和弯矩
a A
l
X 0, XA 0
mA 0 ,
RB
Pa l
Y
0,
YA
P(l a) l
XA A YA
P B
P B
RB
11
②求内力——截面法
Y
0,
Q YA
P(l a) l
步骤： ①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； ②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。
弯矩图练习题
弯矩图练习题在力学中，弯矩图是一种图形表示方法，用于描述材料在受到外力作用下弯曲的情况。
通过解析力学的知识，我们可以根据给定的条件绘制出弯矩图，以帮助我们了解结构体在力的作用下的变形情况。
在本文中，我将介绍一些弯矩图的练习题，并解答它们。
1. 简支梁的考虑一个简支梁，其长度为L，受到均匀分布载荷q的作用。
为了绘制弯矩图，我们需要先计算出梁在各个点的剪力和弯矩。
首先，我们可以计算出梁的支反力。
由于梁是简支的，所以在两个端点的支反力大小相等。
根据平衡条件，我们可以得到：支反力R = qL/2接下来，我们可以计算出梁在任意位置x处的剪力V(x)和弯矩M(x)。
根据均布载荷的性质，我们可以得到：V(x) = R - qxM(x) = Rx - (q/2)x^2通过这些计算，我们可以绘制出梁的弯矩图。
在绘图时，我们将横轴表示位置x，纵轴表示弯矩M。
我们可以观察到，在简支梁上，弯矩图为一条抛物线形状，当x=L/2时，弯矩图达到最大值。
2. 悬臂梁的现在考虑一个悬臂梁，其长度为L，悬臂部分的长度为a。
该梁受到集中力F的作用。
对于悬臂梁，我们需要使用不同的方法来计算弯矩图。
首先，考虑梁的支反力。
由于悬臂梁只有一个支点，支反力大小与集中力F相等，方向相反。
支反力R = -F接下来，我们需要计算悬臂梁在不同位置x处的剪力V(x)和弯矩M(x)。
根据悬臂梁的几何特性和受力分析，我们可以得到：V(x) = -FM(x) = -Fx + Fx = 0从上述计算结果中可以看出，悬臂梁的弯矩图是一条直线，且弯矩始终为零。
这是因为在悬臂梁的支点处，不会出现弯矩。
3. 复杂结构的除了简支梁和悬臂梁，我们还可以考虑更加复杂的结构。
对于复杂结构，我们可以利用叠加原理来计算弯矩图。
以一个梁柱系统为例，梁的两端固定在墙上，悬臂部分受到集中力F的作用。
我们需要分别计算梁的弯矩图和柱的弯矩图，然后将它们叠加得到整个系统的弯矩图。
梁的弯矩图我们已经在第一题中计算过了，而柱的弯矩图可以通过悬臂梁的方法计算得到。
30材料力学习题课2(内力图)PPT课件
A
l
C
l
ql 2 2
B
8、画具有中间铰的组合梁的剪力图和弯矩。
q ql
A
l
C
l
ql 2 2
B
9、画多跨静定梁弯矩图。
q
qa
A
C
a
a
B
D
a
10、分别用微分关系和分段叠加法画弯矩图， 比较在此题中各自优缺点。
30kN
20kN/m
A 1m
B
C
1m
1m
11、分别用分段叠加法和微分关系画弯矩图， 比较优缺点。
分析：4-4左段
Fl
4
32
4 32
FA
l FB
l
F 1
1
FS4FA2F
Fl
4
M 4F A0FlFl
4
如取4-4右段
FA
F
F S4FF B2F
4 4
M 4F BlF 2 lFl
l FB
l
可见取左段或右段结果相同，计算量不一定同。
FA 2F
FB 3F
分析：3-3左段
Fl
4
32
4 32
FA
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You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
6、静定梁不受集中力作用，弯矩图如图示，确 定剪力图和荷载图。
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B
C
20kN.m
M 1m
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全梁的 Q 图见图示。
（三）作弯矩图
由于A 为铰支座， 又没有集中力偶作用， 所以 MA=0 ；弯矩从零 开始在 AB 段内 Q=7KN>0 ，所以 M 为 一上升斜直线。
B、A 两截面的弯矩 之差即为剪力图（ AB 段） 的面积。
即 MB MA 71 7KN m
q=10kN/m
A
C
2m
3m
Q) 20kN
M)
20kN·m
D P=20kN x B
1m
10 A截面
30 200mm
200 yc 30
D截面 y
7.25
压拉
15.75
10
C、D 两截面 的剪力之差等于荷 载在该段之和，即 -2×2=-4KN ，所以 D左 截面的剪力值 为：
QD左 3 4 7KN
D 处有向上支座反力 RD 作用，剪力图在 D 处 有突变，突变值就是 RD=9KN 。D右 处的剪力 为：
QD右 7Leabharlann 9 2KNDE 段内无荷载作用， 剪力图为一水平线，从 D右 一直延伸到 E左 。
分布图
C max
MC Iz
y2
由于 MC y2 MA y1 ，最大拉应力发生在C截面下边缘
max
C
max
MC y2 Iz
34.5MPa
40MPa
拉应力强度足够。
2．压应力强度校核
A截面下部受压 ：
A截面 应力 分布图
C截面 应力 分布图
Amax
M A y2 Iz
C截面上部受压 ：
A RA=5.5kN
C 2m
q=2kN/m
P2=2kN
E
D
B RD=12.5kN
6m
2m
5.5kN
Q)
+
2.75m
6kN + 2kN
- 6.5kN
5kN ·m M)
+
8kN ·m -
+ 2.56kN ·m
11kN ·m
例8C1 作图示梁的内力图
20kN 40kN·m
c
a
1 Ra
4m
10kN/m
b Rb
ql2/8
为了研究纯弯曲梁横截面上的正应力分布规律及计算， 要综合考虑变形的几何关系，物理关系及静力平衡关系。
二、几何方面
（由实验观察得如下现象：）
a.变形后，所有横向线仍保持 为直线，只是相对倾斜了一个 角度。
图 9-2
b. 变形后，所有纵向线变成 曲线，仍保持平行;上、下部 分的纵向线分别缩短和伸长 。
Cmax
MC y1 Iz
由于 MA y2 MC y1 ，最大压应力发生在A截面的下边缘
max
Amax
M A y2 Iz
69MPa
100MPa
压应力强度足够。
• 例9A11 铸铁梁的截面为T字形，其容许拉应力 [σt]=40MPa，容许压应力[σc]=100MPa，试校核梁 的正应力强度。若梁的截面倒置，情况又如何?
+ 7KN·m
DE 段内 Q=2KN>0 ，所以 M 为 一上升斜直线。由于 E 处为自由端，又没有集 中力偶作用，故E处的 弯矩 ME=0 。
全梁的 M 图见图示。
4KN·m +
7KN·m
8KN·m
2KN·m
例8-10 利用q,Q,M之间的微分关系，作图示梁的 剪力图和弯矩图。
mo=16kN/m
139mm
(三)截面对中性轴的惯性矩
Iz
200 303 12
200 30 462
30 1703 12
30 170 542
40.3 106 m4
（四）校核梁的强度（绘出应力分布图） 1.拉应力强度校核
A截面 应力 分布图
A截面为负弯矩，上部受拉
Amax
MA Iz
y1
C截面 应力
C截面为正弯矩，下部受拉
根据上述现象，设想梁内部的变形与外表观察到的现象 相一致，可提出如下假设： a. 平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只是 转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。 b. 中性层假设：梁内存在一个纵向层，在变形时，该层的纵 向纤维即不伸长也不缩短，称为中性轴。
图 9-3
例1：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已
答： Q图 (kN)
15 20
M图 (kN·m)
M
20 20
X=2.5m 25
31.25
例8C2 画内力图
qa2
b
a
c
Ra a Rb 2a
q
d Rd 2a
答： Q图 qa
qa
qa
M图
M
例8-11 试用叠加法作梁的弯矩图。
mo
q
mo
A
B
A
q
BA
B
mo
mo/2
mo
mo/2
ql2/8 mo
ql2/8-mo/2 最终弯矩图
例5 绘图示梁的剪力图和弯矩图。
例5图 解 （一）求支座反力 由平衡条件得：RA=7KN ，R0=9KN 。
（二）作剪力图
由梁 A 端开始。
由于 A 处有向上支座 反力 RA=7KN ，Q 图由零 向上突变，突变值为 RA=7KN 。
由于 AB 段内无分布荷 载，所以 AB 段的剪力图为 一水平直线，并从 A 点一直 延伸到 B 点稍偏左截面处。
知材料的容许拉应力为 试校核梁的强度。
40
MPa,容许压应力
100
MPa
Z
20kN·m
10kN·m
弯矩图
解（一）作梁的弯矩图如图 最大正弯矩
Mc 10KN .m 最大负弯矩
MA 20KN .m
A截面 C截面 z
压拉
（二）确定中性轴的位置
截面形心距底边
yc
30170 85 30 200185 30170 30 200
由于 B 处有向下集中 力 P1 的作用，Q 图上向下 有一突变，突变值为 P1=10KN ，所以 B 右段面的 剪力值为：
QB右 7 10 3KN
BC 段内无分布荷载， 所以 BC 段的剪力图为一 水平线，并从 B右 一直延 伸到 C 点。
由于 CD 段有 向下的均布荷载作 用，即 q(x)=2KN/m（常数）， 所以该段 Q 图为 一下降的斜直线。